| L(s) = 1 | − 3·2-s − 7·3-s − 25·4-s + 125·5-s + 21·6-s − 109·8-s − 441·9-s − 375·10-s + 1.03e3·11-s + 175·12-s − 1.11e3·13-s − 875·15-s + 151·16-s − 3.40e3·17-s + 1.32e3·18-s − 2.84e3·19-s − 3.12e3·20-s − 3.09e3·22-s − 2.75e3·23-s + 763·24-s + 9.37e3·25-s + 3.35e3·26-s + 2.54e3·27-s + 485·29-s + 2.62e3·30-s − 1.07e4·31-s + 6.69e3·32-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 0.530·2-s − 0.449·3-s − 0.781·4-s + 2.23·5-s + 0.238·6-s − 0.602·8-s − 1.81·9-s − 1.18·10-s + 2.57·11-s + 0.350·12-s − 1.83·13-s − 1.00·15-s + 0.147·16-s − 2.85·17-s + 0.962·18-s − 1.80·19-s − 1.74·20-s − 1.36·22-s − 1.08·23-s + 0.270·24-s + 3·25-s + 0.972·26-s + 0.672·27-s + 0.107·29-s + 0.532·30-s − 2.00·31-s + 1.15·32-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{5} \cdot 7^{10}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{5} \cdot 7^{10}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 5 | $C_1$ | \( ( 1 - p^{2} T )^{5} \) |
| 7 | | \( 1 \) |
| good | 2 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 3 T + 17 p T^{2} + 143 p T^{3} + 471 p^{2} T^{4} + 585 p^{4} T^{5} + 471 p^{7} T^{6} + 143 p^{11} T^{7} + 17 p^{16} T^{8} + 3 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 3 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 7 T + 490 T^{2} + 49 p^{4} T^{3} + 45755 p T^{4} + 53324 p^{3} T^{5} + 45755 p^{6} T^{6} + 49 p^{14} T^{7} + 490 p^{15} T^{8} + 7 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 11 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 1033 T + 71114 p T^{2} - 424009715 T^{3} + 215784948297 T^{4} - 90621256717808 T^{5} + 215784948297 p^{5} T^{6} - 424009715 p^{10} T^{7} + 71114 p^{16} T^{8} - 1033 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 13 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 1117 T + 117100 p T^{2} + 959698159 T^{3} + 803685002455 T^{4} + 397606225996008 T^{5} + 803685002455 p^{5} T^{6} + 959698159 p^{10} T^{7} + 117100 p^{16} T^{8} + 1117 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 17 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 3403 T + 7649640 T^{2} + 10463372069 T^{3} + 12181686366595 T^{4} + 12739307424492372 T^{5} + 12181686366595 p^{5} T^{6} + 10463372069 p^{10} T^{7} + 7649640 p^{15} T^{8} + 3403 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 19 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 2846 T + 4951975 T^{2} + 8589433016 T^{3} + 20508119437570 T^{4} + 36548000671065876 T^{5} + 20508119437570 p^{5} T^{6} + 8589433016 p^{10} T^{7} + 4951975 p^{15} T^{8} + 2846 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 23 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 2756 T + 15991731 T^{2} + 33169424368 T^{3} + 143354186726794 T^{4} + 224642248447841560 T^{5} + 143354186726794 p^{5} T^{6} + 33169424368 p^{10} T^{7} + 15991731 p^{15} T^{8} + 2756 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 29 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 485 T + 84380532 T^{2} - 19126141079 T^{3} + 3129937745421991 T^{4} - 400250650769294248 T^{5} + 3129937745421991 p^{5} T^{6} - 19126141079 p^{10} T^{7} + 84380532 p^{15} T^{8} - 485 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 31 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 346 p T + 115009095 T^{2} + 509573875504 T^{3} + 2972979141961030 T^{4} + 8434661235276291156 T^{5} + 2972979141961030 p^{5} T^{6} + 509573875504 p^{10} T^{7} + 115009095 p^{15} T^{8} + 346 p^{21} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 37 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 2660 T + 125902189 T^{2} + 352338781520 T^{3} + 3084861457712374 T^{4} + 24408140199537192600 T^{5} + 3084861457712374 p^{5} T^{6} + 352338781520 p^{10} T^{7} + 125902189 p^{15} T^{8} + 2660 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 41 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 8334 T + 330774905 T^{2} - 4545432841536 T^{3} + 49014576267545710 T^{4} - \)\(82\!\cdots\!04\)\( T^{5} + 49014576267545710 p^{5} T^{6} - 4545432841536 p^{10} T^{7} + 330774905 p^{15} T^{8} - 8334 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 43 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 17294 T + 549140451 T^{2} + 7742666449232 T^{3} + 141803288463851254 T^{4} + \)\(15\!\cdots\!40\)\( T^{5} + 141803288463851254 p^{5} T^{6} + 7742666449232 p^{10} T^{7} + 549140451 p^{15} T^{8} + 17294 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 47 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 59799 T + 2275202090 T^{2} + 59925658229997 T^{3} + 1264872869027233645 T^{4} + \)\(21\!\cdots\!56\)\( T^{5} + 1264872869027233645 p^{5} T^{6} + 59925658229997 p^{10} T^{7} + 2275202090 p^{15} T^{8} + 59799 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 53 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 9250 T + 1672255665 T^{2} + 12812550991000 T^{3} + 1228847653434998290 T^{4} + \)\(75\!\cdots\!00\)\( T^{5} + 1228847653434998290 p^{5} T^{6} + 12812550991000 p^{10} T^{7} + 1672255665 p^{15} T^{8} + 9250 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 59 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 52994 T + 4268481135 T^{2} + 148694853818824 T^{3} + 6528544392159961090 T^{4} + \)\(15\!\cdots\!64\)\( T^{5} + 6528544392159961090 p^{5} T^{6} + 148694853818824 p^{10} T^{7} + 4268481135 p^{15} T^{8} + 52994 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 61 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 81540 T + 4988508005 T^{2} + 197511797414160 T^{3} + 6980704108153255510 T^{4} + \)\(20\!\cdots\!40\)\( T^{5} + 6980704108153255510 p^{5} T^{6} + 197511797414160 p^{10} T^{7} + 4988508005 p^{15} T^{8} + 81540 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 67 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 726 T + 5929847579 T^{2} + 6593621716112 T^{3} + 15000415642905181654 T^{4} + \)\(15\!\cdots\!20\)\( T^{5} + 15000415642905181654 p^{5} T^{6} + 6593621716112 p^{10} T^{7} + 5929847579 p^{15} T^{8} + 726 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 71 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 3760 T + 5875588723 T^{2} - 22128920084288 T^{3} + 17590708409495430426 T^{4} - \)\(47\!\cdots\!04\)\( T^{5} + 17590708409495430426 p^{5} T^{6} - 22128920084288 p^{10} T^{7} + 5875588723 p^{15} T^{8} - 3760 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 73 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 90634 T + 5504229625 T^{2} + 77232642704128 T^{3} - 6059236841012569970 T^{4} - \)\(58\!\cdots\!24\)\( T^{5} - 6059236841012569970 p^{5} T^{6} + 77232642704128 p^{10} T^{7} + 5504229625 p^{15} T^{8} + 90634 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 79 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 68243 T + 9096484434 T^{2} - 673862939514073 T^{3} + 51657569372711367509 T^{4} - \)\(26\!\cdots\!24\)\( T^{5} + 51657569372711367509 p^{5} T^{6} - 673862939514073 p^{10} T^{7} + 9096484434 p^{15} T^{8} - 68243 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 83 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 133292 T + 15343209915 T^{2} - 744432667730464 T^{3} + 39146037432467063590 T^{4} - \)\(84\!\cdots\!88\)\( T^{5} + 39146037432467063590 p^{5} T^{6} - 744432667730464 p^{10} T^{7} + 15343209915 p^{15} T^{8} - 133292 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 89 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 102852 T + 13190697485 T^{2} + 12411751685328 p T^{3} + 77939842439296319290 T^{4} + \)\(62\!\cdots\!12\)\( T^{5} + 77939842439296319290 p^{5} T^{6} + 12411751685328 p^{11} T^{7} + 13190697485 p^{15} T^{8} + 102852 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 97 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 186175 T + 32870480640 T^{2} + 3871416855223225 T^{3} + \)\(44\!\cdots\!95\)\( T^{4} + \)\(39\!\cdots\!00\)\( T^{5} + \)\(44\!\cdots\!95\)\( p^{5} T^{6} + 3871416855223225 p^{10} T^{7} + 32870480640 p^{15} T^{8} + 186175 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{10} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−6.90236462711821119659896699662, −6.80063578983768814913908050677, −6.55370047502746144273819266650, −6.46734228772654775299634616545, −6.33761255936027313181792858028, −6.21286950414021347012071625871, −5.80675695643749358970443043285, −5.74048340451557150106490893799, −5.36351313732453172264208167768, −5.29513348722079222086837869251, −4.78214155804686530220317178161, −4.65771175003751042970652192617, −4.53878721045687110868303956481, −4.37991097827077823417044003473, −3.90935019377357245408814128373, −3.63249359873838776552880631771, −3.36638679847157436232689306841, −2.97674850770892017166736544483, −2.68476251770844295442934271709, −2.42790238053366169837696624005, −2.25462267332343100229731910683, −1.89592597830198172918582047616, −1.65053916787079488975885624541, −1.46092170243864983795257170362, −1.16588505655229710520589919002, 0, 0, 0, 0, 0,
1.16588505655229710520589919002, 1.46092170243864983795257170362, 1.65053916787079488975885624541, 1.89592597830198172918582047616, 2.25462267332343100229731910683, 2.42790238053366169837696624005, 2.68476251770844295442934271709, 2.97674850770892017166736544483, 3.36638679847157436232689306841, 3.63249359873838776552880631771, 3.90935019377357245408814128373, 4.37991097827077823417044003473, 4.53878721045687110868303956481, 4.65771175003751042970652192617, 4.78214155804686530220317178161, 5.29513348722079222086837869251, 5.36351313732453172264208167768, 5.74048340451557150106490893799, 5.80675695643749358970443043285, 6.21286950414021347012071625871, 6.33761255936027313181792858028, 6.46734228772654775299634616545, 6.55370047502746144273819266650, 6.80063578983768814913908050677, 6.90236462711821119659896699662
