LMFDB - Artin representation 2.2128.12t18.b.a

Basic invariants

Dimension:	$2$
Group:	$C_6\times S_3$
Conductor:	$2128$$\medspace = 2^{4} \cdot 7 \cdot 19 $
Artin stem field:	Galois closure of 12.0.7402760456175616.2
Galois orbit size:	$2$
Smallest permutation container:	$C_6\times S_3$
Parity:	odd
Determinant:	1.133.6t1.i.b
Projective image:	$S_3$
Projective stem field:	Galois closure of 3.1.3724.1

Defining polynomial

$f(x)$

$=$

$ x^{12} + x^{10} + 10x^{8} + 33x^{6} + 50x^{4} + 5x^{2} + 1 $

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 31 }$ to precision 9.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 31 }$: $ x^{6} + 19x^{3} + 16x^{2} + 8x + 3 $ x^6 + 19*x^3 + 16*x^2 + 8*x + 3

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ 16 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{3} + 27 a^{2} + 19 a + 22 + \left(5 a^{5} + 21 a^{4} + 11 a^{2} + 16 a\right)\cdot 31 + \left(30 a^{5} + 19 a^{4} + 10 a^{3} + 27 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 31^{2} + \left(28 a^{5} + a^{4} + 20 a^{3} + 13 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 31^{3} + \left(23 a^{5} + 9 a^{4} + 30 a^{3} + 15 a^{2} + 24 a + 5\right)\cdot 31^{4} + \left(4 a^{5} + 15 a^{4} + 14 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 30\right)\cdot 31^{5} + \left(16 a^{5} + 30 a^{4} + 7 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 24\right)\cdot 31^{6} + \left(15 a^{5} + 28 a^{4} + 17 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 31^{7} + \left(24 a^{5} + 24 a^{4} + 29 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})$ 16a^5 + 7a^4 + 7a^3 + 27a^2 + 19a + 22 + (5a^5 + 21a^4 + 11a^2 + 16a)31 + (30a^5 + 19a^4 + 10a^3 + 27a^2 + 15a + 2)31^2 + (28a^5 + a^4 + 20a^3 + 13a^2 + 4a + 6)31^3 + (23a^5 + 9a^4 + 30a^3 + 15a^2 + 24a + 5)31^4 + (4a^5 + 15a^4 + 14a^3 + 9a^2 + 12a + 30)31^5 + (16a^5 + 30a^4 + 7a^3 + 17a^2 + 10a + 24)31^6 + (15a^5 + 28a^4 + 17a^3 + 16a^2 + 12a + 12)31^7 + (24a^5 + 24a^4 + 29a^3 + 6a^2 + 18a + 12)*31^8+O(31^9)
$r_{ 2 }$	$=$	$ 21 a^{5} + 30 a^{4} + 24 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 20 + \left(29 a^{5} + 27 a^{4} + 29 a^{3} + 20 a^{2} + 9 a + 20\right)\cdot 31 + \left(18 a^{5} + 18 a^{4} + 8 a^{3} + 11 a^{2} + 15 a + 28\right)\cdot 31^{2} + \left(18 a^{5} + 24 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 31^{3} + \left(18 a^{5} + 29 a^{4} + 14 a^{3} + 13 a^{2} + 25 a + 28\right)\cdot 31^{4} + \left(24 a^{5} + 29 a^{4} + 11 a^{3} + 27 a^{2} + 26 a + 10\right)\cdot 31^{5} + \left(20 a^{5} + 19 a^{4} + 4 a^{3} + 28 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 31^{6} + \left(24 a^{5} + 23 a^{4} + 23 a^{3} + 17 a + 27\right)\cdot 31^{7} + \left(18 a^{5} + 6 a^{4} + 19 a^{3} + 19 a + 2\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})$ 21a^5 + 30a^4 + 24a^3 + 8a^2 + 2a + 20 + (29a^5 + 27a^4 + 29a^3 + 20a^2 + 9a + 20)31 + (18a^5 + 18a^4 + 8a^3 + 11a^2 + 15a + 28)31^2 + (18a^5 + 24a^4 + 5a^3 + 8a^2 + 8a + 12)31^3 + (18a^5 + 29a^4 + 14a^3 + 13a^2 + 25a + 28)31^4 + (24a^5 + 29a^4 + 11a^3 + 27a^2 + 26a + 10)31^5 + (20a^5 + 19a^4 + 4a^3 + 28a^2 + 17a + 9)31^6 + (24a^5 + 23a^4 + 23a^3 + 17a + 27)31^7 + (18a^5 + 6a^4 + 19a^3 + 19a + 2)*31^8+O(31^9)
$r_{ 3 }$	$=$	$ 3 a^{5} + 20 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 10 + \left(6 a^{5} + 27 a^{4} + 26 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 31 + \left(2 a^{5} + 7 a^{4} + 19 a^{3} + 7 a^{2} + 26 a + 10\right)\cdot 31^{2} + \left(12 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 26 a + 13\right)\cdot 31^{3} + \left(12 a^{5} + 22 a^{4} + 19 a^{3} + 10 a^{2} + 26 a + 17\right)\cdot 31^{4} + \left(4 a^{5} + 18 a^{4} + 15 a^{3} + 23 a^{2} + 30 a + 18\right)\cdot 31^{5} + \left(2 a^{5} + 9 a^{4} + 30 a^{3} + 28 a^{2} + 14 a + 25\right)\cdot 31^{6} + \left(a^{5} + 23 a^{4} + 26 a^{3} + 13 a^{2} + 29 a + 20\right)\cdot 31^{7} + \left(20 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})$ 3a^5 + 20a^3 + 3a^2 + 12a + 10 + (6a^5 + 27a^4 + 26a^3 + 12a^2 + 5a + 12)31 + (2a^5 + 7a^4 + 19a^3 + 7a^2 + 26a + 10)31^2 + (12a^5 + 3a^4 + 12a^3 + 9a^2 + 26a + 13)31^3 + (12a^5 + 22a^4 + 19a^3 + 10a^2 + 26a + 17)31^4 + (4a^5 + 18a^4 + 15a^3 + 23a^2 + 30a + 18)31^5 + (2a^5 + 9a^4 + 30a^3 + 28a^2 + 14a + 25)31^6 + (a^5 + 23a^4 + 26a^3 + 13a^2 + 29a + 20)31^7 + (20a^5 + 11a^4 + 6a^3 + 11a^2 + 14a + 3)*31^8+O(31^9)
$r_{ 4 }$	$=$	$ 19 a^{4} + 8 a^{3} + 29 a^{2} + 8 a + 24 + \left(3 a^{5} + 11 a^{4} + 24 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 31 + \left(26 a^{5} + 8 a^{4} + 15 a^{3} + 29 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 31^{2} + \left(6 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 31^{3} + \left(23 a^{5} + 30 a^{4} + 18 a^{3} + 22 a^{2} + 26 a + 29\right)\cdot 31^{4} + \left(24 a^{5} + 12 a^{4} + 21 a^{3} + 26 a^{2} + 10 a + 19\right)\cdot 31^{5} + \left(22 a^{5} + 7 a^{4} + 29 a^{3} + 20 a^{2} + 23 a + 10\right)\cdot 31^{6} + \left(25 a^{5} + 5 a^{4} + 15 a^{3} + 2 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 31^{7} + \left(8 a^{5} + 6 a^{4} + 24 a^{3} + 15 a + 27\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})$ 19a^4 + 8a^3 + 29a^2 + 8a + 24 + (3a^5 + 11a^4 + 24a^3 + 17a^2 + 5a + 13)31 + (26a^5 + 8a^4 + 15a^3 + 29a^2 + 8a + 18)31^2 + (6a^5 + 3a^4 + 9a^3 + 11a^2 + 7a + 15)31^3 + (23a^5 + 30a^4 + 18a^3 + 22a^2 + 26a + 29)31^4 + (24a^5 + 12a^4 + 21a^3 + 26a^2 + 10a + 19)31^5 + (22a^5 + 7a^4 + 29a^3 + 20a^2 + 23a + 10)31^6 + (25a^5 + 5a^4 + 15a^3 + 2a^2 + 13a + 2)31^7 + (8a^5 + 6a^4 + 24a^3 + 15a + 27)*31^8+O(31^9)
$r_{ 5 }$	$=$	$ 22 a^{5} + 26 a^{4} + 14 a^{3} + 22 a^{2} + 26 a + 16 + \left(26 a^{5} + 28 a^{4} + 12 a^{3} + 27 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 31 + \left(19 a^{5} + 26 a^{4} + 30 a^{3} + 29 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 31^{2} + \left(20 a^{5} + 12 a^{4} + 27 a^{3} + 18 a^{2} + 23 a + 29\right)\cdot 31^{3} + \left(22 a^{5} + 12 a^{4} + a^{3} + 23 a^{2} + 11 a + 22\right)\cdot 31^{4} + \left(4 a^{5} + 20 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 30\right)\cdot 31^{5} + \left(22 a^{5} + 27 a^{4} + 29 a^{3} + 30 a^{2} + 12 a + 30\right)\cdot 31^{6} + \left(15 a^{5} + 7 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 31^{7} + \left(6 a^{5} + 30 a^{4} + 9 a^{3} + 15 a^{2} + 24 a + 8\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})$ 22a^5 + 26a^4 + 14a^3 + 22a^2 + 26a + 16 + (26a^5 + 28a^4 + 12a^3 + 27a^2 + 5a + 3)31 + (19a^5 + 26a^4 + 30a^3 + 29a^2 + 16a + 13)31^2 + (20a^5 + 12a^4 + 27a^3 + 18a^2 + 23a + 29)31^3 + (22a^5 + 12a^4 + a^3 + 23a^2 + 11a + 22)31^4 + (4a^5 + 20a^4 + 12a^3 + 2a^2 + 4a + 30)31^5 + (22a^5 + 27a^4 + 29a^3 + 30a^2 + 12a + 30)31^6 + (15a^5 + 7a^4 + 3a^3 + 5a^2 + 12a + 8)31^7 + (6a^5 + 30a^4 + 9a^3 + 15a^2 + 24a + 8)31^8+O(31^9)
$r_{ 6 }$	$=$	$ 20 a^{5} + 15 a^{4} + 9 a^{3} + 15 a^{2} + 16 a + 26 + \left(5 a^{5} + 6 a^{4} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 13 a + 19\right)\cdot 31 + \left(7 a^{5} + 27 a^{4} + 4 a^{3} + 23 a^{2} + 3 a + 27\right)\cdot 31^{2} + \left(5 a^{5} + 20 a^{4} + 15 a^{3} + 21 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 31^{3} + \left(17 a^{5} + 14 a^{4} + 19 a^{3} + 13 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 31^{4} + \left(26 a^{5} + 11 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a\right)\cdot 31^{5} + \left(27 a^{5} + 9 a^{4} + 2 a^{3} + 26 a^{2} + 27 a + 22\right)\cdot 31^{6} + \left(12 a^{5} + 9 a^{3} + a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 31^{7} + \left(23 a^{5} + 23 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 22 a + 26\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})$ 20a^5 + 15a^4 + 9a^3 + 15a^2 + 16a + 26 + (5a^5 + 6a^4 + 16a^3 + 13a^2 + 13a + 19)31 + (7a^5 + 27a^4 + 4a^3 + 23a^2 + 3a + 27)31^2 + (5a^5 + 20a^4 + 15a^3 + 21a^2 + 8a + 18)31^3 + (17a^5 + 14a^4 + 19a^3 + 13a^2 + 11a + 16)31^4 + (26a^5 + 11a^4 + 9a^3 + 12a^2 + 10a)31^5 + (27a^5 + 9a^4 + 2a^3 + 26a^2 + 27a + 22)31^6 + (12a^5 + 9a^3 + a^2 + 22a + 15)31^7 + (23a^5 + 23a^4 + a^3 + 2a^2 + 22a + 26)31^8+O(31^9)
$r_{ 7 }$	$=$	$ 15 a^{5} + 24 a^{4} + 24 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 9 + \left(25 a^{5} + 9 a^{4} + 30 a^{3} + 19 a^{2} + 14 a + 30\right)\cdot 31 + \left(11 a^{4} + 20 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 28\right)\cdot 31^{2} + \left(2 a^{5} + 29 a^{4} + 10 a^{3} + 17 a^{2} + 26 a + 24\right)\cdot 31^{3} + \left(7 a^{5} + 21 a^{4} + 15 a^{2} + 6 a + 25\right)\cdot 31^{4} + \left(26 a^{5} + 15 a^{4} + 16 a^{3} + 21 a^{2} + 18 a\right)\cdot 31^{5} + \left(14 a^{5} + 23 a^{3} + 13 a^{2} + 20 a + 6\right)\cdot 31^{6} + \left(15 a^{5} + 2 a^{4} + 13 a^{3} + 14 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 31^{7} + \left(6 a^{5} + 6 a^{4} + a^{3} + 24 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})$ 15a^5 + 24a^4 + 24a^3 + 4a^2 + 12a + 9 + (25a^5 + 9a^4 + 30a^3 + 19a^2 + 14a + 30)31 + (11a^4 + 20a^3 + 3a^2 + 15a + 28)31^2 + (2a^5 + 29a^4 + 10a^3 + 17a^2 + 26a + 24)31^3 + (7a^5 + 21a^4 + 15a^2 + 6a + 25)31^4 + (26a^5 + 15a^4 + 16a^3 + 21a^2 + 18a)31^5 + (14a^5 + 23a^3 + 13a^2 + 20a + 6)31^6 + (15a^5 + 2a^4 + 13a^3 + 14a^2 + 18a + 18)31^7 + (6a^5 + 6a^4 + a^3 + 24a^2 + 12a + 18)*31^8+O(31^9)
$r_{ 8 }$	$=$	$ 10 a^{5} + a^{4} + 7 a^{3} + 23 a^{2} + 29 a + 11 + \left(a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 21 a + 10\right)\cdot 31 + \left(12 a^{5} + 12 a^{4} + 22 a^{3} + 19 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 31^{2} + \left(12 a^{5} + 6 a^{4} + 25 a^{3} + 22 a^{2} + 22 a + 18\right)\cdot 31^{3} + \left(12 a^{5} + a^{4} + 16 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 31^{4} + \left(6 a^{5} + a^{4} + 19 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 20\right)\cdot 31^{5} + \left(10 a^{5} + 11 a^{4} + 26 a^{3} + 2 a^{2} + 13 a + 21\right)\cdot 31^{6} + \left(6 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{3} + 30 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 31^{7} + \left(12 a^{5} + 24 a^{4} + 11 a^{3} + 30 a^{2} + 11 a + 28\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})$ 10a^5 + a^4 + 7a^3 + 23a^2 + 29a + 11 + (a^5 + 3a^4 + a^3 + 10a^2 + 21a + 10)31 + (12a^5 + 12a^4 + 22a^3 + 19a^2 + 15a + 2)31^2 + (12a^5 + 6a^4 + 25a^3 + 22a^2 + 22a + 18)31^3 + (12a^5 + a^4 + 16a^3 + 17a^2 + 5a + 2)31^4 + (6a^5 + a^4 + 19a^3 + 3a^2 + 4a + 20)31^5 + (10a^5 + 11a^4 + 26a^3 + 2a^2 + 13a + 21)31^6 + (6a^5 + 7a^4 + 7a^3 + 30a^2 + 13a + 3)31^7 + (12a^5 + 24a^4 + 11a^3 + 30a^2 + 11a + 28)31^8+O(31^9)
$r_{ 9 }$	$=$	$ 28 a^{5} + 11 a^{3} + 28 a^{2} + 19 a + 21 + \left(24 a^{5} + 4 a^{4} + 4 a^{3} + 18 a^{2} + 25 a + 18\right)\cdot 31 + \left(28 a^{5} + 23 a^{4} + 11 a^{3} + 23 a^{2} + 4 a + 20\right)\cdot 31^{2} + \left(18 a^{5} + 27 a^{4} + 18 a^{3} + 21 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 31^{3} + \left(18 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 20 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 31^{4} + \left(26 a^{5} + 12 a^{4} + 15 a^{3} + 7 a^{2} + 12\right)\cdot 31^{5} + \left(28 a^{5} + 21 a^{4} + 2 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 31^{6} + \left(29 a^{5} + 7 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a^{2} + a + 10\right)\cdot 31^{7} + \left(10 a^{5} + 19 a^{4} + 24 a^{3} + 19 a^{2} + 16 a + 27\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})$ 28a^5 + 11a^3 + 28a^2 + 19a + 21 + (24a^5 + 4a^4 + 4a^3 + 18a^2 + 25a + 18)31 + (28a^5 + 23a^4 + 11a^3 + 23a^2 + 4a + 20)31^2 + (18a^5 + 27a^4 + 18a^3 + 21a^2 + 4a + 17)31^3 + (18a^5 + 8a^4 + 11a^3 + 20a^2 + 4a + 13)31^4 + (26a^5 + 12a^4 + 15a^3 + 7a^2 + 12)31^5 + (28a^5 + 21a^4 + 2a^2 + 16a + 5)31^6 + (29a^5 + 7a^4 + 4a^3 + 17a^2 + a + 10)31^7 + (10a^5 + 19a^4 + 24a^3 + 19a^2 + 16a + 27)*31^8+O(31^9)
$r_{ 10 }$	$=$	$ 12 a^{4} + 23 a^{3} + 2 a^{2} + 23 a + 7 + \left(28 a^{5} + 19 a^{4} + 6 a^{3} + 13 a^{2} + 25 a + 17\right)\cdot 31 + \left(4 a^{5} + 22 a^{4} + 15 a^{3} + a^{2} + 22 a + 12\right)\cdot 31^{2} + \left(24 a^{5} + 27 a^{4} + 21 a^{3} + 19 a^{2} + 23 a + 15\right)\cdot 31^{3} + \left(7 a^{5} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 31^{4} + \left(6 a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 20 a + 11\right)\cdot 31^{5} + \left(8 a^{5} + 23 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 20\right)\cdot 31^{6} + \left(5 a^{5} + 25 a^{4} + 15 a^{3} + 28 a^{2} + 17 a + 28\right)\cdot 31^{7} + \left(22 a^{5} + 24 a^{4} + 6 a^{3} + 30 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})$ 12a^4 + 23a^3 + 2a^2 + 23a + 7 + (28a^5 + 19a^4 + 6a^3 + 13a^2 + 25a + 17)31 + (4a^5 + 22a^4 + 15a^3 + a^2 + 22a + 12)31^2 + (24a^5 + 27a^4 + 21a^3 + 19a^2 + 23a + 15)31^3 + (7a^5 + 12a^3 + 8a^2 + 4a + 1)31^4 + (6a^5 + 18a^4 + 9a^3 + 4a^2 + 20a + 11)31^5 + (8a^5 + 23a^4 + a^3 + 10a^2 + 7a + 20)31^6 + (5a^5 + 25a^4 + 15a^3 + 28a^2 + 17a + 28)31^7 + (22a^5 + 24a^4 + 6a^3 + 30a^2 + 15a + 3)*31^8+O(31^9)
$r_{ 11 }$	$=$	$ 9 a^{5} + 5 a^{4} + 17 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 15 + \left(4 a^{5} + 2 a^{4} + 18 a^{3} + 3 a^{2} + 25 a + 27\right)\cdot 31 + \left(11 a^{5} + 4 a^{4} + a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 31^{2} + \left(10 a^{5} + 18 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 31^{3} + \left(8 a^{5} + 18 a^{4} + 29 a^{3} + 7 a^{2} + 19 a + 8\right)\cdot 31^{4} + \left(26 a^{5} + 10 a^{4} + 18 a^{3} + 28 a^{2} + 26 a\right)\cdot 31^{5} + \left(8 a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 18 a\right)\cdot 31^{6} + \left(15 a^{5} + 23 a^{4} + 27 a^{3} + 25 a^{2} + 18 a + 22\right)\cdot 31^{7} + \left(24 a^{5} + 21 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 22\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})$ 9a^5 + 5a^4 + 17a^3 + 9a^2 + 5a + 15 + (4a^5 + 2a^4 + 18a^3 + 3a^2 + 25a + 27)31 + (11a^5 + 4a^4 + a^2 + 14a + 17)31^2 + (10a^5 + 18a^4 + 3a^3 + 12a^2 + 7a + 1)31^3 + (8a^5 + 18a^4 + 29a^3 + 7a^2 + 19a + 8)31^4 + (26a^5 + 10a^4 + 18a^3 + 28a^2 + 26a)31^5 + (8a^5 + 3a^4 + a^3 + 18a)31^6 + (15a^5 + 23a^4 + 27a^3 + 25a^2 + 18a + 22)31^7 + (24a^5 + 21a^3 + 15a^2 + 6a + 22)31^8+O(31^9)
$r_{ 12 }$	$=$	$ 11 a^{5} + 16 a^{4} + 22 a^{3} + 16 a^{2} + 15 a + 5 + \left(25 a^{5} + 24 a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 31 + \left(23 a^{5} + 3 a^{4} + 26 a^{3} + 7 a^{2} + 27 a + 3\right)\cdot 31^{2} + \left(25 a^{5} + 10 a^{4} + 15 a^{3} + 9 a^{2} + 22 a + 12\right)\cdot 31^{3} + \left(13 a^{5} + 16 a^{4} + 11 a^{3} + 17 a^{2} + 19 a + 14\right)\cdot 31^{4} + \left(4 a^{5} + 19 a^{4} + 21 a^{3} + 18 a^{2} + 20 a + 30\right)\cdot 31^{5} + \left(3 a^{5} + 21 a^{4} + 28 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 31^{6} + \left(18 a^{5} + 30 a^{4} + 21 a^{3} + 29 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 31^{7} + \left(7 a^{5} + 7 a^{4} + 29 a^{3} + 28 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})$ 11a^5 + 16a^4 + 22a^3 + 16a^2 + 15a + 5 + (25a^5 + 24a^4 + 14a^3 + 17a^2 + 17a + 11)31 + (23a^5 + 3a^4 + 26a^3 + 7a^2 + 27a + 3)31^2 + (25a^5 + 10a^4 + 15a^3 + 9a^2 + 22a + 12)31^3 + (13a^5 + 16a^4 + 11a^3 + 17a^2 + 19a + 14)31^4 + (4a^5 + 19a^4 + 21a^3 + 18a^2 + 20a + 30)31^5 + (3a^5 + 21a^4 + 28a^3 + 4a^2 + 3a + 8)31^6 + (18a^5 + 30a^4 + 21a^3 + 29a^2 + 8a + 15)31^7 + (7a^5 + 7a^4 + 29a^3 + 28a^2 + 8a + 4)*31^8+O(31^9)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 12 }$

Cycle notation
$(1,3,10,12,5,8)(2,7,9,4,6,11)$
$(1,7)(2,12,9,8,6,3)(4,10)(5,11)$
$(1,5,10)(4,7,11)$
$(1,7)(2,8)(3,9)(4,10)(5,11)(6,12)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 12 }$	Character value
$1$	$1$	$()$	$2$
$1$	$2$	$(1,7)(2,8)(3,9)(4,10)(5,11)(6,12)$	$-2$
$3$	$2$	$(1,12)(2,4)(3,5)(6,7)(8,10)(9,11)$	$0$
$3$	$2$	$(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)(9,10)(11,12)$	$0$
$1$	$3$	$(1,10,5)(2,9,6)(3,12,8)(4,11,7)$	$2 \zeta_{3}$
$1$	$3$	$(1,5,10)(2,6,9)(3,8,12)(4,7,11)$	$-2 \zeta_{3} - 2$
$2$	$3$	$(2,9,6)(3,12,8)$	$\zeta_{3} + 1$
$2$	$3$	$(2,6,9)(3,8,12)$	$-\zeta_{3}$
$2$	$3$	$(1,5,10)(2,9,6)(3,12,8)(4,7,11)$	$-1$
$1$	$6$	$(1,11,10,7,5,4)(2,12,9,8,6,3)$	$2 \zeta_{3} + 2$
$1$	$6$	$(1,4,5,7,10,11)(2,3,6,8,9,12)$	$-2 \zeta_{3}$
$2$	$6$	$(1,7)(2,12,9,8,6,3)(4,10)(5,11)$	$\zeta_{3}$
$2$	$6$	$(1,7)(2,3,6,8,9,12)(4,10)(5,11)$	$-\zeta_{3} - 1$
$2$	$6$	$(1,4,5,7,10,11)(2,12,9,8,6,3)$	$1$
$3$	$6$	$(1,3,10,12,5,8)(2,7,9,4,6,11)$	$0$
$3$	$6$	$(1,8,5,12,10,3)(2,11,6,4,9,7)$	$0$
$3$	$6$	$(1,9,10,6,5,2)(3,4,12,11,8,7)$	$0$
$3$	$6$	$(1,2,5,6,10,9)(3,7,8,11,12,4)$	$0$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 12 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	2.2128.12t18.b.a
Dimension	$2$
Group	$C_6\times S_3$
Conductor	$2128$
Root number	not computed
Indicator	$0$

$r_{ 1 }$	$=$	\( 16 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{3} + 27 a^{2} + 19 a + 22 + \left(5 a^{5} + 21 a^{4} + 11 a^{2} + 16 a\right)\cdot 31 + \left(30 a^{5} + 19 a^{4} + 10 a^{3} + 27 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 31^{2} + \left(28 a^{5} + a^{4} + 20 a^{3} + 13 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 31^{3} + \left(23 a^{5} + 9 a^{4} + 30 a^{3} + 15 a^{2} + 24 a + 5\right)\cdot 31^{4} + \left(4 a^{5} + 15 a^{4} + 14 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 30\right)\cdot 31^{5} + \left(16 a^{5} + 30 a^{4} + 7 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 24\right)\cdot 31^{6} + \left(15 a^{5} + 28 a^{4} + 17 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 31^{7} + \left(24 a^{5} + 24 a^{4} + 29 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 16a^5 + 7a^4 + 7a^3 + 27a^2 + 19a + 22 + (5a^5 + 21a^4 + 11a^2 + 16a)31 + (30a^5 + 19a^4 + 10a^3 + 27a^2 + 15a + 2)31^2 + (28a^5 + a^4 + 20a^3 + 13a^2 + 4a + 6)31^3 + (23a^5 + 9a^4 + 30a^3 + 15a^2 + 24a + 5)31^4 + (4a^5 + 15a^4 + 14a^3 + 9a^2 + 12a + 30)31^5 + (16a^5 + 30a^4 + 7a^3 + 17a^2 + 10a + 24)31^6 + (15a^5 + 28a^4 + 17a^3 + 16a^2 + 12a + 12)31^7 + (24a^5 + 24a^4 + 29a^3 + 6a^2 + 18a + 12)*31^8+O(31^9)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 21 a^{5} + 30 a^{4} + 24 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 20 + \left(29 a^{5} + 27 a^{4} + 29 a^{3} + 20 a^{2} + 9 a + 20\right)\cdot 31 + \left(18 a^{5} + 18 a^{4} + 8 a^{3} + 11 a^{2} + 15 a + 28\right)\cdot 31^{2} + \left(18 a^{5} + 24 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 31^{3} + \left(18 a^{5} + 29 a^{4} + 14 a^{3} + 13 a^{2} + 25 a + 28\right)\cdot 31^{4} + \left(24 a^{5} + 29 a^{4} + 11 a^{3} + 27 a^{2} + 26 a + 10\right)\cdot 31^{5} + \left(20 a^{5} + 19 a^{4} + 4 a^{3} + 28 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 31^{6} + \left(24 a^{5} + 23 a^{4} + 23 a^{3} + 17 a + 27\right)\cdot 31^{7} + \left(18 a^{5} + 6 a^{4} + 19 a^{3} + 19 a + 2\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 21a^5 + 30a^4 + 24a^3 + 8a^2 + 2a + 20 + (29a^5 + 27a^4 + 29a^3 + 20a^2 + 9a + 20)31 + (18a^5 + 18a^4 + 8a^3 + 11a^2 + 15a + 28)31^2 + (18a^5 + 24a^4 + 5a^3 + 8a^2 + 8a + 12)31^3 + (18a^5 + 29a^4 + 14a^3 + 13a^2 + 25a + 28)31^4 + (24a^5 + 29a^4 + 11a^3 + 27a^2 + 26a + 10)31^5 + (20a^5 + 19a^4 + 4a^3 + 28a^2 + 17a + 9)31^6 + (24a^5 + 23a^4 + 23a^3 + 17a + 27)31^7 + (18a^5 + 6a^4 + 19a^3 + 19a + 2)*31^8+O(31^9)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 3 a^{5} + 20 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 10 + \left(6 a^{5} + 27 a^{4} + 26 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 31 + \left(2 a^{5} + 7 a^{4} + 19 a^{3} + 7 a^{2} + 26 a + 10\right)\cdot 31^{2} + \left(12 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 26 a + 13\right)\cdot 31^{3} + \left(12 a^{5} + 22 a^{4} + 19 a^{3} + 10 a^{2} + 26 a + 17\right)\cdot 31^{4} + \left(4 a^{5} + 18 a^{4} + 15 a^{3} + 23 a^{2} + 30 a + 18\right)\cdot 31^{5} + \left(2 a^{5} + 9 a^{4} + 30 a^{3} + 28 a^{2} + 14 a + 25\right)\cdot 31^{6} + \left(a^{5} + 23 a^{4} + 26 a^{3} + 13 a^{2} + 29 a + 20\right)\cdot 31^{7} + \left(20 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 3a^5 + 20a^3 + 3a^2 + 12a + 10 + (6a^5 + 27a^4 + 26a^3 + 12a^2 + 5a + 12)31 + (2a^5 + 7a^4 + 19a^3 + 7a^2 + 26a + 10)31^2 + (12a^5 + 3a^4 + 12a^3 + 9a^2 + 26a + 13)31^3 + (12a^5 + 22a^4 + 19a^3 + 10a^2 + 26a + 17)31^4 + (4a^5 + 18a^4 + 15a^3 + 23a^2 + 30a + 18)31^5 + (2a^5 + 9a^4 + 30a^3 + 28a^2 + 14a + 25)31^6 + (a^5 + 23a^4 + 26a^3 + 13a^2 + 29a + 20)31^7 + (20a^5 + 11a^4 + 6a^3 + 11a^2 + 14a + 3)*31^8+O(31^9)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 19 a^{4} + 8 a^{3} + 29 a^{2} + 8 a + 24 + \left(3 a^{5} + 11 a^{4} + 24 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 31 + \left(26 a^{5} + 8 a^{4} + 15 a^{3} + 29 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 31^{2} + \left(6 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 31^{3} + \left(23 a^{5} + 30 a^{4} + 18 a^{3} + 22 a^{2} + 26 a + 29\right)\cdot 31^{4} + \left(24 a^{5} + 12 a^{4} + 21 a^{3} + 26 a^{2} + 10 a + 19\right)\cdot 31^{5} + \left(22 a^{5} + 7 a^{4} + 29 a^{3} + 20 a^{2} + 23 a + 10\right)\cdot 31^{6} + \left(25 a^{5} + 5 a^{4} + 15 a^{3} + 2 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 31^{7} + \left(8 a^{5} + 6 a^{4} + 24 a^{3} + 15 a + 27\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 19a^4 + 8a^3 + 29a^2 + 8a + 24 + (3a^5 + 11a^4 + 24a^3 + 17a^2 + 5a + 13)31 + (26a^5 + 8a^4 + 15a^3 + 29a^2 + 8a + 18)31^2 + (6a^5 + 3a^4 + 9a^3 + 11a^2 + 7a + 15)31^3 + (23a^5 + 30a^4 + 18a^3 + 22a^2 + 26a + 29)31^4 + (24a^5 + 12a^4 + 21a^3 + 26a^2 + 10a + 19)31^5 + (22a^5 + 7a^4 + 29a^3 + 20a^2 + 23a + 10)31^6 + (25a^5 + 5a^4 + 15a^3 + 2a^2 + 13a + 2)31^7 + (8a^5 + 6a^4 + 24a^3 + 15a + 27)*31^8+O(31^9)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 22 a^{5} + 26 a^{4} + 14 a^{3} + 22 a^{2} + 26 a + 16 + \left(26 a^{5} + 28 a^{4} + 12 a^{3} + 27 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 31 + \left(19 a^{5} + 26 a^{4} + 30 a^{3} + 29 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 31^{2} + \left(20 a^{5} + 12 a^{4} + 27 a^{3} + 18 a^{2} + 23 a + 29\right)\cdot 31^{3} + \left(22 a^{5} + 12 a^{4} + a^{3} + 23 a^{2} + 11 a + 22\right)\cdot 31^{4} + \left(4 a^{5} + 20 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 30\right)\cdot 31^{5} + \left(22 a^{5} + 27 a^{4} + 29 a^{3} + 30 a^{2} + 12 a + 30\right)\cdot 31^{6} + \left(15 a^{5} + 7 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 31^{7} + \left(6 a^{5} + 30 a^{4} + 9 a^{3} + 15 a^{2} + 24 a + 8\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 22a^5 + 26a^4 + 14a^3 + 22a^2 + 26a + 16 + (26a^5 + 28a^4 + 12a^3 + 27a^2 + 5a + 3)31 + (19a^5 + 26a^4 + 30a^3 + 29a^2 + 16a + 13)31^2 + (20a^5 + 12a^4 + 27a^3 + 18a^2 + 23a + 29)31^3 + (22a^5 + 12a^4 + a^3 + 23a^2 + 11a + 22)31^4 + (4a^5 + 20a^4 + 12a^3 + 2a^2 + 4a + 30)31^5 + (22a^5 + 27a^4 + 29a^3 + 30a^2 + 12a + 30)31^6 + (15a^5 + 7a^4 + 3a^3 + 5a^2 + 12a + 8)31^7 + (6a^5 + 30a^4 + 9a^3 + 15a^2 + 24a + 8)31^8+O(31^9)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 20 a^{5} + 15 a^{4} + 9 a^{3} + 15 a^{2} + 16 a + 26 + \left(5 a^{5} + 6 a^{4} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 13 a + 19\right)\cdot 31 + \left(7 a^{5} + 27 a^{4} + 4 a^{3} + 23 a^{2} + 3 a + 27\right)\cdot 31^{2} + \left(5 a^{5} + 20 a^{4} + 15 a^{3} + 21 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 31^{3} + \left(17 a^{5} + 14 a^{4} + 19 a^{3} + 13 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 31^{4} + \left(26 a^{5} + 11 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a\right)\cdot 31^{5} + \left(27 a^{5} + 9 a^{4} + 2 a^{3} + 26 a^{2} + 27 a + 22\right)\cdot 31^{6} + \left(12 a^{5} + 9 a^{3} + a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 31^{7} + \left(23 a^{5} + 23 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 22 a + 26\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 20a^5 + 15a^4 + 9a^3 + 15a^2 + 16a + 26 + (5a^5 + 6a^4 + 16a^3 + 13a^2 + 13a + 19)31 + (7a^5 + 27a^4 + 4a^3 + 23a^2 + 3a + 27)31^2 + (5a^5 + 20a^4 + 15a^3 + 21a^2 + 8a + 18)31^3 + (17a^5 + 14a^4 + 19a^3 + 13a^2 + 11a + 16)31^4 + (26a^5 + 11a^4 + 9a^3 + 12a^2 + 10a)31^5 + (27a^5 + 9a^4 + 2a^3 + 26a^2 + 27a + 22)31^6 + (12a^5 + 9a^3 + a^2 + 22a + 15)31^7 + (23a^5 + 23a^4 + a^3 + 2a^2 + 22a + 26)31^8+O(31^9)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 15 a^{5} + 24 a^{4} + 24 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 9 + \left(25 a^{5} + 9 a^{4} + 30 a^{3} + 19 a^{2} + 14 a + 30\right)\cdot 31 + \left(11 a^{4} + 20 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 28\right)\cdot 31^{2} + \left(2 a^{5} + 29 a^{4} + 10 a^{3} + 17 a^{2} + 26 a + 24\right)\cdot 31^{3} + \left(7 a^{5} + 21 a^{4} + 15 a^{2} + 6 a + 25\right)\cdot 31^{4} + \left(26 a^{5} + 15 a^{4} + 16 a^{3} + 21 a^{2} + 18 a\right)\cdot 31^{5} + \left(14 a^{5} + 23 a^{3} + 13 a^{2} + 20 a + 6\right)\cdot 31^{6} + \left(15 a^{5} + 2 a^{4} + 13 a^{3} + 14 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 31^{7} + \left(6 a^{5} + 6 a^{4} + a^{3} + 24 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 15a^5 + 24a^4 + 24a^3 + 4a^2 + 12a + 9 + (25a^5 + 9a^4 + 30a^3 + 19a^2 + 14a + 30)31 + (11a^4 + 20a^3 + 3a^2 + 15a + 28)31^2 + (2a^5 + 29a^4 + 10a^3 + 17a^2 + 26a + 24)31^3 + (7a^5 + 21a^4 + 15a^2 + 6a + 25)31^4 + (26a^5 + 15a^4 + 16a^3 + 21a^2 + 18a)31^5 + (14a^5 + 23a^3 + 13a^2 + 20a + 6)31^6 + (15a^5 + 2a^4 + 13a^3 + 14a^2 + 18a + 18)31^7 + (6a^5 + 6a^4 + a^3 + 24a^2 + 12a + 18)*31^8+O(31^9)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 10 a^{5} + a^{4} + 7 a^{3} + 23 a^{2} + 29 a + 11 + \left(a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 21 a + 10\right)\cdot 31 + \left(12 a^{5} + 12 a^{4} + 22 a^{3} + 19 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 31^{2} + \left(12 a^{5} + 6 a^{4} + 25 a^{3} + 22 a^{2} + 22 a + 18\right)\cdot 31^{3} + \left(12 a^{5} + a^{4} + 16 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 31^{4} + \left(6 a^{5} + a^{4} + 19 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 20\right)\cdot 31^{5} + \left(10 a^{5} + 11 a^{4} + 26 a^{3} + 2 a^{2} + 13 a + 21\right)\cdot 31^{6} + \left(6 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{3} + 30 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 31^{7} + \left(12 a^{5} + 24 a^{4} + 11 a^{3} + 30 a^{2} + 11 a + 28\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 10a^5 + a^4 + 7a^3 + 23a^2 + 29a + 11 + (a^5 + 3a^4 + a^3 + 10a^2 + 21a + 10)31 + (12a^5 + 12a^4 + 22a^3 + 19a^2 + 15a + 2)31^2 + (12a^5 + 6a^4 + 25a^3 + 22a^2 + 22a + 18)31^3 + (12a^5 + a^4 + 16a^3 + 17a^2 + 5a + 2)31^4 + (6a^5 + a^4 + 19a^3 + 3a^2 + 4a + 20)31^5 + (10a^5 + 11a^4 + 26a^3 + 2a^2 + 13a + 21)31^6 + (6a^5 + 7a^4 + 7a^3 + 30a^2 + 13a + 3)31^7 + (12a^5 + 24a^4 + 11a^3 + 30a^2 + 11a + 28)31^8+O(31^9)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 28 a^{5} + 11 a^{3} + 28 a^{2} + 19 a + 21 + \left(24 a^{5} + 4 a^{4} + 4 a^{3} + 18 a^{2} + 25 a + 18\right)\cdot 31 + \left(28 a^{5} + 23 a^{4} + 11 a^{3} + 23 a^{2} + 4 a + 20\right)\cdot 31^{2} + \left(18 a^{5} + 27 a^{4} + 18 a^{3} + 21 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 31^{3} + \left(18 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 20 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 31^{4} + \left(26 a^{5} + 12 a^{4} + 15 a^{3} + 7 a^{2} + 12\right)\cdot 31^{5} + \left(28 a^{5} + 21 a^{4} + 2 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 31^{6} + \left(29 a^{5} + 7 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a^{2} + a + 10\right)\cdot 31^{7} + \left(10 a^{5} + 19 a^{4} + 24 a^{3} + 19 a^{2} + 16 a + 27\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 28a^5 + 11a^3 + 28a^2 + 19a + 21 + (24a^5 + 4a^4 + 4a^3 + 18a^2 + 25a + 18)31 + (28a^5 + 23a^4 + 11a^3 + 23a^2 + 4a + 20)31^2 + (18a^5 + 27a^4 + 18a^3 + 21a^2 + 4a + 17)31^3 + (18a^5 + 8a^4 + 11a^3 + 20a^2 + 4a + 13)31^4 + (26a^5 + 12a^4 + 15a^3 + 7a^2 + 12)31^5 + (28a^5 + 21a^4 + 2a^2 + 16a + 5)31^6 + (29a^5 + 7a^4 + 4a^3 + 17a^2 + a + 10)31^7 + (10a^5 + 19a^4 + 24a^3 + 19a^2 + 16a + 27)*31^8+O(31^9)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 12 a^{4} + 23 a^{3} + 2 a^{2} + 23 a + 7 + \left(28 a^{5} + 19 a^{4} + 6 a^{3} + 13 a^{2} + 25 a + 17\right)\cdot 31 + \left(4 a^{5} + 22 a^{4} + 15 a^{3} + a^{2} + 22 a + 12\right)\cdot 31^{2} + \left(24 a^{5} + 27 a^{4} + 21 a^{3} + 19 a^{2} + 23 a + 15\right)\cdot 31^{3} + \left(7 a^{5} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 31^{4} + \left(6 a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 20 a + 11\right)\cdot 31^{5} + \left(8 a^{5} + 23 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 20\right)\cdot 31^{6} + \left(5 a^{5} + 25 a^{4} + 15 a^{3} + 28 a^{2} + 17 a + 28\right)\cdot 31^{7} + \left(22 a^{5} + 24 a^{4} + 6 a^{3} + 30 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 12a^4 + 23a^3 + 2a^2 + 23a + 7 + (28a^5 + 19a^4 + 6a^3 + 13a^2 + 25a + 17)31 + (4a^5 + 22a^4 + 15a^3 + a^2 + 22a + 12)31^2 + (24a^5 + 27a^4 + 21a^3 + 19a^2 + 23a + 15)31^3 + (7a^5 + 12a^3 + 8a^2 + 4a + 1)31^4 + (6a^5 + 18a^4 + 9a^3 + 4a^2 + 20a + 11)31^5 + (8a^5 + 23a^4 + a^3 + 10a^2 + 7a + 20)31^6 + (5a^5 + 25a^4 + 15a^3 + 28a^2 + 17a + 28)31^7 + (22a^5 + 24a^4 + 6a^3 + 30a^2 + 15a + 3)*31^8+O(31^9)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 9 a^{5} + 5 a^{4} + 17 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 15 + \left(4 a^{5} + 2 a^{4} + 18 a^{3} + 3 a^{2} + 25 a + 27\right)\cdot 31 + \left(11 a^{5} + 4 a^{4} + a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 31^{2} + \left(10 a^{5} + 18 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 31^{3} + \left(8 a^{5} + 18 a^{4} + 29 a^{3} + 7 a^{2} + 19 a + 8\right)\cdot 31^{4} + \left(26 a^{5} + 10 a^{4} + 18 a^{3} + 28 a^{2} + 26 a\right)\cdot 31^{5} + \left(8 a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 18 a\right)\cdot 31^{6} + \left(15 a^{5} + 23 a^{4} + 27 a^{3} + 25 a^{2} + 18 a + 22\right)\cdot 31^{7} + \left(24 a^{5} + 21 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 22\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 9a^5 + 5a^4 + 17a^3 + 9a^2 + 5a + 15 + (4a^5 + 2a^4 + 18a^3 + 3a^2 + 25a + 27)31 + (11a^5 + 4a^4 + a^2 + 14a + 17)31^2 + (10a^5 + 18a^4 + 3a^3 + 12a^2 + 7a + 1)31^3 + (8a^5 + 18a^4 + 29a^3 + 7a^2 + 19a + 8)31^4 + (26a^5 + 10a^4 + 18a^3 + 28a^2 + 26a)31^5 + (8a^5 + 3a^4 + a^3 + 18a)31^6 + (15a^5 + 23a^4 + 27a^3 + 25a^2 + 18a + 22)31^7 + (24a^5 + 21a^3 + 15a^2 + 6a + 22)31^8+O(31^9)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 11 a^{5} + 16 a^{4} + 22 a^{3} + 16 a^{2} + 15 a + 5 + \left(25 a^{5} + 24 a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 31 + \left(23 a^{5} + 3 a^{4} + 26 a^{3} + 7 a^{2} + 27 a + 3\right)\cdot 31^{2} + \left(25 a^{5} + 10 a^{4} + 15 a^{3} + 9 a^{2} + 22 a + 12\right)\cdot 31^{3} + \left(13 a^{5} + 16 a^{4} + 11 a^{3} + 17 a^{2} + 19 a + 14\right)\cdot 31^{4} + \left(4 a^{5} + 19 a^{4} + 21 a^{3} + 18 a^{2} + 20 a + 30\right)\cdot 31^{5} + \left(3 a^{5} + 21 a^{4} + 28 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 31^{6} + \left(18 a^{5} + 30 a^{4} + 21 a^{3} + 29 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 31^{7} + \left(7 a^{5} + 7 a^{4} + 29 a^{3} + 28 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 11a^5 + 16a^4 + 22a^3 + 16a^2 + 15a + 5 + (25a^5 + 24a^4 + 14a^3 + 17a^2 + 17a + 11)31 + (23a^5 + 3a^4 + 26a^3 + 7a^2 + 27a + 3)31^2 + (25a^5 + 10a^4 + 15a^3 + 9a^2 + 22a + 12)31^3 + (13a^5 + 16a^4 + 11a^3 + 17a^2 + 19a + 14)31^4 + (4a^5 + 19a^4 + 21a^3 + 18a^2 + 20a + 30)31^5 + (3a^5 + 21a^4 + 28a^3 + 4a^2 + 3a + 8)31^6 + (18a^5 + 30a^4 + 21a^3 + 29a^2 + 8a + 15)31^7 + (7a^5 + 7a^4 + 29a^3 + 28a^2 + 8a + 4)*31^8+O(31^9)