| L(s) = 1 | − 13·3-s + 81·5-s − 228·7-s − 162·9-s − 363·11-s + 501·13-s − 1.05e3·15-s − 1.20e3·17-s + 1.08e3·19-s + 2.96e3·21-s + 1.07e3·23-s − 3.34e3·25-s + 5.58e3·27-s − 8.34e3·29-s + 7.33e3·31-s + 4.71e3·33-s − 1.84e4·35-s − 1.65e3·37-s − 6.51e3·39-s + 1.01e4·41-s − 3.77e3·43-s − 1.31e4·45-s − 3.32e4·47-s + 1.64e4·49-s + 1.56e4·51-s + 3.10e4·53-s − 2.94e4·55-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 0.833·3-s + 1.44·5-s − 1.75·7-s − 2/3·9-s − 0.904·11-s + 0.822·13-s − 1.20·15-s − 1.01·17-s + 0.688·19-s + 1.46·21-s + 0.424·23-s − 1.07·25-s + 1.47·27-s − 1.84·29-s + 1.37·31-s + 0.754·33-s − 2.54·35-s − 0.198·37-s − 0.685·39-s + 0.942·41-s − 0.311·43-s − 0.965·45-s − 2.19·47-s + 0.976·49-s + 0.844·51-s + 1.51·53-s − 1.31·55-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 28094464 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{3} \, L(s)\cr =\mathstrut & -\, \Lambda(6-s) \end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 28094464 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{3} \, L(s)\cr =\mathstrut & -\, \Lambda(1-s) \end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 2 | | \( 1 \) |
| 19 | $C_1$ | \( ( 1 - p^{2} T )^{3} \) |
| good | 3 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 13 T + 331 T^{2} + 274 p T^{3} + 331 p^{5} T^{4} + 13 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 5 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 81 T + 9909 T^{2} - 459554 T^{3} + 9909 p^{5} T^{4} - 81 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 7 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 228 T + 35568 T^{2} + 3802776 T^{3} + 35568 p^{5} T^{4} + 228 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 11 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 3 p^{2} T + 49359 T^{2} - 45957094 T^{3} + 49359 p^{5} T^{4} + 3 p^{12} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 13 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 501 T + 350229 T^{2} - 278952890 T^{3} + 350229 p^{5} T^{4} - 501 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 17 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 1206 T + 2771250 T^{2} + 2460853566 T^{3} + 2771250 p^{5} T^{4} + 1206 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 23 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 1077 T + 6641373 T^{2} + 4780608698 T^{3} + 6641373 p^{5} T^{4} - 1077 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 29 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 8349 T + 74783679 T^{2} + 327686176502 T^{3} + 74783679 p^{5} T^{4} + 8349 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 31 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 7332 T + 61101597 T^{2} - 255516763064 T^{3} + 61101597 p^{5} T^{4} - 7332 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 37 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 1650 T + 165941883 T^{2} + 209325534188 T^{3} + 165941883 p^{5} T^{4} + 1650 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 41 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 10140 T + 325081167 T^{2} - 2185083057016 T^{3} + 325081167 p^{5} T^{4} - 10140 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 43 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 3777 T + 1842699 p T^{2} + 3338955229894 T^{3} + 1842699 p^{6} T^{4} + 3777 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 47 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 33231 T + 1053777477 T^{2} + 16574372980994 T^{3} + 1053777477 p^{5} T^{4} + 33231 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 53 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 31029 T + 1192371741 T^{2} - 20622372968282 T^{3} + 1192371741 p^{5} T^{4} - 31029 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 59 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 20409 T - 343016529 T^{2} - 27176512433970 T^{3} - 343016529 p^{5} T^{4} + 20409 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 61 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 17115 T + 2252343099 T^{2} - 25812537224162 T^{3} + 2252343099 p^{5} T^{4} - 17115 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 67 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 789 T + 601630785 T^{2} + 4061691437586 T^{3} + 601630785 p^{5} T^{4} - 789 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 71 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 19164 T + 3181554489 T^{2} + 35510810109608 T^{3} + 3181554489 p^{5} T^{4} + 19164 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 73 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 76260 T + 6085343520 T^{2} + 293061463314558 T^{3} + 6085343520 p^{5} T^{4} + 76260 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 79 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 68358 T + 9600289101 T^{2} + 418395905475764 T^{3} + 9600289101 p^{5} T^{4} + 68358 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 83 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 6762 T + 3337936953 T^{2} - 130668532187172 T^{3} + 3337936953 p^{5} T^{4} + 6762 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 89 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 85506 T + 7798835091 T^{2} + 891678014164068 T^{3} + 7798835091 p^{5} T^{4} + 85506 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 97 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 105024 T + 16181794191 T^{2} - 1792277878659808 T^{3} + 16181794191 p^{5} T^{4} - 105024 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{6} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−9.950614950545761564658239233825, −9.899355345761512614699151145130, −9.614501982454709300463255983341, −9.300570097036167915880925735581, −8.862102420179664742472699426357, −8.567337439935361210294411009094, −8.390444367282705729887177975733, −7.71521598728277009380266401137, −7.43401906790398196914347888962, −7.12315349398615727278514107803, −6.46122835725894151632066310739, −6.30559767336412890376467187664, −6.24807365073449666024484370353, −5.78382857659466045555598019703, −5.51635768184245348885636326780, −5.21120101444214003836915726526, −4.87482129617554198357693485047, −4.04551683295503114599840020988, −3.93408056190309126046014086759, −3.29564064322617040195827330478, −2.77214084976679501651476429262, −2.67681522931605755259304840083, −2.14559599220849832304961201968, −1.41074777904316612234207459129, −1.18382616692431217335028201750, 0, 0, 0,
1.18382616692431217335028201750, 1.41074777904316612234207459129, 2.14559599220849832304961201968, 2.67681522931605755259304840083, 2.77214084976679501651476429262, 3.29564064322617040195827330478, 3.93408056190309126046014086759, 4.04551683295503114599840020988, 4.87482129617554198357693485047, 5.21120101444214003836915726526, 5.51635768184245348885636326780, 5.78382857659466045555598019703, 6.24807365073449666024484370353, 6.30559767336412890376467187664, 6.46122835725894151632066310739, 7.12315349398615727278514107803, 7.43401906790398196914347888962, 7.71521598728277009380266401137, 8.390444367282705729887177975733, 8.567337439935361210294411009094, 8.862102420179664742472699426357, 9.300570097036167915880925735581, 9.614501982454709300463255983341, 9.899355345761512614699151145130, 9.950614950545761564658239233825
