LMFDB - Artin representation 2.1053.12t18.a.a

Basic invariants

Dimension:	$2$
Group:	$S_3 \times C_6$
Conductor:	$1053$$\medspace = 3^{4} \cdot 13 $
Artin stem field:	Galois closure of 18.0.2981391508243921935123.1
Galois orbit size:	$2$
Smallest permutation container:	$C_6\times S_3$
Parity:	odd
Determinant:	1.117.6t1.h.b
Projective image:	$S_3$
Projective stem field:	Galois closure of 3.1.351.1

Defining polynomial

$f(x)$

$=$

$ x^{18} + 3 x^{16} - 3 x^{15} + 18 x^{14} + 24 x^{13} + 39 x^{12} + 63 x^{11} + 66 x^{10} + 92 x^{9} + \cdots + 1 $

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 23 }$ to precision 7.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 23 }$: $ x^{6} + x^{4} + 9x^{3} + 9x^{2} + x + 5 $ x^6 + x^4 + 9*x^3 + 9*x^2 + x + 5

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ 4 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{2} + 12 a + 21 + \left(21 a^{5} + 14 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 23 + \left(17 a^{5} + 13 a^{4} + 4 a^{3} + 16 a^{2} + 21 a + 19\right)\cdot 23^{2} + \left(12 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + 20 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 23^{3} + \left(8 a^{5} + 9 a^{4} + 15 a^{3} + 14 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 23^{4} + \left(14 a^{5} + 20 a^{4} + 8 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 23^{5} + \left(13 a^{5} + a^{4} + 15 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})$ 4a^5 + 9a^4 + 11a^2 + 12a + 21 + (21a^5 + 14a^4 + 11a^3 + 7a^2 + 3a + 11)23 + (17a^5 + 13a^4 + 4a^3 + 16a^2 + 21a + 19)23^2 + (12a^5 + 3a^4 + 12a^3 + 20a^2 + 7a + 4)23^3 + (8a^5 + 9a^4 + 15a^3 + 14a^2 + 9a + 18)23^4 + (14a^5 + 20a^4 + 8a^3 + 11a^2 + 9a + 6)23^5 + (13a^5 + a^4 + 15a^3 + 6a^2 + 4a + 11)*23^6+O(23^7)
$r_{ 2 }$	$=$	$ 15 a^{5} + 6 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 19 + \left(3 a^{5} + 2 a^{4} + 21 a^{3} + 13 a^{2} + 15\right)\cdot 23 + \left(5 a^{5} + 19 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 23^{2} + \left(22 a^{5} + 11 a^{4} + 5 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 23^{3} + \left(18 a^{5} + 7 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a + 20\right)\cdot 23^{4} + \left(4 a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 23^{5} + \left(19 a^{5} + 9 a^{4} + 19 a + 15\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})$ 15a^5 + 6a^4 + 4a^3 + 15a^2 + 15a + 19 + (3a^5 + 2a^4 + 21a^3 + 13a^2 + 15)23 + (5a^5 + 19a^4 + 12a^3 + a^2 + 9a + 7)23^2 + (22a^5 + 11a^4 + 5a^3 + 12a^2 + 12a + 13)23^3 + (18a^5 + 7a^4 + 2a^3 + 9a + 20)23^4 + (4a^5 + 5a^4 + 9a^3 + 2a^2 + 4a + 2)23^5 + (19a^5 + 9a^4 + 19a + 15)23^6+O(23^7)
$r_{ 3 }$	$=$	$ 7 a^{5} + 20 a^{4} + 7 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 11 + \left(18 a^{5} + 3 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a + 6\right)\cdot 23 + \left(6 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{2} + 13 a + 19\right)\cdot 23^{2} + \left(22 a^{5} + 12 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + 14\right)\cdot 23^{3} + \left(2 a^{5} + 22 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 23^{4} + \left(12 a^{5} + 20 a^{4} + 22 a^{3} + 13 a^{2} + 17\right)\cdot 23^{5} + \left(5 a^{5} + 4 a^{4} + 14 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})$ 7a^5 + 20a^4 + 7a^3 + 7a^2 + 12a + 11 + (18a^5 + 3a^4 + 10a^3 + 4a + 6)23 + (6a^5 + 9a^4 + 5a^2 + 13a + 19)23^2 + (22a^5 + 12a^4 + 3a^3 + 16a^2 + 14)23^3 + (2a^5 + 22a^4 + 5a^3 + 3a^2 + 12a + 7)23^4 + (12a^5 + 20a^4 + 22a^3 + 13a^2 + 17)23^5 + (5a^5 + 4a^4 + 14a^2 + 6a + 4)23^6+O(23^7)
$r_{ 4 }$	$=$	$ 5 a^{5} + 15 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 6 + \left(7 a^{5} + 12 a^{4} + 15 a^{3} + 21 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 23 + \left(13 a^{5} + 7 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + a + 3\right)\cdot 23^{2} + \left(a^{5} + 5 a^{4} + 18 a^{3} + 8 a^{2} + 18 a + 22\right)\cdot 23^{3} + \left(11 a^{5} + 5 a^{4} + 20 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 23^{4} + \left(5 a^{5} + 16 a^{4} + 13 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 19\right)\cdot 23^{5} + \left(5 a^{5} + 2 a^{4} + 17 a^{3} + 7 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})$ 5a^5 + 15a^4 + 8a^3 + 12a^2 + 5a + 6 + (7a^5 + 12a^4 + 15a^3 + 21a^2 + 6a + 14)23 + (13a^5 + 7a^4 + 8a^3 + 4a^2 + a + 3)23^2 + (a^5 + 5a^4 + 18a^3 + 8a^2 + 18a + 22)23^3 + (11a^5 + 5a^4 + 20a^2 + 5a + 17)23^4 + (5a^5 + 16a^4 + 13a^3 + 11a^2 + 4a + 19)23^5 + (5a^5 + 2a^4 + 17a^3 + 7a^2 + 19a + 12)23^6+O(23^7)
$r_{ 5 }$	$=$	$ 21 a^{5} + 16 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + 20 a + 19 + \left(22 a^{5} + 11 a^{3} + a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 23 + \left(21 a^{5} + 5 a^{4} + 8 a^{3} + 15 a^{2} + 22 a + 6\right)\cdot 23^{2} + \left(11 a^{5} + 9 a^{4} + 20 a^{3} + a^{2} + 21 a + 13\right)\cdot 23^{3} + \left(17 a^{5} + 10 a^{4} + 10 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 23^{4} + \left(2 a^{5} + 13 a^{4} + 8 a + 3\right)\cdot 23^{5} + \left(8 a^{5} + 20 a^{4} + 22 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})$ 21a^5 + 16a^4 + 8a^3 + 3a^2 + 20a + 19 + (22a^5 + 11a^3 + a^2 + 4a + 10)23 + (21a^5 + 5a^4 + 8a^3 + 15a^2 + 22a + 6)23^2 + (11a^5 + 9a^4 + 20a^3 + a^2 + 21a + 13)23^3 + (17a^5 + 10a^4 + 10a^3 + 16a^2 + 17a + 11)23^4 + (2a^5 + 13a^4 + 8a + 3)23^5 + (8a^5 + 20a^4 + 22a^3 + 2a^2 + 12a + 11)23^6+O(23^7)
$r_{ 6 }$	$=$	$ 14 a^{5} + 22 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a + 19 + \left(17 a^{5} + 18 a^{4} + 19 a^{3} + 17 a^{2} + 13 a + 19\right)\cdot 23 + \left(14 a^{5} + a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 22\right)\cdot 23^{2} + \left(8 a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + 17 a^{2} + 20 a + 18\right)\cdot 23^{3} + \left(3 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 23^{4} + \left(3 a^{5} + 9 a^{4} + a^{3} + 22 a^{2} + 9 a + 19\right)\cdot 23^{5} + \left(4 a^{5} + 18 a^{4} + 13 a^{3} + 8 a^{2} + 22 a + 21\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})$ 14a^5 + 22a^4 + 15a^3 + 6a + 19 + (17a^5 + 18a^4 + 19a^3 + 17a^2 + 13a + 19)23 + (14a^5 + a^4 + 9a^3 + a^2 + 22)23^2 + (8a^5 + 14a^4 + 15a^3 + 17a^2 + 20a + 18)23^3 + (3a^5 + 8a^4 + 6a^3 + 10a^2 + 7a + 9)23^4 + (3a^5 + 9a^4 + a^3 + 22a^2 + 9a + 19)23^5 + (4a^5 + 18a^4 + 13a^3 + 8a^2 + 22a + 21)23^6+O(23^7)
$r_{ 7 }$	$=$	$ 7 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 22 a + 22 + \left(19 a^{5} + 2 a^{4} + 15 a^{3} + 22 a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 23 + \left(16 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 23^{2} + \left(20 a^{5} + 22 a^{4} + 16 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 23^{3} + \left(3 a^{5} + 14 a^{4} + 16 a^{3} + 16 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 23^{4} + \left(19 a^{5} + 13 a^{4} + a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 23^{5} + \left(6 a^{5} + 17 a^{4} + 16 a^{3} + 22 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})$ 7a^5 + 9a^4 + 11a^3 + 6a^2 + 22a + 22 + (19a^5 + 2a^4 + 15a^3 + 22a^2 + 22a + 15)23 + (16a^5 + 7a^4 + 9a^3 + 5a^2 + 16a + 9)23^2 + (20a^5 + 22a^4 + 16a^3 + 5a^2 + 13a + 10)23^3 + (3a^5 + 14a^4 + 16a^3 + 16a^2 + 9a + 7)23^4 + (19a^5 + 13a^4 + a^2 + 8a + 16)23^5 + (6a^5 + 17a^4 + 16a^3 + 22a^2 + 10a + 15)*23^6+O(23^7)
$r_{ 8 }$	$=$	$ 4 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 9 + \left(21 a^{5} + 17 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + 18\right)\cdot 23 + \left(12 a^{5} + 9 a^{4} + 20 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 23^{2} + \left(16 a^{5} + 7 a^{4} + 22 a^{3} + 2 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 23^{3} + \left(16 a^{5} + 2 a^{4} + 13 a^{3} + 20 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 23^{4} + \left(20 a^{5} + 15 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 23^{5} + \left(14 a^{5} + 15 a^{4} + 15 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})$ 4a^5 + 10a^4 + 4a^3 + 2a^2 + 5a + 9 + (21a^5 + 17a^4 + 11a^3 + 12a^2 + 18)23 + (12a^5 + 9a^4 + 20a^2 + 12a + 17)23^2 + (16a^5 + 7a^4 + 22a^3 + 2a^2 + 15a + 17)23^3 + (16a^5 + 2a^4 + 13a^3 + 20a^2 + 12a + 3)23^4 + (20a^5 + 15a^3 + 14a^2 + 12a + 4)23^5 + (14a^5 + 15a^4 + 15a^3 + 16a^2 + 5a + 1)23^6+O(23^7)
$r_{ 9 }$	$=$	$ 22 a^{5} + 7 a^{4} + 21 a^{3} + 17 a^{2} + 17 a + 13 + \left(13 a^{5} + 21 a^{4} + 22 a^{3} + 20 a^{2} + 2 a\right)\cdot 23 + \left(9 a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 23^{2} + \left(18 a^{5} + 11 a^{4} + 7 a^{3} + 21 a^{2} + 20 a + 5\right)\cdot 23^{3} + \left(17 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 23^{4} + \left(10 a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + 17 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 23^{5} + \left(19 a^{5} + 17 a^{4} + a^{3} + 12 a^{2} + 20 a + 9\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})$ 22a^5 + 7a^4 + 21a^3 + 17a^2 + 17a + 13 + (13a^5 + 21a^4 + 22a^3 + 20a^2 + 2a)23 + (9a^5 + 10a^4 + 14a^3 + 11a^2 + 3a + 5)23^2 + (18a^5 + 11a^4 + 7a^3 + 21a^2 + 20a + 5)23^3 + (17a^5 + 7a^4 + 12a^2 + 7a + 2)23^4 + (10a^5 + 2a^4 + 2a^3 + 17a^2 + 2a + 3)23^5 + (19a^5 + 17a^4 + a^3 + 12a^2 + 20a + 9)*23^6+O(23^7)
$r_{ 10 }$	$=$	$ a^{5} + 13 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 17 + \left(19 a^{5} + 14 a^{4} + 17 a^{3} + 17 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 23 + \left(a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 21\right)\cdot 23^{2} + \left(19 a^{5} + 20 a^{4} + 3 a^{3} + 18 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 23^{3} + \left(3 a^{5} + 20 a^{4} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + 21 a + 5\right)\cdot 23^{4} + \left(21 a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 13 a^{2} + 16 a + 21\right)\cdot 23^{5} + \left(11 a^{5} + 16 a^{4} + 17 a^{3} + 8 a^{2} + a + 5\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})$ a^5 + 13a^4 + 12a^3 + 8a^2 + 12a + 17 + (19a^5 + 14a^4 + 17a^3 + 17a^2 + 4a + 13)23 + (a^5 + 3a^4 + 15a^3 + 5a^2 + 12a + 21)23^2 + (19a^5 + 20a^4 + 3a^3 + 18a^2 + 10a + 9)23^3 + (3a^5 + 20a^4 + 5a^3 + 6a^2 + 21a + 5)23^4 + (21a^5 + 18a^4 + 9a^3 + 13a^2 + 16a + 21)23^5 + (11a^5 + 16a^4 + 17a^3 + 8a^2 + a + 5)23^6+O(23^7)
$r_{ 11 }$	$=$	$ 11 a^{5} + 7 a^{4} + a^{3} + 21 a^{2} + 18 a + 13 + \left(15 a^{5} + 14 a^{4} + 19 a^{3} + 19 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 23 + \left(12 a^{5} + 12 a^{4} + 13 a^{3} + 17 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 23^{2} + \left(22 a^{5} + 13 a^{3} + 21 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 23^{3} + \left(3 a^{5} + 17 a^{4} + 19 a^{3} + 7 a^{2} + 20 a + 5\right)\cdot 23^{4} + \left(11 a^{5} + 21 a^{4} + 20 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 23^{5} + \left(10 a^{5} + 2 a^{4} + 21 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})$ 11a^5 + 7a^4 + a^3 + 21a^2 + 18a + 13 + (15a^5 + 14a^4 + 19a^3 + 19a^2 + 3a + 1)23 + (12a^5 + 12a^4 + 13a^3 + 17a^2 + 17a + 7)23^2 + (22a^5 + 13a^3 + 21a^2 + 10a + 17)23^3 + (3a^5 + 17a^4 + 19a^3 + 7a^2 + 20a + 5)23^4 + (11a^5 + 21a^4 + 20a^3 + 14a^2 + 14a + 3)23^5 + (10a^5 + 2a^4 + 21a^3 + 2a^2 + 11a + 1)*23^6+O(23^7)
$r_{ 12 }$	$=$	$ 17 a^{5} + 7 a^{4} + 14 a^{3} + 7 a + 11 + \left(12 a^{5} + 22 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 20 a + 6\right)\cdot 23 + \left(19 a^{5} + 4 a^{4} + 21 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 23^{2} + \left(6 a^{5} + 12 a^{4} + 21 a^{3} + 19 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 23^{3} + \left(a^{5} + 5 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 23^{4} + \left(16 a^{5} + 7 a^{4} + 20 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 23^{5} + \left(19 a^{5} + 11 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 15 a + 21\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})$ 17a^5 + 7a^4 + 14a^3 + 7a + 11 + (12a^5 + 22a^4 + 7a^3 + 3a^2 + 20a + 6)23 + (19a^5 + 4a^4 + 21a^3 + 5a^2 + 2a + 8)23^2 + (6a^5 + 12a^4 + 21a^3 + 19a^2 + 12a + 7)23^3 + (a^5 + 5a^3 + 16a^2 + 5a + 13)23^4 + (16a^5 + 7a^4 + 20a^3 + 3a^2 + 12a + 3)23^5 + (19a^5 + 11a^4 + 5a^3 + 11a^2 + 15a + 21)23^6+O(23^7)
$r_{ 13 }$	$=$	$ 22 a^{5} + 17 a^{4} + 22 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 10 + \left(a^{5} + 4 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + 5\right)\cdot 23 + \left(5 a^{5} + 9 a^{4} + 14 a^{3} + 20 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 23^{2} + \left(10 a^{5} + 18 a^{4} + 14 a^{3} + 22 a^{2} + 9 a + 22\right)\cdot 23^{3} + \left(12 a^{5} + 19 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 23^{4} + \left(5 a^{5} + 13 a^{4} + 19 a^{3} + 17 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 23^{5} + \left(19 a^{5} + 12 a^{4} + 3 a^{3} + 22\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})$ 22a^5 + 17a^4 + 22a^3 + 3a^2 + 9a + 10 + (a^5 + 4a^4 + 8a^3 + 7a^2 + 5)23 + (5a^5 + 9a^4 + 14a^3 + 20a^2 + 10a + 18)23^2 + (10a^5 + 18a^4 + 14a^3 + 22a^2 + 9a + 22)23^3 + (12a^5 + 19a^4 + 4a^3 + 8a^2 + 2a + 8)23^4 + (5a^5 + 13a^4 + 19a^3 + 17a^2 + 17a + 16)23^5 + (19a^5 + 12a^4 + 3a^3 + 22)*23^6+O(23^7)
$r_{ 14 }$	$=$	$ 4 a^{5} + 7 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 18 + \left(21 a^{5} + 3 a^{4} + 13 a^{3} + 20 a^{2} + 22 a + 11\right)\cdot 23 + \left(4 a^{5} + 17 a^{4} + 9 a^{3} + a + 20\right)\cdot 23^{2} + \left(7 a^{5} + 3 a^{4} + 18 a^{3} + 8 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 23^{3} + \left(10 a^{5} + 13 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 21\right)\cdot 23^{4} + \left(20 a^{5} + 17 a^{4} + 21 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 23^{5} + \left(11 a^{5} + 21 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 21 a + 6\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})$ 4a^5 + 7a^4 + 15a^3 + 6a^2 + 3a + 18 + (21a^5 + 3a^4 + 13a^3 + 20a^2 + 22a + 11)23 + (4a^5 + 17a^4 + 9a^3 + a + 20)23^2 + (7a^5 + 3a^4 + 18a^3 + 8a^2 + 18a + 14)23^3 + (10a^5 + 13a^4 + 6a^3 + 2a^2 + 21)23^4 + (20a^5 + 17a^4 + 21a^3 + 6a^2 + 6a + 15)23^5 + (11a^5 + 21a^4 + 6a^3 + 6a^2 + 21a + 6)23^6+O(23^7)
$r_{ 15 }$	$=$	$ 16 a^{4} + 12 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 19 + \left(2 a^{5} + 3 a^{4} + 19 a^{3} + 21 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 23 + \left(16 a^{5} + 10 a^{4} + 15 a^{3} + 19 a^{2} + 6\right)\cdot 23^{2} + \left(16 a^{5} + 7 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 23^{3} + \left(6 a^{5} + 5 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 23^{4} + \left(19 a^{5} + 13 a^{4} + 17 a^{3} + 15 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 23^{5} + \left(14 a^{5} + 16 a^{4} + a^{3} + 13 a^{2} + 20 a + 17\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})$ 16a^4 + 12a^3 + 12a^2 + 2a + 19 + (2a^5 + 3a^4 + 19a^3 + 21a^2 + 18a + 3)23 + (16a^5 + 10a^4 + 15a^3 + 19a^2 + 6)23^2 + (16a^5 + 7a^4 + 4a^3 + 4a^2 + 3a + 13)23^3 + (6a^5 + 5a^4 + 13a^3 + 7a^2 + 22a + 8)23^4 + (19a^5 + 13a^4 + 17a^3 + 15a^2 + 11a + 8)23^5 + (14a^5 + 16a^4 + a^3 + 13a^2 + 20a + 17)23^6+O(23^7)
$r_{ 16 }$	$=$	$ 8 a^{5} + 2 a^{4} + 18 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 4 + \left(13 a^{5} + 21 a^{4} + 7 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 23 + \left(14 a^{5} + 12 a^{4} + 12 a^{3} + 21 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 23^{2} + \left(17 a^{5} + 10 a^{4} + 17 a^{3} + 13 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 23^{3} + \left(6 a^{5} + 22 a^{4} + 9 a^{3} + 22 a^{2} + 21 a + 1\right)\cdot 23^{4} + \left(21 a^{5} + 11 a^{4} + 20 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 23^{5} + \left(6 a^{5} + 20 a^{4} + 20 a^{3} + 6 a^{2} + 21 a + 2\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})$ 8a^5 + 2a^4 + 18a^3 + 8a^2 + 13a + 4 + (13a^5 + 21a^4 + 7a^3 + 11a^2 + 10a + 12)23 + (14a^5 + 12a^4 + 12a^3 + 21a^2 + 15a + 13)23^2 + (17a^5 + 10a^4 + 17a^3 + 13a^2 + 13a + 14)23^3 + (6a^5 + 22a^4 + 9a^3 + 22a^2 + 21a + 1)23^4 + (21a^5 + 11a^4 + 20a^3 + 2a^2 + 14a + 5)23^5 + (6a^5 + 20a^4 + 20a^3 + 6a^2 + 21a + 2)*23^6+O(23^7)
$r_{ 17 }$	$=$	$ 14 a^{5} + 14 a^{3} + 22 a^{2} + 8 a + 14 + \left(7 a^{5} + 8 a^{4} + 15 a^{3} + a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 23 + \left(11 a^{5} + 5 a^{4} + 13 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 23^{2} + \left(11 a^{5} + 13 a^{4} + 12 a^{3} + 22 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 23^{3} + \left(a^{5} + 18 a^{4} + 15 a^{3} + 21 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 23^{4} + \left(9 a^{5} + 10 a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 22 a + 16\right)\cdot 23^{5} + \left(4 a^{5} + 22 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 21 a + 10\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})$ 14a^5 + 14a^3 + 22a^2 + 8a + 14 + (7a^5 + 8a^4 + 15a^3 + a^2 + 14a + 10)23 + (11a^5 + 5a^4 + 13a^2 + 6a + 9)23^2 + (11a^5 + 13a^4 + 12a^3 + 22a^2 + 13a + 15)23^3 + (a^5 + 18a^4 + 15a^3 + 21a^2 + 7a + 5)23^4 + (9a^5 + 10a^4 + a^3 + 7a^2 + 22a + 16)23^5 + (4a^5 + 22a^4 + 2a^3 + 18a^2 + 21a + 10)23^6+O(23^7)
$r_{ 18 }$	$=$	$ 8 a^{5} + a^{4} + 21 a^{3} + 8 a^{2} + 21 a + 8 + \left(14 a^{5} + 21 a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 23 + \left(a^{5} + 10 a^{3} + 19 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 23^{2} + \left(6 a^{5} + 2 a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 23^{3} + \left(13 a^{5} + a^{4} + 8 a^{3} + 19 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 23^{4} + \left(12 a^{5} + 13 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a\right)\cdot 23^{5} + \left(10 a^{5} + 20 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})$ 8a^5 + a^4 + 21a^3 + 8a^2 + 21a + 8 + (14a^5 + 21a^4 + 4a^3 + 11a^2 + 7a + 4)23 + (a^5 + 10a^3 + 19a^2 + 17a + 13)23^2 + (6a^5 + 2a^3 + 15a^2 + 8a + 16)23^3 + (13a^5 + a^4 + 8a^3 + 19a^2 + 12a + 13)23^4 + (12a^5 + 13a^4 + 3a^3 + 6a^2 + 7a)23^5 + (10a^5 + 20a^4 + a^3 + 2a^2 + 18a + 16)*23^6+O(23^7)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 18 }$

Cycle notation
$(3,18)(4,6)(5,17)(8,14)(9,12)(13,15)$
$(1,15,6,10,4,13)(2,5,14,11,8,17)(3,12,16,9,18,7)$
$(1,6)(2,14)(7,12)(10,13)(11,17)(16,18)$
$(1,2,16)(3,4,8)(5,9,15)(6,14,18)(7,10,11)(12,13,17)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 18 }$	Character value	Complex conjugation
$1$	$1$	$()$	$2$
$1$	$2$	$(1,10)(2,11)(3,9)(4,15)(5,8)(6,13)(7,16)(12,18)(14,17)$	$-2$
$3$	$2$	$(1,6)(2,14)(7,12)(10,13)(11,17)(16,18)$	$0$
$3$	$2$	$(1,10)(2,11)(3,12)(4,13)(5,14)(6,15)(7,16)(8,17)(9,18)$	$0$	✓
$1$	$3$	$(1,2,16)(3,4,8)(5,9,15)(6,14,18)(7,10,11)(12,13,17)$	$-2 \zeta_{3} - 2$
$1$	$3$	$(1,16,2)(3,8,4)(5,15,9)(6,18,14)(7,11,10)(12,17,13)$	$2 \zeta_{3}$
$2$	$3$	$(1,6,4)(2,14,8)(3,16,18)(5,11,17)(7,12,9)(10,13,15)$	$-1$
$2$	$3$	$(1,18,8)(2,6,3)(4,16,14)(5,10,12)(7,17,15)(9,11,13)$	$-\zeta_{3}$
$2$	$3$	$(1,8,18)(2,3,6)(4,14,16)(5,12,10)(7,15,17)(9,13,11)$	$\zeta_{3} + 1$
$1$	$6$	$(1,11,16,10,2,7)(3,15,8,9,4,5)(6,17,18,13,14,12)$	$2 \zeta_{3} + 2$
$1$	$6$	$(1,7,2,10,16,11)(3,5,4,9,8,15)(6,12,14,13,18,17)$	$-2 \zeta_{3}$
$2$	$6$	$(1,15,6,10,4,13)(2,5,14,11,8,17)(3,12,16,9,18,7)$	$1$
$2$	$6$	$(1,5,18,10,8,12)(2,9,6,11,3,13)(4,17,16,15,14,7)$	$-\zeta_{3} - 1$
$2$	$6$	$(1,12,8,10,18,5)(2,13,3,11,6,9)(4,7,14,15,16,17)$	$\zeta_{3}$
$3$	$6$	$(1,14,16,6,2,18)(3,4,8)(5,9,15)(7,13,11,12,10,17)$	$0$
$3$	$6$	$(1,18,2,6,16,14)(3,8,4)(5,15,9)(7,17,10,12,11,13)$	$0$
$3$	$6$	$(1,11,16,10,2,7)(3,13,8,12,4,17)(5,18,15,14,9,6)$	$0$
$3$	$6$	$(1,7,2,10,16,11)(3,17,4,12,8,13)(5,6,9,14,15,18)$	$0$

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 18 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	2.1053.12t18.a.a
Dimension	$2$
Group	$S_3 \times C_6$
Conductor	$1053$
Root number	not computed
Indicator	$0$

$r_{ 1 }$	$=$	\( 4 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{2} + 12 a + 21 + \left(21 a^{5} + 14 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 23 + \left(17 a^{5} + 13 a^{4} + 4 a^{3} + 16 a^{2} + 21 a + 19\right)\cdot 23^{2} + \left(12 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + 20 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 23^{3} + \left(8 a^{5} + 9 a^{4} + 15 a^{3} + 14 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 23^{4} + \left(14 a^{5} + 20 a^{4} + 8 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 23^{5} + \left(13 a^{5} + a^{4} + 15 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})\) 4a^5 + 9a^4 + 11a^2 + 12a + 21 + (21a^5 + 14a^4 + 11a^3 + 7a^2 + 3a + 11)23 + (17a^5 + 13a^4 + 4a^3 + 16a^2 + 21a + 19)23^2 + (12a^5 + 3a^4 + 12a^3 + 20a^2 + 7a + 4)23^3 + (8a^5 + 9a^4 + 15a^3 + 14a^2 + 9a + 18)23^4 + (14a^5 + 20a^4 + 8a^3 + 11a^2 + 9a + 6)23^5 + (13a^5 + a^4 + 15a^3 + 6a^2 + 4a + 11)*23^6+O(23^7)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 15 a^{5} + 6 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 19 + \left(3 a^{5} + 2 a^{4} + 21 a^{3} + 13 a^{2} + 15\right)\cdot 23 + \left(5 a^{5} + 19 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 23^{2} + \left(22 a^{5} + 11 a^{4} + 5 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 23^{3} + \left(18 a^{5} + 7 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a + 20\right)\cdot 23^{4} + \left(4 a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 23^{5} + \left(19 a^{5} + 9 a^{4} + 19 a + 15\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})\) 15a^5 + 6a^4 + 4a^3 + 15a^2 + 15a + 19 + (3a^5 + 2a^4 + 21a^3 + 13a^2 + 15)23 + (5a^5 + 19a^4 + 12a^3 + a^2 + 9a + 7)23^2 + (22a^5 + 11a^4 + 5a^3 + 12a^2 + 12a + 13)23^3 + (18a^5 + 7a^4 + 2a^3 + 9a + 20)23^4 + (4a^5 + 5a^4 + 9a^3 + 2a^2 + 4a + 2)23^5 + (19a^5 + 9a^4 + 19a + 15)23^6+O(23^7)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 7 a^{5} + 20 a^{4} + 7 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 11 + \left(18 a^{5} + 3 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a + 6\right)\cdot 23 + \left(6 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{2} + 13 a + 19\right)\cdot 23^{2} + \left(22 a^{5} + 12 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + 14\right)\cdot 23^{3} + \left(2 a^{5} + 22 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 23^{4} + \left(12 a^{5} + 20 a^{4} + 22 a^{3} + 13 a^{2} + 17\right)\cdot 23^{5} + \left(5 a^{5} + 4 a^{4} + 14 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})\) 7a^5 + 20a^4 + 7a^3 + 7a^2 + 12a + 11 + (18a^5 + 3a^4 + 10a^3 + 4a + 6)23 + (6a^5 + 9a^4 + 5a^2 + 13a + 19)23^2 + (22a^5 + 12a^4 + 3a^3 + 16a^2 + 14)23^3 + (2a^5 + 22a^4 + 5a^3 + 3a^2 + 12a + 7)23^4 + (12a^5 + 20a^4 + 22a^3 + 13a^2 + 17)23^5 + (5a^5 + 4a^4 + 14a^2 + 6a + 4)23^6+O(23^7)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 5 a^{5} + 15 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 6 + \left(7 a^{5} + 12 a^{4} + 15 a^{3} + 21 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 23 + \left(13 a^{5} + 7 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + a + 3\right)\cdot 23^{2} + \left(a^{5} + 5 a^{4} + 18 a^{3} + 8 a^{2} + 18 a + 22\right)\cdot 23^{3} + \left(11 a^{5} + 5 a^{4} + 20 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 23^{4} + \left(5 a^{5} + 16 a^{4} + 13 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 19\right)\cdot 23^{5} + \left(5 a^{5} + 2 a^{4} + 17 a^{3} + 7 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})\) 5a^5 + 15a^4 + 8a^3 + 12a^2 + 5a + 6 + (7a^5 + 12a^4 + 15a^3 + 21a^2 + 6a + 14)23 + (13a^5 + 7a^4 + 8a^3 + 4a^2 + a + 3)23^2 + (a^5 + 5a^4 + 18a^3 + 8a^2 + 18a + 22)23^3 + (11a^5 + 5a^4 + 20a^2 + 5a + 17)23^4 + (5a^5 + 16a^4 + 13a^3 + 11a^2 + 4a + 19)23^5 + (5a^5 + 2a^4 + 17a^3 + 7a^2 + 19a + 12)23^6+O(23^7)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 21 a^{5} + 16 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + 20 a + 19 + \left(22 a^{5} + 11 a^{3} + a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 23 + \left(21 a^{5} + 5 a^{4} + 8 a^{3} + 15 a^{2} + 22 a + 6\right)\cdot 23^{2} + \left(11 a^{5} + 9 a^{4} + 20 a^{3} + a^{2} + 21 a + 13\right)\cdot 23^{3} + \left(17 a^{5} + 10 a^{4} + 10 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 23^{4} + \left(2 a^{5} + 13 a^{4} + 8 a + 3\right)\cdot 23^{5} + \left(8 a^{5} + 20 a^{4} + 22 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})\) 21a^5 + 16a^4 + 8a^3 + 3a^2 + 20a + 19 + (22a^5 + 11a^3 + a^2 + 4a + 10)23 + (21a^5 + 5a^4 + 8a^3 + 15a^2 + 22a + 6)23^2 + (11a^5 + 9a^4 + 20a^3 + a^2 + 21a + 13)23^3 + (17a^5 + 10a^4 + 10a^3 + 16a^2 + 17a + 11)23^4 + (2a^5 + 13a^4 + 8a + 3)23^5 + (8a^5 + 20a^4 + 22a^3 + 2a^2 + 12a + 11)23^6+O(23^7)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 14 a^{5} + 22 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a + 19 + \left(17 a^{5} + 18 a^{4} + 19 a^{3} + 17 a^{2} + 13 a + 19\right)\cdot 23 + \left(14 a^{5} + a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 22\right)\cdot 23^{2} + \left(8 a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + 17 a^{2} + 20 a + 18\right)\cdot 23^{3} + \left(3 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 23^{4} + \left(3 a^{5} + 9 a^{4} + a^{3} + 22 a^{2} + 9 a + 19\right)\cdot 23^{5} + \left(4 a^{5} + 18 a^{4} + 13 a^{3} + 8 a^{2} + 22 a + 21\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})\) 14a^5 + 22a^4 + 15a^3 + 6a + 19 + (17a^5 + 18a^4 + 19a^3 + 17a^2 + 13a + 19)23 + (14a^5 + a^4 + 9a^3 + a^2 + 22)23^2 + (8a^5 + 14a^4 + 15a^3 + 17a^2 + 20a + 18)23^3 + (3a^5 + 8a^4 + 6a^3 + 10a^2 + 7a + 9)23^4 + (3a^5 + 9a^4 + a^3 + 22a^2 + 9a + 19)23^5 + (4a^5 + 18a^4 + 13a^3 + 8a^2 + 22a + 21)23^6+O(23^7)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 7 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 22 a + 22 + \left(19 a^{5} + 2 a^{4} + 15 a^{3} + 22 a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 23 + \left(16 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 23^{2} + \left(20 a^{5} + 22 a^{4} + 16 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 23^{3} + \left(3 a^{5} + 14 a^{4} + 16 a^{3} + 16 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 23^{4} + \left(19 a^{5} + 13 a^{4} + a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 23^{5} + \left(6 a^{5} + 17 a^{4} + 16 a^{3} + 22 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})\) 7a^5 + 9a^4 + 11a^3 + 6a^2 + 22a + 22 + (19a^5 + 2a^4 + 15a^3 + 22a^2 + 22a + 15)23 + (16a^5 + 7a^4 + 9a^3 + 5a^2 + 16a + 9)23^2 + (20a^5 + 22a^4 + 16a^3 + 5a^2 + 13a + 10)23^3 + (3a^5 + 14a^4 + 16a^3 + 16a^2 + 9a + 7)23^4 + (19a^5 + 13a^4 + a^2 + 8a + 16)23^5 + (6a^5 + 17a^4 + 16a^3 + 22a^2 + 10a + 15)*23^6+O(23^7)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 4 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 9 + \left(21 a^{5} + 17 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + 18\right)\cdot 23 + \left(12 a^{5} + 9 a^{4} + 20 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 23^{2} + \left(16 a^{5} + 7 a^{4} + 22 a^{3} + 2 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 23^{3} + \left(16 a^{5} + 2 a^{4} + 13 a^{3} + 20 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 23^{4} + \left(20 a^{5} + 15 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 23^{5} + \left(14 a^{5} + 15 a^{4} + 15 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})\) 4a^5 + 10a^4 + 4a^3 + 2a^2 + 5a + 9 + (21a^5 + 17a^4 + 11a^3 + 12a^2 + 18)23 + (12a^5 + 9a^4 + 20a^2 + 12a + 17)23^2 + (16a^5 + 7a^4 + 22a^3 + 2a^2 + 15a + 17)23^3 + (16a^5 + 2a^4 + 13a^3 + 20a^2 + 12a + 3)23^4 + (20a^5 + 15a^3 + 14a^2 + 12a + 4)23^5 + (14a^5 + 15a^4 + 15a^3 + 16a^2 + 5a + 1)23^6+O(23^7)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 22 a^{5} + 7 a^{4} + 21 a^{3} + 17 a^{2} + 17 a + 13 + \left(13 a^{5} + 21 a^{4} + 22 a^{3} + 20 a^{2} + 2 a\right)\cdot 23 + \left(9 a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 23^{2} + \left(18 a^{5} + 11 a^{4} + 7 a^{3} + 21 a^{2} + 20 a + 5\right)\cdot 23^{3} + \left(17 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 23^{4} + \left(10 a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + 17 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 23^{5} + \left(19 a^{5} + 17 a^{4} + a^{3} + 12 a^{2} + 20 a + 9\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})\) 22a^5 + 7a^4 + 21a^3 + 17a^2 + 17a + 13 + (13a^5 + 21a^4 + 22a^3 + 20a^2 + 2a)23 + (9a^5 + 10a^4 + 14a^3 + 11a^2 + 3a + 5)23^2 + (18a^5 + 11a^4 + 7a^3 + 21a^2 + 20a + 5)23^3 + (17a^5 + 7a^4 + 12a^2 + 7a + 2)23^4 + (10a^5 + 2a^4 + 2a^3 + 17a^2 + 2a + 3)23^5 + (19a^5 + 17a^4 + a^3 + 12a^2 + 20a + 9)*23^6+O(23^7)
$r_{ 10 }$	$=$	\( a^{5} + 13 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 17 + \left(19 a^{5} + 14 a^{4} + 17 a^{3} + 17 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 23 + \left(a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 21\right)\cdot 23^{2} + \left(19 a^{5} + 20 a^{4} + 3 a^{3} + 18 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 23^{3} + \left(3 a^{5} + 20 a^{4} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + 21 a + 5\right)\cdot 23^{4} + \left(21 a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 13 a^{2} + 16 a + 21\right)\cdot 23^{5} + \left(11 a^{5} + 16 a^{4} + 17 a^{3} + 8 a^{2} + a + 5\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})\) a^5 + 13a^4 + 12a^3 + 8a^2 + 12a + 17 + (19a^5 + 14a^4 + 17a^3 + 17a^2 + 4a + 13)23 + (a^5 + 3a^4 + 15a^3 + 5a^2 + 12a + 21)23^2 + (19a^5 + 20a^4 + 3a^3 + 18a^2 + 10a + 9)23^3 + (3a^5 + 20a^4 + 5a^3 + 6a^2 + 21a + 5)23^4 + (21a^5 + 18a^4 + 9a^3 + 13a^2 + 16a + 21)23^5 + (11a^5 + 16a^4 + 17a^3 + 8a^2 + a + 5)23^6+O(23^7)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 11 a^{5} + 7 a^{4} + a^{3} + 21 a^{2} + 18 a + 13 + \left(15 a^{5} + 14 a^{4} + 19 a^{3} + 19 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 23 + \left(12 a^{5} + 12 a^{4} + 13 a^{3} + 17 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 23^{2} + \left(22 a^{5} + 13 a^{3} + 21 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 23^{3} + \left(3 a^{5} + 17 a^{4} + 19 a^{3} + 7 a^{2} + 20 a + 5\right)\cdot 23^{4} + \left(11 a^{5} + 21 a^{4} + 20 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 23^{5} + \left(10 a^{5} + 2 a^{4} + 21 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})\) 11a^5 + 7a^4 + a^3 + 21a^2 + 18a + 13 + (15a^5 + 14a^4 + 19a^3 + 19a^2 + 3a + 1)23 + (12a^5 + 12a^4 + 13a^3 + 17a^2 + 17a + 7)23^2 + (22a^5 + 13a^3 + 21a^2 + 10a + 17)23^3 + (3a^5 + 17a^4 + 19a^3 + 7a^2 + 20a + 5)23^4 + (11a^5 + 21a^4 + 20a^3 + 14a^2 + 14a + 3)23^5 + (10a^5 + 2a^4 + 21a^3 + 2a^2 + 11a + 1)*23^6+O(23^7)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 17 a^{5} + 7 a^{4} + 14 a^{3} + 7 a + 11 + \left(12 a^{5} + 22 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 20 a + 6\right)\cdot 23 + \left(19 a^{5} + 4 a^{4} + 21 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 23^{2} + \left(6 a^{5} + 12 a^{4} + 21 a^{3} + 19 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 23^{3} + \left(a^{5} + 5 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 23^{4} + \left(16 a^{5} + 7 a^{4} + 20 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 23^{5} + \left(19 a^{5} + 11 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 15 a + 21\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})\) 17a^5 + 7a^4 + 14a^3 + 7a + 11 + (12a^5 + 22a^4 + 7a^3 + 3a^2 + 20a + 6)23 + (19a^5 + 4a^4 + 21a^3 + 5a^2 + 2a + 8)23^2 + (6a^5 + 12a^4 + 21a^3 + 19a^2 + 12a + 7)23^3 + (a^5 + 5a^3 + 16a^2 + 5a + 13)23^4 + (16a^5 + 7a^4 + 20a^3 + 3a^2 + 12a + 3)23^5 + (19a^5 + 11a^4 + 5a^3 + 11a^2 + 15a + 21)23^6+O(23^7)
$r_{ 13 }$	$=$	\( 22 a^{5} + 17 a^{4} + 22 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 10 + \left(a^{5} + 4 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + 5\right)\cdot 23 + \left(5 a^{5} + 9 a^{4} + 14 a^{3} + 20 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 23^{2} + \left(10 a^{5} + 18 a^{4} + 14 a^{3} + 22 a^{2} + 9 a + 22\right)\cdot 23^{3} + \left(12 a^{5} + 19 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 23^{4} + \left(5 a^{5} + 13 a^{4} + 19 a^{3} + 17 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 23^{5} + \left(19 a^{5} + 12 a^{4} + 3 a^{3} + 22\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})\) 22a^5 + 17a^4 + 22a^3 + 3a^2 + 9a + 10 + (a^5 + 4a^4 + 8a^3 + 7a^2 + 5)23 + (5a^5 + 9a^4 + 14a^3 + 20a^2 + 10a + 18)23^2 + (10a^5 + 18a^4 + 14a^3 + 22a^2 + 9a + 22)23^3 + (12a^5 + 19a^4 + 4a^3 + 8a^2 + 2a + 8)23^4 + (5a^5 + 13a^4 + 19a^3 + 17a^2 + 17a + 16)23^5 + (19a^5 + 12a^4 + 3a^3 + 22)*23^6+O(23^7)
$r_{ 14 }$	$=$	\( 4 a^{5} + 7 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 18 + \left(21 a^{5} + 3 a^{4} + 13 a^{3} + 20 a^{2} + 22 a + 11\right)\cdot 23 + \left(4 a^{5} + 17 a^{4} + 9 a^{3} + a + 20\right)\cdot 23^{2} + \left(7 a^{5} + 3 a^{4} + 18 a^{3} + 8 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 23^{3} + \left(10 a^{5} + 13 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 21\right)\cdot 23^{4} + \left(20 a^{5} + 17 a^{4} + 21 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 23^{5} + \left(11 a^{5} + 21 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 21 a + 6\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})\) 4a^5 + 7a^4 + 15a^3 + 6a^2 + 3a + 18 + (21a^5 + 3a^4 + 13a^3 + 20a^2 + 22a + 11)23 + (4a^5 + 17a^4 + 9a^3 + a + 20)23^2 + (7a^5 + 3a^4 + 18a^3 + 8a^2 + 18a + 14)23^3 + (10a^5 + 13a^4 + 6a^3 + 2a^2 + 21)23^4 + (20a^5 + 17a^4 + 21a^3 + 6a^2 + 6a + 15)23^5 + (11a^5 + 21a^4 + 6a^3 + 6a^2 + 21a + 6)23^6+O(23^7)
$r_{ 15 }$	$=$	\( 16 a^{4} + 12 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 19 + \left(2 a^{5} + 3 a^{4} + 19 a^{3} + 21 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 23 + \left(16 a^{5} + 10 a^{4} + 15 a^{3} + 19 a^{2} + 6\right)\cdot 23^{2} + \left(16 a^{5} + 7 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 23^{3} + \left(6 a^{5} + 5 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 23^{4} + \left(19 a^{5} + 13 a^{4} + 17 a^{3} + 15 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 23^{5} + \left(14 a^{5} + 16 a^{4} + a^{3} + 13 a^{2} + 20 a + 17\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})\) 16a^4 + 12a^3 + 12a^2 + 2a + 19 + (2a^5 + 3a^4 + 19a^3 + 21a^2 + 18a + 3)23 + (16a^5 + 10a^4 + 15a^3 + 19a^2 + 6)23^2 + (16a^5 + 7a^4 + 4a^3 + 4a^2 + 3a + 13)23^3 + (6a^5 + 5a^4 + 13a^3 + 7a^2 + 22a + 8)23^4 + (19a^5 + 13a^4 + 17a^3 + 15a^2 + 11a + 8)23^5 + (14a^5 + 16a^4 + a^3 + 13a^2 + 20a + 17)23^6+O(23^7)
$r_{ 16 }$	$=$	\( 8 a^{5} + 2 a^{4} + 18 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 4 + \left(13 a^{5} + 21 a^{4} + 7 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 23 + \left(14 a^{5} + 12 a^{4} + 12 a^{3} + 21 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 23^{2} + \left(17 a^{5} + 10 a^{4} + 17 a^{3} + 13 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 23^{3} + \left(6 a^{5} + 22 a^{4} + 9 a^{3} + 22 a^{2} + 21 a + 1\right)\cdot 23^{4} + \left(21 a^{5} + 11 a^{4} + 20 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 23^{5} + \left(6 a^{5} + 20 a^{4} + 20 a^{3} + 6 a^{2} + 21 a + 2\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})\) 8a^5 + 2a^4 + 18a^3 + 8a^2 + 13a + 4 + (13a^5 + 21a^4 + 7a^3 + 11a^2 + 10a + 12)23 + (14a^5 + 12a^4 + 12a^3 + 21a^2 + 15a + 13)23^2 + (17a^5 + 10a^4 + 17a^3 + 13a^2 + 13a + 14)23^3 + (6a^5 + 22a^4 + 9a^3 + 22a^2 + 21a + 1)23^4 + (21a^5 + 11a^4 + 20a^3 + 2a^2 + 14a + 5)23^5 + (6a^5 + 20a^4 + 20a^3 + 6a^2 + 21a + 2)*23^6+O(23^7)
$r_{ 17 }$	$=$	\( 14 a^{5} + 14 a^{3} + 22 a^{2} + 8 a + 14 + \left(7 a^{5} + 8 a^{4} + 15 a^{3} + a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 23 + \left(11 a^{5} + 5 a^{4} + 13 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 23^{2} + \left(11 a^{5} + 13 a^{4} + 12 a^{3} + 22 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 23^{3} + \left(a^{5} + 18 a^{4} + 15 a^{3} + 21 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 23^{4} + \left(9 a^{5} + 10 a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 22 a + 16\right)\cdot 23^{5} + \left(4 a^{5} + 22 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 21 a + 10\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})\) 14a^5 + 14a^3 + 22a^2 + 8a + 14 + (7a^5 + 8a^4 + 15a^3 + a^2 + 14a + 10)23 + (11a^5 + 5a^4 + 13a^2 + 6a + 9)23^2 + (11a^5 + 13a^4 + 12a^3 + 22a^2 + 13a + 15)23^3 + (a^5 + 18a^4 + 15a^3 + 21a^2 + 7a + 5)23^4 + (9a^5 + 10a^4 + a^3 + 7a^2 + 22a + 16)23^5 + (4a^5 + 22a^4 + 2a^3 + 18a^2 + 21a + 10)23^6+O(23^7)
$r_{ 18 }$	$=$	\( 8 a^{5} + a^{4} + 21 a^{3} + 8 a^{2} + 21 a + 8 + \left(14 a^{5} + 21 a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 23 + \left(a^{5} + 10 a^{3} + 19 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 23^{2} + \left(6 a^{5} + 2 a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 23^{3} + \left(13 a^{5} + a^{4} + 8 a^{3} + 19 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 23^{4} + \left(12 a^{5} + 13 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a\right)\cdot 23^{5} + \left(10 a^{5} + 20 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})\) 8a^5 + a^4 + 21a^3 + 8a^2 + 21a + 8 + (14a^5 + 21a^4 + 4a^3 + 11a^2 + 7a + 4)23 + (a^5 + 10a^3 + 19a^2 + 17a + 13)23^2 + (6a^5 + 2a^3 + 15a^2 + 8a + 16)23^3 + (13a^5 + a^4 + 8a^3 + 19a^2 + 12a + 13)23^4 + (12a^5 + 13a^4 + 3a^3 + 6a^2 + 7a)23^5 + (10a^5 + 20a^4 + a^3 + 2a^2 + 18a + 16)*23^6+O(23^7)