LMFDB - L-function 24-115e12-1.1-c5e12-0-0

Dirichlet series

L(s) = 1

+ 8·2^-s + 22·3^-s − 13·4^-s + 300·5^-s + 176·6^-s + 16·7^-s − 135·8^-s − 417·9^-s + 2.40e3·10^-s + 132·11^-s − 286·12^-s − 236·13^-s + 128·14^-s + 6.60e3·15^-s − 363·16^-s + 1.66e3·17^-s − 3.33e3·18^-s + 616·19^-s − 3.90e3·20^-s + 352·21^-s + 1.05e3·22^-s − 6.34e3·23^-s − 2.97e3·24^-s + 4.87e4·25^-s − 1.88e3·26^-s − 1.06e4·27^-s − 208·28^-s + ⋯

L(s) = 1

+ 1.41·2^-s + 1.41·3^-s − 0.406·4^-s + 5.36·5^-s + 1.99·6^-s + 0.123·7^-s − 0.745·8^-s − 1.71·9^-s + 7.58·10^-s + 0.328·11^-s − 0.573·12^-s − 0.387·13^-s + 0.174·14^-s + 7.57·15^-s − 0.354·16^-s + 1.39·17^-s − 2.42·18^-s + 0.391·19^-s − 2.18·20^-s + 0.174·21^-s + 0.465·22^-s − 2.50·23^-s − 1.05·24^-s + 78/5·25^-s − 0.547·26^-s − 2.80·27^-s − 0.0501·28^-s + ⋯

Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{12} \cdot 23^{12}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{12} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{12} \cdot 23^{12}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{12} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}

Invariants

Degree:	$24$
Conductor:	$5^{12} \cdot 23^{12}$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$1.54988\times 10^{15}$
Root analytic conductor:	$4.29466$
Motivic weight:	$5$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$0$
Selberg data:	$(24,\ 5^{12} \cdot 23^{12} ,\ ( \ : [5/2]^{12} ),\ 1 )$

Particular Values

$L(3)$	$\approx$	$649.4330712$
$L(\frac12)$	$\approx$	$649.4330712$
$L(\frac{7}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1}

	$p$	$F_p(T)$
bad	5	$( 1 - p^{2} T )^{12}$
	23	$( 1 + p^{2} T )^{12}$
good	2	$1 - p^{3} T + 77 T^{2} - 585 T^{3} + 1241 p^{2} T^{4} - 35597 T^{5} + 131803 p T^{6} - 893141 p T^{7} + 1462311 p^{3} T^{8} - 9342617 p^{3} T^{9} + 29123997 p^{4} T^{10} - 20845425 p^{7} T^{11} + 239380531 p^{6} T^{12} - 20845425 p^{12} T^{13} + 29123997 p^{14} T^{14} - 9342617 p^{18} T^{15} + 1462311 p^{23} T^{16} - 893141 p^{26} T^{17} + 131803 p^{31} T^{18} - 35597 p^{35} T^{19} + 1241 p^{42} T^{20} - 585 p^{45} T^{21} + 77 p^{50} T^{22} - p^{58} T^{23} + p^{60} T^{24}$
	3	$1 - 22 T + 901 T^{2} - 18352 T^{3} + 489236 T^{4} - 7781758 T^{5} + 160994594 T^{6} - 233697154 p^{2} T^{7} + 4333582994 p^{2} T^{8} - 4996051264 p^{4} T^{9} + 93718781893 p^{4} T^{10} - 285324764182 p^{5} T^{11} + 759308648126 p^{7} T^{12} - 285324764182 p^{10} T^{13} + 93718781893 p^{14} T^{14} - 4996051264 p^{19} T^{15} + 4333582994 p^{22} T^{16} - 233697154 p^{27} T^{17} + 160994594 p^{30} T^{18} - 7781758 p^{35} T^{19} + 489236 p^{40} T^{20} - 18352 p^{45} T^{21} + 901 p^{50} T^{22} - 22 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24}$
	7	$1 - 16 T + 87496 T^{2} + 31846 p^{2} T^{3} + 3998198362 T^{4} + 194916730222 T^{5} + 130671978637705 T^{6} + 8957013139627004 T^{7} + 497132493997888219 p T^{8} +$ $25\!\cdots\!56$ $T^{9} +$ $78\!\cdots\!35$ $T^{10} +$ $53\!\cdots\!44$ $T^{11} +$ $20\!\cdots\!72$ $p T^{12} +$ $53\!\cdots\!44$ $p^{5} T^{13} +$ $78\!\cdots\!35$ $p^{10} T^{14} +$ $25\!\cdots\!56$ $p^{15} T^{15} + 497132493997888219 p^{21} T^{16} + 8957013139627004 p^{25} T^{17} + 130671978637705 p^{30} T^{18} + 194916730222 p^{35} T^{19} + 3998198362 p^{40} T^{20} + 31846 p^{47} T^{21} + 87496 p^{50} T^{22} - 16 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24}$
	11	$1 - 12 p T + 401601 T^{2} - 119245828 T^{3} + 139840894885 T^{4} - 41877196876832 T^{5} + 34298896920081997 T^{6} - 12066255089239177584 T^{7} +$ $79\!\cdots\!03$ $T^{8} -$ $25\!\cdots\!28$ $T^{9} +$ $15\!\cdots\!14$ $T^{10} -$ $43\!\cdots\!60$ $p T^{11} +$ $27\!\cdots\!26$ $T^{12} -$ $43\!\cdots\!60$ $p^{6} T^{13} +$ $15\!\cdots\!14$ $p^{10} T^{14} -$ $25\!\cdots\!28$ $p^{15} T^{15} +$ $79\!\cdots\!03$ $p^{20} T^{16} - 12066255089239177584 p^{25} T^{17} + 34298896920081997 p^{30} T^{18} - 41877196876832 p^{35} T^{19} + 139840894885 p^{40} T^{20} - 119245828 p^{45} T^{21} + 401601 p^{50} T^{22} - 12 p^{56} T^{23} + p^{60} T^{24}$
	13	$1 + 236 T + 1866727 T^{2} + 106847184 T^{3} + 1741189228852 T^{4} - 161364375199720 T^{5} + 1168342624652329434 T^{6} -$ $23\!\cdots\!48$ $T^{7} +$ $64\!\cdots\!10$ $T^{8} -$ $16\!\cdots\!88$ $T^{9} +$ $29\!\cdots\!07$ $T^{10} -$ $83\!\cdots\!72$ $T^{11} +$ $11\!\cdots\!94$ $T^{12} -$ $83\!\cdots\!72$ $p^{5} T^{13} +$ $29\!\cdots\!07$ $p^{10} T^{14} -$ $16\!\cdots\!88$ $p^{15} T^{15} +$ $64\!\cdots\!10$ $p^{20} T^{16} -$ $23\!\cdots\!48$ $p^{25} T^{17} + 1168342624652329434 p^{30} T^{18} - 161364375199720 p^{35} T^{19} + 1741189228852 p^{40} T^{20} + 106847184 p^{45} T^{21} + 1866727 p^{50} T^{22} + 236 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24}$
	17	$1 - 98 p T + 8176290 T^{2} - 14204001204 T^{3} + 39452050063188 T^{4} - 60857551564301814 T^{5} +$ $12\!\cdots\!03$ $T^{6} -$ $18\!\cdots\!64$ $T^{7} +$ $31\!\cdots\!97$ $T^{8} -$ $39\!\cdots\!94$ $T^{9} +$ $60\!\cdots\!23$ $T^{10} -$ $69\!\cdots\!54$ $T^{11} +$ $94\!\cdots\!60$ $T^{12} -$ $69\!\cdots\!54$ $p^{5} T^{13} +$ $60\!\cdots\!23$ $p^{10} T^{14} -$ $39\!\cdots\!94$ $p^{15} T^{15} +$ $31\!\cdots\!97$ $p^{20} T^{16} -$ $18\!\cdots\!64$ $p^{25} T^{17} +$ $12\!\cdots\!03$ $p^{30} T^{18} - 60857551564301814 p^{35} T^{19} + 39452050063188 p^{40} T^{20} - 14204001204 p^{45} T^{21} + 8176290 p^{50} T^{22} - 98 p^{56} T^{23} + p^{60} T^{24}$
	19	$1 - 616 T + 13667577 T^{2} + 3338434148 T^{3} + 85709418022413 T^{4} + 91949555717759184 T^{5} +$ $38\!\cdots\!17$ $T^{6} +$ $62\!\cdots\!80$ $T^{7} +$ $15\!\cdots\!31$ $T^{8} +$ $13\!\cdots\!24$ $p T^{9} +$ $54\!\cdots\!46$ $T^{10} +$ $74\!\cdots\!08$ $T^{11} +$ $15\!\cdots\!30$ $T^{12} +$ $74\!\cdots\!08$ $p^{5} T^{13} +$ $54\!\cdots\!46$ $p^{10} T^{14} +$ $13\!\cdots\!24$ $p^{16} T^{15} +$ $15\!\cdots\!31$ $p^{20} T^{16} +$ $62\!\cdots\!80$ $p^{25} T^{17} +$ $38\!\cdots\!17$ $p^{30} T^{18} + 91949555717759184 p^{35} T^{19} + 85709418022413 p^{40} T^{20} + 3338434148 p^{45} T^{21} + 13667577 p^{50} T^{22} - 616 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24}$
	29	$1 - 818 p T + 379525075 T^{2} - 4581616530954 T^{3} + 46230958847336183 T^{4} - 13860226607814872580 p T^{5} +$ $31\!\cdots\!24$ $T^{6} -$ $21\!\cdots\!88$ $T^{7} +$ $13\!\cdots\!29$ $T^{8} -$ $81\!\cdots\!18$ $T^{9} +$ $44\!\cdots\!09$ $T^{10} -$ $22\!\cdots\!38$ $T^{11} +$ $10\!\cdots\!58$ $T^{12} -$ $22\!\cdots\!38$ $p^{5} T^{13} +$ $44\!\cdots\!09$ $p^{10} T^{14} -$ $81\!\cdots\!18$ $p^{15} T^{15} +$ $13\!\cdots\!29$ $p^{20} T^{16} -$ $21\!\cdots\!88$ $p^{25} T^{17} +$ $31\!\cdots\!24$ $p^{30} T^{18} - 13860226607814872580 p^{36} T^{19} + 46230958847336183 p^{40} T^{20} - 4581616530954 p^{45} T^{21} + 379525075 p^{50} T^{22} - 818 p^{56} T^{23} + p^{60} T^{24}$
	31	$1 - 18446 T + 397191600 T^{2} - 4956317975360 T^{3} + 63545443895996129 T^{4} -$ $61\!\cdots\!56$ $T^{5} +$ $59\!\cdots\!39$ $T^{6} -$ $46\!\cdots\!00$ $T^{7} +$ $36\!\cdots\!53$ $T^{8} -$ $79\!\cdots\!20$ $p T^{9} +$ $16\!\cdots\!46$ $T^{10} -$ $95\!\cdots\!58$ $T^{11} +$ $54\!\cdots\!04$ $T^{12} -$ $95\!\cdots\!58$ $p^{5} T^{13} +$ $16\!\cdots\!46$ $p^{10} T^{14} -$ $79\!\cdots\!20$ $p^{16} T^{15} +$ $36\!\cdots\!53$ $p^{20} T^{16} -$ $46\!\cdots\!00$ $p^{25} T^{17} +$ $59\!\cdots\!39$ $p^{30} T^{18} -$ $61\!\cdots\!56$ $p^{35} T^{19} + 63545443895996129 p^{40} T^{20} - 4956317975360 p^{45} T^{21} + 397191600 p^{50} T^{22} - 18446 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24}$
	37	$1 - 10394 T + 547466285 T^{2} - 4984377865934 T^{3} + 146918590426568612 T^{4} -$ $12\!\cdots\!70$ $T^{5} +$ $25\!\cdots\!61$ $T^{6} -$ $19\!\cdots\!10$ $T^{7} +$ $33\!\cdots\!15$ $T^{8} -$ $22\!\cdots\!60$ $T^{9} +$ $32\!\cdots\!22$ $T^{10} -$ $19\!\cdots\!56$ $T^{11} +$ $25\!\cdots\!00$ $T^{12} -$ $19\!\cdots\!56$ $p^{5} T^{13} +$ $32\!\cdots\!22$ $p^{10} T^{14} -$ $22\!\cdots\!60$ $p^{15} T^{15} +$ $33\!\cdots\!15$ $p^{20} T^{16} -$ $19\!\cdots\!10$ $p^{25} T^{17} +$ $25\!\cdots\!61$ $p^{30} T^{18} -$ $12\!\cdots\!70$ $p^{35} T^{19} + 146918590426568612 p^{40} T^{20} - 4984377865934 p^{45} T^{21} + 547466285 p^{50} T^{22} - 10394 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24}$
	41	$1 - 48232 T + 1466849146 T^{2} - 33533168064242 T^{3} + 658401161955640795 T^{4} -$ $11\!\cdots\!54$ $T^{5} +$ $18\!\cdots\!19$ $T^{6} -$ $26\!\cdots\!82$ $T^{7} +$ $36\!\cdots\!51$ $T^{8} -$ $46\!\cdots\!70$ $T^{9} +$ $57\!\cdots\!00$ $T^{10} -$ $66\!\cdots\!60$ $T^{11} +$ $73\!\cdots\!96$ $T^{12} -$ $66\!\cdots\!60$ $p^{5} T^{13} +$ $57\!\cdots\!00$ $p^{10} T^{14} -$ $46\!\cdots\!70$ $p^{15} T^{15} +$ $36\!\cdots\!51$ $p^{20} T^{16} -$ $26\!\cdots\!82$ $p^{25} T^{17} +$ $18\!\cdots\!19$ $p^{30} T^{18} -$ $11\!\cdots\!54$ $p^{35} T^{19} + 658401161955640795 p^{40} T^{20} - 33533168064242 p^{45} T^{21} + 1466849146 p^{50} T^{22} - 48232 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24}$
	43	$1 - 10732 T + 1196666312 T^{2} - 15398859374460 T^{3} + 697838564583220922 T^{4} -$ $98\!\cdots\!96$ $T^{5} +$ $26\!\cdots\!48$ $T^{6} -$ $37\!\cdots\!04$ $T^{7} +$ $76\!\cdots\!95$ $T^{8} -$ $99\!\cdots\!20$ $T^{9} +$ $16\!\cdots\!12$ $T^{10} -$ $19\!\cdots\!20$ $T^{11} +$ $27\!\cdots\!84$ $T^{12} -$ $19\!\cdots\!20$ $p^{5} T^{13} +$ $16\!\cdots\!12$ $p^{10} T^{14} -$ $99\!\cdots\!20$ $p^{15} T^{15} +$ $76\!\cdots\!95$ $p^{20} T^{16} -$ $37\!\cdots\!04$ $p^{25} T^{17} +$ $26\!\cdots\!48$ $p^{30} T^{18} -$ $98\!\cdots\!96$ $p^{35} T^{19} + 697838564583220922 p^{40} T^{20} - 15398859374460 p^{45} T^{21} + 1196666312 p^{50} T^{22} - 10732 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24}$
	47	$1 + 30448 T + 1329044246 T^{2} + 22171644694036 T^{3} + 599803107520591487 T^{4} +$ $61\!\cdots\!56$ $T^{5} +$ $16\!\cdots\!18$ $T^{6} +$ $10\!\cdots\!32$ $T^{7} +$ $37\!\cdots\!35$ $T^{8} +$ $67\!\cdots\!68$ $T^{9} +$ $65\!\cdots\!36$ $T^{10} -$ $40\!\cdots\!24$ $T^{11} +$ $10\!\cdots\!34$ $T^{12} -$ $40\!\cdots\!24$ $p^{5} T^{13} +$ $65\!\cdots\!36$ $p^{10} T^{14} +$ $67\!\cdots\!68$ $p^{15} T^{15} +$ $37\!\cdots\!35$ $p^{20} T^{16} +$ $10\!\cdots\!32$ $p^{25} T^{17} +$ $16\!\cdots\!18$ $p^{30} T^{18} +$ $61\!\cdots\!56$ $p^{35} T^{19} + 599803107520591487 p^{40} T^{20} + 22171644694036 p^{45} T^{21} + 1329044246 p^{50} T^{22} + 30448 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24}$
	53	$1 - 36494 T + 3778631593 T^{2} - 120274490282822 T^{3} + 6924165786606754752 T^{4} -$ $19\!\cdots\!14$ $T^{5} +$ $81\!\cdots\!77$ $T^{6} -$ $20\!\cdots\!58$ $T^{7} +$ $67\!\cdots\!27$ $T^{8} -$ $14\!\cdots\!12$ $T^{9} +$ $42\!\cdots\!10$ $T^{10} -$ $82\!\cdots\!00$ $T^{11} +$ $20\!\cdots\!60$ $T^{12} -$ $82\!\cdots\!00$ $p^{5} T^{13} +$ $42\!\cdots\!10$ $p^{10} T^{14} -$ $14\!\cdots\!12$ $p^{15} T^{15} +$ $67\!\cdots\!27$ $p^{20} T^{16} -$ $20\!\cdots\!58$ $p^{25} T^{17} +$ $81\!\cdots\!77$ $p^{30} T^{18} -$ $19\!\cdots\!14$ $p^{35} T^{19} + 6924165786606754752 p^{40} T^{20} - 120274490282822 p^{45} T^{21} + 3778631593 p^{50} T^{22} - 36494 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24}$
	59	$1 + 23870 T + 3673078265 T^{2} + 29016398394666 T^{3} + 6145829118402594652 T^{4} -$ $16\!\cdots\!50$ $T^{5} +$ $79\!\cdots\!93$ $T^{6} -$ $67\!\cdots\!10$ $T^{7} +$ $87\!\cdots\!99$ $T^{8} -$ $94\!\cdots\!24$ $T^{9} +$ $81\!\cdots\!50$ $T^{10} -$ $86\!\cdots\!60$ $T^{11} +$ $64\!\cdots\!80$ $T^{12} -$ $86\!\cdots\!60$ $p^{5} T^{13} +$ $81\!\cdots\!50$ $p^{10} T^{14} -$ $94\!\cdots\!24$ $p^{15} T^{15} +$ $87\!\cdots\!99$ $p^{20} T^{16} -$ $67\!\cdots\!10$ $p^{25} T^{17} +$ $79\!\cdots\!93$ $p^{30} T^{18} -$ $16\!\cdots\!50$ $p^{35} T^{19} + 6145829118402594652 p^{40} T^{20} + 29016398394666 p^{45} T^{21} + 3673078265 p^{50} T^{22} + 23870 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24}$
	61	$1 - 30862 T + 2189810935 T^{2} - 80470422914680 T^{3} + 4825425766672464609 T^{4} -$ $17\!\cdots\!88$ $T^{5} +$ $71\!\cdots\!87$ $T^{6} -$ $25\!\cdots\!02$ $T^{7} +$ $94\!\cdots\!95$ $T^{8} -$ $31\!\cdots\!60$ $T^{9} +$ $98\!\cdots\!58$ $T^{10} -$ $31\!\cdots\!20$ $T^{11} +$ $92\!\cdots\!54$ $T^{12} -$ $31\!\cdots\!20$ $p^{5} T^{13} +$ $98\!\cdots\!58$ $p^{10} T^{14} -$ $31\!\cdots\!60$ $p^{15} T^{15} +$ $94\!\cdots\!95$ $p^{20} T^{16} -$ $25\!\cdots\!02$ $p^{25} T^{17} +$ $71\!\cdots\!87$ $p^{30} T^{18} -$ $17\!\cdots\!88$ $p^{35} T^{19} + 4825425766672464609 p^{40} T^{20} - 80470422914680 p^{45} T^{21} + 2189810935 p^{50} T^{22} - 30862 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24}$
	67	$1 + 71910 T + 7551371465 T^{2} + 250330491218034 T^{3} + 14546431907159558084 T^{4} +$ $63\!\cdots\!18$ $T^{5} +$ $12\!\cdots\!01$ $T^{6} -$ $20\!\cdots\!26$ $T^{7} +$ $33\!\cdots\!91$ $T^{8} +$ $31\!\cdots\!04$ $T^{9} +$ $10\!\cdots\!42$ $p T^{10} +$ $34\!\cdots\!56$ $T^{11} +$ $85\!\cdots\!28$ $T^{12} +$ $34\!\cdots\!56$ $p^{5} T^{13} +$ $10\!\cdots\!42$ $p^{11} T^{14} +$ $31\!\cdots\!04$ $p^{15} T^{15} +$ $33\!\cdots\!91$ $p^{20} T^{16} -$ $20\!\cdots\!26$ $p^{25} T^{17} +$ $12\!\cdots\!01$ $p^{30} T^{18} +$ $63\!\cdots\!18$ $p^{35} T^{19} + 14546431907159558084 p^{40} T^{20} + 250330491218034 p^{45} T^{21} + 7551371465 p^{50} T^{22} + 71910 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24}$
	71	$1 - 167158 T + 22198128592 T^{2} - 2113141119217732 T^{3} +$ $17\!\cdots\!29$ $T^{4} -$ $12\!\cdots\!92$ $T^{5} +$ $82\!\cdots\!35$ $T^{6} -$ $48\!\cdots\!12$ $T^{7} +$ $26\!\cdots\!57$ $T^{8} -$ $13\!\cdots\!28$ $T^{9} +$ $64\!\cdots\!38$ $T^{10} -$ $29\!\cdots\!58$ $T^{11} +$ $12\!\cdots\!56$ $T^{12} -$ $29\!\cdots\!58$ $p^{5} T^{13} +$ $64\!\cdots\!38$ $p^{10} T^{14} -$ $13\!\cdots\!28$ $p^{15} T^{15} +$ $26\!\cdots\!57$ $p^{20} T^{16} -$ $48\!\cdots\!12$ $p^{25} T^{17} +$ $82\!\cdots\!35$ $p^{30} T^{18} -$ $12\!\cdots\!92$ $p^{35} T^{19} +$ $17\!\cdots\!29$ $p^{40} T^{20} - 2113141119217732 p^{45} T^{21} + 22198128592 p^{50} T^{22} - 167158 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24}$
	73	$1 - 52152 T + 14181050674 T^{2} - 540944500541420 T^{3} + 92270694180069877915 T^{4} -$ $26\!\cdots\!04$ $T^{5} +$ $38\!\cdots\!78$ $T^{6} -$ $82\!\cdots\!68$ $T^{7} +$ $12\!\cdots\!19$ $T^{8} -$ $21\!\cdots\!56$ $T^{9} +$ $33\!\cdots\!32$ $T^{10} -$ $49\!\cdots\!48$ $T^{11} +$ $74\!\cdots\!30$ $T^{12} -$ $49\!\cdots\!48$ $p^{5} T^{13} +$ $33\!\cdots\!32$ $p^{10} T^{14} -$ $21\!\cdots\!56$ $p^{15} T^{15} +$ $12\!\cdots\!19$ $p^{20} T^{16} -$ $82\!\cdots\!68$ $p^{25} T^{17} +$ $38\!\cdots\!78$ $p^{30} T^{18} -$ $26\!\cdots\!04$ $p^{35} T^{19} + 92270694180069877915 p^{40} T^{20} - 540944500541420 p^{45} T^{21} + 14181050674 p^{50} T^{22} - 52152 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24}$
	79	$1 + 123092 T + 26277809936 T^{2} + 2441433115904612 T^{3} +$ $31\!\cdots\!42$ $T^{4} +$ $23\!\cdots\!16$ $T^{5} +$ $23\!\cdots\!52$ $T^{6} +$ $15\!\cdots\!52$ $T^{7} +$ $13\!\cdots\!39$ $T^{8} +$ $76\!\cdots\!64$ $T^{9} +$ $55\!\cdots\!48$ $T^{10} +$ $29\!\cdots\!12$ $T^{11} +$ $19\!\cdots\!84$ $T^{12} +$ $29\!\cdots\!12$ $p^{5} T^{13} +$ $55\!\cdots\!48$ $p^{10} T^{14} +$ $76\!\cdots\!64$ $p^{15} T^{15} +$ $13\!\cdots\!39$ $p^{20} T^{16} +$ $15\!\cdots\!52$ $p^{25} T^{17} +$ $23\!\cdots\!52$ $p^{30} T^{18} +$ $23\!\cdots\!16$ $p^{35} T^{19} +$ $31\!\cdots\!42$ $p^{40} T^{20} + 2441433115904612 p^{45} T^{21} + 26277809936 p^{50} T^{22} + 123092 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24}$
	83	$1 - 89322 T + 21820280997 T^{2} - 1394317019545918 T^{3} +$ $22\!\cdots\!92$ $T^{4} -$ $10\!\cdots\!14$ $T^{5} +$ $13\!\cdots\!89$ $T^{6} -$ $41\!\cdots\!14$ $T^{7} +$ $58\!\cdots\!79$ $T^{8} -$ $65\!\cdots\!60$ $T^{9} +$ $19\!\cdots\!50$ $T^{10} +$ $15\!\cdots\!96$ $T^{11} +$ $67\!\cdots\!08$ $T^{12} +$ $15\!\cdots\!96$ $p^{5} T^{13} +$ $19\!\cdots\!50$ $p^{10} T^{14} -$ $65\!\cdots\!60$ $p^{15} T^{15} +$ $58\!\cdots\!79$ $p^{20} T^{16} -$ $41\!\cdots\!14$ $p^{25} T^{17} +$ $13\!\cdots\!89$ $p^{30} T^{18} -$ $10\!\cdots\!14$ $p^{35} T^{19} +$ $22\!\cdots\!92$ $p^{40} T^{20} - 1394317019545918 p^{45} T^{21} + 21820280997 p^{50} T^{22} - 89322 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24}$
	89	$1 + 46184 T + 32602289908 T^{2} + 1113130267171624 T^{3} +$ $54\!\cdots\!70$ $T^{4} +$ $14\!\cdots\!44$ $T^{5} +$ $64\!\cdots\!64$ $T^{6} +$ $13\!\cdots\!36$ $T^{7} +$ $58\!\cdots\!59$ $T^{8} +$ $10\!\cdots\!56$ $T^{9} +$ $43\!\cdots\!08$ $T^{10} +$ $68\!\cdots\!84$ $T^{11} +$ $26\!\cdots\!80$ $T^{12} +$ $68\!\cdots\!84$ $p^{5} T^{13} +$ $43\!\cdots\!08$ $p^{10} T^{14} +$ $10\!\cdots\!56$ $p^{15} T^{15} +$ $58\!\cdots\!59$ $p^{20} T^{16} +$ $13\!\cdots\!36$ $p^{25} T^{17} +$ $64\!\cdots\!64$ $p^{30} T^{18} +$ $14\!\cdots\!44$ $p^{35} T^{19} +$ $54\!\cdots\!70$ $p^{40} T^{20} + 1113130267171624 p^{45} T^{21} + 32602289908 p^{50} T^{22} + 46184 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24}$
	97	$1 + 94220 T + 62993599353 T^{2} + 4879190803999948 T^{3} +$ $18\!\cdots\!17$ $T^{4} +$ $11\!\cdots\!92$ $T^{5} +$ $34\!\cdots\!45$ $T^{6} +$ $18\!\cdots\!24$ $T^{7} +$ $47\!\cdots\!55$ $T^{8} +$ $23\!\cdots\!56$ $T^{9} +$ $54\!\cdots\!58$ $T^{10} +$ $24\!\cdots\!36$ $T^{11} +$ $51\!\cdots\!98$ $T^{12} +$ $24\!\cdots\!36$ $p^{5} T^{13} +$ $54\!\cdots\!58$ $p^{10} T^{14} +$ $23\!\cdots\!56$ $p^{15} T^{15} +$ $47\!\cdots\!55$ $p^{20} T^{16} +$ $18\!\cdots\!24$ $p^{25} T^{17} +$ $34\!\cdots\!45$ $p^{30} T^{18} +$ $11\!\cdots\!92$ $p^{35} T^{19} +$ $18\!\cdots\!17$ $p^{40} T^{20} + 4879190803999948 p^{45} T^{21} + 62993599353 p^{50} T^{22} + 94220 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24}$
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L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{24} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−3.86312064518784024257907871651, −3.28441480810567847629992578349, −3.27399172510939614173976212975, −3.25456618889138848997649467802, −3.17658714567202750440037304184, −3.08264107323508528913634128295, −3.04209281694334763307050090347, −2.84884640112079949887932365631, −2.66343616253587915401980321269, −2.47420444457956940407434633430, −2.47304259523790880671345865537, −2.34390612092424597879213929784, −2.18389088613828110160197080291, −2.07581304571033395672063556741, −1.97695302924953878943791026876, −1.78226617409113099548997557121, −1.61282554563650754054985840383, −1.33099635849868286721949233215, −1.21980223088510120628662331946, −0.978688998892845808788436173562, −0.848566895142459322626031267448, −0.836506830287488842400384665966, −0.68219626799653917970463596921, −0.41353746697234595761918884196, −0.34493055359336298149029354085, 0.34493055359336298149029354085, 0.41353746697234595761918884196, 0.68219626799653917970463596921, 0.836506830287488842400384665966, 0.848566895142459322626031267448, 0.978688998892845808788436173562, 1.21980223088510120628662331946, 1.33099635849868286721949233215, 1.61282554563650754054985840383, 1.78226617409113099548997557121, 1.97695302924953878943791026876, 2.07581304571033395672063556741, 2.18389088613828110160197080291, 2.34390612092424597879213929784, 2.47304259523790880671345865537, 2.47420444457956940407434633430, 2.66343616253587915401980321269, 2.84884640112079949887932365631, 3.04209281694334763307050090347, 3.08264107323508528913634128295, 3.17658714567202750440037304184, 3.25456618889138848997649467802, 3.27399172510939614173976212975, 3.28441480810567847629992578349, 3.86312064518784024257907871651

Graph of the $Z$ -function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

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Dirichlet series

Functional equation

Invariants

Particular Values

Euler product

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

Graph of the $Z$ -function along the critical line

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	24-115e12-1.1-c5e12-0-0
Degree	$24$
Conductor	$5.350\times 10^{24}$
Sign	$1$
Analytic cond.	$1.54988\times 10^{15}$
Root an. cond.	$4.29466$
Motivic weight	$5$
Arithmetic	yes
Rational	yes
Primitive	no
Self-dual	yes
Analytic rank	$0$

Properties

Origins

Origins of factors

Downloads

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Particular Values

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

Graph of the ZZZ-function along the critical line

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Graph of the $Z$ -function along the critical line