LMFDB - Artin representation 2.900.24t65.b.b

Basic invariants

Dimension:	$2$
Group:	24T65
Conductor:	$900$$\medspace = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} $
Artin stem field:	Galois closure of 24.0.2754990144000000000000000000.1
Galois orbit size:	$4$
Smallest permutation container:	24T65
Parity:	odd
Determinant:	1.36.6t1.b.b
Projective image:	$S_3$
Projective stem field:	Galois closure of 3.1.1620.1

Defining polynomial

$f(x)$

$=$

$ x^{24} - 2 x^{23} + 5 x^{22} - 12 x^{21} + 16 x^{20} - 30 x^{19} + 35 x^{18} - 36 x^{17} + 47 x^{16} + \cdots + 1 $

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 43 }$ to precision 8.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 43 }$: $ x^{12} + 34x^{7} + 27x^{6} + 16x^{5} + 17x^{4} + 6x^{3} + 23x^{2} + 38x + 3 $ x^12 + 34*x^7 + 27*x^6 + 16*x^5 + 17*x^4 + 6*x^3 + 23*x^2 + 38*x + 3

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	\( 41 a^{11} + 32 a^{10} + 8 a^{9} + 7 a^{8} + 32 a^{7} + 3 a^{6} + 17 a^{5} + 28 a^{4} + 29 a^{3} + 32 a^{2} + 4 a + 31 + \left(29 a^{11} + 20 a^{10} + 42 a^{9} + 10 a^{8} + 4 a^{7} + 40 a^{6} + 34 a^{5} + 16 a^{4} + 39 a^{3} + 21 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 43 + \left(18 a^{11} + 10 a^{10} + 22 a^{9} + 3 a^{8} + 40 a^{7} + 13 a^{6} + 37 a^{5} + 42 a^{4} + 11 a^{2} + 27 a + 23\right)\cdot 43^{2} + \left(26 a^{11} + 26 a^{10} + 37 a^{9} + 33 a^{8} + 31 a^{7} + 26 a^{6} + 6 a^{5} + 37 a^{4} + 21 a^{3} + 17 a^{2} + a + 15\right)\cdot 43^{3} + \left(28 a^{11} + 32 a^{10} + 11 a^{9} + 6 a^{8} + 17 a^{7} + 29 a^{6} + 29 a^{5} + 24 a^{4} + 30 a^{3} + 34 a^{2} + 29 a + 20\right)\cdot 43^{4} + \left(36 a^{11} + 19 a^{10} + 10 a^{9} + 11 a^{8} + 29 a^{7} + 3 a^{6} + 20 a^{5} + 39 a^{3} + 38 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 43^{5} + \left(22 a^{11} + 34 a^{10} + 13 a^{9} + 38 a^{8} + 19 a^{7} + 6 a^{6} + 30 a^{5} + 34 a^{4} + 34 a^{3} + 2 a^{2} + 28 a + 33\right)\cdot 43^{6} + \left(41 a^{11} + 5 a^{10} + 13 a^{9} + 42 a^{8} + 22 a^{7} + 3 a^{6} + 35 a^{5} + 41 a^{4} + 21 a^{3} + 11 a^{2} + 37 a + 14\right)\cdot 43^{7} +O(43^{8})\) 41a^11 + 32a^10 + 8a^9 + 7a^8 + 32a^7 + 3a^6 + 17a^5 + 28a^4 + 29a^3 + 32a^2 + 4a + 31 + (29a^11 + 20a^10 + 42a^9 + 10a^8 + 4a^7 + 40a^6 + 34a^5 + 16a^4 + 39a^3 + 21a^2 + 18a + 21)43 + (18a^11 + 10a^10 + 22a^9 + 3a^8 + 40a^7 + 13a^6 + 37a^5 + 42a^4 + 11a^2 + 27a + 23)43^2 + (26a^11 + 26a^10 + 37a^9 + 33a^8 + 31a^7 + 26a^6 + 6a^5 + 37a^4 + 21a^3 + 17a^2 + a + 15)43^3 + (28a^11 + 32a^10 + 11a^9 + 6a^8 + 17a^7 + 29a^6 + 29a^5 + 24a^4 + 30a^3 + 34a^2 + 29a + 20)43^4 + (36a^11 + 19a^10 + 10a^9 + 11a^8 + 29a^7 + 3a^6 + 20a^5 + 39a^3 + 38a^2 + 18a + 9)43^5 + (22a^11 + 34a^10 + 13a^9 + 38a^8 + 19a^7 + 6a^6 + 30a^5 + 34a^4 + 34a^3 + 2a^2 + 28a + 33)43^6 + (41a^11 + 5a^10 + 13a^9 + 42a^8 + 22a^7 + 3a^6 + 35a^5 + 41a^4 + 21a^3 + 11a^2 + 37a + 14)43^7+O(43^8)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 42 a^{11} + 40 a^{10} + 2 a^{9} + a^{8} + 7 a^{7} + 3 a^{6} + 36 a^{5} + 10 a^{4} + 6 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 19 + \left(37 a^{11} + 2 a^{10} + 24 a^{9} + 23 a^{7} + 29 a^{6} + 12 a^{5} + 21 a^{4} + 14 a^{3} + 22 a^{2} + 8 a + 26\right)\cdot 43 + \left(15 a^{11} + 5 a^{10} + 13 a^{9} + 26 a^{8} + 26 a^{7} + 26 a^{6} + 16 a^{5} + a^{4} + 37 a^{3} + 33 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 43^{2} + \left(13 a^{11} + 3 a^{10} + 11 a^{9} + 35 a^{8} + 24 a^{7} + 42 a^{6} + 35 a^{5} + 11 a^{4} + 20 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a\right)\cdot 43^{3} + \left(4 a^{11} + 37 a^{10} + 6 a^{9} + 22 a^{8} + 33 a^{7} + 24 a^{5} + 17 a^{4} + 40 a^{3} + 34 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 43^{4} + \left(42 a^{11} + 33 a^{10} + 21 a^{9} + 24 a^{8} + 4 a^{7} + a^{6} + 8 a^{5} + 33 a^{4} + 17 a^{3} + 34 a^{2} + 27 a + 28\right)\cdot 43^{5} + \left(7 a^{11} + 14 a^{10} + 10 a^{9} + 17 a^{8} + 20 a^{7} + 4 a^{6} + 28 a^{5} + 5 a^{4} + 24 a^{3} + 18 a^{2} + 32 a + 13\right)\cdot 43^{6} + \left(24 a^{11} + 31 a^{10} + 39 a^{9} + 18 a^{8} + 11 a^{7} + 14 a^{6} + 38 a^{5} + 10 a^{4} + 42 a^{3} + 2 a^{2} + 19 a + 31\right)\cdot 43^{7} +O(43^{8})\) 42a^11 + 40a^10 + 2a^9 + a^8 + 7a^7 + 3a^6 + 36a^5 + 10a^4 + 6a^3 + 14a^2 + 6a + 19 + (37a^11 + 2a^10 + 24a^9 + 23a^7 + 29a^6 + 12a^5 + 21a^4 + 14a^3 + 22a^2 + 8a + 26)43 + (15a^11 + 5a^10 + 13a^9 + 26a^8 + 26a^7 + 26a^6 + 16a^5 + a^4 + 37a^3 + 33a^2 + 12a + 9)43^2 + (13a^11 + 3a^10 + 11a^9 + 35a^8 + 24a^7 + 42a^6 + 35a^5 + 11a^4 + 20a^3 + 10a^2 + 8a)43^3 + (4a^11 + 37a^10 + 6a^9 + 22a^8 + 33a^7 + 24a^5 + 17a^4 + 40a^3 + 34a^2 + 12a + 18)43^4 + (42a^11 + 33a^10 + 21a^9 + 24a^8 + 4a^7 + a^6 + 8a^5 + 33a^4 + 17a^3 + 34a^2 + 27a + 28)43^5 + (7a^11 + 14a^10 + 10a^9 + 17a^8 + 20a^7 + 4a^6 + 28a^5 + 5a^4 + 24a^3 + 18a^2 + 32a + 13)43^6 + (24a^11 + 31a^10 + 39a^9 + 18a^8 + 11a^7 + 14a^6 + 38a^5 + 10a^4 + 42a^3 + 2a^2 + 19a + 31)43^7+O(43^8)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 40 a^{11} + 18 a^{10} + 12 a^{9} + 20 a^{8} + 32 a^{7} + 7 a^{6} + 13 a^{5} + 12 a^{4} + 22 a^{3} + 16 a^{2} + 23 a + 22 + \left(10 a^{11} + 37 a^{10} + 27 a^{9} + 41 a^{8} + 6 a^{7} + 2 a^{6} + 42 a^{5} + 12 a^{4} + 24 a^{3} + 20 a^{2} + 19 a + 22\right)\cdot 43 + \left(27 a^{11} + 28 a^{10} + 14 a^{9} + 19 a^{8} + 35 a^{7} + 39 a^{6} + 8 a^{5} + 6 a^{4} + 21 a^{3} + 27 a^{2} + 33 a + 39\right)\cdot 43^{2} + \left(26 a^{11} + 28 a^{10} + 19 a^{9} + 15 a^{8} + 41 a^{7} + 14 a^{6} + 12 a^{5} + 14 a^{4} + 23 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 33\right)\cdot 43^{3} + \left(42 a^{11} + 31 a^{10} + 30 a^{9} + 14 a^{8} + 41 a^{7} + 32 a^{6} + 4 a^{5} + 8 a^{4} + 33 a^{3} + 5 a^{2} + 20 a + 25\right)\cdot 43^{4} + \left(7 a^{11} + 15 a^{10} + 9 a^{9} + 23 a^{8} + 9 a^{7} + 27 a^{6} + 35 a^{5} + 34 a^{3} + 19 a^{2} + 34 a + 34\right)\cdot 43^{5} + \left(2 a^{11} + 37 a^{10} + 32 a^{9} + 26 a^{8} + 37 a^{7} + 3 a^{6} + 34 a^{5} + 38 a^{4} + 31 a^{3} + 37 a^{2} + 26 a + 10\right)\cdot 43^{6} + \left(29 a^{11} + 37 a^{10} + 12 a^{9} + 23 a^{8} + 11 a^{7} + 30 a^{6} + 18 a^{5} + 8 a^{4} + 13 a^{3} + 42 a^{2} + 5 a + 22\right)\cdot 43^{7} +O(43^{8})\) 40a^11 + 18a^10 + 12a^9 + 20a^8 + 32a^7 + 7a^6 + 13a^5 + 12a^4 + 22a^3 + 16a^2 + 23a + 22 + (10a^11 + 37a^10 + 27a^9 + 41a^8 + 6a^7 + 2a^6 + 42a^5 + 12a^4 + 24a^3 + 20a^2 + 19a + 22)43 + (27a^11 + 28a^10 + 14a^9 + 19a^8 + 35a^7 + 39a^6 + 8a^5 + 6a^4 + 21a^3 + 27a^2 + 33a + 39)43^2 + (26a^11 + 28a^10 + 19a^9 + 15a^8 + 41a^7 + 14a^6 + 12a^5 + 14a^4 + 23a^3 + 11a^2 + 11a + 33)43^3 + (42a^11 + 31a^10 + 30a^9 + 14a^8 + 41a^7 + 32a^6 + 4a^5 + 8a^4 + 33a^3 + 5a^2 + 20a + 25)43^4 + (7a^11 + 15a^10 + 9a^9 + 23a^8 + 9a^7 + 27a^6 + 35a^5 + 34a^3 + 19a^2 + 34a + 34)43^5 + (2a^11 + 37a^10 + 32a^9 + 26a^8 + 37a^7 + 3a^6 + 34a^5 + 38a^4 + 31a^3 + 37a^2 + 26a + 10)43^6 + (29a^11 + 37a^10 + 12a^9 + 23a^8 + 11a^7 + 30a^6 + 18a^5 + 8a^4 + 13a^3 + 42a^2 + 5a + 22)43^7+O(43^8)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 7 a^{11} + 20 a^{10} + 28 a^{9} + 2 a^{8} + 35 a^{7} + 23 a^{6} + 10 a^{5} + 39 a^{4} + 17 a^{3} + 36 a^{2} + 12 a + 8 + \left(25 a^{11} + 38 a^{10} + 19 a^{9} + 16 a^{8} + 37 a^{7} + 19 a^{6} + 41 a^{5} + 28 a^{4} + 24 a^{3} + a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 43 + \left(4 a^{11} + 36 a^{10} + 26 a^{9} + 32 a^{8} + 22 a^{7} + 28 a^{6} + 20 a^{4} + 27 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 39\right)\cdot 43^{2} + \left(12 a^{11} + 35 a^{10} + 14 a^{9} + 5 a^{8} + 31 a^{7} + 17 a^{6} + 28 a^{5} + 20 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 43^{3} + \left(39 a^{11} + 5 a^{10} + 27 a^{9} + 35 a^{8} + 19 a^{7} + 7 a^{6} + a^{4} + 41 a^{3} + 17 a^{2} + 28 a + 30\right)\cdot 43^{4} + \left(10 a^{11} + 10 a^{10} + 24 a^{9} + 37 a^{8} + 26 a^{7} + 12 a^{6} + 13 a^{5} + 28 a^{4} + 4 a^{3} + 29 a^{2} + 35 a + 7\right)\cdot 43^{5} + \left(41 a^{10} + 4 a^{9} + 15 a^{8} + 14 a^{7} + 3 a^{6} + 33 a^{5} + 23 a^{4} + 6 a^{3} + 19 a^{2} + 13 a + 42\right)\cdot 43^{6} + \left(25 a^{11} + 2 a^{10} + 3 a^{9} + 14 a^{8} + 28 a^{7} + 28 a^{6} + 41 a^{5} + 13 a^{4} + 33 a^{3} + 14 a^{2} + 41 a + 4\right)\cdot 43^{7} +O(43^{8})\) 7a^11 + 20a^10 + 28a^9 + 2a^8 + 35a^7 + 23a^6 + 10a^5 + 39a^4 + 17a^3 + 36a^2 + 12a + 8 + (25a^11 + 38a^10 + 19a^9 + 16a^8 + 37a^7 + 19a^6 + 41a^5 + 28a^4 + 24a^3 + a^2 + 14a + 12)43 + (4a^11 + 36a^10 + 26a^9 + 32a^8 + 22a^7 + 28a^6 + 20a^4 + 27a^3 + 12a^2 + 11a + 39)43^2 + (12a^11 + 35a^10 + 14a^9 + 5a^8 + 31a^7 + 17a^6 + 28a^5 + 20a^4 + 5a^3 + 9a^2 + 4a + 5)43^3 + (39a^11 + 5a^10 + 27a^9 + 35a^8 + 19a^7 + 7a^6 + a^4 + 41a^3 + 17a^2 + 28a + 30)43^4 + (10a^11 + 10a^10 + 24a^9 + 37a^8 + 26a^7 + 12a^6 + 13a^5 + 28a^4 + 4a^3 + 29a^2 + 35a + 7)43^5 + (41a^10 + 4a^9 + 15a^8 + 14a^7 + 3a^6 + 33a^5 + 23a^4 + 6a^3 + 19a^2 + 13a + 42)43^6 + (25a^11 + 2a^10 + 3a^9 + 14a^8 + 28a^7 + 28a^6 + 41a^5 + 13a^4 + 33a^3 + 14a^2 + 41a + 4)43^7+O(43^8)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 21 a^{11} + 22 a^{10} + 11 a^{9} + 16 a^{8} + 12 a^{7} + 33 a^{6} + 30 a^{5} + 12 a^{4} + a^{3} + 39 a^{2} + 17 a + 11 + \left(19 a^{11} + 14 a^{10} + 15 a^{9} + 39 a^{8} + 2 a^{7} + 25 a^{6} + 25 a^{5} + 3 a^{4} + 23 a^{3} + 35 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 43 + \left(16 a^{11} + 5 a^{10} + 11 a^{9} + 14 a^{8} + 5 a^{7} + 25 a^{6} + 11 a^{5} + 37 a^{4} + 17 a^{3} + 20 a^{2} + 30 a + 4\right)\cdot 43^{2} + \left(31 a^{11} + 39 a^{10} + 8 a^{9} + 34 a^{7} + 9 a^{6} + 2 a^{5} + 30 a^{4} + 34 a^{3} + 26 a^{2} + 34 a + 42\right)\cdot 43^{3} + \left(23 a^{11} + 42 a^{10} + 39 a^{9} + 27 a^{8} + 34 a^{7} + 6 a^{6} + 42 a^{5} + 24 a^{4} + 33 a^{3} + 38 a^{2} + a + 5\right)\cdot 43^{4} + \left(16 a^{11} + 25 a^{10} + 35 a^{9} + 29 a^{8} + 4 a^{7} + 16 a^{6} + a^{5} + 10 a^{4} + 36 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 43^{5} + \left(30 a^{11} + 3 a^{10} + 29 a^{9} + 18 a^{8} + 39 a^{7} + 8 a^{6} + 11 a^{5} + 10 a^{4} + 28 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 43^{6} + \left(12 a^{11} + 27 a^{10} + 36 a^{9} + 40 a^{8} + 21 a^{7} + 32 a^{6} + 4 a^{5} + 23 a^{4} + 33 a^{3} + 27 a^{2} + 22 a + 16\right)\cdot 43^{7} +O(43^{8})\) 21a^11 + 22a^10 + 11a^9 + 16a^8 + 12a^7 + 33a^6 + 30a^5 + 12a^4 + a^3 + 39a^2 + 17a + 11 + (19a^11 + 14a^10 + 15a^9 + 39a^8 + 2a^7 + 25a^6 + 25a^5 + 3a^4 + 23a^3 + 35a^2 + 16a + 7)43 + (16a^11 + 5a^10 + 11a^9 + 14a^8 + 5a^7 + 25a^6 + 11a^5 + 37a^4 + 17a^3 + 20a^2 + 30a + 4)43^2 + (31a^11 + 39a^10 + 8a^9 + 34a^7 + 9a^6 + 2a^5 + 30a^4 + 34a^3 + 26a^2 + 34a + 42)43^3 + (23a^11 + 42a^10 + 39a^9 + 27a^8 + 34a^7 + 6a^6 + 42a^5 + 24a^4 + 33a^3 + 38a^2 + a + 5)43^4 + (16a^11 + 25a^10 + 35a^9 + 29a^8 + 4a^7 + 16a^6 + a^5 + 10a^4 + 36a^3 + 9a^2 + 5a + 14)43^5 + (30a^11 + 3a^10 + 29a^9 + 18a^8 + 39a^7 + 8a^6 + 11a^5 + 10a^4 + 28a^3 + 6a^2 + 5a + 11)43^6 + (12a^11 + 27a^10 + 36a^9 + 40a^8 + 21a^7 + 32a^6 + 4a^5 + 23a^4 + 33a^3 + 27a^2 + 22a + 16)*43^7+O(43^8)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 21 a^{11} + 7 a^{10} + 32 a^{9} + 28 a^{8} + 7 a^{7} + 31 a^{6} + 4 a^{5} + a^{4} + 34 a^{3} + 30 a^{2} + 40 a + 26 + \left(2 a^{11} + 14 a^{10} + 14 a^{9} + 34 a^{8} + 26 a^{7} + 24 a^{6} + 38 a^{5} + 27 a^{4} + 35 a^{3} + 32 a^{2} + 40 a + 35\right)\cdot 43 + \left(28 a^{11} + 26 a^{10} + 6 a^{9} + 36 a^{8} + 8 a^{7} + 5 a^{6} + 39 a^{5} + 13 a^{4} + 15 a^{3} + 31 a^{2} + 36 a + 20\right)\cdot 43^{2} + \left(23 a^{11} + 19 a^{10} + a^{9} + 4 a^{8} + 20 a^{7} + 41 a^{6} + 14 a^{5} + 42 a^{4} + 17 a^{3} + 25 a^{2} + 2\right)\cdot 43^{3} + \left(8 a^{11} + 22 a^{10} + 39 a^{9} + 29 a^{8} + 29 a^{7} + 32 a^{6} + 30 a^{5} + 13 a^{4} + 4 a^{2} + 42 a + 35\right)\cdot 43^{4} + \left(22 a^{11} + 22 a^{10} + 9 a^{9} + 4 a^{8} + 25 a^{7} + 27 a^{6} + 39 a^{5} + 23 a^{4} + 38 a^{3} + 3 a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 43^{5} + \left(13 a^{11} + 4 a^{10} + 10 a^{9} + 3 a^{8} + 15 a^{7} + 39 a^{6} + 36 a^{5} + 34 a^{4} + 16 a^{3} + 29 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 43^{6} + \left(39 a^{11} + 33 a^{10} + 9 a^{9} + 6 a^{8} + 8 a^{7} + 30 a^{6} + 7 a^{5} + 41 a^{4} + 12 a^{3} + 22 a^{2} + 21 a + 12\right)\cdot 43^{7} +O(43^{8})\) 21a^11 + 7a^10 + 32a^9 + 28a^8 + 7a^7 + 31a^6 + 4a^5 + a^4 + 34a^3 + 30a^2 + 40a + 26 + (2a^11 + 14a^10 + 14a^9 + 34a^8 + 26a^7 + 24a^6 + 38a^5 + 27a^4 + 35a^3 + 32a^2 + 40a + 35)43 + (28a^11 + 26a^10 + 6a^9 + 36a^8 + 8a^7 + 5a^6 + 39a^5 + 13a^4 + 15a^3 + 31a^2 + 36a + 20)43^2 + (23a^11 + 19a^10 + a^9 + 4a^8 + 20a^7 + 41a^6 + 14a^5 + 42a^4 + 17a^3 + 25a^2 + 2)43^3 + (8a^11 + 22a^10 + 39a^9 + 29a^8 + 29a^7 + 32a^6 + 30a^5 + 13a^4 + 4a^2 + 42a + 35)43^4 + (22a^11 + 22a^10 + 9a^9 + 4a^8 + 25a^7 + 27a^6 + 39a^5 + 23a^4 + 38a^3 + 3a^2 + 19a + 13)43^5 + (13a^11 + 4a^10 + 10a^9 + 3a^8 + 15a^7 + 39a^6 + 36a^5 + 34a^4 + 16a^3 + 29a^2 + 10a + 11)43^6 + (39a^11 + 33a^10 + 9a^9 + 6a^8 + 8a^7 + 30a^6 + 7a^5 + 41a^4 + 12a^3 + 22a^2 + 21a + 12)*43^7+O(43^8)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 39 a^{11} + 42 a^{10} + 40 a^{9} + 38 a^{8} + 39 a^{7} + 31 a^{6} + 32 a^{5} + 35 a^{4} + 17 a^{3} + 41 a^{2} + 18 a + 1 + \left(41 a^{11} + 5 a^{10} + 10 a^{9} + 9 a^{8} + 29 a^{7} + 28 a^{6} + 29 a^{5} + 17 a^{4} + 20 a^{3} + 39 a^{2} + 37 a + 33\right)\cdot 43 + \left(19 a^{11} + 16 a^{10} + 5 a^{9} + 29 a^{8} + 19 a^{7} + 23 a^{6} + 36 a^{5} + 5 a^{4} + 7 a^{3} + 39 a^{2} + 5 a + 35\right)\cdot 43^{2} + \left(6 a^{11} + 30 a^{10} + 5 a^{9} + 30 a^{8} + 30 a^{7} + 40 a^{6} + 32 a^{5} + 27 a^{4} + 26 a^{3} + 12 a^{2} + 38 a + 15\right)\cdot 43^{3} + \left(13 a^{11} + 2 a^{10} + 33 a^{9} + 31 a^{8} + 40 a^{7} + 6 a^{6} + 5 a^{5} + 37 a^{4} + a^{3} + 35 a^{2} + 40 a + 22\right)\cdot 43^{4} + \left(12 a^{11} + 40 a^{10} + 41 a^{9} + 35 a^{8} + 4 a^{7} + 19 a^{6} + 27 a^{5} + 39 a^{4} + 18 a^{3} + a^{2} + 2 a + 22\right)\cdot 43^{5} + \left(26 a^{11} + 40 a^{10} + 26 a^{9} + 11 a^{8} + 30 a^{7} + 33 a^{6} + 32 a^{5} + 18 a^{4} + 18 a^{3} + 20 a^{2} + 28 a + 25\right)\cdot 43^{6} + \left(41 a^{11} + 32 a^{10} + 42 a^{9} + 40 a^{8} + 27 a^{7} + 28 a^{6} + 33 a^{5} + 40 a^{4} + 35 a^{3} + 42 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 43^{7} +O(43^{8})\) 39a^11 + 42a^10 + 40a^9 + 38a^8 + 39a^7 + 31a^6 + 32a^5 + 35a^4 + 17a^3 + 41a^2 + 18a + 1 + (41a^11 + 5a^10 + 10a^9 + 9a^8 + 29a^7 + 28a^6 + 29a^5 + 17a^4 + 20a^3 + 39a^2 + 37a + 33)43 + (19a^11 + 16a^10 + 5a^9 + 29a^8 + 19a^7 + 23a^6 + 36a^5 + 5a^4 + 7a^3 + 39a^2 + 5a + 35)43^2 + (6a^11 + 30a^10 + 5a^9 + 30a^8 + 30a^7 + 40a^6 + 32a^5 + 27a^4 + 26a^3 + 12a^2 + 38a + 15)43^3 + (13a^11 + 2a^10 + 33a^9 + 31a^8 + 40a^7 + 6a^6 + 5a^5 + 37a^4 + a^3 + 35a^2 + 40a + 22)43^4 + (12a^11 + 40a^10 + 41a^9 + 35a^8 + 4a^7 + 19a^6 + 27a^5 + 39a^4 + 18a^3 + a^2 + 2a + 22)43^5 + (26a^11 + 40a^10 + 26a^9 + 11a^8 + 30a^7 + 33a^6 + 32a^5 + 18a^4 + 18a^3 + 20a^2 + 28a + 25)43^6 + (41a^11 + 32a^10 + 42a^9 + 40a^8 + 27a^7 + 28a^6 + 33a^5 + 40a^4 + 35a^3 + 42a^2 + 17a + 21)*43^7+O(43^8)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 9 a^{11} + 32 a^{10} + 10 a^{9} + 2 a^{8} + 14 a^{7} + 4 a^{6} + 36 a^{5} + 40 a^{4} + 26 a^{3} + 3 a^{2} + 36 a + 11 + \left(19 a^{11} + 32 a^{10} + 20 a^{9} + 19 a^{8} + 4 a^{7} + a^{6} + 41 a^{5} + 7 a^{4} + 8 a^{3} + 14 a^{2} + 42 a + 21\right)\cdot 43 + \left(38 a^{11} + 35 a^{10} + 3 a^{9} + 16 a^{8} + 12 a^{7} + 19 a^{6} + 28 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 31 a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 43^{2} + \left(17 a^{11} + 37 a^{10} + 27 a^{9} + 22 a^{8} + 7 a^{7} + 14 a^{6} + 14 a^{5} + 7 a^{4} + 6 a^{3} + 14 a^{2} + 13 a + 22\right)\cdot 43^{3} + \left(15 a^{11} + 7 a^{10} + 40 a^{9} + 9 a^{8} + 4 a^{7} + 26 a^{6} + 13 a^{5} + 19 a^{4} + 42 a^{3} + 4 a^{2} + 37 a + 19\right)\cdot 43^{4} + \left(30 a^{11} + 29 a^{10} + 37 a^{9} + 12 a^{8} + 5 a^{7} + 29 a^{6} + 28 a^{5} + 8 a^{4} + 34 a^{3} + 14 a + 16\right)\cdot 43^{5} + \left(32 a^{11} + 31 a^{10} + 29 a^{9} + 23 a^{8} + 37 a^{7} + 25 a^{6} + 27 a^{5} + 26 a^{4} + 8 a^{3} + 39 a^{2} + 42 a + 20\right)\cdot 43^{6} + \left(2 a^{11} + 8 a^{10} + 9 a^{9} + 18 a^{8} + 38 a^{7} + 3 a^{6} + 2 a^{5} + 9 a^{4} + 28 a^{3} + a^{2} + 35 a + 26\right)\cdot 43^{7} +O(43^{8})\) 9a^11 + 32a^10 + 10a^9 + 2a^8 + 14a^7 + 4a^6 + 36a^5 + 40a^4 + 26a^3 + 3a^2 + 36a + 11 + (19a^11 + 32a^10 + 20a^9 + 19a^8 + 4a^7 + a^6 + 41a^5 + 7a^4 + 8a^3 + 14a^2 + 42a + 21)43 + (38a^11 + 35a^10 + 3a^9 + 16a^8 + 12a^7 + 19a^6 + 28a^5 + 3a^4 + 15a^3 + 31a^2 + 22a + 15)43^2 + (17a^11 + 37a^10 + 27a^9 + 22a^8 + 7a^7 + 14a^6 + 14a^5 + 7a^4 + 6a^3 + 14a^2 + 13a + 22)43^3 + (15a^11 + 7a^10 + 40a^9 + 9a^8 + 4a^7 + 26a^6 + 13a^5 + 19a^4 + 42a^3 + 4a^2 + 37a + 19)43^4 + (30a^11 + 29a^10 + 37a^9 + 12a^8 + 5a^7 + 29a^6 + 28a^5 + 8a^4 + 34a^3 + 14a + 16)43^5 + (32a^11 + 31a^10 + 29a^9 + 23a^8 + 37a^7 + 25a^6 + 27a^5 + 26a^4 + 8a^3 + 39a^2 + 42a + 20)43^6 + (2a^11 + 8a^10 + 9a^9 + 18a^8 + 38a^7 + 3a^6 + 2a^5 + 9a^4 + 28a^3 + a^2 + 35a + 26)43^7+O(43^8)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 37 a^{11} + 15 a^{10} + 13 a^{9} + 12 a^{8} + 29 a^{7} + 24 a^{6} + 42 a^{5} + 9 a^{4} + 34 a^{3} + 24 a^{2} + 28 a + 30 + \left(12 a^{11} + 20 a^{10} + 37 a^{9} + 23 a^{8} + 3 a^{7} + 27 a^{6} + 13 a^{5} + 31 a^{4} + 35 a^{3} + 29 a^{2} + 29 a + 19\right)\cdot 43 + \left(4 a^{11} + 24 a^{10} + 39 a^{9} + 18 a^{8} + 6 a^{7} + 23 a^{6} + 4 a^{5} + 2 a^{4} + 29 a^{3} + 7 a^{2} + 33 a + 4\right)\cdot 43^{2} + \left(26 a^{11} + 17 a^{10} + 41 a^{9} + 15 a^{8} + 13 a^{7} + 3 a^{6} + 40 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 28 a^{2} + 25 a + 40\right)\cdot 43^{3} + \left(35 a^{11} + 35 a^{10} + 12 a^{9} + 40 a^{8} + 12 a^{7} + 18 a^{6} + 30 a^{5} + 30 a^{4} + 13 a^{3} + 35 a^{2} + 4 a + 19\right)\cdot 43^{4} + \left(12 a^{11} + 33 a^{10} + 18 a^{9} + 18 a^{8} + 26 a^{7} + 33 a^{6} + 23 a^{5} + 8 a^{4} + 27 a^{3} + 38 a^{2} + 40 a + 4\right)\cdot 43^{5} + \left(32 a^{11} + 36 a^{10} + 5 a^{9} + 39 a^{8} + 42 a^{7} + 40 a^{6} + 34 a^{5} + 24 a^{4} + 38 a^{3} + 24 a^{2} + 30 a + 24\right)\cdot 43^{6} + \left(38 a^{11} + 15 a^{10} + 17 a^{9} + 42 a^{8} + 7 a^{7} + 27 a^{6} + 23 a^{5} + 18 a^{4} + 7 a^{3} + 18 a^{2} + 28 a + 39\right)\cdot 43^{7} +O(43^{8})\) 37a^11 + 15a^10 + 13a^9 + 12a^8 + 29a^7 + 24a^6 + 42a^5 + 9a^4 + 34a^3 + 24a^2 + 28a + 30 + (12a^11 + 20a^10 + 37a^9 + 23a^8 + 3a^7 + 27a^6 + 13a^5 + 31a^4 + 35a^3 + 29a^2 + 29a + 19)43 + (4a^11 + 24a^10 + 39a^9 + 18a^8 + 6a^7 + 23a^6 + 4a^5 + 2a^4 + 29a^3 + 7a^2 + 33a + 4)43^2 + (26a^11 + 17a^10 + 41a^9 + 15a^8 + 13a^7 + 3a^6 + 40a^5 + 10a^4 + 4a^3 + 28a^2 + 25a + 40)43^3 + (35a^11 + 35a^10 + 12a^9 + 40a^8 + 12a^7 + 18a^6 + 30a^5 + 30a^4 + 13a^3 + 35a^2 + 4a + 19)43^4 + (12a^11 + 33a^10 + 18a^9 + 18a^8 + 26a^7 + 33a^6 + 23a^5 + 8a^4 + 27a^3 + 38a^2 + 40a + 4)43^5 + (32a^11 + 36a^10 + 5a^9 + 39a^8 + 42a^7 + 40a^6 + 34a^5 + 24a^4 + 38a^3 + 24a^2 + 30a + 24)43^6 + (38a^11 + 15a^10 + 17a^9 + 42a^8 + 7a^7 + 27a^6 + 23a^5 + 18a^4 + 7a^3 + 18a^2 + 28a + 39)*43^7+O(43^8)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 21 a^{11} + 2 a^{10} + 42 a^{9} + 20 a^{8} + 16 a^{7} + 37 a^{6} + 16 a^{5} + 19 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 15 + \left(15 a^{11} + 29 a^{10} + 19 a^{9} + 36 a^{8} + 26 a^{7} + 12 a^{6} + 5 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 42 a^{2} + a + 39\right)\cdot 43 + \left(34 a^{11} + 21 a^{10} + 18 a^{9} + 31 a^{8} + 26 a^{7} + 17 a^{6} + 6 a^{5} + 11 a^{4} + 39 a^{3} + 32 a^{2} + 41 a + 17\right)\cdot 43^{2} + \left(17 a^{11} + 28 a^{10} + 7 a^{9} + a^{8} + 17 a^{7} + 17 a^{6} + 27 a^{5} + 25 a^{3} + 27 a^{2} + 25 a + 30\right)\cdot 43^{3} + \left(17 a^{11} + 12 a^{10} + 10 a^{9} + 13 a^{8} + 15 a^{7} + 27 a^{6} + 37 a^{5} + 36 a^{4} + 32 a^{3} + 31 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 43^{4} + \left(39 a^{10} + 23 a^{9} + 29 a^{8} + 15 a^{7} + 24 a^{6} + 18 a^{5} + 32 a^{4} + 13 a^{3} + 37 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 43^{5} + \left(32 a^{11} + 23 a^{10} + 25 a^{9} + 20 a^{8} + 35 a^{7} + 37 a^{6} + 40 a^{5} + 18 a^{4} + 21 a^{3} + 28 a^{2} + 40 a + 5\right)\cdot 43^{6} + \left(40 a^{11} + 29 a^{10} + 16 a^{9} + 22 a^{8} + 10 a^{7} + 4 a^{6} + 39 a^{5} + 6 a^{4} + 38 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 39\right)\cdot 43^{7} +O(43^{8})\) 21a^11 + 2a^10 + 42a^9 + 20a^8 + 16a^7 + 37a^6 + 16a^5 + 19a^4 + 12a^3 + 11a^2 + 7a + 15 + (15a^11 + 29a^10 + 19a^9 + 36a^8 + 26a^7 + 12a^6 + 5a^5 + 9a^4 + 5a^3 + 42a^2 + a + 39)43 + (34a^11 + 21a^10 + 18a^9 + 31a^8 + 26a^7 + 17a^6 + 6a^5 + 11a^4 + 39a^3 + 32a^2 + 41a + 17)43^2 + (17a^11 + 28a^10 + 7a^9 + a^8 + 17a^7 + 17a^6 + 27a^5 + 25a^3 + 27a^2 + 25a + 30)43^3 + (17a^11 + 12a^10 + 10a^9 + 13a^8 + 15a^7 + 27a^6 + 37a^5 + 36a^4 + 32a^3 + 31a^2 + 17a + 16)43^4 + (39a^10 + 23a^9 + 29a^8 + 15a^7 + 24a^6 + 18a^5 + 32a^4 + 13a^3 + 37a^2 + 5a + 14)43^5 + (32a^11 + 23a^10 + 25a^9 + 20a^8 + 35a^7 + 37a^6 + 40a^5 + 18a^4 + 21a^3 + 28a^2 + 40a + 5)43^6 + (40a^11 + 29a^10 + 16a^9 + 22a^8 + 10a^7 + 4a^6 + 39a^5 + 6a^4 + 38a^3 + 2a^2 + 14a + 39)*43^7+O(43^8)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 37 a^{11} + 3 a^{10} + 41 a^{9} + 30 a^{8} + 10 a^{7} + 32 a^{6} + 2 a^{5} + 7 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 25 + \left(35 a^{11} + 2 a^{10} + 8 a^{9} + 15 a^{7} + 39 a^{6} + 23 a^{5} + 23 a^{4} + 13 a^{3} + 11 a^{2} + 38 a\right)\cdot 43 + \left(20 a^{10} + 17 a^{9} + 24 a^{8} + 6 a^{7} + 35 a^{6} + 37 a^{5} + 38 a^{4} + 18 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 41\right)\cdot 43^{2} + \left(36 a^{11} + 27 a^{10} + 36 a^{9} + 9 a^{8} + 18 a^{7} + 28 a^{6} + 13 a^{5} + 27 a^{4} + 40 a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 36\right)\cdot 43^{3} + \left(4 a^{11} + 28 a^{10} + 10 a^{9} + 10 a^{8} + 34 a^{7} + 31 a^{6} + 12 a^{5} + 4 a^{4} + 29 a^{3} + 13 a^{2} + 4 a + 32\right)\cdot 43^{4} + \left(30 a^{11} + 34 a^{10} + 35 a^{8} + 36 a^{7} + 2 a^{6} + 4 a^{5} + 24 a^{4} + 29 a^{3} + 42 a^{2} + 36 a + 14\right)\cdot 43^{5} + \left(13 a^{11} + 5 a^{10} + 34 a^{9} + 36 a^{7} + 2 a^{6} + 14 a^{5} + 36 a^{4} + 3 a^{3} + 40 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 43^{6} + \left(42 a^{11} + 14 a^{10} + 14 a^{9} + 29 a^{8} + 4 a^{7} + 36 a^{6} + 22 a^{5} + 40 a^{4} + 15 a^{3} + 24 a^{2} + 38 a + 9\right)\cdot 43^{7} +O(43^{8})\) 37a^11 + 3a^10 + 41a^9 + 30a^8 + 10a^7 + 32a^6 + 2a^5 + 7a^4 + 3a^3 + 5a^2 + 12a + 25 + (35a^11 + 2a^10 + 8a^9 + 15a^7 + 39a^6 + 23a^5 + 23a^4 + 13a^3 + 11a^2 + 38a)43 + (20a^10 + 17a^9 + 24a^8 + 6a^7 + 35a^6 + 37a^5 + 38a^4 + 18a^3 + 3a^2 + 5a + 41)43^2 + (36a^11 + 27a^10 + 36a^9 + 9a^8 + 18a^7 + 28a^6 + 13a^5 + 27a^4 + 40a^3 + 15a^2 + 8a + 36)43^3 + (4a^11 + 28a^10 + 10a^9 + 10a^8 + 34a^7 + 31a^6 + 12a^5 + 4a^4 + 29a^3 + 13a^2 + 4a + 32)43^4 + (30a^11 + 34a^10 + 35a^8 + 36a^7 + 2a^6 + 4a^5 + 24a^4 + 29a^3 + 42a^2 + 36a + 14)43^5 + (13a^11 + 5a^10 + 34a^9 + 36a^7 + 2a^6 + 14a^5 + 36a^4 + 3a^3 + 40a^2 + 2a + 1)43^6 + (42a^11 + 14a^10 + 14a^9 + 29a^8 + 4a^7 + 36a^6 + 22a^5 + 40a^4 + 15a^3 + 24a^2 + 38a + 9)*43^7+O(43^8)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 5 a^{11} + 36 a^{10} + 29 a^{9} + 17 a^{8} + 30 a^{7} + 30 a^{6} + 40 a^{5} + 23 a^{4} + 15 a^{3} + 20 a^{2} + 3 a + 3 + \left(32 a^{11} + 14 a^{10} + 26 a^{9} + 35 a^{8} + 8 a^{7} + 22 a^{6} + 10 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 23 a^{2} + 20 a + 35\right)\cdot 43 + \left(15 a^{11} + 12 a^{10} + 30 a^{9} + 23 a^{7} + 13 a^{6} + 33 a^{5} + 34 a^{4} + 8 a^{3} + 38 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 43^{2} + \left(35 a^{11} + 32 a^{10} + 30 a^{9} + 3 a^{8} + 14 a^{7} + 31 a^{6} + 32 a^{5} + 34 a^{4} + 40 a^{3} + 42 a^{2} + 16 a + 41\right)\cdot 43^{3} + \left(26 a^{11} + 39 a^{10} + 19 a^{9} + 18 a^{8} + 23 a^{7} + 14 a^{6} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 35 a^{2} + 24 a + 40\right)\cdot 43^{4} + \left(4 a^{11} + 36 a^{10} + 28 a^{9} + 21 a^{8} + 23 a^{7} + 29 a^{6} + 40 a^{5} + 9 a^{4} + 15 a^{3} + 17 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 43^{5} + \left(23 a^{11} + 29 a^{10} + 31 a^{9} + 8 a^{8} + 40 a^{7} + 39 a^{6} + 34 a^{5} + 13 a^{4} + 19 a^{3} + 37 a^{2} + 6 a + 39\right)\cdot 43^{6} + \left(6 a^{11} + 34 a^{10} + a^{8} + 28 a^{7} + 34 a^{6} + 5 a^{5} + 26 a^{4} + 13 a^{3} + 16 a^{2} + 42 a + 1\right)\cdot 43^{7} +O(43^{8})\) 5a^11 + 36a^10 + 29a^9 + 17a^8 + 30a^7 + 30a^6 + 40a^5 + 23a^4 + 15a^3 + 20a^2 + 3a + 3 + (32a^11 + 14a^10 + 26a^9 + 35a^8 + 8a^7 + 22a^6 + 10a^5 + 12a^4 + 11a^3 + 23a^2 + 20a + 35)43 + (15a^11 + 12a^10 + 30a^9 + 23a^7 + 13a^6 + 33a^5 + 34a^4 + 8a^3 + 38a^2 + 18a + 9)43^2 + (35a^11 + 32a^10 + 30a^9 + 3a^8 + 14a^7 + 31a^6 + 32a^5 + 34a^4 + 40a^3 + 42a^2 + 16a + 41)43^3 + (26a^11 + 39a^10 + 19a^9 + 18a^8 + 23a^7 + 14a^6 + 6a^4 + 7a^3 + 35a^2 + 24a + 40)43^4 + (4a^11 + 36a^10 + 28a^9 + 21a^8 + 23a^7 + 29a^6 + 40a^5 + 9a^4 + 15a^3 + 17a^2 + 11a + 15)43^5 + (23a^11 + 29a^10 + 31a^9 + 8a^8 + 40a^7 + 39a^6 + 34a^5 + 13a^4 + 19a^3 + 37a^2 + 6a + 39)43^6 + (6a^11 + 34a^10 + a^8 + 28a^7 + 34a^6 + 5a^5 + 26a^4 + 13a^3 + 16a^2 + 42a + 1)*43^7+O(43^8)
$r_{ 13 }$	$=$	\( 9 a^{11} + 38 a^{10} + 9 a^{9} + 32 a^{8} + 42 a^{7} + 14 a^{6} + 9 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 21 a^{2} + 31 a + 25 + \left(9 a^{11} + 7 a^{10} + 34 a^{9} + 17 a^{8} + 6 a^{7} + 39 a^{6} + 33 a^{5} + 22 a^{4} + 34 a^{3} + 23 a^{2} + 39 a + 42\right)\cdot 43 + \left(32 a^{11} + 24 a^{10} + 41 a^{9} + 16 a^{8} + 26 a^{7} + 14 a^{6} + 39 a^{5} + 19 a^{4} + 17 a^{3} + a^{2} + 14 a + 34\right)\cdot 43^{2} + \left(35 a^{11} + 22 a^{10} + 8 a^{9} + 41 a^{8} + 18 a^{7} + 40 a^{6} + 34 a^{5} + 30 a^{4} + 6 a^{3} + 27 a^{2} + 29 a + 5\right)\cdot 43^{3} + \left(a^{11} + 24 a^{10} + 31 a^{9} + 25 a^{8} + 13 a^{7} + 15 a^{6} + 5 a^{5} + 42 a^{4} + 9 a^{3} + 29 a^{2} + 28 a + 31\right)\cdot 43^{4} + \left(4 a^{11} + 20 a^{10} + 2 a^{9} + 14 a^{8} + 31 a^{6} + 32 a^{5} + 30 a^{4} + 41 a^{3} + 38 a^{2} + 15 a\right)\cdot 43^{5} + \left(10 a^{11} + 4 a^{10} + 39 a^{9} + 11 a^{8} + 21 a^{7} + 4 a^{6} + 17 a^{5} + 21 a^{4} + 29 a^{3} + 9 a + 22\right)\cdot 43^{6} + \left(12 a^{11} + 28 a^{10} + 28 a^{9} + 15 a^{8} + 40 a^{7} + 42 a^{6} + 5 a^{5} + 23 a^{4} + 35 a^{3} + 17 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 43^{7} +O(43^{8})\) 9a^11 + 38a^10 + 9a^9 + 32a^8 + 42a^7 + 14a^6 + 9a^5 + 3a^4 + 9a^3 + 21a^2 + 31a + 25 + (9a^11 + 7a^10 + 34a^9 + 17a^8 + 6a^7 + 39a^6 + 33a^5 + 22a^4 + 34a^3 + 23a^2 + 39a + 42)43 + (32a^11 + 24a^10 + 41a^9 + 16a^8 + 26a^7 + 14a^6 + 39a^5 + 19a^4 + 17a^3 + a^2 + 14a + 34)43^2 + (35a^11 + 22a^10 + 8a^9 + 41a^8 + 18a^7 + 40a^6 + 34a^5 + 30a^4 + 6a^3 + 27a^2 + 29a + 5)43^3 + (a^11 + 24a^10 + 31a^9 + 25a^8 + 13a^7 + 15a^6 + 5a^5 + 42a^4 + 9a^3 + 29a^2 + 28a + 31)43^4 + (4a^11 + 20a^10 + 2a^9 + 14a^8 + 31a^6 + 32a^5 + 30a^4 + 41a^3 + 38a^2 + 15a)43^5 + (10a^11 + 4a^10 + 39a^9 + 11a^8 + 21a^7 + 4a^6 + 17a^5 + 21a^4 + 29a^3 + 9a + 22)43^6 + (12a^11 + 28a^10 + 28a^9 + 15a^8 + 40a^7 + 42a^6 + 5a^5 + 23a^4 + 35a^3 + 17a^2 + 18a + 21)*43^7+O(43^8)
$r_{ 14 }$	$=$	\( 10 a^{11} + 6 a^{10} + 19 a^{9} + 21 a^{8} + 31 a^{7} + 9 a^{6} + 23 a^{5} + 20 a^{4} + 25 a^{3} + 41 a^{2} + 35 a + 39 + \left(4 a^{11} + 14 a^{10} + 5 a^{9} + 6 a^{8} + 14 a^{7} + 30 a^{6} + 14 a^{5} + 33 a^{4} + 36 a^{3} + 26 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 43 + \left(7 a^{11} + 38 a^{10} + 7 a^{9} + 14 a^{8} + 12 a^{7} + 31 a^{6} + 11 a^{5} + 5 a^{4} + 27 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 43^{2} + \left(18 a^{11} + 16 a^{10} + 19 a^{9} + a^{8} + 18 a^{7} + 4 a^{6} + 23 a^{5} + 12 a^{4} + 41 a^{3} + 10 a^{2} + 5\right)\cdot 43^{3} + \left(38 a^{11} + 3 a^{10} + 32 a^{9} + 10 a^{8} + 5 a^{7} + 16 a^{6} + 28 a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 43^{4} + \left(22 a^{11} + 20 a^{10} + 12 a^{8} + 7 a^{7} + 28 a^{6} + 16 a^{5} + 14 a^{4} + 34 a^{3} + 21 a^{2}\right)\cdot 43^{5} + \left(25 a^{11} + 25 a^{10} + 21 a^{9} + 32 a^{8} + 39 a^{7} + a^{6} + 38 a^{5} + 38 a^{4} + 36 a^{3} + 36 a^{2} + 5 a + 39\right)\cdot 43^{6} + \left(21 a^{11} + 25 a^{10} + 31 a^{9} + 3 a^{8} + 17 a^{7} + 37 a^{6} + 37 a^{5} + 26 a^{4} + 13 a^{3} + 33 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 43^{7} +O(43^{8})\) 10a^11 + 6a^10 + 19a^9 + 21a^8 + 31a^7 + 9a^6 + 23a^5 + 20a^4 + 25a^3 + 41a^2 + 35a + 39 + (4a^11 + 14a^10 + 5a^9 + 6a^8 + 14a^7 + 30a^6 + 14a^5 + 33a^4 + 36a^3 + 26a^2 + 12a + 18)43 + (7a^11 + 38a^10 + 7a^9 + 14a^8 + 12a^7 + 31a^6 + 11a^5 + 5a^4 + 27a^3 + 17a^2 + 6a + 21)43^2 + (18a^11 + 16a^10 + 19a^9 + a^8 + 18a^7 + 4a^6 + 23a^5 + 12a^4 + 41a^3 + 10a^2 + 5)43^3 + (38a^11 + 3a^10 + 32a^9 + 10a^8 + 5a^7 + 16a^6 + 28a^5 + 2a^4 + 11a^3 + 15a^2 + 12a + 13)43^4 + (22a^11 + 20a^10 + 12a^8 + 7a^7 + 28a^6 + 16a^5 + 14a^4 + 34a^3 + 21a^2)43^5 + (25a^11 + 25a^10 + 21a^9 + 32a^8 + 39a^7 + a^6 + 38a^5 + 38a^4 + 36a^3 + 36a^2 + 5a + 39)43^6 + (21a^11 + 25a^10 + 31a^9 + 3a^8 + 17a^7 + 37a^6 + 37a^5 + 26a^4 + 13a^3 + 33a^2 + 2a + 19)43^7+O(43^8)
$r_{ 15 }$	$=$	\( 40 a^{11} + 33 a^{10} + 23 a^{9} + 18 a^{8} + 30 a^{7} + 21 a^{6} + 35 a^{5} + 37 a^{4} + 17 a^{3} + 18 a^{2} + 5 a + 32 + \left(28 a^{11} + 31 a^{10} + 29 a^{9} + 2 a^{8} + 8 a^{7} + 10 a^{6} + 12 a^{5} + 15 a^{4} + 36 a^{3} + 22 a^{2} + 13 a + 30\right)\cdot 43 + \left(39 a^{11} + 37 a^{10} + 29 a^{9} + 40 a^{8} + 27 a^{7} + 41 a^{6} + 5 a^{5} + 5 a^{4} + 14 a^{3} + 9 a^{2} + 18 a + 29\right)\cdot 43^{2} + \left(32 a^{10} + 18 a^{9} + 24 a^{8} + 34 a^{7} + 3 a^{6} + 39 a^{4} + 39 a^{3} + 8 a^{2} + 17 a + 19\right)\cdot 43^{3} + \left(8 a^{11} + 6 a^{10} + 8 a^{9} + 14 a^{8} + 22 a^{7} + 36 a^{6} + 4 a^{5} + 26 a^{4} + 5 a^{3} + 22 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 43^{4} + \left(9 a^{11} + 20 a^{10} + 32 a^{9} + 2 a^{8} + 15 a^{7} + 9 a^{6} + 22 a^{5} + 21 a^{4} + 12 a^{3} + 20 a^{2} + 37 a + 9\right)\cdot 43^{5} + \left(23 a^{11} + 9 a^{10} + 34 a^{9} + 20 a^{8} + 40 a^{7} + 41 a^{6} + 33 a^{5} + 34 a^{4} + 42 a^{3} + 13 a^{2} + 20 a + 32\right)\cdot 43^{6} + \left(24 a^{11} + 7 a^{10} + 36 a^{9} + 16 a^{8} + 25 a^{7} + 12 a^{6} + 34 a^{5} + 26 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 43^{7} +O(43^{8})\) 40a^11 + 33a^10 + 23a^9 + 18a^8 + 30a^7 + 21a^6 + 35a^5 + 37a^4 + 17a^3 + 18a^2 + 5a + 32 + (28a^11 + 31a^10 + 29a^9 + 2a^8 + 8a^7 + 10a^6 + 12a^5 + 15a^4 + 36a^3 + 22a^2 + 13a + 30)43 + (39a^11 + 37a^10 + 29a^9 + 40a^8 + 27a^7 + 41a^6 + 5a^5 + 5a^4 + 14a^3 + 9a^2 + 18a + 29)43^2 + (32a^10 + 18a^9 + 24a^8 + 34a^7 + 3a^6 + 39a^4 + 39a^3 + 8a^2 + 17a + 19)43^3 + (8a^11 + 6a^10 + 8a^9 + 14a^8 + 22a^7 + 36a^6 + 4a^5 + 26a^4 + 5a^3 + 22a^2 + 6a + 7)43^4 + (9a^11 + 20a^10 + 32a^9 + 2a^8 + 15a^7 + 9a^6 + 22a^5 + 21a^4 + 12a^3 + 20a^2 + 37a + 9)43^5 + (23a^11 + 9a^10 + 34a^9 + 20a^8 + 40a^7 + 41a^6 + 33a^5 + 34a^4 + 42a^3 + 13a^2 + 20a + 32)43^6 + (24a^11 + 7a^10 + 36a^9 + 16a^8 + 25a^7 + 12a^6 + 34a^5 + 26a^3 + 4a^2 + 7a + 19)43^7+O(43^8)
$r_{ 16 }$	$=$	\( 28 a^{11} + 36 a^{10} + 14 a^{9} + 24 a^{8} + 27 a^{7} + 20 a^{6} + 21 a^{5} + 14 a^{4} + 18 a^{3} + 4 a^{2} + 22 a + 21 + \left(30 a^{11} + 28 a^{10} + 37 a^{9} + 19 a^{8} + 36 a^{7} + 16 a^{6} + 42 a^{5} + 17 a^{4} + 16 a^{3} + 41 a^{2} + 39 a + 28\right)\cdot 43 + \left(40 a^{11} + 16 a^{10} + 25 a^{9} + 22 a^{8} + 38 a^{7} + 26 a^{6} + 42 a^{5} + 28 a^{4} + 36 a^{3} + 8 a^{2} + 34 a + 22\right)\cdot 43^{2} + \left(29 a^{11} + 14 a^{10} + a^{9} + 39 a^{8} + 32 a^{7} + 3 a^{6} + 23 a^{5} + 15 a^{4} + 21 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 19\right)\cdot 43^{3} + \left(5 a^{11} + 24 a^{10} + 35 a^{9} + 16 a^{8} + 21 a^{7} + 39 a^{6} + 5 a^{5} + 20 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 22 a + 4\right)\cdot 43^{4} + \left(39 a^{11} + 42 a^{10} + 4 a^{9} + 15 a^{8} + 10 a^{7} + 24 a^{6} + 33 a^{5} + 37 a^{4} + 8 a^{3} + 13 a^{2} + 42 a + 40\right)\cdot 43^{5} + \left(8 a^{11} + 18 a^{10} + 8 a^{9} + 30 a^{8} + 28 a^{7} + 20 a^{6} + 13 a^{5} + 18 a^{4} + 4 a^{3} + 27 a + 27\right)\cdot 43^{6} + \left(13 a^{11} + 8 a^{10} + 40 a^{9} + 18 a^{8} + 8 a^{7} + 34 a^{6} + 7 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 17 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 43^{7} +O(43^{8})\) 28a^11 + 36a^10 + 14a^9 + 24a^8 + 27a^7 + 20a^6 + 21a^5 + 14a^4 + 18a^3 + 4a^2 + 22a + 21 + (30a^11 + 28a^10 + 37a^9 + 19a^8 + 36a^7 + 16a^6 + 42a^5 + 17a^4 + 16a^3 + 41a^2 + 39a + 28)43 + (40a^11 + 16a^10 + 25a^9 + 22a^8 + 38a^7 + 26a^6 + 42a^5 + 28a^4 + 36a^3 + 8a^2 + 34a + 22)43^2 + (29a^11 + 14a^10 + a^9 + 39a^8 + 32a^7 + 3a^6 + 23a^5 + 15a^4 + 21a^3 + 2a^2 + 14a + 19)43^3 + (5a^11 + 24a^10 + 35a^9 + 16a^8 + 21a^7 + 39a^6 + 5a^5 + 20a^4 + 12a^3 + 11a^2 + 22a + 4)43^4 + (39a^11 + 42a^10 + 4a^9 + 15a^8 + 10a^7 + 24a^6 + 33a^5 + 37a^4 + 8a^3 + 13a^2 + 42a + 40)43^5 + (8a^11 + 18a^10 + 8a^9 + 30a^8 + 28a^7 + 20a^6 + 13a^5 + 18a^4 + 4a^3 + 27a + 27)43^6 + (13a^11 + 8a^10 + 40a^9 + 18a^8 + 8a^7 + 34a^6 + 7a^5 + 9a^4 + 8a^3 + 17a^2 + 14a + 6)*43^7+O(43^8)
$r_{ 17 }$	$=$	\( 2 a^{11} + 33 a^{10} + 8 a^{9} + 26 a^{8} + 24 a^{7} + 3 a^{6} + 34 a^{5} + 35 a^{4} + 27 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 20 + \left(24 a^{11} + 40 a^{10} + 28 a^{9} + 3 a^{8} + 35 a^{7} + 31 a^{6} + 21 a^{5} + 39 a^{4} + 18 a^{3} + 7 a^{2} + 35 a + 34\right)\cdot 43 + \left(7 a^{11} + 36 a^{10} + 15 a^{9} + 23 a^{8} + 35 a^{7} + 2 a^{6} + 3 a^{5} + 8 a^{4} + 19 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 43^{2} + \left(40 a^{11} + 11 a^{10} + a^{8} + 21 a^{7} + 35 a^{6} + 4 a^{5} + 16 a^{4} + 8 a^{3} + 36 a^{2} + 24 a + 24\right)\cdot 43^{3} + \left(23 a^{11} + 23 a^{10} + 22 a^{9} + 30 a^{8} + 11 a^{7} + 28 a^{6} + 31 a^{5} + 11 a^{4} + 19 a^{3} + 15 a^{2} + 30 a + 24\right)\cdot 43^{4} + \left(16 a^{11} + 34 a^{10} + 7 a^{9} + a^{8} + a^{7} + 22 a^{6} + 4 a^{5} + 32 a^{4} + 14 a^{3} + 27 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 43^{5} + \left(7 a^{11} + 6 a^{10} + 24 a^{9} + 24 a^{8} + 21 a^{7} + 36 a^{6} + 13 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 3 a^{2} + 39 a + 18\right)\cdot 43^{6} + \left(a^{11} + 30 a^{10} + 31 a^{9} + 25 a^{8} + 22 a^{7} + 29 a^{6} + 9 a^{4} + 8 a^{2} + 40 a + 17\right)\cdot 43^{7} +O(43^{8})\) 2a^11 + 33a^10 + 8a^9 + 26a^8 + 24a^7 + 3a^6 + 34a^5 + 35a^4 + 27a^3 + 14a^2 + 3a + 20 + (24a^11 + 40a^10 + 28a^9 + 3a^8 + 35a^7 + 31a^6 + 21a^5 + 39a^4 + 18a^3 + 7a^2 + 35a + 34)43 + (7a^11 + 36a^10 + 15a^9 + 23a^8 + 35a^7 + 2a^6 + 3a^5 + 8a^4 + 19a^3 + 3a^2 + 10a + 8)43^2 + (40a^11 + 11a^10 + a^8 + 21a^7 + 35a^6 + 4a^5 + 16a^4 + 8a^3 + 36a^2 + 24a + 24)43^3 + (23a^11 + 23a^10 + 22a^9 + 30a^8 + 11a^7 + 28a^6 + 31a^5 + 11a^4 + 19a^3 + 15a^2 + 30a + 24)43^4 + (16a^11 + 34a^10 + 7a^9 + a^8 + a^7 + 22a^6 + 4a^5 + 32a^4 + 14a^3 + 27a^2 + 18a + 18)43^5 + (7a^11 + 6a^10 + 24a^9 + 24a^8 + 21a^7 + 36a^6 + 13a^5 + 12a^4 + 11a^3 + 3a^2 + 39a + 18)43^6 + (a^11 + 30a^10 + 31a^9 + 25a^8 + 22a^7 + 29a^6 + 9a^4 + 8a^2 + 40a + 17)43^7+O(43^8)
$r_{ 18 }$	$=$	\( 40 a^{11} + 37 a^{10} + a^{9} + 34 a^{8} + 32 a^{7} + 6 a^{6} + 20 a^{5} + 36 a^{4} + 28 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 15 + \left(20 a^{11} + 3 a^{10} + 31 a^{9} + 42 a^{8} + 25 a^{7} + 21 a^{6} + 35 a^{4} + 8 a^{3} + 37 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 43 + \left(27 a^{11} + 11 a^{10} + 22 a^{9} + 19 a^{8} + 14 a^{7} + 20 a^{6} + 38 a^{5} + 14 a^{4} + 41 a^{3} + 22 a^{2} + 40 a + 4\right)\cdot 43^{2} + \left(41 a^{11} + 12 a^{10} + 18 a^{9} + 27 a^{8} + 2 a^{7} + 10 a^{5} + a^{4} + 35 a^{3} + 42 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 43^{3} + \left(10 a^{11} + 32 a^{10} + 17 a^{9} + 12 a^{8} + 41 a^{7} + 30 a^{6} + 11 a^{5} + 14 a^{4} + 30 a^{3} + 13 a + 18\right)\cdot 43^{4} + \left(34 a^{11} + 7 a^{10} + 24 a^{9} + 12 a^{8} + 8 a^{7} + 7 a^{6} + 18 a^{5} + 19 a^{4} + 7 a^{3} + 13 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 43^{5} + \left(24 a^{11} + 7 a^{10} + 25 a^{9} + 36 a^{8} + 4 a^{7} + 11 a^{6} + 11 a^{5} + 27 a^{4} + 24 a^{3} + 40 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 43^{6} + \left(9 a^{11} + 28 a^{10} + 7 a^{9} + 41 a^{8} + 23 a^{7} + 6 a^{6} + 14 a^{5} + 14 a^{4} + 26 a^{3} + 22 a^{2} + 22 a + 18\right)\cdot 43^{7} +O(43^{8})\) 40a^11 + 37a^10 + a^9 + 34a^8 + 32a^7 + 6a^6 + 20a^5 + 36a^4 + 28a^3 + 9a^2 + 7a + 15 + (20a^11 + 3a^10 + 31a^9 + 42a^8 + 25a^7 + 21a^6 + 35a^4 + 8a^3 + 37a^2 + 11a + 3)43 + (27a^11 + 11a^10 + 22a^9 + 19a^8 + 14a^7 + 20a^6 + 38a^5 + 14a^4 + 41a^3 + 22a^2 + 40a + 4)43^2 + (41a^11 + 12a^10 + 18a^9 + 27a^8 + 2a^7 + 10a^5 + a^4 + 35a^3 + 42a^2 + 12a + 16)43^3 + (10a^11 + 32a^10 + 17a^9 + 12a^8 + 41a^7 + 30a^6 + 11a^5 + 14a^4 + 30a^3 + 13a + 18)43^4 + (34a^11 + 7a^10 + 24a^9 + 12a^8 + 8a^7 + 7a^6 + 18a^5 + 19a^4 + 7a^3 + 13a^2 + 13a + 2)43^5 + (24a^11 + 7a^10 + 25a^9 + 36a^8 + 4a^7 + 11a^6 + 11a^5 + 27a^4 + 24a^3 + 40a^2 + 7a + 12)43^6 + (9a^11 + 28a^10 + 7a^9 + 41a^8 + 23a^7 + 6a^6 + 14a^5 + 14a^4 + 26a^3 + 22a^2 + 22a + 18)43^7+O(43^8)
$r_{ 19 }$	$=$	\( 37 a^{11} + 16 a^{10} + 3 a^{9} + 21 a^{8} + 19 a^{7} + 10 a^{6} + 7 a^{5} + 17 a^{4} + 28 a^{3} + 8 a^{2} + 14 a + 33 + \left(38 a^{11} + 22 a^{10} + 21 a^{9} + 40 a^{8} + 9 a^{7} + 34 a^{6} + 23 a^{5} + 41 a^{4} + 37 a^{3} + 25 a^{2} + 5 a + 21\right)\cdot 43 + \left(2 a^{11} + 16 a^{10} + 13 a^{9} + 5 a^{8} + 17 a^{7} + 3 a^{6} + 4 a^{5} + 28 a^{4} + 14 a^{3} + 22 a^{2} + 29 a + 6\right)\cdot 43^{2} + \left(40 a^{11} + 38 a^{10} + 30 a^{9} + 22 a^{8} + 15 a^{7} + 12 a^{6} + 22 a^{5} + 29 a^{4} + 26 a^{3} + 40 a^{2} + 30 a + 8\right)\cdot 43^{3} + \left(14 a^{11} + 26 a^{10} + 25 a^{9} + 31 a^{8} + 7 a^{7} + 13 a^{6} + 20 a^{5} + 31 a^{4} + 2 a^{3} + 17 a^{2} + 29 a + 17\right)\cdot 43^{4} + \left(40 a^{10} + 29 a^{9} + 26 a^{8} + 25 a^{7} + 19 a^{6} + 15 a^{5} + 27 a^{4} + a^{3} + 12 a^{2} + 20 a + 28\right)\cdot 43^{5} + \left(15 a^{11} + 32 a^{10} + 40 a^{9} + 15 a^{8} + 42 a^{7} + 13 a^{6} + 31 a^{5} + 37 a^{4} + 23 a^{3} + 20 a^{2} + 42 a + 1\right)\cdot 43^{6} + \left(9 a^{11} + 9 a^{10} + 5 a^{9} + 6 a^{8} + 14 a^{7} + 9 a^{6} + 18 a^{5} + 15 a^{4} + a^{3} + 17 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 43^{7} +O(43^{8})\) 37a^11 + 16a^10 + 3a^9 + 21a^8 + 19a^7 + 10a^6 + 7a^5 + 17a^4 + 28a^3 + 8a^2 + 14a + 33 + (38a^11 + 22a^10 + 21a^9 + 40a^8 + 9a^7 + 34a^6 + 23a^5 + 41a^4 + 37a^3 + 25a^2 + 5a + 21)43 + (2a^11 + 16a^10 + 13a^9 + 5a^8 + 17a^7 + 3a^6 + 4a^5 + 28a^4 + 14a^3 + 22a^2 + 29a + 6)43^2 + (40a^11 + 38a^10 + 30a^9 + 22a^8 + 15a^7 + 12a^6 + 22a^5 + 29a^4 + 26a^3 + 40a^2 + 30a + 8)43^3 + (14a^11 + 26a^10 + 25a^9 + 31a^8 + 7a^7 + 13a^6 + 20a^5 + 31a^4 + 2a^3 + 17a^2 + 29a + 17)43^4 + (40a^10 + 29a^9 + 26a^8 + 25a^7 + 19a^6 + 15a^5 + 27a^4 + a^3 + 12a^2 + 20a + 28)43^5 + (15a^11 + 32a^10 + 40a^9 + 15a^8 + 42a^7 + 13a^6 + 31a^5 + 37a^4 + 23a^3 + 20a^2 + 42a + 1)43^6 + (9a^11 + 9a^10 + 5a^9 + 6a^8 + 14a^7 + 9a^6 + 18a^5 + 15a^4 + a^3 + 17a^2 + 17a + 11)43^7+O(43^8)
$r_{ 20 }$	$=$	\( 27 a^{11} + 5 a^{10} + a^{9} + 35 a^{8} + 11 a^{7} + 5 a^{6} + 20 a^{5} + 3 a^{4} + 26 a^{3} + 28 a^{2} + 30 a + 13 + \left(5 a^{11} + 38 a^{10} + 32 a^{9} + 3 a^{8} + 10 a^{7} + 15 a^{6} + 4 a^{5} + a^{4} + 8 a^{2} + 35 a + 18\right)\cdot 43 + \left(26 a^{11} + 5 a^{10} + 14 a^{9} + 34 a^{8} + 38 a^{7} + 5 a^{6} + 40 a^{5} + 42 a^{4} + 9 a^{3} + 28 a^{2} + 20 a + 33\right)\cdot 43^{2} + \left(29 a^{11} + 19 a^{10} + 14 a^{9} + 32 a^{8} + 13 a^{7} + 2 a^{6} + 30 a^{5} + 35 a^{4} + 37 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 36\right)\cdot 43^{3} + \left(26 a^{11} + 30 a^{10} + 27 a^{8} + 25 a^{7} + 22 a^{6} + 7 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 32\right)\cdot 43^{4} + \left(4 a^{11} + 27 a^{10} + 22 a^{9} + 11 a^{8} + 41 a^{7} + 41 a^{6} + 11 a^{5} + 42 a^{3} + 40 a^{2} + 25 a + 4\right)\cdot 43^{5} + \left(10 a^{11} + 27 a^{10} + 22 a^{9} + 25 a^{8} + 33 a^{7} + 7 a^{6} + 17 a^{5} + 22 a^{4} + 17 a^{3} + 23 a^{2} + 30 a + 38\right)\cdot 43^{6} + \left(30 a^{11} + 41 a^{10} + 20 a^{9} + 8 a^{8} + 22 a^{7} + 33 a^{6} + 25 a^{5} + 6 a^{4} + 21 a^{3} + 2 a^{2} + 34 a + 24\right)\cdot 43^{7} +O(43^{8})\) 27a^11 + 5a^10 + a^9 + 35a^8 + 11a^7 + 5a^6 + 20a^5 + 3a^4 + 26a^3 + 28a^2 + 30a + 13 + (5a^11 + 38a^10 + 32a^9 + 3a^8 + 10a^7 + 15a^6 + 4a^5 + a^4 + 8a^2 + 35a + 18)43 + (26a^11 + 5a^10 + 14a^9 + 34a^8 + 38a^7 + 5a^6 + 40a^5 + 42a^4 + 9a^3 + 28a^2 + 20a + 33)43^2 + (29a^11 + 19a^10 + 14a^9 + 32a^8 + 13a^7 + 2a^6 + 30a^5 + 35a^4 + 37a^3 + 6a^2 + 8a + 36)43^3 + (26a^11 + 30a^10 + 27a^8 + 25a^7 + 22a^6 + 7a^5 + 8a^4 + 8a^3 + a^2 + 32)43^4 + (4a^11 + 27a^10 + 22a^9 + 11a^8 + 41a^7 + 41a^6 + 11a^5 + 42a^3 + 40a^2 + 25a + 4)43^5 + (10a^11 + 27a^10 + 22a^9 + 25a^8 + 33a^7 + 7a^6 + 17a^5 + 22a^4 + 17a^3 + 23a^2 + 30a + 38)43^6 + (30a^11 + 41a^10 + 20a^9 + 8a^8 + 22a^7 + 33a^6 + 25a^5 + 6a^4 + 21a^3 + 2a^2 + 34a + 24)43^7+O(43^8)
$r_{ 21 }$	$=$	\( 14 a^{11} + 20 a^{10} + 8 a^{9} + 18 a^{8} + 16 a^{7} + 3 a^{6} + 34 a^{5} + 28 a^{4} + 21 a^{3} + 23 a^{2} + 23 a + 10 + \left(31 a^{11} + 7 a^{10} + 7 a^{9} + 8 a^{8} + 38 a^{7} + 39 a^{6} + 10 a^{5} + 42 a^{4} + 2 a^{3} + 13 a^{2} + 27 a + 21\right)\cdot 43 + \left(a^{11} + 12 a^{10} + 18 a^{9} + 41 a^{8} + 32 a^{7} + 33 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 33 a^{2} + 33 a + 8\right)\cdot 43^{2} + \left(19 a^{11} + 36 a^{10} + 23 a^{9} + 15 a^{8} + 34 a^{7} + 28 a^{6} + 17 a^{5} + 2 a^{4} + 35 a^{3} + 38 a^{2} + 39 a + 6\right)\cdot 43^{3} + \left(40 a^{11} + 8 a^{10} + 41 a^{9} + 27 a^{8} + 12 a^{7} + 29 a^{6} + 29 a^{5} + 35 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 19\right)\cdot 43^{4} + \left(27 a^{11} + 12 a^{10} + 28 a^{9} + 24 a^{7} + 32 a^{6} + 20 a^{5} + 10 a^{4} + 9 a^{3} + 24 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 43^{5} + \left(7 a^{11} + 34 a^{10} + 5 a^{9} + 16 a^{8} + a^{7} + 9 a^{6} + 17 a^{5} + 7 a^{4} + 28 a^{3} + 35 a^{2} + 28 a + 34\right)\cdot 43^{6} + \left(42 a^{11} + 12 a^{10} + 7 a^{9} + 9 a^{8} + 39 a^{7} + 19 a^{6} + 36 a^{5} + 21 a^{4} + 10 a^{3} + 30 a^{2} + 29 a + 19\right)\cdot 43^{7} +O(43^{8})\) 14a^11 + 20a^10 + 8a^9 + 18a^8 + 16a^7 + 3a^6 + 34a^5 + 28a^4 + 21a^3 + 23a^2 + 23a + 10 + (31a^11 + 7a^10 + 7a^9 + 8a^8 + 38a^7 + 39a^6 + 10a^5 + 42a^4 + 2a^3 + 13a^2 + 27a + 21)43 + (a^11 + 12a^10 + 18a^9 + 41a^8 + 32a^7 + 33a^5 + a^4 + 11a^3 + 33a^2 + 33a + 8)43^2 + (19a^11 + 36a^10 + 23a^9 + 15a^8 + 34a^7 + 28a^6 + 17a^5 + 2a^4 + 35a^3 + 38a^2 + 39a + 6)43^3 + (40a^11 + 8a^10 + 41a^9 + 27a^8 + 12a^7 + 29a^6 + 29a^5 + 35a^4 + 11a^3 + 6a^2 + 5a + 19)43^4 + (27a^11 + 12a^10 + 28a^9 + 24a^7 + 32a^6 + 20a^5 + 10a^4 + 9a^3 + 24a^2 + 2a + 3)43^5 + (7a^11 + 34a^10 + 5a^9 + 16a^8 + a^7 + 9a^6 + 17a^5 + 7a^4 + 28a^3 + 35a^2 + 28a + 34)43^6 + (42a^11 + 12a^10 + 7a^9 + 9a^8 + 39a^7 + 19a^6 + 36a^5 + 21a^4 + 10a^3 + 30a^2 + 29a + 19)43^7+O(43^8)
$r_{ 22 }$	$=$	\( 33 a^{11} + 23 a^{10} + 24 a^{9} + 31 a^{8} + 5 a^{7} + 27 a^{6} + 4 a^{5} + 24 a^{4} + 25 a^{3} + 30 a^{2} + 4 a + 17 + \left(35 a^{11} + 23 a^{10} + 39 a^{9} + 41 a^{8} + 27 a^{7} + 9 a^{6} + 29 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 36 a^{2} + 25 a + 21\right)\cdot 43 + \left(35 a^{11} + 24 a^{10} + 14 a^{9} + 38 a^{8} + 12 a^{7} + 42 a^{6} + 19 a^{5} + 25 a^{4} + 18 a^{3} + 34 a^{2} + 31 a + 36\right)\cdot 43^{2} + \left(12 a^{11} + 31 a^{10} + 39 a^{9} + 10 a^{8} + 3 a^{7} + 8 a^{6} + 16 a^{5} + 15 a^{4} + 40 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 29\right)\cdot 43^{3} + \left(a^{11} + 26 a^{10} + 18 a^{9} + 31 a^{8} + 21 a^{7} + 20 a^{6} + 33 a^{5} + 13 a^{4} + 15 a^{3} + 36 a^{2} + 4 a + 20\right)\cdot 43^{4} + \left(30 a^{11} + 41 a^{9} + 14 a^{8} + 31 a^{7} + 21 a^{6} + 40 a^{5} + 25 a^{4} + 33 a^{3} + 26 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 43^{5} + \left(26 a^{11} + 16 a^{10} + 16 a^{9} + 34 a^{8} + 8 a^{7} + 37 a^{6} + 38 a^{5} + 5 a^{4} + 32 a^{3} + 28 a^{2} + 10 a + 27\right)\cdot 43^{6} + \left(30 a^{11} + 23 a^{10} + 37 a^{9} + 10 a^{8} + 15 a^{7} + 3 a^{6} + 41 a^{5} + 33 a^{4} + 30 a^{3} + 34 a^{2} + 32 a + 23\right)\cdot 43^{7} +O(43^{8})\) 33a^11 + 23a^10 + 24a^9 + 31a^8 + 5a^7 + 27a^6 + 4a^5 + 24a^4 + 25a^3 + 30a^2 + 4a + 17 + (35a^11 + 23a^10 + 39a^9 + 41a^8 + 27a^7 + 9a^6 + 29a^5 + 10a^4 + 5a^3 + 36a^2 + 25a + 21)43 + (35a^11 + 24a^10 + 14a^9 + 38a^8 + 12a^7 + 42a^6 + 19a^5 + 25a^4 + 18a^3 + 34a^2 + 31a + 36)43^2 + (12a^11 + 31a^10 + 39a^9 + 10a^8 + 3a^7 + 8a^6 + 16a^5 + 15a^4 + 40a^3 + 10a^2 + 16a + 29)43^3 + (a^11 + 26a^10 + 18a^9 + 31a^8 + 21a^7 + 20a^6 + 33a^5 + 13a^4 + 15a^3 + 36a^2 + 4a + 20)43^4 + (30a^11 + 41a^9 + 14a^8 + 31a^7 + 21a^6 + 40a^5 + 25a^4 + 33a^3 + 26a^2 + 16a + 6)43^5 + (26a^11 + 16a^10 + 16a^9 + 34a^8 + 8a^7 + 37a^6 + 38a^5 + 5a^4 + 32a^3 + 28a^2 + 10a + 27)43^6 + (30a^11 + 23a^10 + 37a^9 + 10a^8 + 15a^7 + 3a^6 + 41a^5 + 33a^4 + 30a^3 + 34a^2 + 32a + 23)*43^7+O(43^8)
$r_{ 23 }$	$=$	\( 12 a^{11} + 37 a^{10} + 31 a^{8} + 5 a^{7} + 15 a^{6} + 2 a^{5} + a^{4} + 40 a^{3} + 13 a^{2} + 8 a + 7 + \left(5 a^{11} + 27 a^{10} + 19 a^{9} + 23 a^{8} + 3 a^{7} + 39 a^{6} + 31 a^{5} + 11 a^{4} + 9 a^{3} + 13 a^{2} + 34\right)\cdot 43 + \left(a^{11} + 14 a^{10} + 8 a^{9} + 20 a^{8} + 13 a^{7} + a^{6} + 8 a^{5} + 42 a^{4} + 20 a^{3} + 39 a^{2} + 26 a + 3\right)\cdot 43^{2} + \left(29 a^{11} + 12 a^{10} + 18 a^{9} + 38 a^{8} + 42 a^{7} + 28 a^{6} + 37 a^{5} + 40 a^{4} + 5 a^{3} + 21 a^{2} + 33 a + 40\right)\cdot 43^{3} + \left(36 a^{11} + 39 a^{10} + a^{9} + 31 a^{8} + 5 a^{7} + 42 a^{6} + 37 a^{5} + 9 a^{4} + 30 a^{3} + 26 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 43^{4} + \left(15 a^{11} + 37 a^{10} + 22 a^{9} + 7 a^{8} + 10 a^{7} + 13 a^{6} + 31 a^{5} + 40 a^{4} + 24 a^{3} + 36 a^{2} + 9 a + 38\right)\cdot 43^{5} + \left(29 a^{11} + 24 a^{10} + 23 a^{9} + 29 a^{8} + 36 a^{7} + 23 a^{6} + 40 a^{5} + 35 a^{4} + 12 a^{3} + 42 a^{2} + 18 a + 32\right)\cdot 43^{6} + \left(13 a^{11} + 6 a^{10} + 40 a^{9} + 21 a^{8} + 19 a^{7} + 2 a^{6} + 28 a^{5} + a^{4} + 17 a^{3} + 10 a + 40\right)\cdot 43^{7} +O(43^{8})\) 12a^11 + 37a^10 + 31a^8 + 5a^7 + 15a^6 + 2a^5 + a^4 + 40a^3 + 13a^2 + 8a + 7 + (5a^11 + 27a^10 + 19a^9 + 23a^8 + 3a^7 + 39a^6 + 31a^5 + 11a^4 + 9a^3 + 13a^2 + 34)43 + (a^11 + 14a^10 + 8a^9 + 20a^8 + 13a^7 + a^6 + 8a^5 + 42a^4 + 20a^3 + 39a^2 + 26a + 3)43^2 + (29a^11 + 12a^10 + 18a^9 + 38a^8 + 42a^7 + 28a^6 + 37a^5 + 40a^4 + 5a^3 + 21a^2 + 33a + 40)43^3 + (36a^11 + 39a^10 + a^9 + 31a^8 + 5a^7 + 42a^6 + 37a^5 + 9a^4 + 30a^3 + 26a^2 + 2a + 9)43^4 + (15a^11 + 37a^10 + 22a^9 + 7a^8 + 10a^7 + 13a^6 + 31a^5 + 40a^4 + 24a^3 + 36a^2 + 9a + 38)43^5 + (29a^11 + 24a^10 + 23a^9 + 29a^8 + 36a^7 + 23a^6 + 40a^5 + 35a^4 + 12a^3 + 42a^2 + 18a + 32)43^6 + (13a^11 + 6a^10 + 40a^9 + 21a^8 + 19a^7 + 2a^6 + 28a^5 + a^4 + 17a^3 + 10a + 40)*43^7+O(43^8)
$r_{ 24 }$	$=$	\( 30 a^{11} + 6 a^{10} + 9 a^{9} + 32 a^{8} + 11 a^{7} + 39 a^{6} + 29 a^{5} + 20 a^{4} + 36 a^{3} + 36 a^{2} + 42 a + 41 + \left(40 a^{11} + 36 a^{10} + 7 a^{9} + 38 a^{8} + 24 a^{7} + 41 a^{6} + 15 a^{5} + 33 a^{4} + 9 a^{3} + 7 a^{2} + 26 a + 8\right)\cdot 43 + \left(25 a^{11} + 33 a^{10} + 7 a^{9} + 27 a^{8} + 14 a^{7} + 8 a^{6} + 6 a^{5} + 32 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 43^{2} + \left(31 a^{11} + 26 a^{10} + 39 a^{9} + 38 a^{8} + 35 a^{7} + 17 a^{6} + 33 a^{5} + 12 a^{4} + 37 a^{3} + 28 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 43^{3} + \left(3 a^{11} + 12 a^{10} + 42 a^{9} + 40 a^{8} + 19 a^{7} + 30 a^{6} + 25 a^{5} + 31 a^{4} + 6 a^{3} + 41 a^{2} + 11 a + 29\right)\cdot 43^{4} + \left(41 a^{11} + 38 a^{10} + 37 a^{9} + 25 a^{8} + 40 a^{7} + 34 a^{6} + 7 a^{5} + 36 a^{4} + 19 a^{3} + 10 a^{2} + 20 a + 37\right)\cdot 43^{5} + \left(3 a^{11} + 2 a^{10} + 42 a^{9} + 16 a^{8} + 41 a^{7} + 20 a^{6} + 12 a^{5} + 12 a^{4} + 42 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 34\right)\cdot 43^{6} + \left(6 a^{11} + 20 a^{10} + 11 a^{9} + 37 a^{8} + 41 a^{7} + 10 a^{6} + 32 a^{5} + 28 a^{4} + 26 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 43^{7} +O(43^{8})\) 30a^11 + 6a^10 + 9a^9 + 32a^8 + 11a^7 + 39a^6 + 29a^5 + 20a^4 + 36a^3 + 36a^2 + 42a + 41 + (40a^11 + 36a^10 + 7a^9 + 38a^8 + 24a^7 + 41a^6 + 15a^5 + 33a^4 + 9a^3 + 7a^2 + 26a + 8)43 + (25a^11 + 33a^10 + 7a^9 + 27a^8 + 14a^7 + 8a^6 + 6a^5 + 32a^4 + 3a^3 + 3a^2 + 12a + 1)43^2 + (31a^11 + 26a^10 + 39a^9 + 38a^8 + 35a^7 + 17a^6 + 33a^5 + 12a^4 + 37a^3 + 28a^2 + 12a + 17)43^3 + (3a^11 + 12a^10 + 42a^9 + 40a^8 + 19a^7 + 30a^6 + 25a^5 + 31a^4 + 6a^3 + 41a^2 + 11a + 29)43^4 + (41a^11 + 38a^10 + 37a^9 + 25a^8 + 40a^7 + 34a^6 + 7a^5 + 36a^4 + 19a^3 + 10a^2 + 20a + 37)43^5 + (3a^11 + 2a^10 + 42a^9 + 16a^8 + 41a^7 + 20a^6 + 12a^5 + 12a^4 + 42a^3 + 7a^2 + 8a + 34)43^6 + (6a^11 + 20a^10 + 11a^9 + 37a^8 + 41a^7 + 10a^6 + 32a^5 + 28a^4 + 26a^3 + 12a^2 + 3a + 9)*43^7+O(43^8)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 24 }$

Cycle notation
$(1,7,18,13,20,12,4,22,6,9,3,10)(2,19,5,11,15,17,16,24,21,8,23,14)$
$(2,15,21)(5,16,23)(7,12,9)(10,13,22)$
$(1,4)(2,16)(3,20)(5,21)(6,18)(7,22)(8,11)(9,13)(10,12)(14,17)(15,23)(19,24)$
$(1,11,3,19,6,14,4,8,20,24,18,17)(2,22,23,12,21,13,16,7,15,10,5,9)$
$(1,24,4,19)(2,10,16,12)(3,17,20,14)(5,7,21,22)(6,11,18,8)(9,15,13,23)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 24 }$	Character value
$1$	$1$	$()$	$2$
$1$	$2$	$(1,4)(2,16)(3,20)(5,21)(6,18)(7,22)(8,11)(9,13)(10,12)(14,17)(15,23)(19,24)$	$-2$
$3$	$2$	$(1,15)(2,6)(3,5)(4,23)(7,17)(8,12)(9,19)(10,11)(13,24)(14,22)(16,18)(20,21)$	$0$
$3$	$2$	$(1,23)(2,18)(3,21)(4,15)(5,20)(6,16)(7,14)(8,10)(9,24)(11,12)(13,19)(17,22)$	$0$
$1$	$3$	$(1,20,6)(2,15,21)(3,18,4)(5,16,23)(7,12,9)(8,19,17)(10,13,22)(11,24,14)$	$2 \zeta_{12}^{2} - 2$
$1$	$3$	$(1,6,20)(2,21,15)(3,4,18)(5,23,16)(7,9,12)(8,17,19)(10,22,13)(11,14,24)$	$-2 \zeta_{12}^{2}$
$2$	$3$	$(2,15,21)(5,16,23)(7,12,9)(10,13,22)$	$\zeta_{12}^{2}$
$2$	$3$	$(2,21,15)(5,23,16)(7,9,12)(10,22,13)$	$-\zeta_{12}^{2} + 1$
$2$	$3$	$(1,20,6)(2,21,15)(3,18,4)(5,23,16)(7,9,12)(8,19,17)(10,22,13)(11,24,14)$	$-1$
$1$	$4$	$(1,19,4,24)(2,12,16,10)(3,14,20,17)(5,22,21,7)(6,8,18,11)(9,23,13,15)$	$2 \zeta_{12}^{3}$
$1$	$4$	$(1,24,4,19)(2,10,16,12)(3,17,20,14)(5,7,21,22)(6,11,18,8)(9,15,13,23)$	$-2 \zeta_{12}^{3}$
$3$	$4$	$(1,13,4,9)(2,11,16,8)(3,7,20,22)(5,17,21,14)(6,10,18,12)(15,24,23,19)$	$0$
$3$	$4$	$(1,9,4,13)(2,8,16,11)(3,22,20,7)(5,14,21,17)(6,12,18,10)(15,19,23,24)$	$0$
$1$	$6$	$(1,18,20,4,6,3)(2,5,15,16,21,23)(7,13,12,22,9,10)(8,14,19,11,17,24)$	$2 \zeta_{12}^{2}$
$1$	$6$	$(1,3,6,4,20,18)(2,23,21,16,15,5)(7,10,9,22,12,13)(8,24,17,11,19,14)$	$-2 \zeta_{12}^{2} + 2$
$2$	$6$	$(1,4)(2,23,21,16,15,5)(3,20)(6,18)(7,10,9,22,12,13)(8,11)(14,17)(19,24)$	$-\zeta_{12}^{2}$
$2$	$6$	$(1,4)(2,5,15,16,21,23)(3,20)(6,18)(7,13,12,22,9,10)(8,11)(14,17)(19,24)$	$\zeta_{12}^{2} - 1$
$2$	$6$	$(1,18,20,4,6,3)(2,23,21,16,15,5)(7,10,9,22,12,13)(8,14,19,11,17,24)$	$1$
$3$	$6$	$(1,21,6,15,20,2)(3,16,4,5,18,23)(7,8,9,17,12,19)(10,24,22,11,13,14)$	$0$
$3$	$6$	$(1,2,20,15,6,21)(3,23,18,5,4,16)(7,19,12,17,9,8)(10,14,13,11,22,24)$	$0$
$3$	$6$	$(1,16,20,23,6,5)(2,3,15,18,21,4)(7,24,12,14,9,11)(8,22,19,10,17,13)$	$0$
$3$	$6$	$(1,5,6,23,20,16)(2,4,21,18,15,3)(7,11,9,14,12,24)(8,13,17,10,19,22)$	$0$
$1$	$12$	$(1,11,3,19,6,14,4,8,20,24,18,17)(2,22,23,12,21,13,16,7,15,10,5,9)$	$2 \zeta_{12}^{3} - 2 \zeta_{12}$
$1$	$12$	$(1,14,18,19,20,11,4,17,6,24,3,8)(2,13,5,12,15,22,16,9,21,10,23,7)$	$2 \zeta_{12}$
$1$	$12$	$(1,8,3,24,6,17,4,11,20,19,18,14)(2,7,23,10,21,9,16,22,15,12,5,13)$	$-2 \zeta_{12}^{3} + 2 \zeta_{12}$
$1$	$12$	$(1,17,18,24,20,8,4,14,6,19,3,11)(2,9,5,10,15,7,16,13,21,12,23,22)$	$-2 \zeta_{12}$
$2$	$12$	$(1,11,3,19,6,14,4,8,20,24,18,17)(2,10,16,12)(5,7,21,22)(9,15,13,23)$	$-\zeta_{12}$
$2$	$12$	$(1,14,18,19,20,11,4,17,6,24,3,8)(2,10,16,12)(5,7,21,22)(9,15,13,23)$	$-\zeta_{12}^{3} + \zeta_{12}$
$2$	$12$	$(1,8,3,24,6,17,4,11,20,19,18,14)(2,12,16,10)(5,22,21,7)(9,23,13,15)$	$\zeta_{12}$
$2$	$12$	$(1,17,18,24,20,8,4,14,6,19,3,11)(2,12,16,10)(5,22,21,7)(9,23,13,15)$	$\zeta_{12}^{3} - \zeta_{12}$
$2$	$12$	$(1,17,18,24,20,8,4,14,6,19,3,11)(2,7,23,10,21,9,16,22,15,12,5,13)$	$-\zeta_{12}^{3}$
$2$	$12$	$(1,14,18,19,20,11,4,17,6,24,3,8)(2,22,23,12,21,13,16,7,15,10,5,9)$	$\zeta_{12}^{3}$
$3$	$12$	$(1,7,18,13,20,12,4,22,6,9,3,10)(2,19,5,11,15,17,16,24,21,8,23,14)$	$0$
$3$	$12$	$(1,12,3,13,6,7,4,10,20,9,18,22)(2,17,23,11,21,19,16,14,15,8,5,24)$	$0$
$3$	$12$	$(1,22,18,9,20,10,4,7,6,13,3,12)(2,24,5,8,15,14,16,19,21,11,23,17)$	$0$
$3$	$12$	$(1,10,3,9,6,22,4,12,20,13,18,7)(2,14,23,8,21,24,16,17,15,11,5,19)$	$0$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 24 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	2.900.24t65.b.b
Dimension	$2$
Group	$S_3\times C_{12}$
Conductor	$900$
Root number	not computed
Indicator	$0$