y 2 + ( x 3 + x + 1 ) y = 3 x 3 + 4 x 2 + x y^2 + (x^3 + x + 1)y = 3x^3 + 4x^2 + x y 2 + ( x 3 + x + 1 ) y = 3 x 3 + 4 x 2 + x
(homogenize , simplify )
y 2 + ( x 3 + x z 2 + z 3 ) y = 3 x 3 z 3 + 4 x 2 z 4 + x z 5 y^2 + (x^3 + xz^2 + z^3)y = 3x^3z^3 + 4x^2z^4 + xz^5 y 2 + ( x 3 + x z 2 + z 3 ) y = 3 x 3 z 3 + 4 x 2 z 4 + x z 5
(dehomogenize , simplify )
y 2 = x 6 + 2 x 4 + 14 x 3 + 17 x 2 + 6 x + 1 y^2 = x^6 + 2x^4 + 14x^3 + 17x^2 + 6x + 1 y 2 = x 6 + 2 x 4 + 1 4 x 3 + 1 7 x 2 + 6 x + 1
(homogenize , minimize )
sage: R.<x> = PolynomialRing(QQ); C = HyperellipticCurve(R([0, 1, 4, 3]), R([1, 1, 0, 1]));
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); C := HyperellipticCurve(R![0, 1, 4, 3], R![1, 1, 0, 1]);
sage: X = HyperellipticCurve(R([1, 6, 17, 14, 2, 0, 1]))
magma: X,pi:= SimplifiedModel(C);
Conductor : N N N = = = 21316 21316 2 1 3 1 6 = = = 2 2 ⋅ 7 3 2 2^{2} \cdot 73^{2} 2 2 ⋅ 7 3 2
magma: Conductor(LSeries(C)); Factorization($1);
Discriminant : Δ \Delta Δ = = = − 42632 -42632 − 4 2 6 3 2 = = = − 2 3 ⋅ 7 3 2 - 2^{3} \cdot 73^{2} − 2 3 ⋅ 7 3 2
magma: Discriminant(C); Factorization(Integers()!$1);
I 2 I_2 I 2 = = = 196 196 1 9 6 = = =
2 2 ⋅ 7 2 2^{2} \cdot 7^{2} 2 2 ⋅ 7 2
I 4 I_4 I 4 = = = 12337 12337 1 2 3 3 7 = = =
1 3 2 ⋅ 73 13^{2} \cdot 73 1 3 2 ⋅ 7 3
I 6 I_6 I 6 = = = 588745 588745 5 8 8 7 4 5 = = =
5 ⋅ 73 ⋅ 1613 5 \cdot 73 \cdot 1613 5 ⋅ 7 3 ⋅ 1 6 1 3
I 10 I_{10} I 1 0 = = = − 5456896 -5456896 − 5 4 5 6 8 9 6 = = =
− 2 10 ⋅ 7 3 2 - 2^{10} \cdot 73^{2} − 2 1 0 ⋅ 7 3 2
J 2 J_2 J 2 = = = 49 49 4 9 = = =
7 2 7^{2} 7 2
J 4 J_4 J 4 = = = − 414 -414 − 4 1 4 = = =
− 2 ⋅ 3 2 ⋅ 23 - 2 \cdot 3^{2} \cdot 23 − 2 ⋅ 3 2 ⋅ 2 3
J 6 J_6 J 6 = = = − 908 -908 − 9 0 8 = = =
− 2 2 ⋅ 227 - 2^{2} \cdot 227 − 2 2 ⋅ 2 2 7
J 8 J_8 J 8 = = = − 53972 -53972 − 5 3 9 7 2 = = =
− 2 2 ⋅ 103 ⋅ 131 - 2^{2} \cdot 103 \cdot 131 − 2 2 ⋅ 1 0 3 ⋅ 1 3 1
J 10 J_{10} J 1 0 = = = − 42632 -42632 − 4 2 6 3 2 = = =
− 2 3 ⋅ 7 3 2 - 2^{3} \cdot 73^{2} − 2 3 ⋅ 7 3 2
g 1 g_1 g 1 = = = − 282475249 / 42632 -282475249/42632 − 2 8 2 4 7 5 2 4 9 / 4 2 6 3 2
g 2 g_2 g 2 = = = 24353343 / 21316 24353343/21316 2 4 3 5 3 3 4 3 / 2 1 3 1 6
g 3 g_3 g 3 = = = 545027 / 10658 545027/10658 5 4 5 0 2 7 / 1 0 6 5 8
sage: C.igusa_clebsch_invariants(); [factor(a) for a in _]
magma: IgusaClebschInvariants(C); IgusaInvariants(C); G2Invariants(C);
A u t ( X ) \mathrm{Aut}(X) A u t ( X ) ≃ \simeq ≃
C 6 C_6 C 6
magma: AutomorphismGroup(C); IdentifyGroup($1);
A u t ( X Q ‾ ) \mathrm{Aut}(X_{\overline{\Q}}) A u t ( X Q ) ≃ \simeq ≃
D 6 D_6 D 6
magma: AutomorphismGroup(ChangeRing(C,AlgebraicClosure(Rationals()))); IdentifyGroup($1);
Known points
( 1 : 0 : 0 ) (1 : 0 : 0) ( 1 : 0 : 0 )
( 1 : − 1 : 0 ) (1 : -1 : 0) ( 1 : − 1 : 0 )
( 0 : 0 : 1 ) (0 : 0 : 1) ( 0 : 0 : 1 )
( − 1 : 0 : 1 ) (-1 : 0 : 1) ( − 1 : 0 : 1 )
( 0 : − 1 : 1 ) (0 : -1 : 1) ( 0 : − 1 : 1 )
( − 1 : 1 : 1 ) (-1 : 1 : 1) ( − 1 : 1 : 1 )
( − 1 : 0 : 3 ) (-1 : 0 : 3) ( − 1 : 0 : 3 )
( 2 : 3 : 1 ) (2 : 3 : 1) ( 2 : 3 : 1 )
( − 3 : 7 : 2 ) (-3 : 7 : 2) ( − 3 : 7 : 2 )
( 2 : − 14 : 1 ) (2 : -14 : 1) ( 2 : − 1 4 : 1 )
( − 1 : − 17 : 3 ) (-1 : -17 : 3) ( − 1 : − 1 7 : 3 )
( − 3 : 24 : 2 ) (-3 : 24 : 2) ( − 3 : 2 4 : 2 )
Known points
( 1 : 0 : 0 ) (1 : 0 : 0) ( 1 : 0 : 0 )
( 1 : − 1 : 0 ) (1 : -1 : 0) ( 1 : − 1 : 0 )
( 0 : 0 : 1 ) (0 : 0 : 1) ( 0 : 0 : 1 )
( − 1 : 0 : 1 ) (-1 : 0 : 1) ( − 1 : 0 : 1 )
( 0 : − 1 : 1 ) (0 : -1 : 1) ( 0 : − 1 : 1 )
( − 1 : 1 : 1 ) (-1 : 1 : 1) ( − 1 : 1 : 1 )
( − 1 : 0 : 3 ) (-1 : 0 : 3) ( − 1 : 0 : 3 )
( 2 : 3 : 1 ) (2 : 3 : 1) ( 2 : 3 : 1 )
( − 3 : 7 : 2 ) (-3 : 7 : 2) ( − 3 : 7 : 2 )
( 2 : − 14 : 1 ) (2 : -14 : 1) ( 2 : − 1 4 : 1 )
( − 1 : − 17 : 3 ) (-1 : -17 : 3) ( − 1 : − 1 7 : 3 )
( − 3 : 24 : 2 ) (-3 : 24 : 2) ( − 3 : 2 4 : 2 )
Known points
( 1 : − 1 : 0 ) (1 : -1 : 0) ( 1 : − 1 : 0 )
( 1 : 1 : 0 ) (1 : 1 : 0) ( 1 : 1 : 0 )
( 0 : − 1 : 1 ) (0 : -1 : 1) ( 0 : − 1 : 1 )
( 0 : 1 : 1 ) (0 : 1 : 1) ( 0 : 1 : 1 )
( − 1 : − 1 : 1 ) (-1 : -1 : 1) ( − 1 : − 1 : 1 )
( − 1 : 1 : 1 ) (-1 : 1 : 1) ( − 1 : 1 : 1 )
( 2 : − 17 : 1 ) (2 : -17 : 1) ( 2 : − 1 7 : 1 )
( 2 : 17 : 1 ) (2 : 17 : 1) ( 2 : 1 7 : 1 )
( − 1 : − 17 : 3 ) (-1 : -17 : 3) ( − 1 : − 1 7 : 3 )
( − 1 : 17 : 3 ) (-1 : 17 : 3) ( − 1 : 1 7 : 3 )
( − 3 : − 17 : 2 ) (-3 : -17 : 2) ( − 3 : − 1 7 : 2 )
( − 3 : 17 : 2 ) (-3 : 17 : 2) ( − 3 : 1 7 : 2 )
magma: [C![-3,7,2],C![-3,24,2],C![-1,-17,3],C![-1,0,1],C![-1,0,3],C![-1,1,1],C![0,-1,1],C![0,0,1],C![1,-1,0],C![1,0,0],C![2,-14,1],C![2,3,1]]; // minimal model
magma: [C![-3,-17,2],C![-3,17,2],C![-1,-17,3],C![-1,-1,1],C![-1,17,3],C![-1,1,1],C![0,-1,1],C![0,1,1],C![1,-1,0],C![1,1,0],C![2,-17,1],C![2,17,1]]; // simplified model
Number of rational Weierstrass points : 0 0 0
magma: #Roots(HyperellipticPolynomials(SimplifiedModel(C)));
This curve is locally solvable everywhere.
magma: f,h:=HyperellipticPolynomials(C); g:=4*f+h^2; HasPointsEverywhereLocally(g,2) and (#Roots(ChangeRing(g,RealField())) gt 0 or LeadingCoefficient(g) gt 0);
Group structure : Z ⊕ Z \Z \oplus \Z Z ⊕ Z
magma: MordellWeilGroupGenus2(Jacobian(C));
Generator
D 0 D_0 D 0
Height
Order
( 0 : − 1 : 1 ) − ( 1 : − 1 : 0 ) (0 : -1 : 1) - (1 : -1 : 0) ( 0 : − 1 : 1 ) − ( 1 : − 1 : 0 )
z x z x z x
= = =
0 , 0, 0 ,
y y y
= = =
− z 3 -z^3 − z 3
0.128091 0.128091 0 . 1 2 8 0 9 1
∞ \infty ∞
( − 1 : 1 : 1 ) + ( 0 : − 1 : 1 ) − ( 1 : − 1 : 0 ) − ( 1 : 0 : 0 ) (-1 : 1 : 1) + (0 : -1 : 1) - (1 : -1 : 0) - (1 : 0 : 0) ( − 1 : 1 : 1 ) + ( 0 : − 1 : 1 ) − ( 1 : − 1 : 0 ) − ( 1 : 0 : 0 )
x ( x + z ) x (x + z) x ( x + z )
= = =
0 , 0, 0 ,
y y y
= = =
− 2 x z 2 − z 3 -2xz^2 - z^3 − 2 x z 2 − z 3
0.128091 0.128091 0 . 1 2 8 0 9 1
∞ \infty ∞
Generator
D 0 D_0 D 0
Height
Order
( 0 : − 1 : 1 ) − ( 1 : − 1 : 0 ) (0 : -1 : 1) - (1 : -1 : 0) ( 0 : − 1 : 1 ) − ( 1 : − 1 : 0 )
z x z x z x
= = =
0 , 0, 0 ,
y y y
= = =
− z 3 -z^3 − z 3
0.128091 0.128091 0 . 1 2 8 0 9 1
∞ \infty ∞
( − 1 : 1 : 1 ) + ( 0 : − 1 : 1 ) − ( 1 : − 1 : 0 ) − ( 1 : 0 : 0 ) (-1 : 1 : 1) + (0 : -1 : 1) - (1 : -1 : 0) - (1 : 0 : 0) ( − 1 : 1 : 1 ) + ( 0 : − 1 : 1 ) − ( 1 : − 1 : 0 ) − ( 1 : 0 : 0 )
x ( x + z ) x (x + z) x ( x + z )
= = =
0 , 0, 0 ,
y y y
= = =
− 2 x z 2 − z 3 -2xz^2 - z^3 − 2 x z 2 − z 3
0.128091 0.128091 0 . 1 2 8 0 9 1
∞ \infty ∞
Generator
D 0 D_0 D 0
Height
Order
( 0 : − 1 : 1 ) − ( 1 : − 1 : 0 ) (0 : -1 : 1) - (1 : -1 : 0) ( 0 : − 1 : 1 ) − ( 1 : − 1 : 0 )
z x z x z x
= = =
0 , 0, 0 ,
y y y
= = =
x 3 + x z 2 − z 3 x^3 + xz^2 - z^3 x 3 + x z 2 − z 3
0.128091 0.128091 0 . 1 2 8 0 9 1
∞ \infty ∞
( − 1 : 1 : 1 ) + ( 0 : − 1 : 1 ) − ( 1 : − 1 : 0 ) − ( 1 : 1 : 0 ) (-1 : 1 : 1) + (0 : -1 : 1) - (1 : -1 : 0) - (1 : 1 : 0) ( − 1 : 1 : 1 ) + ( 0 : − 1 : 1 ) − ( 1 : − 1 : 0 ) − ( 1 : 1 : 0 )
x ( x + z ) x (x + z) x ( x + z )
= = =
0 , 0, 0 ,
y y y
= = =
x 3 − 3 x z 2 − z 3 x^3 - 3xz^2 - z^3 x 3 − 3 x z 2 − z 3
0.128091 0.128091 0 . 1 2 8 0 9 1
∞ \infty ∞
2-torsion field : 6.0.2728448.1
For primes ℓ ≥ 5 \ell \ge 5 ℓ ≥ 5 the Galois representation data has not been computed for this curve since it is not generic.
For primes ℓ ≤ 3 \ell \le 3 ℓ ≤ 3 , the image of the mod-ℓ \ell ℓ Galois representation is listed in the table below, whenever it is not all of GSp ( 4 , F ℓ ) \GSp(4,\F_\ell) GSp ( 4 , F ℓ ) .
S T \mathrm{ST} S T ≃ \simeq ≃ E 6 E_6 E 6
S T 0 \mathrm{ST}^0 S T 0 ≃ \simeq ≃ S U ( 2 ) \mathrm{SU}(2) S U ( 2 )
Splits over the number field Q ( b ) ≃ \Q (b) \simeq Q ( b ) ≃ 6.6.2073071593.1 with defining polynomial: x 6 − x 5 − 30 x 4 + 31 x 3 + 206 x 2 − 150 x − 81 x^{6} - x^{5} - 30 x^{4} + 31 x^{3} + 206 x^{2} - 150 x - 81 x 6 − x 5 − 3 0 x 4 + 3 1 x 3 + 2 0 6 x 2 − 1 5 0 x − 8 1
Decomposes up to isogeny as the square of the elliptic curve isogeny class: y 2 = x 3 − g 4 / 48 x − g 6 / 864 y^2 = x^3 - g_4 / 48 x - g_6 / 864 y 2 = x 3 − g 4 / 4 8 x − g 6 / 8 6 4 with g 4 = − 129991 324 b 5 − 29090 27 b 4 + 374003 54 b 3 + 4820093 324 b 2 − 1726571 108 b − 30747 4 g_4 = -\frac{129991}{324} b^{5} - \frac{29090}{27} b^{4} + \frac{374003}{54} b^{3} + \frac{4820093}{324} b^{2} - \frac{1726571}{108} b - \frac{30747}{4} g 4 = − 3 2 4 1 2 9 9 9 1 b 5 − 2 7 2 9 0 9 0 b 4 + 5 4 3 7 4 0 0 3 b 3 + 3 2 4 4 8 2 0 0 9 3 b 2 − 1 0 8 1 7 2 6 5 7 1 b − 4 3 0 7 4 7 g 6 = − 563289097 2916 b 5 − 150339193 243 b 4 + 187103891 54 b 3 + 23783771351 2916 b 2 − 8144724245 972 b − 144295669 36 g_6 = -\frac{563289097}{2916} b^{5} - \frac{150339193}{243} b^{4} + \frac{187103891}{54} b^{3} + \frac{23783771351}{2916} b^{2} - \frac{8144724245}{972} b - \frac{144295669}{36} g 6 = − 2 9 1 6 5 6 3 2 8 9 0 9 7 b 5 − 2 4 3 1 5 0 3 3 9 1 9 3 b 4 + 5 4 1 8 7 1 0 3 8 9 1 b 3 + 2 9 1 6 2 3 7 8 3 7 7 1 3 5 1 b 2 − 9 7 2 8 1 4 4 7 2 4 2 4 5 b − 3 6 1 4 4 2 9 5 6 6 9 Conductor norm: 64
magma: HeuristicDecompositionFactors(C);
Of GL 2 \GL_2 GL 2 -type over Q \Q Q
Endomorphism ring over Q \Q Q :
End ( J ) \End (J_{}) E n d ( J ) ≃ \simeq ≃ Z [ 1 + − 3 2 ] \Z [\frac{1 + \sqrt{-3}}{2}] Z [ 2 1 + − 3 ] End ( J ) ⊗ Q \End (J_{}) \otimes \Q E n d ( J ) ⊗ Q ≃ \simeq ≃ Q ( − 3 ) \Q(\sqrt{-3}) Q ( − 3 ) End ( J ) ⊗ R \End (J_{}) \otimes \R E n d ( J ) ⊗ R ≃ \simeq ≃ C \C C
Smallest field over which all endomorphisms are defined:
Galois number field K = Q ( a ) ≃ K = \Q (a) \simeq K = Q ( a ) ≃ 6.6.2073071593.1 with defining polynomial x 6 − x 5 − 30 x 4 + 31 x 3 + 206 x 2 − 150 x − 81 x^{6} - x^{5} - 30 x^{4} + 31 x^{3} + 206 x^{2} - 150 x - 81 x 6 − x 5 − 3 0 x 4 + 3 1 x 3 + 2 0 6 x 2 − 1 5 0 x − 8 1
Not of GL 2 \GL_2 GL 2 -type over Q ‾ \overline{\Q} Q
Endomorphism ring over Q ‾ \overline{\Q} Q :
End ( J Q ‾ ) \End (J_{\overline{\Q}}) E n d ( J Q ) ≃ \simeq ≃ an Eichler order of index 3 3 3 in a maximal order of End ( J Q ‾ ) ⊗ Q \End (J_{\overline{\Q}}) \otimes \Q E n d ( J Q ) ⊗ Q End ( J Q ‾ ) ⊗ Q \End (J_{\overline{\Q}}) \otimes \Q E n d ( J Q ) ⊗ Q ≃ \simeq ≃ M 2 ( \mathrm{M}_2( M 2 ( Q \Q Q ) ) ) End ( J Q ‾ ) ⊗ R \End (J_{\overline{\Q}}) \otimes \R E n d ( J Q ) ⊗ R ≃ \simeq ≃ M 2 ( R ) \mathrm{M}_2 (\R) M 2 ( R )
Over subfield F ≃ F \simeq F ≃ Q ( 73 ) \Q(\sqrt{73}) Q ( 7 3 ) with generator − 1 27 a 5 − 4 27 a 4 + 19 27 a 3 + 73 27 a 2 − 22 9 a − 5 -\frac{1}{27} a^{5} - \frac{4}{27} a^{4} + \frac{19}{27} a^{3} + \frac{73}{27} a^{2} - \frac{22}{9} a - 5 − 2 7 1 a 5 − 2 7 4 a 4 + 2 7 1 9 a 3 + 2 7 7 3 a 2 − 9 2 2 a − 5 with minimal polynomial x 2 − x − 18 x^{2} - x - 18 x 2 − x − 1 8 :
End ( J F ) \End (J_{F}) E n d ( J F ) ≃ \simeq ≃ Z [ 1 + − 3 2 ] \Z [\frac{1 + \sqrt{-3}}{2}] Z [ 2 1 + − 3 ] End ( J F ) ⊗ Q \End (J_{F}) \otimes \Q E n d ( J F ) ⊗ Q ≃ \simeq ≃ Q ( − 3 ) \Q(\sqrt{-3}) Q ( − 3 ) End ( J F ) ⊗ R \End (J_{F}) \otimes \R E n d ( J F ) ⊗ R ≃ \simeq ≃ C \C C
Sato Tate group:
E 3 E_3 E 3 Of
GL 2 \GL_2 GL 2 -type, simple
Over subfield F ≃ F \simeq F ≃ 3.3.5329.1 with generator 1 36 a 5 + 1 9 a 4 − 5 18 a 3 − 55 36 a 2 − 35 12 a + 1 4 \frac{1}{36} a^{5} + \frac{1}{9} a^{4} - \frac{5}{18} a^{3} - \frac{55}{36} a^{2} - \frac{35}{12} a + \frac{1}{4} 3 6 1 a 5 + 9 1 a 4 − 1 8 5 a 3 − 3 6 5 5 a 2 − 1 2 3 5 a + 4 1 with minimal polynomial x 3 − x 2 − 24 x + 27 x^{3} - x^{2} - 24 x + 27 x 3 − x 2 − 2 4 x + 2 7 :
End ( J F ) \End (J_{F}) E n d ( J F ) ≃ \simeq ≃ Z [ 1 + − 3 2 ] \Z [\frac{1 + \sqrt{-3}}{2}] Z [ 2 1 + − 3 ] End ( J F ) ⊗ Q \End (J_{F}) \otimes \Q E n d ( J F ) ⊗ Q ≃ \simeq ≃ Q ( − 3 ) \Q(\sqrt{-3}) Q ( − 3 ) End ( J F ) ⊗ R \End (J_{F}) \otimes \R E n d ( J F ) ⊗ R ≃ \simeq ≃ C \C C
Sato Tate group:
E 2 E_2 E 2 Of
GL 2 \GL_2 GL 2 -type, simple
magma: //Please install CHIMP (https://github.com/edgarcosta/CHIMP) if you want to run this code
magma: HeuristicIsGL2(C); HeuristicEndomorphismDescription(C); HeuristicEndomorphismFieldOfDefinition(C);
magma: HeuristicIsGL2(C : Geometric := true); HeuristicEndomorphismDescription(C : Geometric := true); HeuristicEndomorphismLatticeDescription(C);