LMFDB - Artin representation 2.1582564.12t12.a.b

Basic invariants

Dimension:	$2$
Group:	$D_{12}$
Conductor:	$1582564$$\medspace = 2^{2} \cdot 17^{2} \cdot 37^{2} $
Frobenius-Schur indicator:	$1$
Root number:	$1$
Artin stem field:	Galois closure of 12.2.426534379192149555604210688.1
Galois orbit size:	$2$
Smallest permutation container:	$D_{12}$
Parity:	odd
Determinant:	1.4.2t1.a.a
Projective image:	$D_6$
Projective stem field:	Galois closure of 6.2.147324047888.4

Defining polynomial

$f(x)$

$=$

$ x^{12} - 4 x^{11} - 42 x^{10} + 244 x^{9} + 358 x^{8} - 4976 x^{7} + 3556 x^{6} + 61336 x^{5} + \cdots + 440928 $

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 73 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 73 }$: $ x^{4} + 16x^{2} + 56x + 5 $ x^4 + 16*x^2 + 56*x + 5

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ 39 a^{3} + 45 a^{2} + 31 a + 40 + \left(7 a^{3} + 71 a^{2} + 20 a + 31\right)\cdot 73 + \left(27 a^{3} + 69 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 73^{2} + \left(24 a^{3} + 5 a^{2} + 43 a + 35\right)\cdot 73^{3} + \left(45 a^{3} + 22 a^{2} + 22 a + 1\right)\cdot 73^{4} + \left(57 a^{3} + 53 a^{2} + a + 7\right)\cdot 73^{5} + \left(41 a^{3} + 43 a^{2} + 37 a + 45\right)\cdot 73^{6} + \left(70 a^{3} + 32 a^{2} + 26 a + 45\right)\cdot 73^{7} + \left(53 a^{3} + 31 a^{2} + 33 a + 18\right)\cdot 73^{8} + \left(24 a^{3} + 49 a^{2} + 62 a + 24\right)\cdot 73^{9} +O(73^{10})$ 39a^3 + 45a^2 + 31a + 40 + (7a^3 + 71a^2 + 20a + 31)73 + (27a^3 + 69a^2 + 5a + 9)73^2 + (24a^3 + 5a^2 + 43a + 35)73^3 + (45a^3 + 22a^2 + 22a + 1)73^4 + (57a^3 + 53a^2 + a + 7)73^5 + (41a^3 + 43a^2 + 37a + 45)73^6 + (70a^3 + 32a^2 + 26a + 45)73^7 + (53a^3 + 31a^2 + 33a + 18)73^8 + (24a^3 + 49a^2 + 62a + 24)73^9+O(73^10)
$r_{ 2 }$	$=$	$ 39 a^{3} + 45 a^{2} + 31 a + 65 + \left(7 a^{3} + 71 a^{2} + 20 a + 28\right)\cdot 73 + \left(27 a^{3} + 69 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 73^{2} + \left(24 a^{3} + 5 a^{2} + 43 a + 43\right)\cdot 73^{3} + \left(45 a^{3} + 22 a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 73^{4} + \left(57 a^{3} + 53 a^{2} + a + 69\right)\cdot 73^{5} + \left(41 a^{3} + 43 a^{2} + 37 a + 28\right)\cdot 73^{6} + \left(70 a^{3} + 32 a^{2} + 26 a + 10\right)\cdot 73^{7} + \left(53 a^{3} + 31 a^{2} + 33 a + 9\right)\cdot 73^{8} + \left(24 a^{3} + 49 a^{2} + 62 a + 6\right)\cdot 73^{9} +O(73^{10})$ 39a^3 + 45a^2 + 31a + 65 + (7a^3 + 71a^2 + 20a + 28)73 + (27a^3 + 69a^2 + 5a + 9)73^2 + (24a^3 + 5a^2 + 43a + 43)73^3 + (45a^3 + 22a^2 + 22a + 13)73^4 + (57a^3 + 53a^2 + a + 69)73^5 + (41a^3 + 43a^2 + 37a + 28)73^6 + (70a^3 + 32a^2 + 26a + 10)73^7 + (53a^3 + 31a^2 + 33a + 9)73^8 + (24a^3 + 49a^2 + 62a + 6)73^9+O(73^10)
$r_{ 3 }$	$=$	$ 39 a^{3} + 45 a^{2} + 31 a + 50 + \left(7 a^{3} + 71 a^{2} + 20 a + 52\right)\cdot 73 + \left(27 a^{3} + 69 a^{2} + 5 a + 38\right)\cdot 73^{2} + \left(24 a^{3} + 5 a^{2} + 43 a + 69\right)\cdot 73^{3} + \left(45 a^{3} + 22 a^{2} + 22 a + 21\right)\cdot 73^{4} + \left(57 a^{3} + 53 a^{2} + a + 68\right)\cdot 73^{5} + \left(41 a^{3} + 43 a^{2} + 37 a + 35\right)\cdot 73^{6} + \left(70 a^{3} + 32 a^{2} + 26 a + 55\right)\cdot 73^{7} + \left(53 a^{3} + 31 a^{2} + 33 a + 7\right)\cdot 73^{8} + \left(24 a^{3} + 49 a^{2} + 62 a + 39\right)\cdot 73^{9} +O(73^{10})$ 39a^3 + 45a^2 + 31a + 50 + (7a^3 + 71a^2 + 20a + 52)73 + (27a^3 + 69a^2 + 5a + 38)73^2 + (24a^3 + 5a^2 + 43a + 69)73^3 + (45a^3 + 22a^2 + 22a + 21)73^4 + (57a^3 + 53a^2 + a + 68)73^5 + (41a^3 + 43a^2 + 37a + 35)73^6 + (70a^3 + 32a^2 + 26a + 55)73^7 + (53a^3 + 31a^2 + 33a + 7)73^8 + (24a^3 + 49a^2 + 62a + 39)73^9+O(73^10)
$r_{ 4 }$	$=$	$ 31 a^{3} + 47 a^{2} + 34 a + 12 + \left(66 a^{3} + 51 a^{2} + 64 a + 9\right)\cdot 73 + \left(27 a^{3} + 70 a^{2} + 13 a + 49\right)\cdot 73^{2} + \left(61 a^{3} + 45 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 73^{3} + \left(45 a^{3} + 55 a^{2} + 19 a + 72\right)\cdot 73^{4} + \left(52 a^{3} + 28 a^{2} + 40 a + 38\right)\cdot 73^{5} + \left(45 a^{3} + 39 a^{2} + 66 a + 29\right)\cdot 73^{6} + \left(45 a^{3} + 10 a^{2} + 17 a + 62\right)\cdot 73^{7} + \left(35 a^{3} + 3 a^{2} + 67 a + 43\right)\cdot 73^{8} + \left(4 a^{3} + 53 a^{2} + 43 a + 5\right)\cdot 73^{9} +O(73^{10})$ 31a^3 + 47a^2 + 34a + 12 + (66a^3 + 51a^2 + 64a + 9)73 + (27a^3 + 70a^2 + 13a + 49)73^2 + (61a^3 + 45a^2 + 2a + 11)73^3 + (45a^3 + 55a^2 + 19a + 72)73^4 + (52a^3 + 28a^2 + 40a + 38)73^5 + (45a^3 + 39a^2 + 66a + 29)73^6 + (45a^3 + 10a^2 + 17a + 62)73^7 + (35a^3 + 3a^2 + 67a + 43)73^8 + (4a^3 + 53a^2 + 43a + 5)*73^9+O(73^10)
$r_{ 5 }$	$=$	$ 31 a^{3} + 47 a^{2} + 34 a + 37 + \left(66 a^{3} + 51 a^{2} + 64 a + 6\right)\cdot 73 + \left(27 a^{3} + 70 a^{2} + 13 a + 49\right)\cdot 73^{2} + \left(61 a^{3} + 45 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 73^{3} + \left(45 a^{3} + 55 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 73^{4} + \left(52 a^{3} + 28 a^{2} + 40 a + 28\right)\cdot 73^{5} + \left(45 a^{3} + 39 a^{2} + 66 a + 13\right)\cdot 73^{6} + \left(45 a^{3} + 10 a^{2} + 17 a + 27\right)\cdot 73^{7} + \left(35 a^{3} + 3 a^{2} + 67 a + 34\right)\cdot 73^{8} + \left(4 a^{3} + 53 a^{2} + 43 a + 60\right)\cdot 73^{9} +O(73^{10})$ 31a^3 + 47a^2 + 34a + 37 + (66a^3 + 51a^2 + 64a + 6)73 + (27a^3 + 70a^2 + 13a + 49)73^2 + (61a^3 + 45a^2 + 2a + 19)73^3 + (45a^3 + 55a^2 + 19a + 11)73^4 + (52a^3 + 28a^2 + 40a + 28)73^5 + (45a^3 + 39a^2 + 66a + 13)73^6 + (45a^3 + 10a^2 + 17a + 27)73^7 + (35a^3 + 3a^2 + 67a + 34)73^8 + (4a^3 + 53a^2 + 43a + 60)*73^9+O(73^10)
$r_{ 6 }$	$=$	$ 31 a^{3} + 47 a^{2} + 34 a + 22 + \left(66 a^{3} + 51 a^{2} + 64 a + 30\right)\cdot 73 + \left(27 a^{3} + 70 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 73^{2} + \left(61 a^{3} + 45 a^{2} + 2 a + 46\right)\cdot 73^{3} + \left(45 a^{3} + 55 a^{2} + 19 a + 19\right)\cdot 73^{4} + \left(52 a^{3} + 28 a^{2} + 40 a + 27\right)\cdot 73^{5} + \left(45 a^{3} + 39 a^{2} + 66 a + 20\right)\cdot 73^{6} + \left(45 a^{3} + 10 a^{2} + 17 a + 72\right)\cdot 73^{7} + \left(35 a^{3} + 3 a^{2} + 67 a + 32\right)\cdot 73^{8} + \left(4 a^{3} + 53 a^{2} + 43 a + 20\right)\cdot 73^{9} +O(73^{10})$ 31a^3 + 47a^2 + 34a + 22 + (66a^3 + 51a^2 + 64a + 30)73 + (27a^3 + 70a^2 + 13a + 5)73^2 + (61a^3 + 45a^2 + 2a + 46)73^3 + (45a^3 + 55a^2 + 19a + 19)73^4 + (52a^3 + 28a^2 + 40a + 27)73^5 + (45a^3 + 39a^2 + 66a + 20)73^6 + (45a^3 + 10a^2 + 17a + 72)73^7 + (35a^3 + 3a^2 + 67a + 32)73^8 + (4a^3 + 53a^2 + 43a + 20)*73^9+O(73^10)
$r_{ 7 }$	$=$	$ 34 a^{3} + 28 a^{2} + 42 a + 11 + \left(65 a^{3} + a^{2} + 52 a + 2\right)\cdot 73 + \left(45 a^{3} + 3 a^{2} + 67 a + 44\right)\cdot 73^{2} + \left(48 a^{3} + 67 a^{2} + 29 a + 17\right)\cdot 73^{3} + \left(27 a^{3} + 50 a^{2} + 50 a + 13\right)\cdot 73^{4} + \left(15 a^{3} + 19 a^{2} + 71 a + 70\right)\cdot 73^{5} + \left(31 a^{3} + 29 a^{2} + 35 a + 52\right)\cdot 73^{6} + \left(2 a^{3} + 40 a^{2} + 46 a + 57\right)\cdot 73^{7} + \left(19 a^{3} + 41 a^{2} + 39 a + 9\right)\cdot 73^{8} + \left(48 a^{3} + 23 a^{2} + 10 a + 57\right)\cdot 73^{9} +O(73^{10})$ 34a^3 + 28a^2 + 42a + 11 + (65a^3 + a^2 + 52a + 2)73 + (45a^3 + 3a^2 + 67a + 44)73^2 + (48a^3 + 67a^2 + 29a + 17)73^3 + (27a^3 + 50a^2 + 50a + 13)73^4 + (15a^3 + 19a^2 + 71a + 70)73^5 + (31a^3 + 29a^2 + 35a + 52)73^6 + (2a^3 + 40a^2 + 46a + 57)73^7 + (19a^3 + 41a^2 + 39a + 9)73^8 + (48a^3 + 23a^2 + 10a + 57)73^9+O(73^10)
$r_{ 8 }$	$=$	$ 34 a^{3} + 28 a^{2} + 42 a + 59 + \left(65 a^{3} + a^{2} + 52 a + 4\right)\cdot 73 + \left(45 a^{3} + 3 a^{2} + 67 a + 44\right)\cdot 73^{2} + \left(48 a^{3} + 67 a^{2} + 29 a + 9\right)\cdot 73^{3} + \left(27 a^{3} + 50 a^{2} + 50 a + 1\right)\cdot 73^{4} + \left(15 a^{3} + 19 a^{2} + 71 a + 8\right)\cdot 73^{5} + \left(31 a^{3} + 29 a^{2} + 35 a + 69\right)\cdot 73^{6} + \left(2 a^{3} + 40 a^{2} + 46 a + 19\right)\cdot 73^{7} + \left(19 a^{3} + 41 a^{2} + 39 a + 19\right)\cdot 73^{8} + \left(48 a^{3} + 23 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 73^{9} +O(73^{10})$ 34a^3 + 28a^2 + 42a + 59 + (65a^3 + a^2 + 52a + 4)73 + (45a^3 + 3a^2 + 67a + 44)73^2 + (48a^3 + 67a^2 + 29a + 9)73^3 + (27a^3 + 50a^2 + 50a + 1)73^4 + (15a^3 + 19a^2 + 71a + 8)73^5 + (31a^3 + 29a^2 + 35a + 69)73^6 + (2a^3 + 40a^2 + 46a + 19)73^7 + (19a^3 + 41a^2 + 39a + 19)73^8 + (48a^3 + 23a^2 + 10a + 2)73^9+O(73^10)
$r_{ 9 }$	$=$	$ 34 a^{3} + 28 a^{2} + 42 a + 69 + \left(65 a^{3} + a^{2} + 52 a + 25\right)\cdot 73 + \left(45 a^{3} + 3 a^{2} + 67 a\right)\cdot 73^{2} + \left(48 a^{3} + 67 a^{2} + 29 a + 44\right)\cdot 73^{3} + \left(27 a^{3} + 50 a^{2} + 50 a + 21\right)\cdot 73^{4} + \left(15 a^{3} + 19 a^{2} + 71 a + 69\right)\cdot 73^{5} + \left(31 a^{3} + 29 a^{2} + 35 a + 59\right)\cdot 73^{6} + \left(2 a^{3} + 40 a^{2} + 46 a + 29\right)\cdot 73^{7} + \left(19 a^{3} + 41 a^{2} + 39 a + 8\right)\cdot 73^{8} + \left(48 a^{3} + 23 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 73^{9} +O(73^{10})$ 34a^3 + 28a^2 + 42a + 69 + (65a^3 + a^2 + 52a + 25)73 + (45a^3 + 3a^2 + 67a)73^2 + (48a^3 + 67a^2 + 29a + 44)73^3 + (27a^3 + 50a^2 + 50a + 21)73^4 + (15a^3 + 19a^2 + 71a + 69)73^5 + (31a^3 + 29a^2 + 35a + 59)73^6 + (2a^3 + 40a^2 + 46a + 29)73^7 + (19a^3 + 41a^2 + 39a + 8)73^8 + (48a^3 + 23a^2 + 10a + 17)73^9+O(73^10)
$r_{ 10 }$	$=$	$ 42 a^{3} + 26 a^{2} + 39 a + 14 + \left(6 a^{3} + 21 a^{2} + 8 a + 27\right)\cdot 73 + \left(45 a^{3} + 2 a^{2} + 59 a + 4\right)\cdot 73^{2} + \left(11 a^{3} + 27 a^{2} + 70 a + 33\right)\cdot 73^{3} + \left(27 a^{3} + 17 a^{2} + 53 a + 3\right)\cdot 73^{4} + \left(20 a^{3} + 44 a^{2} + 32 a + 49\right)\cdot 73^{5} + \left(27 a^{3} + 33 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 73^{6} + \left(27 a^{3} + 62 a^{2} + 55 a + 3\right)\cdot 73^{7} + \left(37 a^{3} + 69 a^{2} + 5 a + 67\right)\cdot 73^{8} + \left(68 a^{3} + 19 a^{2} + 29 a + 20\right)\cdot 73^{9} +O(73^{10})$ 42a^3 + 26a^2 + 39a + 14 + (6a^3 + 21a^2 + 8a + 27)73 + (45a^3 + 2a^2 + 59a + 4)73^2 + (11a^3 + 27a^2 + 70a + 33)73^3 + (27a^3 + 17a^2 + 53a + 3)73^4 + (20a^3 + 44a^2 + 32a + 49)73^5 + (27a^3 + 33a^2 + 6a + 11)73^6 + (27a^3 + 62a^2 + 55a + 3)73^7 + (37a^3 + 69a^2 + 5a + 67)73^8 + (68a^3 + 19a^2 + 29a + 20)*73^9+O(73^10)
$r_{ 11 }$	$=$	$ 42 a^{3} + 26 a^{2} + 39 a + 24 + \left(6 a^{3} + 21 a^{2} + 8 a + 48\right)\cdot 73 + \left(45 a^{3} + 2 a^{2} + 59 a + 33\right)\cdot 73^{2} + \left(11 a^{3} + 27 a^{2} + 70 a + 67\right)\cdot 73^{3} + \left(27 a^{3} + 17 a^{2} + 53 a + 23\right)\cdot 73^{4} + \left(20 a^{3} + 44 a^{2} + 32 a + 37\right)\cdot 73^{5} + \left(27 a^{3} + 33 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 73^{6} + \left(27 a^{3} + 62 a^{2} + 55 a + 13\right)\cdot 73^{7} + \left(37 a^{3} + 69 a^{2} + 5 a + 56\right)\cdot 73^{8} + \left(68 a^{3} + 19 a^{2} + 29 a + 35\right)\cdot 73^{9} +O(73^{10})$ 42a^3 + 26a^2 + 39a + 24 + (6a^3 + 21a^2 + 8a + 48)73 + (45a^3 + 2a^2 + 59a + 33)73^2 + (11a^3 + 27a^2 + 70a + 67)73^3 + (27a^3 + 17a^2 + 53a + 23)73^4 + (20a^3 + 44a^2 + 32a + 37)73^5 + (27a^3 + 33a^2 + 6a + 2)73^6 + (27a^3 + 62a^2 + 55a + 13)73^7 + (37a^3 + 69a^2 + 5a + 56)73^8 + (68a^3 + 19a^2 + 29a + 35)*73^9+O(73^10)
$r_{ 12 }$	$=$	$ 42 a^{3} + 26 a^{2} + 39 a + 39 + \left(6 a^{3} + 21 a^{2} + 8 a + 24\right)\cdot 73 + \left(45 a^{3} + 2 a^{2} + 59 a + 4\right)\cdot 73^{2} + \left(11 a^{3} + 27 a^{2} + 70 a + 41\right)\cdot 73^{3} + \left(27 a^{3} + 17 a^{2} + 53 a + 15\right)\cdot 73^{4} + \left(20 a^{3} + 44 a^{2} + 32 a + 38\right)\cdot 73^{5} + \left(27 a^{3} + 33 a^{2} + 6 a + 68\right)\cdot 73^{6} + \left(27 a^{3} + 62 a^{2} + 55 a + 40\right)\cdot 73^{7} + \left(37 a^{3} + 69 a^{2} + 5 a + 57\right)\cdot 73^{8} + \left(68 a^{3} + 19 a^{2} + 29 a + 2\right)\cdot 73^{9} +O(73^{10})$ 42a^3 + 26a^2 + 39a + 39 + (6a^3 + 21a^2 + 8a + 24)73 + (45a^3 + 2a^2 + 59a + 4)73^2 + (11a^3 + 27a^2 + 70a + 41)73^3 + (27a^3 + 17a^2 + 53a + 15)73^4 + (20a^3 + 44a^2 + 32a + 38)73^5 + (27a^3 + 33a^2 + 6a + 68)73^6 + (27a^3 + 62a^2 + 55a + 40)73^7 + (37a^3 + 69a^2 + 5a + 57)73^8 + (68a^3 + 19a^2 + 29a + 2)*73^9+O(73^10)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 12 }$

Cycle notation
$(1,3,2)(4,6,5)(7,8,9)(10,11,12)$
$(1,4)(2,6)(3,5)(7,11)(8,10)(9,12)$
$(1,10)(2,11)(3,12)(4,8)(5,9)(6,7)$
$(1,10,8,4)(2,12,7,5)(3,11,9,6)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 12 }$	Character value	Complex conjugation
$1$	$1$	$()$	$2$
$1$	$2$	$(1,8)(2,7)(3,9)(4,10)(5,12)(6,11)$	$-2$
$6$	$2$	$(1,4)(2,6)(3,5)(7,11)(8,10)(9,12)$	$0$
$6$	$2$	$(1,9)(2,7)(3,8)(4,6)(10,11)$	$0$	✓
$2$	$3$	$(1,3,2)(4,6,5)(7,8,9)(10,11,12)$	$-1$
$2$	$4$	$(1,4,8,10)(2,5,7,12)(3,6,9,11)$	$0$
$2$	$6$	$(1,7,3,8,2,9)(4,12,6,10,5,11)$	$1$
$2$	$12$	$(1,11,7,4,3,12,8,6,2,10,9,5)$	$-\zeta_{12}^{3} + 2 \zeta_{12}$
$2$	$12$	$(1,12,9,4,2,11,8,5,3,10,7,6)$	$\zeta_{12}^{3} - 2 \zeta_{12}$

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
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Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 12 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	2.1582564.12t12.a.b
Dimension	$2$
Group	$D_{12}$
Conductor	$1582564$
Root number	$1$
Indicator	$1$

$r_{ 1 }$	$=$	\( 39 a^{3} + 45 a^{2} + 31 a + 40 + \left(7 a^{3} + 71 a^{2} + 20 a + 31\right)\cdot 73 + \left(27 a^{3} + 69 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 73^{2} + \left(24 a^{3} + 5 a^{2} + 43 a + 35\right)\cdot 73^{3} + \left(45 a^{3} + 22 a^{2} + 22 a + 1\right)\cdot 73^{4} + \left(57 a^{3} + 53 a^{2} + a + 7\right)\cdot 73^{5} + \left(41 a^{3} + 43 a^{2} + 37 a + 45\right)\cdot 73^{6} + \left(70 a^{3} + 32 a^{2} + 26 a + 45\right)\cdot 73^{7} + \left(53 a^{3} + 31 a^{2} + 33 a + 18\right)\cdot 73^{8} + \left(24 a^{3} + 49 a^{2} + 62 a + 24\right)\cdot 73^{9} +O(73^{10})\) 39a^3 + 45a^2 + 31a + 40 + (7a^3 + 71a^2 + 20a + 31)73 + (27a^3 + 69a^2 + 5a + 9)73^2 + (24a^3 + 5a^2 + 43a + 35)73^3 + (45a^3 + 22a^2 + 22a + 1)73^4 + (57a^3 + 53a^2 + a + 7)73^5 + (41a^3 + 43a^2 + 37a + 45)73^6 + (70a^3 + 32a^2 + 26a + 45)73^7 + (53a^3 + 31a^2 + 33a + 18)73^8 + (24a^3 + 49a^2 + 62a + 24)73^9+O(73^10)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 39 a^{3} + 45 a^{2} + 31 a + 65 + \left(7 a^{3} + 71 a^{2} + 20 a + 28\right)\cdot 73 + \left(27 a^{3} + 69 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 73^{2} + \left(24 a^{3} + 5 a^{2} + 43 a + 43\right)\cdot 73^{3} + \left(45 a^{3} + 22 a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 73^{4} + \left(57 a^{3} + 53 a^{2} + a + 69\right)\cdot 73^{5} + \left(41 a^{3} + 43 a^{2} + 37 a + 28\right)\cdot 73^{6} + \left(70 a^{3} + 32 a^{2} + 26 a + 10\right)\cdot 73^{7} + \left(53 a^{3} + 31 a^{2} + 33 a + 9\right)\cdot 73^{8} + \left(24 a^{3} + 49 a^{2} + 62 a + 6\right)\cdot 73^{9} +O(73^{10})\) 39a^3 + 45a^2 + 31a + 65 + (7a^3 + 71a^2 + 20a + 28)73 + (27a^3 + 69a^2 + 5a + 9)73^2 + (24a^3 + 5a^2 + 43a + 43)73^3 + (45a^3 + 22a^2 + 22a + 13)73^4 + (57a^3 + 53a^2 + a + 69)73^5 + (41a^3 + 43a^2 + 37a + 28)73^6 + (70a^3 + 32a^2 + 26a + 10)73^7 + (53a^3 + 31a^2 + 33a + 9)73^8 + (24a^3 + 49a^2 + 62a + 6)73^9+O(73^10)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 39 a^{3} + 45 a^{2} + 31 a + 50 + \left(7 a^{3} + 71 a^{2} + 20 a + 52\right)\cdot 73 + \left(27 a^{3} + 69 a^{2} + 5 a + 38\right)\cdot 73^{2} + \left(24 a^{3} + 5 a^{2} + 43 a + 69\right)\cdot 73^{3} + \left(45 a^{3} + 22 a^{2} + 22 a + 21\right)\cdot 73^{4} + \left(57 a^{3} + 53 a^{2} + a + 68\right)\cdot 73^{5} + \left(41 a^{3} + 43 a^{2} + 37 a + 35\right)\cdot 73^{6} + \left(70 a^{3} + 32 a^{2} + 26 a + 55\right)\cdot 73^{7} + \left(53 a^{3} + 31 a^{2} + 33 a + 7\right)\cdot 73^{8} + \left(24 a^{3} + 49 a^{2} + 62 a + 39\right)\cdot 73^{9} +O(73^{10})\) 39a^3 + 45a^2 + 31a + 50 + (7a^3 + 71a^2 + 20a + 52)73 + (27a^3 + 69a^2 + 5a + 38)73^2 + (24a^3 + 5a^2 + 43a + 69)73^3 + (45a^3 + 22a^2 + 22a + 21)73^4 + (57a^3 + 53a^2 + a + 68)73^5 + (41a^3 + 43a^2 + 37a + 35)73^6 + (70a^3 + 32a^2 + 26a + 55)73^7 + (53a^3 + 31a^2 + 33a + 7)73^8 + (24a^3 + 49a^2 + 62a + 39)73^9+O(73^10)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 31 a^{3} + 47 a^{2} + 34 a + 12 + \left(66 a^{3} + 51 a^{2} + 64 a + 9\right)\cdot 73 + \left(27 a^{3} + 70 a^{2} + 13 a + 49\right)\cdot 73^{2} + \left(61 a^{3} + 45 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 73^{3} + \left(45 a^{3} + 55 a^{2} + 19 a + 72\right)\cdot 73^{4} + \left(52 a^{3} + 28 a^{2} + 40 a + 38\right)\cdot 73^{5} + \left(45 a^{3} + 39 a^{2} + 66 a + 29\right)\cdot 73^{6} + \left(45 a^{3} + 10 a^{2} + 17 a + 62\right)\cdot 73^{7} + \left(35 a^{3} + 3 a^{2} + 67 a + 43\right)\cdot 73^{8} + \left(4 a^{3} + 53 a^{2} + 43 a + 5\right)\cdot 73^{9} +O(73^{10})\) 31a^3 + 47a^2 + 34a + 12 + (66a^3 + 51a^2 + 64a + 9)73 + (27a^3 + 70a^2 + 13a + 49)73^2 + (61a^3 + 45a^2 + 2a + 11)73^3 + (45a^3 + 55a^2 + 19a + 72)73^4 + (52a^3 + 28a^2 + 40a + 38)73^5 + (45a^3 + 39a^2 + 66a + 29)73^6 + (45a^3 + 10a^2 + 17a + 62)73^7 + (35a^3 + 3a^2 + 67a + 43)73^8 + (4a^3 + 53a^2 + 43a + 5)*73^9+O(73^10)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 31 a^{3} + 47 a^{2} + 34 a + 37 + \left(66 a^{3} + 51 a^{2} + 64 a + 6\right)\cdot 73 + \left(27 a^{3} + 70 a^{2} + 13 a + 49\right)\cdot 73^{2} + \left(61 a^{3} + 45 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 73^{3} + \left(45 a^{3} + 55 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 73^{4} + \left(52 a^{3} + 28 a^{2} + 40 a + 28\right)\cdot 73^{5} + \left(45 a^{3} + 39 a^{2} + 66 a + 13\right)\cdot 73^{6} + \left(45 a^{3} + 10 a^{2} + 17 a + 27\right)\cdot 73^{7} + \left(35 a^{3} + 3 a^{2} + 67 a + 34\right)\cdot 73^{8} + \left(4 a^{3} + 53 a^{2} + 43 a + 60\right)\cdot 73^{9} +O(73^{10})\) 31a^3 + 47a^2 + 34a + 37 + (66a^3 + 51a^2 + 64a + 6)73 + (27a^3 + 70a^2 + 13a + 49)73^2 + (61a^3 + 45a^2 + 2a + 19)73^3 + (45a^3 + 55a^2 + 19a + 11)73^4 + (52a^3 + 28a^2 + 40a + 28)73^5 + (45a^3 + 39a^2 + 66a + 13)73^6 + (45a^3 + 10a^2 + 17a + 27)73^7 + (35a^3 + 3a^2 + 67a + 34)73^8 + (4a^3 + 53a^2 + 43a + 60)*73^9+O(73^10)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 31 a^{3} + 47 a^{2} + 34 a + 22 + \left(66 a^{3} + 51 a^{2} + 64 a + 30\right)\cdot 73 + \left(27 a^{3} + 70 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 73^{2} + \left(61 a^{3} + 45 a^{2} + 2 a + 46\right)\cdot 73^{3} + \left(45 a^{3} + 55 a^{2} + 19 a + 19\right)\cdot 73^{4} + \left(52 a^{3} + 28 a^{2} + 40 a + 27\right)\cdot 73^{5} + \left(45 a^{3} + 39 a^{2} + 66 a + 20\right)\cdot 73^{6} + \left(45 a^{3} + 10 a^{2} + 17 a + 72\right)\cdot 73^{7} + \left(35 a^{3} + 3 a^{2} + 67 a + 32\right)\cdot 73^{8} + \left(4 a^{3} + 53 a^{2} + 43 a + 20\right)\cdot 73^{9} +O(73^{10})\) 31a^3 + 47a^2 + 34a + 22 + (66a^3 + 51a^2 + 64a + 30)73 + (27a^3 + 70a^2 + 13a + 5)73^2 + (61a^3 + 45a^2 + 2a + 46)73^3 + (45a^3 + 55a^2 + 19a + 19)73^4 + (52a^3 + 28a^2 + 40a + 27)73^5 + (45a^3 + 39a^2 + 66a + 20)73^6 + (45a^3 + 10a^2 + 17a + 72)73^7 + (35a^3 + 3a^2 + 67a + 32)73^8 + (4a^3 + 53a^2 + 43a + 20)*73^9+O(73^10)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 34 a^{3} + 28 a^{2} + 42 a + 11 + \left(65 a^{3} + a^{2} + 52 a + 2\right)\cdot 73 + \left(45 a^{3} + 3 a^{2} + 67 a + 44\right)\cdot 73^{2} + \left(48 a^{3} + 67 a^{2} + 29 a + 17\right)\cdot 73^{3} + \left(27 a^{3} + 50 a^{2} + 50 a + 13\right)\cdot 73^{4} + \left(15 a^{3} + 19 a^{2} + 71 a + 70\right)\cdot 73^{5} + \left(31 a^{3} + 29 a^{2} + 35 a + 52\right)\cdot 73^{6} + \left(2 a^{3} + 40 a^{2} + 46 a + 57\right)\cdot 73^{7} + \left(19 a^{3} + 41 a^{2} + 39 a + 9\right)\cdot 73^{8} + \left(48 a^{3} + 23 a^{2} + 10 a + 57\right)\cdot 73^{9} +O(73^{10})\) 34a^3 + 28a^2 + 42a + 11 + (65a^3 + a^2 + 52a + 2)73 + (45a^3 + 3a^2 + 67a + 44)73^2 + (48a^3 + 67a^2 + 29a + 17)73^3 + (27a^3 + 50a^2 + 50a + 13)73^4 + (15a^3 + 19a^2 + 71a + 70)73^5 + (31a^3 + 29a^2 + 35a + 52)73^6 + (2a^3 + 40a^2 + 46a + 57)73^7 + (19a^3 + 41a^2 + 39a + 9)73^8 + (48a^3 + 23a^2 + 10a + 57)73^9+O(73^10)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 34 a^{3} + 28 a^{2} + 42 a + 59 + \left(65 a^{3} + a^{2} + 52 a + 4\right)\cdot 73 + \left(45 a^{3} + 3 a^{2} + 67 a + 44\right)\cdot 73^{2} + \left(48 a^{3} + 67 a^{2} + 29 a + 9\right)\cdot 73^{3} + \left(27 a^{3} + 50 a^{2} + 50 a + 1\right)\cdot 73^{4} + \left(15 a^{3} + 19 a^{2} + 71 a + 8\right)\cdot 73^{5} + \left(31 a^{3} + 29 a^{2} + 35 a + 69\right)\cdot 73^{6} + \left(2 a^{3} + 40 a^{2} + 46 a + 19\right)\cdot 73^{7} + \left(19 a^{3} + 41 a^{2} + 39 a + 19\right)\cdot 73^{8} + \left(48 a^{3} + 23 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 73^{9} +O(73^{10})\) 34a^3 + 28a^2 + 42a + 59 + (65a^3 + a^2 + 52a + 4)73 + (45a^3 + 3a^2 + 67a + 44)73^2 + (48a^3 + 67a^2 + 29a + 9)73^3 + (27a^3 + 50a^2 + 50a + 1)73^4 + (15a^3 + 19a^2 + 71a + 8)73^5 + (31a^3 + 29a^2 + 35a + 69)73^6 + (2a^3 + 40a^2 + 46a + 19)73^7 + (19a^3 + 41a^2 + 39a + 19)73^8 + (48a^3 + 23a^2 + 10a + 2)73^9+O(73^10)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 34 a^{3} + 28 a^{2} + 42 a + 69 + \left(65 a^{3} + a^{2} + 52 a + 25\right)\cdot 73 + \left(45 a^{3} + 3 a^{2} + 67 a\right)\cdot 73^{2} + \left(48 a^{3} + 67 a^{2} + 29 a + 44\right)\cdot 73^{3} + \left(27 a^{3} + 50 a^{2} + 50 a + 21\right)\cdot 73^{4} + \left(15 a^{3} + 19 a^{2} + 71 a + 69\right)\cdot 73^{5} + \left(31 a^{3} + 29 a^{2} + 35 a + 59\right)\cdot 73^{6} + \left(2 a^{3} + 40 a^{2} + 46 a + 29\right)\cdot 73^{7} + \left(19 a^{3} + 41 a^{2} + 39 a + 8\right)\cdot 73^{8} + \left(48 a^{3} + 23 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 73^{9} +O(73^{10})\) 34a^3 + 28a^2 + 42a + 69 + (65a^3 + a^2 + 52a + 25)73 + (45a^3 + 3a^2 + 67a)73^2 + (48a^3 + 67a^2 + 29a + 44)73^3 + (27a^3 + 50a^2 + 50a + 21)73^4 + (15a^3 + 19a^2 + 71a + 69)73^5 + (31a^3 + 29a^2 + 35a + 59)73^6 + (2a^3 + 40a^2 + 46a + 29)73^7 + (19a^3 + 41a^2 + 39a + 8)73^8 + (48a^3 + 23a^2 + 10a + 17)73^9+O(73^10)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 42 a^{3} + 26 a^{2} + 39 a + 14 + \left(6 a^{3} + 21 a^{2} + 8 a + 27\right)\cdot 73 + \left(45 a^{3} + 2 a^{2} + 59 a + 4\right)\cdot 73^{2} + \left(11 a^{3} + 27 a^{2} + 70 a + 33\right)\cdot 73^{3} + \left(27 a^{3} + 17 a^{2} + 53 a + 3\right)\cdot 73^{4} + \left(20 a^{3} + 44 a^{2} + 32 a + 49\right)\cdot 73^{5} + \left(27 a^{3} + 33 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 73^{6} + \left(27 a^{3} + 62 a^{2} + 55 a + 3\right)\cdot 73^{7} + \left(37 a^{3} + 69 a^{2} + 5 a + 67\right)\cdot 73^{8} + \left(68 a^{3} + 19 a^{2} + 29 a + 20\right)\cdot 73^{9} +O(73^{10})\) 42a^3 + 26a^2 + 39a + 14 + (6a^3 + 21a^2 + 8a + 27)73 + (45a^3 + 2a^2 + 59a + 4)73^2 + (11a^3 + 27a^2 + 70a + 33)73^3 + (27a^3 + 17a^2 + 53a + 3)73^4 + (20a^3 + 44a^2 + 32a + 49)73^5 + (27a^3 + 33a^2 + 6a + 11)73^6 + (27a^3 + 62a^2 + 55a + 3)73^7 + (37a^3 + 69a^2 + 5a + 67)73^8 + (68a^3 + 19a^2 + 29a + 20)*73^9+O(73^10)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 42 a^{3} + 26 a^{2} + 39 a + 24 + \left(6 a^{3} + 21 a^{2} + 8 a + 48\right)\cdot 73 + \left(45 a^{3} + 2 a^{2} + 59 a + 33\right)\cdot 73^{2} + \left(11 a^{3} + 27 a^{2} + 70 a + 67\right)\cdot 73^{3} + \left(27 a^{3} + 17 a^{2} + 53 a + 23\right)\cdot 73^{4} + \left(20 a^{3} + 44 a^{2} + 32 a + 37\right)\cdot 73^{5} + \left(27 a^{3} + 33 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 73^{6} + \left(27 a^{3} + 62 a^{2} + 55 a + 13\right)\cdot 73^{7} + \left(37 a^{3} + 69 a^{2} + 5 a + 56\right)\cdot 73^{8} + \left(68 a^{3} + 19 a^{2} + 29 a + 35\right)\cdot 73^{9} +O(73^{10})\) 42a^3 + 26a^2 + 39a + 24 + (6a^3 + 21a^2 + 8a + 48)73 + (45a^3 + 2a^2 + 59a + 33)73^2 + (11a^3 + 27a^2 + 70a + 67)73^3 + (27a^3 + 17a^2 + 53a + 23)73^4 + (20a^3 + 44a^2 + 32a + 37)73^5 + (27a^3 + 33a^2 + 6a + 2)73^6 + (27a^3 + 62a^2 + 55a + 13)73^7 + (37a^3 + 69a^2 + 5a + 56)73^8 + (68a^3 + 19a^2 + 29a + 35)*73^9+O(73^10)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 42 a^{3} + 26 a^{2} + 39 a + 39 + \left(6 a^{3} + 21 a^{2} + 8 a + 24\right)\cdot 73 + \left(45 a^{3} + 2 a^{2} + 59 a + 4\right)\cdot 73^{2} + \left(11 a^{3} + 27 a^{2} + 70 a + 41\right)\cdot 73^{3} + \left(27 a^{3} + 17 a^{2} + 53 a + 15\right)\cdot 73^{4} + \left(20 a^{3} + 44 a^{2} + 32 a + 38\right)\cdot 73^{5} + \left(27 a^{3} + 33 a^{2} + 6 a + 68\right)\cdot 73^{6} + \left(27 a^{3} + 62 a^{2} + 55 a + 40\right)\cdot 73^{7} + \left(37 a^{3} + 69 a^{2} + 5 a + 57\right)\cdot 73^{8} + \left(68 a^{3} + 19 a^{2} + 29 a + 2\right)\cdot 73^{9} +O(73^{10})\) 42a^3 + 26a^2 + 39a + 39 + (6a^3 + 21a^2 + 8a + 24)73 + (45a^3 + 2a^2 + 59a + 4)73^2 + (11a^3 + 27a^2 + 70a + 41)73^3 + (27a^3 + 17a^2 + 53a + 15)73^4 + (20a^3 + 44a^2 + 32a + 38)73^5 + (27a^3 + 33a^2 + 6a + 68)73^6 + (27a^3 + 62a^2 + 55a + 40)73^7 + (37a^3 + 69a^2 + 5a + 57)73^8 + (68a^3 + 19a^2 + 29a + 2)*73^9+O(73^10)