LMFDB - L-function 18-325e9-1.1-c5e9-0-0

Dirichlet series

L(s) = 1

+ 5·2^-s + 11·3^-s − 86·4^-s + 55·6^-s − 12·7^-s − 312·8^-s − 752·9^-s − 1.42e3·11^-s − 946·12^-s − 1.52e3·13^-s − 60·14^-s + 3.45e3·16^-s − 648·17^-s − 3.76e3·18^-s − 408·19^-s − 132·21^-s − 7.11e3·22^-s − 1.83e3·23^-s − 3.43e3·24^-s − 7.60e3·26^-s − 7.05e3·27^-s + 1.03e3·28^-s − 8.73e3·29^-s + 748·31^-s − 473·32^-s − 1.56e4·33^-s − 3.24e3·34^-s + ⋯

L(s) = 1

+ 0.883·2^-s + 0.705·3^-s − 2.68·4^-s + 0.623·6^-s − 0.0925·7^-s − 1.72·8^-s − 3.09·9^-s − 3.54·11^-s − 1.89·12^-s − 2.49·13^-s − 0.0818·14^-s + 3.37·16^-s − 0.543·17^-s − 2.73·18^-s − 0.259·19^-s − 0.0653·21^-s − 3.13·22^-s − 0.724·23^-s − 1.21·24^-s − 2.20·26^-s − 1.86·27^-s + 0.248·28^-s − 1.92·29^-s + 0.139·31^-s − 0.0816·32^-s − 2.50·33^-s − 0.480·34^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{18} \cdot 13^{9}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{9} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{18} \cdot 13^{9}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{9} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$18$
Conductor:	$5^{18} \cdot 13^{9}$
Sign:	$-1$
Analytic conductor:	$2.84050\times 10^{15}$
Root analytic conductor:	$7.21974$
Motivic weight:	$5$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$9$
Selberg data:	$(18,\ 5^{18} \cdot 13^{9} ,\ ( \ : [5/2]^{9} ),\ -1 )$

Particular Values

$L(3)$	$=$	$0$
$L(\frac12)$	$=$	$0$
$L(\frac{7}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$F_p(T)$
bad	5	$ 1 $
	13	$ ( 1 + p^{2} T )^{9} $
good	2	$ 1 - 5 T + 111 T^{2} - 673 T^{3} + 1975 p^{2} T^{4} - 22509 p T^{5} + 104647 p^{2} T^{6} - 271961 p^{3} T^{7} + 1046245 p^{4} T^{8} - 633137 p^{7} T^{9} + 1046245 p^{9} T^{10} - 271961 p^{13} T^{11} + 104647 p^{17} T^{12} - 22509 p^{21} T^{13} + 1975 p^{27} T^{14} - 673 p^{30} T^{15} + 111 p^{35} T^{16} - 5 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} $
	3	$ 1 - 11 T + 97 p^{2} T^{2} - 1202 p^{2} T^{3} + 149905 p T^{4} - 2119657 p T^{5} + 162917153 T^{6} - 2502982570 T^{7} + 15828224858 p T^{8} - 79712893852 p^{2} T^{9} + 15828224858 p^{6} T^{10} - 2502982570 p^{10} T^{11} + 162917153 p^{15} T^{12} - 2119657 p^{21} T^{13} + 149905 p^{26} T^{14} - 1202 p^{32} T^{15} + 97 p^{37} T^{16} - 11 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} $
	7	$ 1 + 12 T + 96157 T^{2} + 562396 T^{3} + 4524975747 T^{4} - 9279133840 T^{5} + 138615511394837 T^{6} - 1012284041916540 T^{7} + 3074128450205785774 T^{8} - 25354172273837803832 T^{9} + 3074128450205785774 p^{5} T^{10} - 1012284041916540 p^{10} T^{11} + 138615511394837 p^{15} T^{12} - 9279133840 p^{20} T^{13} + 4524975747 p^{25} T^{14} + 562396 p^{30} T^{15} + 96157 p^{35} T^{16} + 12 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} $
	11	$ 1 + 1422 T + 1678928 T^{2} + 1457218782 T^{3} + 1113094396148 T^{4} + 714749702584070 T^{5} + 415158952053473389 T^{6} + $$21\!\cdots\!24$$ T^{7} + $$90\!\cdots\!88$$ p T^{8} + $$34\!\cdots\!96$$ p^{2} T^{9} + $$90\!\cdots\!88$$ p^{6} T^{10} + $$21\!\cdots\!24$$ p^{10} T^{11} + 415158952053473389 p^{15} T^{12} + 714749702584070 p^{20} T^{13} + 1113094396148 p^{25} T^{14} + 1457218782 p^{30} T^{15} + 1678928 p^{35} T^{16} + 1422 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} $
	17	$ 1 + 648 T + 3847624 T^{2} + 3743716930 T^{3} + 7955206965208 T^{4} + 9997321106254216 T^{5} + 16234048035213331295 T^{6} + $$17\!\cdots\!84$$ T^{7} + $$31\!\cdots\!88$$ T^{8} + $$26\!\cdots\!20$$ T^{9} + $$31\!\cdots\!88$$ p^{5} T^{10} + $$17\!\cdots\!84$$ p^{10} T^{11} + 16234048035213331295 p^{15} T^{12} + 9997321106254216 p^{20} T^{13} + 7955206965208 p^{25} T^{14} + 3743716930 p^{30} T^{15} + 3847624 p^{35} T^{16} + 648 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} $
	19	$ 1 + 408 T + 13870454 T^{2} + 362063268 p T^{3} + 96344427116891 T^{4} + 49973344519545016 T^{5} + $$44\!\cdots\!51$$ T^{6} + $$21\!\cdots\!32$$ T^{7} + $$14\!\cdots\!93$$ T^{8} + $$33\!\cdots\!80$$ p T^{9} + $$14\!\cdots\!93$$ p^{5} T^{10} + $$21\!\cdots\!32$$ p^{10} T^{11} + $$44\!\cdots\!51$$ p^{15} T^{12} + 49973344519545016 p^{20} T^{13} + 96344427116891 p^{25} T^{14} + 362063268 p^{31} T^{15} + 13870454 p^{35} T^{16} + 408 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} $
	23	$ 1 + 1839 T + 27570110 T^{2} + 54947371329 T^{3} + 393408475518083 T^{4} + 689356483695756566 T^{5} + $$38\!\cdots\!67$$ T^{6} + $$56\!\cdots\!07$$ T^{7} + $$28\!\cdots\!41$$ T^{8} + $$38\!\cdots\!86$$ T^{9} + $$28\!\cdots\!41$$ p^{5} T^{10} + $$56\!\cdots\!07$$ p^{10} T^{11} + $$38\!\cdots\!67$$ p^{15} T^{12} + 689356483695756566 p^{20} T^{13} + 393408475518083 p^{25} T^{14} + 54947371329 p^{30} T^{15} + 27570110 p^{35} T^{16} + 1839 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} $
	29	$ 1 + 8737 T + 100263490 T^{2} + 812860482637 T^{3} + 5877575658032654 T^{4} + 37024407518884704661 T^{5} + $$22\!\cdots\!59$$ T^{6} + $$11\!\cdots\!90$$ T^{7} + $$61\!\cdots\!04$$ T^{8} + $$28\!\cdots\!94$$ T^{9} + $$61\!\cdots\!04$$ p^{5} T^{10} + $$11\!\cdots\!90$$ p^{10} T^{11} + $$22\!\cdots\!59$$ p^{15} T^{12} + 37024407518884704661 p^{20} T^{13} + 5877575658032654 p^{25} T^{14} + 812860482637 p^{30} T^{15} + 100263490 p^{35} T^{16} + 8737 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} $
	31	$ 1 - 748 T + 75897937 T^{2} + 87335748108 T^{3} + 3911511988579655 T^{4} + 5672812818384581976 T^{5} + $$17\!\cdots\!49$$ T^{6} + $$26\!\cdots\!84$$ T^{7} + $$56\!\cdots\!86$$ T^{8} + $$10\!\cdots\!68$$ T^{9} + $$56\!\cdots\!86$$ p^{5} T^{10} + $$26\!\cdots\!84$$ p^{10} T^{11} + $$17\!\cdots\!49$$ p^{15} T^{12} + 5672812818384581976 p^{20} T^{13} + 3911511988579655 p^{25} T^{14} + 87335748108 p^{30} T^{15} + 75897937 p^{35} T^{16} - 748 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} $
	37	$ 1 - 15486 T + 406034081 T^{2} - 4455267036680 T^{3} + 69627769486559328 T^{4} - $$58\!\cdots\!48$$ T^{5} + $$71\!\cdots\!32$$ T^{6} - $$48\!\cdots\!40$$ T^{7} + $$53\!\cdots\!30$$ T^{8} - $$33\!\cdots\!88$$ T^{9} + $$53\!\cdots\!30$$ p^{5} T^{10} - $$48\!\cdots\!40$$ p^{10} T^{11} + $$71\!\cdots\!32$$ p^{15} T^{12} - $$58\!\cdots\!48$$ p^{20} T^{13} + 69627769486559328 p^{25} T^{14} - 4455267036680 p^{30} T^{15} + 406034081 p^{35} T^{16} - 15486 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} $
	41	$ 1 + 28676 T + 807443290 T^{2} + 15162634916010 T^{3} + 279540162665697191 T^{4} + $$41\!\cdots\!68$$ T^{5} + $$61\!\cdots\!69$$ T^{6} + $$77\!\cdots\!70$$ T^{7} + $$96\!\cdots\!69$$ T^{8} + $$10\!\cdots\!84$$ T^{9} + $$96\!\cdots\!69$$ p^{5} T^{10} + $$77\!\cdots\!70$$ p^{10} T^{11} + $$61\!\cdots\!69$$ p^{15} T^{12} + $$41\!\cdots\!68$$ p^{20} T^{13} + 279540162665697191 p^{25} T^{14} + 15162634916010 p^{30} T^{15} + 807443290 p^{35} T^{16} + 28676 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} $
	43	$ 1 + 28665 T + 905859098 T^{2} + 19568343598455 T^{3} + 410275978472684999 T^{4} + $$70\!\cdots\!58$$ T^{5} + $$11\!\cdots\!11$$ T^{6} + $$16\!\cdots\!25$$ T^{7} + $$23\!\cdots\!49$$ T^{8} + $$28\!\cdots\!26$$ T^{9} + $$23\!\cdots\!49$$ p^{5} T^{10} + $$16\!\cdots\!25$$ p^{10} T^{11} + $$11\!\cdots\!11$$ p^{15} T^{12} + $$70\!\cdots\!58$$ p^{20} T^{13} + 410275978472684999 p^{25} T^{14} + 19568343598455 p^{30} T^{15} + 905859098 p^{35} T^{16} + 28665 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} $
	47	$ 1 - 29452 T + 1346699157 T^{2} - 23094731728324 T^{3} + 695077981104733875 T^{4} - $$92\!\cdots\!92$$ T^{5} + $$25\!\cdots\!29$$ T^{6} - $$31\!\cdots\!36$$ T^{7} + $$77\!\cdots\!42$$ T^{8} - $$82\!\cdots\!48$$ T^{9} + $$77\!\cdots\!42$$ p^{5} T^{10} - $$31\!\cdots\!36$$ p^{10} T^{11} + $$25\!\cdots\!29$$ p^{15} T^{12} - $$92\!\cdots\!92$$ p^{20} T^{13} + 695077981104733875 p^{25} T^{14} - 23094731728324 p^{30} T^{15} + 1346699157 p^{35} T^{16} - 29452 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} $
	53	$ 1 + 75977 T + 4311797066 T^{2} + 190721914335121 T^{3} + 7007646765751779502 T^{4} + $$22\!\cdots\!57$$ T^{5} + $$64\!\cdots\!47$$ T^{6} + $$16\!\cdots\!26$$ T^{7} + $$38\!\cdots\!24$$ T^{8} + $$82\!\cdots\!74$$ T^{9} + $$38\!\cdots\!24$$ p^{5} T^{10} + $$16\!\cdots\!26$$ p^{10} T^{11} + $$64\!\cdots\!47$$ p^{15} T^{12} + $$22\!\cdots\!57$$ p^{20} T^{13} + 7007646765751779502 p^{25} T^{14} + 190721914335121 p^{30} T^{15} + 4311797066 p^{35} T^{16} + 75977 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} $
	59	$ 1 + 88142 T + 7408012125 T^{2} + 418488720267288 T^{3} + 21514792833002089743 T^{4} + $$91\!\cdots\!78$$ T^{5} + $$35\!\cdots\!37$$ T^{6} + $$11\!\cdots\!40$$ T^{7} + $$37\!\cdots\!18$$ T^{8} + $$10\!\cdots\!16$$ T^{9} + $$37\!\cdots\!18$$ p^{5} T^{10} + $$11\!\cdots\!40$$ p^{10} T^{11} + $$35\!\cdots\!37$$ p^{15} T^{12} + $$91\!\cdots\!78$$ p^{20} T^{13} + 21514792833002089743 p^{25} T^{14} + 418488720267288 p^{30} T^{15} + 7408012125 p^{35} T^{16} + 88142 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} $
	61	$ 1 - 28165 T + 5525406634 T^{2} - 111231076019257 T^{3} + 13564817030465760102 T^{4} - $$20\!\cdots\!21$$ T^{5} + $$20\!\cdots\!83$$ T^{6} - $$23\!\cdots\!82$$ T^{7} + $$23\!\cdots\!32$$ T^{8} - $$22\!\cdots\!54$$ T^{9} + $$23\!\cdots\!32$$ p^{5} T^{10} - $$23\!\cdots\!82$$ p^{10} T^{11} + $$20\!\cdots\!83$$ p^{15} T^{12} - $$20\!\cdots\!21$$ p^{20} T^{13} + 13564817030465760102 p^{25} T^{14} - 111231076019257 p^{30} T^{15} + 5525406634 p^{35} T^{16} - 28165 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} $
	67	$ 1 - 94754 T + 14705440952 T^{2} - 1016307598907474 T^{3} + 88638330878987469708 T^{4} - $$47\!\cdots\!90$$ T^{5} + $$29\!\cdots\!49$$ T^{6} - $$12\!\cdots\!96$$ T^{7} + $$61\!\cdots\!56$$ T^{8} - $$21\!\cdots\!48$$ T^{9} + $$61\!\cdots\!56$$ p^{5} T^{10} - $$12\!\cdots\!96$$ p^{10} T^{11} + $$29\!\cdots\!49$$ p^{15} T^{12} - $$47\!\cdots\!90$$ p^{20} T^{13} + 88638330878987469708 p^{25} T^{14} - 1016307598907474 p^{30} T^{15} + 14705440952 p^{35} T^{16} - 94754 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} $
	71	$ 1 + 70562 T + 145680381 p T^{2} + 535896116798952 T^{3} + 45814913528036188080 T^{4} + $$19\!\cdots\!72$$ T^{5} + $$12\!\cdots\!20$$ T^{6} + $$50\!\cdots\!60$$ T^{7} + $$27\!\cdots\!26$$ T^{8} + $$98\!\cdots\!80$$ T^{9} + $$27\!\cdots\!26$$ p^{5} T^{10} + $$50\!\cdots\!60$$ p^{10} T^{11} + $$12\!\cdots\!20$$ p^{15} T^{12} + $$19\!\cdots\!72$$ p^{20} T^{13} + 45814913528036188080 p^{25} T^{14} + 535896116798952 p^{30} T^{15} + 145680381 p^{36} T^{16} + 70562 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} $
	73	$ 1 + 60602 T + 11519959226 T^{2} + 450972296343384 T^{3} + 50569765709477765011 T^{4} + $$90\!\cdots\!56$$ T^{5} + $$10\!\cdots\!77$$ T^{6} - $$13\!\cdots\!72$$ T^{7} + $$10\!\cdots\!17$$ T^{8} - $$74\!\cdots\!16$$ T^{9} + $$10\!\cdots\!17$$ p^{5} T^{10} - $$13\!\cdots\!72$$ p^{10} T^{11} + $$10\!\cdots\!77$$ p^{15} T^{12} + $$90\!\cdots\!56$$ p^{20} T^{13} + 50569765709477765011 p^{25} T^{14} + 450972296343384 p^{30} T^{15} + 11519959226 p^{35} T^{16} + 60602 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} $
	79	$ 1 + 164073 T + 28189254670 T^{2} + 2711262477059871 T^{3} + $$27\!\cdots\!51$$ T^{4} + $$19\!\cdots\!66$$ T^{5} + $$15\!\cdots\!63$$ T^{6} + $$95\!\cdots\!53$$ T^{7} + $$64\!\cdots\!81$$ T^{8} + $$34\!\cdots\!70$$ T^{9} + $$64\!\cdots\!81$$ p^{5} T^{10} + $$95\!\cdots\!53$$ p^{10} T^{11} + $$15\!\cdots\!63$$ p^{15} T^{12} + $$19\!\cdots\!66$$ p^{20} T^{13} + $$27\!\cdots\!51$$ p^{25} T^{14} + 2711262477059871 p^{30} T^{15} + 28189254670 p^{35} T^{16} + 164073 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} $
	83	$ 1 - 22458 T + 4152756288 T^{2} + 65474123064726 T^{3} + 17405654864177049364 T^{4} - $$56\!\cdots\!58$$ T^{5} + $$10\!\cdots\!41$$ T^{6} - $$41\!\cdots\!84$$ T^{7} + $$20\!\cdots\!72$$ T^{8} - $$10\!\cdots\!28$$ T^{9} + $$20\!\cdots\!72$$ p^{5} T^{10} - $$41\!\cdots\!84$$ p^{10} T^{11} + $$10\!\cdots\!41$$ p^{15} T^{12} - $$56\!\cdots\!58$$ p^{20} T^{13} + 17405654864177049364 p^{25} T^{14} + 65474123064726 p^{30} T^{15} + 4152756288 p^{35} T^{16} - 22458 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} $
	89	$ 1 + 252698 T + 59335278754 T^{2} + 8555077606937916 T^{3} + $$11\!\cdots\!11$$ T^{4} + $$11\!\cdots\!76$$ T^{5} + $$10\!\cdots\!97$$ T^{6} + $$77\!\cdots\!76$$ T^{7} + $$59\!\cdots\!77$$ T^{8} + $$42\!\cdots\!68$$ T^{9} + $$59\!\cdots\!77$$ p^{5} T^{10} + $$77\!\cdots\!76$$ p^{10} T^{11} + $$10\!\cdots\!97$$ p^{15} T^{12} + $$11\!\cdots\!76$$ p^{20} T^{13} + $$11\!\cdots\!11$$ p^{25} T^{14} + 8555077606937916 p^{30} T^{15} + 59335278754 p^{35} T^{16} + 252698 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} $
	97	$ 1 + 137986 T + 49335221217 T^{2} + 4614937388745376 T^{3} + $$90\!\cdots\!56$$ T^{4} + $$48\!\cdots\!84$$ T^{5} + $$72\!\cdots\!68$$ T^{6} - $$13\!\cdots\!72$$ T^{7} + $$22\!\cdots\!46$$ T^{8} - $$30\!\cdots\!76$$ T^{9} + $$22\!\cdots\!46$$ p^{5} T^{10} - $$13\!\cdots\!72$$ p^{10} T^{11} + $$72\!\cdots\!68$$ p^{15} T^{12} + $$48\!\cdots\!84$$ p^{20} T^{13} + $$90\!\cdots\!56$$ p^{25} T^{14} + 4614937388745376 p^{30} T^{15} + 49335221217 p^{35} T^{16} + 137986 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} $
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$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{18} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−4.42273691739669564308062997730, −4.37682272114799225031251111598, −4.30510933208574607435478014981, −4.15468565316900567701876607249, −4.04104828521342346299089149679, −3.84427667092487168652050435055, −3.73429801663297766238218452972, −3.26883537432043977553349622581, −3.16393518645599509801474451960, −3.13403914681743963082094512343, −3.11002238949483094823274849681, −3.10717132812192054745819131849, −2.78727354944167646215676148119, −2.76961448391811535394608730749, −2.73814101749413563883652858634, −2.35462796937034092988099424967, −2.27852694118193300828216366092, −2.14971235139531036061675877744, −1.86663097072994345048910443932, −1.79831990409123982812773120552, −1.69344998048524928618759341729, −1.34283860901037459188242718221, −1.16944459963800555915730240496, −1.16903717240384284724983499287, −0.817923808496536573826632166145, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.817923808496536573826632166145, 1.16903717240384284724983499287, 1.16944459963800555915730240496, 1.34283860901037459188242718221, 1.69344998048524928618759341729, 1.79831990409123982812773120552, 1.86663097072994345048910443932, 2.14971235139531036061675877744, 2.27852694118193300828216366092, 2.35462796937034092988099424967, 2.73814101749413563883652858634, 2.76961448391811535394608730749, 2.78727354944167646215676148119, 3.10717132812192054745819131849, 3.11002238949483094823274849681, 3.13403914681743963082094512343, 3.16393518645599509801474451960, 3.26883537432043977553349622581, 3.73429801663297766238218452972, 3.84427667092487168652050435055, 4.04104828521342346299089149679, 4.15468565316900567701876607249, 4.30510933208574607435478014981, 4.37682272114799225031251111598, 4.42273691739669564308062997730

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(3)\)	\(=\)	\(0\)
\(L(\frac12)\)	\(=\)	\(0\)
\(L(\frac{7}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

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