| L(s) = 1 | + 11·3-s − 31·5-s + 39·7-s − 418·9-s − 340·11-s + 676·13-s − 341·15-s + 1.75e3·17-s − 2.00e3·19-s + 429·21-s + 6.79e3·23-s − 4.19e3·25-s − 9.71e3·27-s − 6.76e3·29-s + 1.86e4·31-s − 3.74e3·33-s − 1.20e3·35-s + 573·37-s + 7.43e3·39-s + 1.89e3·41-s − 2.83e4·43-s + 1.29e4·45-s + 2.16e4·47-s − 3.55e4·49-s + 1.93e4·51-s + 4.59e4·53-s + 1.05e4·55-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 0.705·3-s − 0.554·5-s + 0.300·7-s − 1.72·9-s − 0.847·11-s + 1.10·13-s − 0.391·15-s + 1.47·17-s − 1.27·19-s + 0.212·21-s + 2.67·23-s − 1.34·25-s − 2.56·27-s − 1.49·29-s + 3.48·31-s − 0.597·33-s − 0.166·35-s + 0.0688·37-s + 0.782·39-s + 0.175·41-s − 2.33·43-s + 0.953·45-s + 1.42·47-s − 2.11·49-s + 1.04·51-s + 2.24·53-s + 0.469·55-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{24} \cdot 13^{4}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{24} \cdot 13^{4}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(\approx\) |
\(6.711708024\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(\approx\) |
\(6.711708024\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 2 | | \( 1 \) |
| 13 | $C_1$ | \( ( 1 - p^{2} T )^{4} \) |
| good | 3 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 11 T + 539 T^{2} - 808 T^{3} + 39808 p T^{4} - 808 p^{5} T^{5} + 539 p^{10} T^{6} - 11 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 5 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 31 T + 5153 T^{2} + 252422 T^{3} + 22858118 T^{4} + 252422 p^{5} T^{5} + 5153 p^{10} T^{6} + 31 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 7 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 39 T + 37057 T^{2} + 1509244 T^{3} + 574546398 T^{4} + 1509244 p^{5} T^{5} + 37057 p^{10} T^{6} - 39 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 11 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 340 T + 127772 T^{2} - 3699508 p T^{3} - 2539680526 p T^{4} - 3699508 p^{6} T^{5} + 127772 p^{10} T^{6} + 340 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 17 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 1757 T + 3521321 T^{2} - 4384174254 T^{3} + 7201578383694 T^{4} - 4384174254 p^{5} T^{5} + 3521321 p^{10} T^{6} - 1757 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 19 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 2000 T + 1315204 T^{2} + 5123411728 T^{3} + 16378456307222 T^{4} + 5123411728 p^{5} T^{5} + 1315204 p^{10} T^{6} + 2000 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 23 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 6796 T + 37313132 T^{2} - 124874503804 T^{3} + 376774335025606 T^{4} - 124874503804 p^{5} T^{5} + 37313132 p^{10} T^{6} - 6796 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 29 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 6768 T + 44087996 T^{2} + 145395725328 T^{3} + 820460284261782 T^{4} + 145395725328 p^{5} T^{5} + 44087996 p^{10} T^{6} + 6768 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 31 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 18638 T + 155809588 T^{2} - 751376049398 T^{3} + 3287012745889942 T^{4} - 751376049398 p^{5} T^{5} + 155809588 p^{10} T^{6} - 18638 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 37 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 573 T + 239640937 T^{2} - 202243860778 T^{3} + 23587529015810070 T^{4} - 202243860778 p^{5} T^{5} + 239640937 p^{10} T^{6} - 573 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 41 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 1890 T + 311989748 T^{2} - 958041784790 T^{3} + 46445767927334790 T^{4} - 958041784790 p^{5} T^{5} + 311989748 p^{10} T^{6} - 1890 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 43 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 28327 T + 616834087 T^{2} + 7694590240592 T^{3} + 104664597506136140 T^{4} + 7694590240592 p^{5} T^{5} + 616834087 p^{10} T^{6} + 28327 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 47 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 21603 T + 666176561 T^{2} - 10471292070516 T^{3} + 201019507301163414 T^{4} - 10471292070516 p^{5} T^{5} + 666176561 p^{10} T^{6} - 21603 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 53 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 45950 T + 1702757516 T^{2} - 47289854346690 T^{3} + 1021571292731542854 T^{4} - 47289854346690 p^{5} T^{5} + 1702757516 p^{10} T^{6} - 45950 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 59 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 916 T + 2171389052 T^{2} - 8148340134204 T^{3} + 2041156776912096870 T^{4} - 8148340134204 p^{5} T^{5} + 2171389052 p^{10} T^{6} + 916 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 61 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 55730 T + 67085956 p T^{2} - 139009698415134 T^{3} + 5445275958006059382 T^{4} - 139009698415134 p^{5} T^{5} + 67085956 p^{11} T^{6} - 55730 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 67 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 7736 T + 2054018164 T^{2} + 34631039929752 T^{3} + 3527055037627735350 T^{4} + 34631039929752 p^{5} T^{5} + 2054018164 p^{10} T^{6} + 7736 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 71 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 25229 T + 5569425785 T^{2} - 91697921781076 T^{3} + 13582162611069378350 T^{4} - 91697921781076 p^{5} T^{5} + 5569425785 p^{10} T^{6} - 25229 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 73 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 82484 T + 3610412740 T^{2} - 27086603654356 T^{3} - 4146949427050770410 T^{4} - 27086603654356 p^{5} T^{5} + 3610412740 p^{10} T^{6} + 82484 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 79 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 4936 T + 3136547068 T^{2} - 276560357630760 T^{3} + 2205991352982184134 T^{4} - 276560357630760 p^{5} T^{5} + 3136547068 p^{10} T^{6} - 4936 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 83 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 119782 T + 16058583212 T^{2} - 1197963265006102 T^{3} + 91320962773018703350 T^{4} - 1197963265006102 p^{5} T^{5} + 16058583212 p^{10} T^{6} - 119782 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 89 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 153492 T + 23233599524 T^{2} + 2201629256787724 T^{3} + \)\(20\!\cdots\!50\)\( T^{4} + 2201629256787724 p^{5} T^{5} + 23233599524 p^{10} T^{6} + 153492 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 97 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 13364 T + 15673117972 T^{2} + 697855089119668 T^{3} + \)\(10\!\cdots\!54\)\( T^{4} + 697855089119668 p^{5} T^{5} + 15673117972 p^{10} T^{6} - 13364 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{8} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−6.68452944058160745639535847591, −6.21388352156540350942989652364, −5.96396305695149126701933393067, −5.86004992147183374143238608691, −5.74046864824556768238284674250, −5.31105978721251068369414692196, −5.23585697986123428123098977581, −4.95571247128615953641857023079, −4.77679496844087350546108824602, −4.27494296219800578860774614628, −4.08124675641141145590914122318, −3.90391109438156301003332171714, −3.68053775398656905460239990908, −3.17490520488419122908248086056, −3.08766452296930958295682149124, −2.93715948922570929185706773372, −2.80787044476721731047360195841, −2.33137836983128159142152636132, −1.98851508988812689578286299673, −1.86003840601409194800642001748, −1.42673027344858036112227733189, −1.08720116971035349170994543447, −0.61079487544616993458609765486, −0.54774658151306755564396219249, −0.31418994809951318271021889752,
0.31418994809951318271021889752, 0.54774658151306755564396219249, 0.61079487544616993458609765486, 1.08720116971035349170994543447, 1.42673027344858036112227733189, 1.86003840601409194800642001748, 1.98851508988812689578286299673, 2.33137836983128159142152636132, 2.80787044476721731047360195841, 2.93715948922570929185706773372, 3.08766452296930958295682149124, 3.17490520488419122908248086056, 3.68053775398656905460239990908, 3.90391109438156301003332171714, 4.08124675641141145590914122318, 4.27494296219800578860774614628, 4.77679496844087350546108824602, 4.95571247128615953641857023079, 5.23585697986123428123098977581, 5.31105978721251068369414692196, 5.74046864824556768238284674250, 5.86004992147183374143238608691, 5.96396305695149126701933393067, 6.21388352156540350942989652364, 6.68452944058160745639535847591
