LMFDB - Artin representation 2.1911.12t18.f.b

Basic invariants

Dimension:	$2$
Group:	$C_6\times S_3$
Conductor:	$1911$$\medspace = 3 \cdot 7^{2} \cdot 13 $
Artin stem field:	Galois closure of 12.0.5881408402696281.1
Galois orbit size:	$2$
Smallest permutation container:	$C_6\times S_3$
Parity:	odd
Determinant:	1.39.6t1.a.a
Projective image:	$S_3$
Projective stem field:	Galois closure of 3.1.24843.1

Defining polynomial

$f(x)$

$=$

$ x^{12} - 6 x^{11} + 13 x^{10} - 10 x^{9} - 15 x^{8} + 54 x^{7} - 63 x^{6} + 24 x^{5} + 80 x^{4} + \cdots + 43 $

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 17 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 17 }$: $ x^{6} + 2x^{4} + 10x^{2} + 3x + 3 $ x^6 + 2*x^4 + 10*x^2 + 3*x + 3

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ 13 a^{5} + 10 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a^{2} + 13 a + 5 + \left(9 a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 17 + \left(9 a^{5} + 5 a^{4} + 2 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 17^{2} + \left(8 a^{5} + 7 a^{4} + 2 a^{3} + 3 a + 12\right)\cdot 17^{3} + \left(7 a^{5} + a^{4} + 8 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 17^{4} + \left(16 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 17^{5} + \left(14 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a + 13\right)\cdot 17^{6} + \left(7 a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + 2\right)\cdot 17^{7} + \left(12 a^{5} + 16 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 17^{8} + \left(2 a^{5} + 8 a^{4} + 2 a^{2} + 11\right)\cdot 17^{9} +O(17^{10})$ 13a^5 + 10a^4 + 15a^3 + 6a^2 + 13a + 5 + (9a^5 + 2a^4 + a^3 + 8a^2 + 9a + 13)17 + (9a^5 + 5a^4 + 2a^2 + 2a + 14)17^2 + (8a^5 + 7a^4 + 2a^3 + 3a + 12)17^3 + (7a^5 + a^4 + 8a^2 + 3a + 10)17^4 + (16a^5 + 9a^4 + 5a^3 + 8a^2 + 10a + 13)17^5 + (14a^5 + 12a^4 + 16a + 13)17^6 + (7a^5 + 3a^4 + 4a^3 + 10a^2 + 2)17^7 + (12a^5 + 16a^4 + 2a^3 + 14a^2 + 12a + 15)17^8 + (2a^5 + 8a^4 + 2a^2 + 11)*17^9+O(17^10)
$r_{ 2 }$	$=$	$ 2 a^{5} + 2 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a + 8 + \left(9 a^{5} + 3 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 17 + \left(12 a^{5} + 9 a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 17^{2} + \left(a^{5} + 12 a^{4} + 10 a + 2\right)\cdot 17^{3} + \left(10 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + a + 11\right)\cdot 17^{4} + \left(14 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 17^{5} + \left(4 a^{5} + 9 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 17^{6} + \left(10 a^{5} + 11 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 17^{7} + \left(8 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 17^{8} + \left(6 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 17^{9} +O(17^{10})$ 2a^5 + 2a^4 + 9a^3 + 3a + 8 + (9a^5 + 3a^4 + 14a^3 + 11a^2 + 8a + 6)17 + (12a^5 + 9a^4 + 14a^3 + 3a^2 + 8a + 13)17^2 + (a^5 + 12a^4 + 10a + 2)17^3 + (10a^5 + 12a^4 + 10a^3 + 7a^2 + a + 11)17^4 + (14a^5 + 16a^4 + 12a^3 + 9a^2 + 15a + 9)17^5 + (4a^5 + 9a^4 + 6a^3 + 7a^2 + 8a + 2)17^6 + (10a^5 + 11a^4 + 12a^3 + a^2 + 10a + 10)17^7 + (8a^5 + 10a^4 + 3a^3 + 10a^2 + 15a + 7)17^8 + (6a^5 + 11a^4 + 13a^2 + 15a + 4)17^9+O(17^10)
$r_{ 3 }$	$=$	$ 3 a^{5} + 13 a^{4} + 5 a^{3} + 14 a^{2} + a + 2 + \left(10 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 17 + \left(6 a^{5} + 6 a^{4} + 6 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 17^{2} + \left(16 a^{5} + 15 a^{4} + 12 a^{3}\right)\cdot 17^{3} + \left(7 a^{5} + 10 a^{4} + 13 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 17^{4} + \left(11 a^{5} + a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 17^{5} + \left(3 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 13 a^{2} + a + 10\right)\cdot 17^{6} + \left(11 a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 17^{7} + \left(8 a^{5} + 4 a^{4} + 8 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 17^{8} + \left(15 a^{5} + 13 a^{4} + a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 17^{9} +O(17^{10})$ 3a^5 + 13a^4 + 5a^3 + 14a^2 + a + 2 + (10a^5 + 7a^4 + 7a^3 + 8a^2 + 8a + 4)17 + (6a^5 + 6a^4 + 6a^3 + 3a^2 + 2a + 12)17^2 + (16a^5 + 15a^4 + 12a^3)17^3 + (7a^5 + 10a^4 + 13a^3 + 10a^2 + 13a + 15)17^4 + (11a^5 + a^4 + 10a^3 + 11a^2 + 15a + 4)17^5 + (3a^5 + 9a^4 + 8a^3 + 13a^2 + a + 10)17^6 + (11a^5 + 3a^4 + 4a^3 + 12a^2 + 16a + 2)17^7 + (8a^5 + 4a^4 + 8a^3 + 2a^2 + 2a + 5)17^8 + (15a^5 + 13a^4 + a^3 + 14a^2 + 16a + 13)*17^9+O(17^10)
$r_{ 4 }$	$=$	$ a^{5} + 2 a^{4} + 16 a^{3} + 12 a + 2 + \left(14 a^{5} + 11 a^{4} + 5 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 17 + \left(7 a^{5} + 14 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 17^{2} + \left(10 a^{5} + 15 a^{4} + 6 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 17^{3} + \left(11 a^{5} + 14 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 10\right)\cdot 17^{4} + \left(9 a^{5} + 13 a^{4} + 12 a^{3} + 10 a^{2} + 6\right)\cdot 17^{5} + \left(9 a^{5} + 5 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 17^{6} + \left(4 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 17^{7} + \left(12 a^{5} + 13 a^{4} + 15 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 17^{8} + \left(10 a^{5} + 4 a^{4} + 9 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 17^{9} +O(17^{10})$ a^5 + 2a^4 + 16a^3 + 12a + 2 + (14a^5 + 11a^4 + 5a^3 + 14a^2 + 6a + 8)17 + (7a^5 + 14a^4 + 6a^3 + 4a^2 + 5a + 14)17^2 + (10a^5 + 15a^4 + 6a^3 + 9a^2 + 4a + 9)17^3 + (11a^5 + 14a^4 + 4a^3 + 7a^2 + 10)17^4 + (9a^5 + 13a^4 + 12a^3 + 10a^2 + 6)17^5 + (9a^5 + 5a^4 + 5a^3 + 8a^2 + 3a + 12)17^6 + (4a^5 + 2a^4 + 4a^3 + 16a^2 + 7a + 2)17^7 + (12a^5 + 13a^4 + 15a^3 + 11a^2 + 10a + 2)17^8 + (10a^5 + 4a^4 + 9a^3 + 14a^2 + 16a + 6)*17^9+O(17^10)
$r_{ 5 }$	$=$	$ 7 a^{5} + 3 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 5 + \left(5 a^{4} + 5 a^{3} + 15 a + 1\right)\cdot 17 + \left(14 a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 17^{2} + \left(7 a^{5} + 8 a^{4} + 10 a^{3} + 13 a + 6\right)\cdot 17^{3} + \left(9 a^{4} + 13 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 17^{4} + \left(12 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 17^{5} + \left(5 a^{5} + 13 a^{4} + 8 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 17^{6} + \left(3 a^{5} + 16 a^{4} + 2 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 17^{7} + \left(13 a^{5} + 4 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 17^{8} + \left(12 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 11 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 17^{9} +O(17^{10})$ 7a^5 + 3a^4 + 7a^3 + 8a^2 + 5a + 5 + (5a^4 + 5a^3 + 15a + 1)17 + (14a^5 + a^4 + 6a^3 + a^2 + 16a + 10)17^2 + (7a^5 + 8a^4 + 10a^3 + 13a + 6)17^3 + (9a^4 + 13a^3 + 2a^2 + 9a + 9)17^4 + (12a^5 + 9a^4 + 5a^3 + 3a^2 + 5a + 1)17^5 + (5a^5 + 13a^4 + 8a^3 + 13a^2 + 2a + 13)17^6 + (3a^5 + 16a^4 + 2a^2 + 15a + 13)17^7 + (13a^5 + 4a^4 + 6a^3 + 5a^2 + 7a + 1)17^8 + (12a^5 + 4a^4 + a^3 + 11a^2 + 15a + 12)*17^9+O(17^10)
$r_{ 6 }$	$=$	$ 16 a^{5} + 7 a^{3} + 9 a + 4 + \left(4 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 17 + \left(12 a^{5} + 5 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 17^{2} + \left(8 a^{5} + 3 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 17^{3} + \left(a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a + 11\right)\cdot 17^{4} + \left(12 a^{5} + 14 a^{4} + 16 a^{3} + a^{2} + a + 3\right)\cdot 17^{5} + \left(4 a^{5} + 12 a^{4} + 15 a^{3} + a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 17^{6} + \left(11 a^{5} + 7 a^{4} + 8 a^{3} + 15 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 17^{7} + \left(3 a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 17^{8} + \left(4 a^{5} + 10 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 7\right)\cdot 17^{9} +O(17^{10})$ 16a^5 + 7a^3 + 9a + 4 + (4a^5 + 8a^4 + 8a^3 + 3a^2 + 15a + 8)17 + (12a^5 + 5a^4 + 8a^3 + a^2 + 13a + 5)17^2 + (8a^5 + 3a^4 + 5a^3 + 9a^2 + 10a + 5)17^3 + (a^5 + 2a^4 + 11a^3 + 15a + 11)17^4 + (12a^5 + 14a^4 + 16a^3 + a^2 + a + 3)17^5 + (4a^5 + 12a^4 + 15a^3 + a^2 + 11a + 10)17^6 + (11a^5 + 7a^4 + 8a^3 + 15a^2 + 13a + 12)17^7 + (3a^5 + 2a^4 + 11a^3 + a^2 + 11a + 16)17^8 + (4a^5 + 10a^4 + 9a^3 + a^2 + 7)17^9+O(17^10)
$r_{ 7 }$	$=$	$ 4 a^{5} + 7 a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 13 + \left(7 a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 17 + \left(7 a^{5} + 11 a^{4} + 16 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 17^{2} + \left(8 a^{5} + 9 a^{4} + 14 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 17^{3} + \left(9 a^{5} + 15 a^{4} + 16 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 17^{4} + \left(7 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 17^{5} + \left(2 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 16 a^{2} + 3\right)\cdot 17^{6} + \left(9 a^{5} + 13 a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 17^{7} + \left(4 a^{5} + 14 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 17^{8} + \left(14 a^{5} + 8 a^{4} + 16 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 17^{9} +O(17^{10})$ 4a^5 + 7a^4 + 2a^3 + 11a^2 + 4a + 13 + (7a^5 + 14a^4 + 15a^3 + 8a^2 + 7a + 3)17 + (7a^5 + 11a^4 + 16a^3 + 14a^2 + 14a + 2)17^2 + (8a^5 + 9a^4 + 14a^3 + 16a^2 + 13a + 4)17^3 + (9a^5 + 15a^4 + 16a^3 + 8a^2 + 13a + 6)17^4 + (7a^4 + 11a^3 + 8a^2 + 6a + 3)17^5 + (2a^5 + 4a^4 + 16a^3 + 16a^2 + 3)17^6 + (9a^5 + 13a^4 + 12a^3 + 6a^2 + 16a + 14)17^7 + (4a^5 + 14a^3 + 2a^2 + 4a + 1)17^8 + (14a^5 + 8a^4 + 16a^3 + 14a^2 + 16a + 5)17^9+O(17^10)
$r_{ 8 }$	$=$	$ 15 a^{5} + 15 a^{4} + 8 a^{3} + 14 a + 10 + \left(7 a^{5} + 13 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 17 + \left(4 a^{5} + 7 a^{4} + 2 a^{3} + 13 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 17^{2} + \left(15 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 17^{3} + \left(6 a^{5} + 4 a^{4} + 6 a^{3} + 9 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 17^{4} + \left(2 a^{5} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + a + 7\right)\cdot 17^{5} + \left(12 a^{5} + 7 a^{4} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 17^{6} + \left(6 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 17^{7} + \left(8 a^{5} + 6 a^{4} + 13 a^{3} + 6 a^{2} + a + 9\right)\cdot 17^{8} + \left(10 a^{5} + 5 a^{4} + 16 a^{3} + 3 a^{2} + a + 12\right)\cdot 17^{9} +O(17^{10})$ 15a^5 + 15a^4 + 8a^3 + 14a + 10 + (7a^5 + 13a^4 + 2a^3 + 6a^2 + 8a + 10)17 + (4a^5 + 7a^4 + 2a^3 + 13a^2 + 8a + 3)17^2 + (15a^5 + 4a^4 + 16a^3 + 16a^2 + 6a + 14)17^3 + (6a^5 + 4a^4 + 6a^3 + 9a^2 + 15a + 5)17^4 + (2a^5 + 4a^3 + 7a^2 + a + 7)17^5 + (12a^5 + 7a^4 + 10a^3 + 9a^2 + 8a + 14)17^6 + (6a^5 + 5a^4 + 4a^3 + 15a^2 + 6a + 6)17^7 + (8a^5 + 6a^4 + 13a^3 + 6a^2 + a + 9)17^8 + (10a^5 + 5a^4 + 16a^3 + 3a^2 + a + 12)17^9+O(17^10)
$r_{ 9 }$	$=$	$ 14 a^{5} + 4 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + 16 + \left(6 a^{5} + 9 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 17 + \left(10 a^{5} + 10 a^{4} + 10 a^{3} + 13 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 17^{2} + \left(a^{4} + 4 a^{3} + 16 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 17^{3} + \left(9 a^{5} + 6 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 17^{4} + \left(5 a^{5} + 15 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + a + 12\right)\cdot 17^{5} + \left(13 a^{5} + 7 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 17^{6} + \left(5 a^{5} + 13 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 14\right)\cdot 17^{7} + \left(8 a^{5} + 12 a^{4} + 8 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 17^{8} + \left(a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 2 a^{2} + 3\right)\cdot 17^{9} +O(17^{10})$ 14a^5 + 4a^4 + 12a^3 + 3a^2 + 16a + 16 + (6a^5 + 9a^4 + 9a^3 + 8a^2 + 8a + 12)17 + (10a^5 + 10a^4 + 10a^3 + 13a^2 + 14a + 4)17^2 + (a^4 + 4a^3 + 16a^2 + 16a + 16)17^3 + (9a^5 + 6a^4 + 3a^3 + 6a^2 + 3a + 1)17^4 + (5a^5 + 15a^4 + 6a^3 + 5a^2 + a + 12)17^5 + (13a^5 + 7a^4 + 8a^3 + 3a^2 + 15a + 6)17^6 + (5a^5 + 13a^4 + 12a^3 + 4a^2 + 14)17^7 + (8a^5 + 12a^4 + 8a^3 + 14a^2 + 14a + 11)17^8 + (a^5 + 3a^4 + 15a^3 + 2a^2 + 3)*17^9+O(17^10)
$r_{ 10 }$	$=$	$ 16 a^{5} + 15 a^{4} + a^{3} + 5 a + 16 + \left(2 a^{5} + 5 a^{4} + 11 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 17 + \left(9 a^{5} + 2 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 17^{2} + \left(6 a^{5} + a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 17^{3} + \left(5 a^{5} + 2 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 17^{4} + \left(7 a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 17^{5} + \left(7 a^{5} + 11 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 17^{6} + \left(12 a^{5} + 14 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a + 14\right)\cdot 17^{7} + \left(4 a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 17^{8} + \left(6 a^{5} + 12 a^{4} + 7 a^{3} + 2 a^{2} + 10\right)\cdot 17^{9} +O(17^{10})$ 16a^5 + 15a^4 + a^3 + 5a + 16 + (2a^5 + 5a^4 + 11a^3 + 3a^2 + 10a + 8)17 + (9a^5 + 2a^4 + 10a^3 + 12a^2 + 11a + 2)17^2 + (6a^5 + a^4 + 10a^3 + 7a^2 + 12a + 7)17^3 + (5a^5 + 2a^4 + 12a^3 + 9a^2 + 16a + 6)17^4 + (7a^5 + 3a^4 + 4a^3 + 6a^2 + 16a + 10)17^5 + (7a^5 + 11a^4 + 11a^3 + 8a^2 + 13a + 4)17^6 + (12a^5 + 14a^4 + 12a^3 + 9a + 14)17^7 + (4a^5 + 3a^4 + a^3 + 5a^2 + 6a + 14)17^8 + (6a^5 + 12a^4 + 7a^3 + 2a^2 + 10)*17^9+O(17^10)
$r_{ 11 }$	$=$	$ a^{5} + 10 a^{3} + 8 a + 14 + \left(12 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 14 a^{2} + a + 8\right)\cdot 17 + \left(4 a^{5} + 11 a^{4} + 8 a^{3} + 15 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 17^{2} + \left(8 a^{5} + 13 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 17^{3} + \left(15 a^{5} + 14 a^{4} + 5 a^{3} + 16 a^{2} + a + 5\right)\cdot 17^{4} + \left(4 a^{5} + 2 a^{4} + 15 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 17^{5} + \left(12 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 15 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 17^{6} + \left(5 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 17^{7} + \left(13 a^{5} + 14 a^{4} + 5 a^{3} + 15 a^{2} + 5 a\right)\cdot 17^{8} + \left(12 a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 17^{9} +O(17^{10})$ a^5 + 10a^3 + 8a + 14 + (12a^5 + 9a^4 + 8a^3 + 14a^2 + a + 8)17 + (4a^5 + 11a^4 + 8a^3 + 15a^2 + 3a + 11)17^2 + (8a^5 + 13a^4 + 11a^3 + 7a^2 + 6a + 11)17^3 + (15a^5 + 14a^4 + 5a^3 + 16a^2 + a + 5)17^4 + (4a^5 + 2a^4 + 15a^2 + 15a + 13)17^5 + (12a^5 + 4a^4 + a^3 + 15a^2 + 5a + 6)17^6 + (5a^5 + 9a^4 + 8a^3 + a^2 + 3a + 4)17^7 + (13a^5 + 14a^4 + 5a^3 + 15a^2 + 5a)17^8 + (12a^5 + 6a^4 + 7a^3 + 15a^2 + 16a + 9)*17^9+O(17^10)
$r_{ 12 }$	$=$	$ 10 a^{5} + 14 a^{4} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 13 + \left(16 a^{5} + 11 a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + a + 15\right)\cdot 17 + \left(2 a^{5} + 15 a^{4} + 10 a^{3} + 15 a^{2} + 6\right)\cdot 17^{2} + \left(9 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 17^{3} + \left(16 a^{5} + 7 a^{4} + 3 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 17^{4} + \left(4 a^{5} + 7 a^{4} + 11 a^{3} + 13 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 17^{5} + \left(11 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 17^{6} + \left(13 a^{5} + 16 a^{3} + 14 a^{2} + a + 3\right)\cdot 17^{7} + \left(3 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 17^{8} + \left(4 a^{5} + 12 a^{4} + 15 a^{3} + 5 a^{2} + a + 4\right)\cdot 17^{9} +O(17^{10})$ 10a^5 + 14a^4 + 10a^3 + 9a^2 + 12a + 13 + (16a^5 + 11a^4 + 11a^3 + 16a^2 + a + 15)17 + (2a^5 + 15a^4 + 10a^3 + 15a^2 + 6)17^2 + (9a^5 + 8a^4 + 6a^3 + 16a^2 + 3a + 10)17^3 + (16a^5 + 7a^4 + 3a^3 + 14a^2 + 7a + 7)17^4 + (4a^5 + 7a^4 + 11a^3 + 13a^2 + 11a + 15)17^5 + (11a^5 + 3a^4 + 8a^3 + 3a^2 + 14a + 3)17^6 + (13a^5 + 16a^3 + 14a^2 + a + 3)17^7 + (3a^5 + 12a^4 + 10a^3 + 11a^2 + 9a + 15)17^8 + (4a^5 + 12a^4 + 15a^3 + 5a^2 + a + 4)17^9+O(17^10)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 12 }$

Cycle notation
$(1,5,9)(2,10,6)(3,7,12)(4,11,8)$
$(1,8,9,4,5,11)(2,3,10,12,6,7)$
$(1,7)(2,8)(3,9)(4,10)(5,12)(6,11)$
$(2,6,10)(4,8,11)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 12 }$	Character value	Complex conjugation
$1$	$1$	$()$	$2$
$1$	$2$	$(1,7)(2,8)(3,9)(4,10)(5,12)(6,11)$	$-2$
$3$	$2$	$(1,4)(2,12)(3,6)(5,8)(7,10)(9,11)$	$0$	✓
$3$	$2$	$(1,10)(2,5)(3,11)(4,7)(6,9)(8,12)$	$0$
$1$	$3$	$(1,9,5)(2,10,6)(3,12,7)(4,11,8)$	$-2 \zeta_{3} - 2$
$1$	$3$	$(1,5,9)(2,6,10)(3,7,12)(4,8,11)$	$2 \zeta_{3}$
$2$	$3$	$(1,5,9)(2,10,6)(3,7,12)(4,11,8)$	$-1$
$2$	$3$	$(2,6,10)(4,8,11)$	$\zeta_{3} + 1$
$2$	$3$	$(2,10,6)(4,11,8)$	$-\zeta_{3}$
$1$	$6$	$(1,3,5,7,9,12)(2,4,6,8,10,11)$	$2 \zeta_{3} + 2$
$1$	$6$	$(1,12,9,7,5,3)(2,11,10,8,6,4)$	$-2 \zeta_{3}$
$2$	$6$	$(1,12,9,7,5,3)(2,4,6,8,10,11)$	$1$
$2$	$6$	$(1,7)(2,11,10,8,6,4)(3,9)(5,12)$	$-\zeta_{3} - 1$
$2$	$6$	$(1,7)(2,4,6,8,10,11)(3,9)(5,12)$	$\zeta_{3}$
$3$	$6$	$(1,8,9,4,5,11)(2,3,10,12,6,7)$	$0$
$3$	$6$	$(1,11,5,4,9,8)(2,7,6,12,10,3)$	$0$
$3$	$6$	$(1,2,9,10,5,6)(3,4,12,11,7,8)$	$0$
$3$	$6$	$(1,6,5,10,9,2)(3,8,7,11,12,4)$	$0$

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 12 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	2.1911.12t18.f.b
Dimension	$2$
Group	$C_6\times S_3$
Conductor	$1911$
Root number	not computed
Indicator	$0$

$r_{ 1 }$	$=$	\( 13 a^{5} + 10 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a^{2} + 13 a + 5 + \left(9 a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 17 + \left(9 a^{5} + 5 a^{4} + 2 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 17^{2} + \left(8 a^{5} + 7 a^{4} + 2 a^{3} + 3 a + 12\right)\cdot 17^{3} + \left(7 a^{5} + a^{4} + 8 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 17^{4} + \left(16 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 17^{5} + \left(14 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a + 13\right)\cdot 17^{6} + \left(7 a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + 2\right)\cdot 17^{7} + \left(12 a^{5} + 16 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 17^{8} + \left(2 a^{5} + 8 a^{4} + 2 a^{2} + 11\right)\cdot 17^{9} +O(17^{10})\) 13a^5 + 10a^4 + 15a^3 + 6a^2 + 13a + 5 + (9a^5 + 2a^4 + a^3 + 8a^2 + 9a + 13)17 + (9a^5 + 5a^4 + 2a^2 + 2a + 14)17^2 + (8a^5 + 7a^4 + 2a^3 + 3a + 12)17^3 + (7a^5 + a^4 + 8a^2 + 3a + 10)17^4 + (16a^5 + 9a^4 + 5a^3 + 8a^2 + 10a + 13)17^5 + (14a^5 + 12a^4 + 16a + 13)17^6 + (7a^5 + 3a^4 + 4a^3 + 10a^2 + 2)17^7 + (12a^5 + 16a^4 + 2a^3 + 14a^2 + 12a + 15)17^8 + (2a^5 + 8a^4 + 2a^2 + 11)*17^9+O(17^10)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 2 a^{5} + 2 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a + 8 + \left(9 a^{5} + 3 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 17 + \left(12 a^{5} + 9 a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 17^{2} + \left(a^{5} + 12 a^{4} + 10 a + 2\right)\cdot 17^{3} + \left(10 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + a + 11\right)\cdot 17^{4} + \left(14 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 17^{5} + \left(4 a^{5} + 9 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 17^{6} + \left(10 a^{5} + 11 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 17^{7} + \left(8 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 17^{8} + \left(6 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 17^{9} +O(17^{10})\) 2a^5 + 2a^4 + 9a^3 + 3a + 8 + (9a^5 + 3a^4 + 14a^3 + 11a^2 + 8a + 6)17 + (12a^5 + 9a^4 + 14a^3 + 3a^2 + 8a + 13)17^2 + (a^5 + 12a^4 + 10a + 2)17^3 + (10a^5 + 12a^4 + 10a^3 + 7a^2 + a + 11)17^4 + (14a^5 + 16a^4 + 12a^3 + 9a^2 + 15a + 9)17^5 + (4a^5 + 9a^4 + 6a^3 + 7a^2 + 8a + 2)17^6 + (10a^5 + 11a^4 + 12a^3 + a^2 + 10a + 10)17^7 + (8a^5 + 10a^4 + 3a^3 + 10a^2 + 15a + 7)17^8 + (6a^5 + 11a^4 + 13a^2 + 15a + 4)17^9+O(17^10)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 3 a^{5} + 13 a^{4} + 5 a^{3} + 14 a^{2} + a + 2 + \left(10 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 17 + \left(6 a^{5} + 6 a^{4} + 6 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 17^{2} + \left(16 a^{5} + 15 a^{4} + 12 a^{3}\right)\cdot 17^{3} + \left(7 a^{5} + 10 a^{4} + 13 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 17^{4} + \left(11 a^{5} + a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 17^{5} + \left(3 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 13 a^{2} + a + 10\right)\cdot 17^{6} + \left(11 a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 17^{7} + \left(8 a^{5} + 4 a^{4} + 8 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 17^{8} + \left(15 a^{5} + 13 a^{4} + a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 17^{9} +O(17^{10})\) 3a^5 + 13a^4 + 5a^3 + 14a^2 + a + 2 + (10a^5 + 7a^4 + 7a^3 + 8a^2 + 8a + 4)17 + (6a^5 + 6a^4 + 6a^3 + 3a^2 + 2a + 12)17^2 + (16a^5 + 15a^4 + 12a^3)17^3 + (7a^5 + 10a^4 + 13a^3 + 10a^2 + 13a + 15)17^4 + (11a^5 + a^4 + 10a^3 + 11a^2 + 15a + 4)17^5 + (3a^5 + 9a^4 + 8a^3 + 13a^2 + a + 10)17^6 + (11a^5 + 3a^4 + 4a^3 + 12a^2 + 16a + 2)17^7 + (8a^5 + 4a^4 + 8a^3 + 2a^2 + 2a + 5)17^8 + (15a^5 + 13a^4 + a^3 + 14a^2 + 16a + 13)*17^9+O(17^10)
$r_{ 4 }$	$=$	\( a^{5} + 2 a^{4} + 16 a^{3} + 12 a + 2 + \left(14 a^{5} + 11 a^{4} + 5 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 17 + \left(7 a^{5} + 14 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 17^{2} + \left(10 a^{5} + 15 a^{4} + 6 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 17^{3} + \left(11 a^{5} + 14 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 10\right)\cdot 17^{4} + \left(9 a^{5} + 13 a^{4} + 12 a^{3} + 10 a^{2} + 6\right)\cdot 17^{5} + \left(9 a^{5} + 5 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 17^{6} + \left(4 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 17^{7} + \left(12 a^{5} + 13 a^{4} + 15 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 17^{8} + \left(10 a^{5} + 4 a^{4} + 9 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 17^{9} +O(17^{10})\) a^5 + 2a^4 + 16a^3 + 12a + 2 + (14a^5 + 11a^4 + 5a^3 + 14a^2 + 6a + 8)17 + (7a^5 + 14a^4 + 6a^3 + 4a^2 + 5a + 14)17^2 + (10a^5 + 15a^4 + 6a^3 + 9a^2 + 4a + 9)17^3 + (11a^5 + 14a^4 + 4a^3 + 7a^2 + 10)17^4 + (9a^5 + 13a^4 + 12a^3 + 10a^2 + 6)17^5 + (9a^5 + 5a^4 + 5a^3 + 8a^2 + 3a + 12)17^6 + (4a^5 + 2a^4 + 4a^3 + 16a^2 + 7a + 2)17^7 + (12a^5 + 13a^4 + 15a^3 + 11a^2 + 10a + 2)17^8 + (10a^5 + 4a^4 + 9a^3 + 14a^2 + 16a + 6)*17^9+O(17^10)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 7 a^{5} + 3 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 5 + \left(5 a^{4} + 5 a^{3} + 15 a + 1\right)\cdot 17 + \left(14 a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 17^{2} + \left(7 a^{5} + 8 a^{4} + 10 a^{3} + 13 a + 6\right)\cdot 17^{3} + \left(9 a^{4} + 13 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 17^{4} + \left(12 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 17^{5} + \left(5 a^{5} + 13 a^{4} + 8 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 17^{6} + \left(3 a^{5} + 16 a^{4} + 2 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 17^{7} + \left(13 a^{5} + 4 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 17^{8} + \left(12 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 11 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 17^{9} +O(17^{10})\) 7a^5 + 3a^4 + 7a^3 + 8a^2 + 5a + 5 + (5a^4 + 5a^3 + 15a + 1)17 + (14a^5 + a^4 + 6a^3 + a^2 + 16a + 10)17^2 + (7a^5 + 8a^4 + 10a^3 + 13a + 6)17^3 + (9a^4 + 13a^3 + 2a^2 + 9a + 9)17^4 + (12a^5 + 9a^4 + 5a^3 + 3a^2 + 5a + 1)17^5 + (5a^5 + 13a^4 + 8a^3 + 13a^2 + 2a + 13)17^6 + (3a^5 + 16a^4 + 2a^2 + 15a + 13)17^7 + (13a^5 + 4a^4 + 6a^3 + 5a^2 + 7a + 1)17^8 + (12a^5 + 4a^4 + a^3 + 11a^2 + 15a + 12)*17^9+O(17^10)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 16 a^{5} + 7 a^{3} + 9 a + 4 + \left(4 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 17 + \left(12 a^{5} + 5 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 17^{2} + \left(8 a^{5} + 3 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 17^{3} + \left(a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a + 11\right)\cdot 17^{4} + \left(12 a^{5} + 14 a^{4} + 16 a^{3} + a^{2} + a + 3\right)\cdot 17^{5} + \left(4 a^{5} + 12 a^{4} + 15 a^{3} + a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 17^{6} + \left(11 a^{5} + 7 a^{4} + 8 a^{3} + 15 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 17^{7} + \left(3 a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 17^{8} + \left(4 a^{5} + 10 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 7\right)\cdot 17^{9} +O(17^{10})\) 16a^5 + 7a^3 + 9a + 4 + (4a^5 + 8a^4 + 8a^3 + 3a^2 + 15a + 8)17 + (12a^5 + 5a^4 + 8a^3 + a^2 + 13a + 5)17^2 + (8a^5 + 3a^4 + 5a^3 + 9a^2 + 10a + 5)17^3 + (a^5 + 2a^4 + 11a^3 + 15a + 11)17^4 + (12a^5 + 14a^4 + 16a^3 + a^2 + a + 3)17^5 + (4a^5 + 12a^4 + 15a^3 + a^2 + 11a + 10)17^6 + (11a^5 + 7a^4 + 8a^3 + 15a^2 + 13a + 12)17^7 + (3a^5 + 2a^4 + 11a^3 + a^2 + 11a + 16)17^8 + (4a^5 + 10a^4 + 9a^3 + a^2 + 7)17^9+O(17^10)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 4 a^{5} + 7 a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 13 + \left(7 a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 17 + \left(7 a^{5} + 11 a^{4} + 16 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 17^{2} + \left(8 a^{5} + 9 a^{4} + 14 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 17^{3} + \left(9 a^{5} + 15 a^{4} + 16 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 17^{4} + \left(7 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 17^{5} + \left(2 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 16 a^{2} + 3\right)\cdot 17^{6} + \left(9 a^{5} + 13 a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 17^{7} + \left(4 a^{5} + 14 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 17^{8} + \left(14 a^{5} + 8 a^{4} + 16 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 17^{9} +O(17^{10})\) 4a^5 + 7a^4 + 2a^3 + 11a^2 + 4a + 13 + (7a^5 + 14a^4 + 15a^3 + 8a^2 + 7a + 3)17 + (7a^5 + 11a^4 + 16a^3 + 14a^2 + 14a + 2)17^2 + (8a^5 + 9a^4 + 14a^3 + 16a^2 + 13a + 4)17^3 + (9a^5 + 15a^4 + 16a^3 + 8a^2 + 13a + 6)17^4 + (7a^4 + 11a^3 + 8a^2 + 6a + 3)17^5 + (2a^5 + 4a^4 + 16a^3 + 16a^2 + 3)17^6 + (9a^5 + 13a^4 + 12a^3 + 6a^2 + 16a + 14)17^7 + (4a^5 + 14a^3 + 2a^2 + 4a + 1)17^8 + (14a^5 + 8a^4 + 16a^3 + 14a^2 + 16a + 5)17^9+O(17^10)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 15 a^{5} + 15 a^{4} + 8 a^{3} + 14 a + 10 + \left(7 a^{5} + 13 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 17 + \left(4 a^{5} + 7 a^{4} + 2 a^{3} + 13 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 17^{2} + \left(15 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 17^{3} + \left(6 a^{5} + 4 a^{4} + 6 a^{3} + 9 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 17^{4} + \left(2 a^{5} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + a + 7\right)\cdot 17^{5} + \left(12 a^{5} + 7 a^{4} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 17^{6} + \left(6 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 17^{7} + \left(8 a^{5} + 6 a^{4} + 13 a^{3} + 6 a^{2} + a + 9\right)\cdot 17^{8} + \left(10 a^{5} + 5 a^{4} + 16 a^{3} + 3 a^{2} + a + 12\right)\cdot 17^{9} +O(17^{10})\) 15a^5 + 15a^4 + 8a^3 + 14a + 10 + (7a^5 + 13a^4 + 2a^3 + 6a^2 + 8a + 10)17 + (4a^5 + 7a^4 + 2a^3 + 13a^2 + 8a + 3)17^2 + (15a^5 + 4a^4 + 16a^3 + 16a^2 + 6a + 14)17^3 + (6a^5 + 4a^4 + 6a^3 + 9a^2 + 15a + 5)17^4 + (2a^5 + 4a^3 + 7a^2 + a + 7)17^5 + (12a^5 + 7a^4 + 10a^3 + 9a^2 + 8a + 14)17^6 + (6a^5 + 5a^4 + 4a^3 + 15a^2 + 6a + 6)17^7 + (8a^5 + 6a^4 + 13a^3 + 6a^2 + a + 9)17^8 + (10a^5 + 5a^4 + 16a^3 + 3a^2 + a + 12)17^9+O(17^10)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 14 a^{5} + 4 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + 16 + \left(6 a^{5} + 9 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 17 + \left(10 a^{5} + 10 a^{4} + 10 a^{3} + 13 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 17^{2} + \left(a^{4} + 4 a^{3} + 16 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 17^{3} + \left(9 a^{5} + 6 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 17^{4} + \left(5 a^{5} + 15 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + a + 12\right)\cdot 17^{5} + \left(13 a^{5} + 7 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 17^{6} + \left(5 a^{5} + 13 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 14\right)\cdot 17^{7} + \left(8 a^{5} + 12 a^{4} + 8 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 17^{8} + \left(a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 2 a^{2} + 3\right)\cdot 17^{9} +O(17^{10})\) 14a^5 + 4a^4 + 12a^3 + 3a^2 + 16a + 16 + (6a^5 + 9a^4 + 9a^3 + 8a^2 + 8a + 12)17 + (10a^5 + 10a^4 + 10a^3 + 13a^2 + 14a + 4)17^2 + (a^4 + 4a^3 + 16a^2 + 16a + 16)17^3 + (9a^5 + 6a^4 + 3a^3 + 6a^2 + 3a + 1)17^4 + (5a^5 + 15a^4 + 6a^3 + 5a^2 + a + 12)17^5 + (13a^5 + 7a^4 + 8a^3 + 3a^2 + 15a + 6)17^6 + (5a^5 + 13a^4 + 12a^3 + 4a^2 + 14)17^7 + (8a^5 + 12a^4 + 8a^3 + 14a^2 + 14a + 11)17^8 + (a^5 + 3a^4 + 15a^3 + 2a^2 + 3)*17^9+O(17^10)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 16 a^{5} + 15 a^{4} + a^{3} + 5 a + 16 + \left(2 a^{5} + 5 a^{4} + 11 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 17 + \left(9 a^{5} + 2 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 17^{2} + \left(6 a^{5} + a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 17^{3} + \left(5 a^{5} + 2 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 17^{4} + \left(7 a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 17^{5} + \left(7 a^{5} + 11 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 17^{6} + \left(12 a^{5} + 14 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a + 14\right)\cdot 17^{7} + \left(4 a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 17^{8} + \left(6 a^{5} + 12 a^{4} + 7 a^{3} + 2 a^{2} + 10\right)\cdot 17^{9} +O(17^{10})\) 16a^5 + 15a^4 + a^3 + 5a + 16 + (2a^5 + 5a^4 + 11a^3 + 3a^2 + 10a + 8)17 + (9a^5 + 2a^4 + 10a^3 + 12a^2 + 11a + 2)17^2 + (6a^5 + a^4 + 10a^3 + 7a^2 + 12a + 7)17^3 + (5a^5 + 2a^4 + 12a^3 + 9a^2 + 16a + 6)17^4 + (7a^5 + 3a^4 + 4a^3 + 6a^2 + 16a + 10)17^5 + (7a^5 + 11a^4 + 11a^3 + 8a^2 + 13a + 4)17^6 + (12a^5 + 14a^4 + 12a^3 + 9a + 14)17^7 + (4a^5 + 3a^4 + a^3 + 5a^2 + 6a + 14)17^8 + (6a^5 + 12a^4 + 7a^3 + 2a^2 + 10)*17^9+O(17^10)
$r_{ 11 }$	$=$	\( a^{5} + 10 a^{3} + 8 a + 14 + \left(12 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 14 a^{2} + a + 8\right)\cdot 17 + \left(4 a^{5} + 11 a^{4} + 8 a^{3} + 15 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 17^{2} + \left(8 a^{5} + 13 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 17^{3} + \left(15 a^{5} + 14 a^{4} + 5 a^{3} + 16 a^{2} + a + 5\right)\cdot 17^{4} + \left(4 a^{5} + 2 a^{4} + 15 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 17^{5} + \left(12 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 15 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 17^{6} + \left(5 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 17^{7} + \left(13 a^{5} + 14 a^{4} + 5 a^{3} + 15 a^{2} + 5 a\right)\cdot 17^{8} + \left(12 a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 17^{9} +O(17^{10})\) a^5 + 10a^3 + 8a + 14 + (12a^5 + 9a^4 + 8a^3 + 14a^2 + a + 8)17 + (4a^5 + 11a^4 + 8a^3 + 15a^2 + 3a + 11)17^2 + (8a^5 + 13a^4 + 11a^3 + 7a^2 + 6a + 11)17^3 + (15a^5 + 14a^4 + 5a^3 + 16a^2 + a + 5)17^4 + (4a^5 + 2a^4 + 15a^2 + 15a + 13)17^5 + (12a^5 + 4a^4 + a^3 + 15a^2 + 5a + 6)17^6 + (5a^5 + 9a^4 + 8a^3 + a^2 + 3a + 4)17^7 + (13a^5 + 14a^4 + 5a^3 + 15a^2 + 5a)17^8 + (12a^5 + 6a^4 + 7a^3 + 15a^2 + 16a + 9)*17^9+O(17^10)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 10 a^{5} + 14 a^{4} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 13 + \left(16 a^{5} + 11 a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + a + 15\right)\cdot 17 + \left(2 a^{5} + 15 a^{4} + 10 a^{3} + 15 a^{2} + 6\right)\cdot 17^{2} + \left(9 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 17^{3} + \left(16 a^{5} + 7 a^{4} + 3 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 17^{4} + \left(4 a^{5} + 7 a^{4} + 11 a^{3} + 13 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 17^{5} + \left(11 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 17^{6} + \left(13 a^{5} + 16 a^{3} + 14 a^{2} + a + 3\right)\cdot 17^{7} + \left(3 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 17^{8} + \left(4 a^{5} + 12 a^{4} + 15 a^{3} + 5 a^{2} + a + 4\right)\cdot 17^{9} +O(17^{10})\) 10a^5 + 14a^4 + 10a^3 + 9a^2 + 12a + 13 + (16a^5 + 11a^4 + 11a^3 + 16a^2 + a + 15)17 + (2a^5 + 15a^4 + 10a^3 + 15a^2 + 6)17^2 + (9a^5 + 8a^4 + 6a^3 + 16a^2 + 3a + 10)17^3 + (16a^5 + 7a^4 + 3a^3 + 14a^2 + 7a + 7)17^4 + (4a^5 + 7a^4 + 11a^3 + 13a^2 + 11a + 15)17^5 + (11a^5 + 3a^4 + 8a^3 + 3a^2 + 14a + 3)17^6 + (13a^5 + 16a^3 + 14a^2 + a + 3)17^7 + (3a^5 + 12a^4 + 10a^3 + 11a^2 + 9a + 15)17^8 + (4a^5 + 12a^4 + 15a^3 + 5a^2 + a + 4)17^9+O(17^10)