Dirichlet series
| L(s) = 1 | + 8·2-s + 22·3-s − 13·4-s + 300·5-s + 176·6-s + 16·7-s − 135·8-s − 417·9-s + 2.40e3·10-s + 132·11-s − 286·12-s − 236·13-s + 128·14-s + 6.60e3·15-s − 363·16-s + 1.66e3·17-s − 3.33e3·18-s + 616·19-s − 3.90e3·20-s + 352·21-s + 1.05e3·22-s − 6.34e3·23-s − 2.97e3·24-s + 4.87e4·25-s − 1.88e3·26-s − 1.06e4·27-s − 208·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 1.41·2-s + 1.41·3-s − 0.406·4-s + 5.36·5-s + 1.99·6-s + 0.123·7-s − 0.745·8-s − 1.71·9-s + 7.58·10-s + 0.328·11-s − 0.573·12-s − 0.387·13-s + 0.174·14-s + 7.57·15-s − 0.354·16-s + 1.39·17-s − 2.42·18-s + 0.391·19-s − 2.18·20-s + 0.174·21-s + 0.465·22-s − 2.50·23-s − 1.05·24-s + 78/5·25-s − 0.547·26-s − 2.80·27-s − 0.0501·28-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{12} \cdot 23^{12}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{12} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{12} \cdot 23^{12}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{12} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(24\) |
| Conductor: | \(5^{12} \cdot 23^{12}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(1.54988\times 10^{15}\) |
| Root analytic conductor: | \(4.29466\) |
| Motivic weight: | \(5\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((24,\ 5^{12} \cdot 23^{12} ,\ ( \ : [5/2]^{12} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(3)\) | \(\approx\) | \(649.4330712\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(649.4330712\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 5 | \( ( 1 - p^{2} T )^{12} \) |
| 23 | \( ( 1 + p^{2} T )^{12} \) | |
| good | 2 | \( 1 - p^{3} T + 77 T^{2} - 585 T^{3} + 1241 p^{2} T^{4} - 35597 T^{5} + 131803 p T^{6} - 893141 p T^{7} + 1462311 p^{3} T^{8} - 9342617 p^{3} T^{9} + 29123997 p^{4} T^{10} - 20845425 p^{7} T^{11} + 239380531 p^{6} T^{12} - 20845425 p^{12} T^{13} + 29123997 p^{14} T^{14} - 9342617 p^{18} T^{15} + 1462311 p^{23} T^{16} - 893141 p^{26} T^{17} + 131803 p^{31} T^{18} - 35597 p^{35} T^{19} + 1241 p^{42} T^{20} - 585 p^{45} T^{21} + 77 p^{50} T^{22} - p^{58} T^{23} + p^{60} T^{24} \) |
| 3 | \( 1 - 22 T + 901 T^{2} - 18352 T^{3} + 489236 T^{4} - 7781758 T^{5} + 160994594 T^{6} - 233697154 p^{2} T^{7} + 4333582994 p^{2} T^{8} - 4996051264 p^{4} T^{9} + 93718781893 p^{4} T^{10} - 285324764182 p^{5} T^{11} + 759308648126 p^{7} T^{12} - 285324764182 p^{10} T^{13} + 93718781893 p^{14} T^{14} - 4996051264 p^{19} T^{15} + 4333582994 p^{22} T^{16} - 233697154 p^{27} T^{17} + 160994594 p^{30} T^{18} - 7781758 p^{35} T^{19} + 489236 p^{40} T^{20} - 18352 p^{45} T^{21} + 901 p^{50} T^{22} - 22 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \) | |
| 7 | \( 1 - 16 T + 87496 T^{2} + 31846 p^{2} T^{3} + 3998198362 T^{4} + 194916730222 T^{5} + 130671978637705 T^{6} + 8957013139627004 T^{7} + 497132493997888219 p T^{8} + \)\(25\!\cdots\!56\)\( T^{9} + \)\(78\!\cdots\!35\)\( T^{10} + \)\(53\!\cdots\!44\)\( T^{11} + \)\(20\!\cdots\!72\)\( p T^{12} + \)\(53\!\cdots\!44\)\( p^{5} T^{13} + \)\(78\!\cdots\!35\)\( p^{10} T^{14} + \)\(25\!\cdots\!56\)\( p^{15} T^{15} + 497132493997888219 p^{21} T^{16} + 8957013139627004 p^{25} T^{17} + 130671978637705 p^{30} T^{18} + 194916730222 p^{35} T^{19} + 3998198362 p^{40} T^{20} + 31846 p^{47} T^{21} + 87496 p^{50} T^{22} - 16 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \) | |
| 11 | \( 1 - 12 p T + 401601 T^{2} - 119245828 T^{3} + 139840894885 T^{4} - 41877196876832 T^{5} + 34298896920081997 T^{6} - 12066255089239177584 T^{7} + \)\(79\!\cdots\!03\)\( T^{8} - \)\(25\!\cdots\!28\)\( T^{9} + \)\(15\!\cdots\!14\)\( T^{10} - \)\(43\!\cdots\!60\)\( p T^{11} + \)\(27\!\cdots\!26\)\( T^{12} - \)\(43\!\cdots\!60\)\( p^{6} T^{13} + \)\(15\!\cdots\!14\)\( p^{10} T^{14} - \)\(25\!\cdots\!28\)\( p^{15} T^{15} + \)\(79\!\cdots\!03\)\( p^{20} T^{16} - 12066255089239177584 p^{25} T^{17} + 34298896920081997 p^{30} T^{18} - 41877196876832 p^{35} T^{19} + 139840894885 p^{40} T^{20} - 119245828 p^{45} T^{21} + 401601 p^{50} T^{22} - 12 p^{56} T^{23} + p^{60} T^{24} \) | |
| 13 | \( 1 + 236 T + 1866727 T^{2} + 106847184 T^{3} + 1741189228852 T^{4} - 161364375199720 T^{5} + 1168342624652329434 T^{6} - \)\(23\!\cdots\!48\)\( T^{7} + \)\(64\!\cdots\!10\)\( T^{8} - \)\(16\!\cdots\!88\)\( T^{9} + \)\(29\!\cdots\!07\)\( T^{10} - \)\(83\!\cdots\!72\)\( T^{11} + \)\(11\!\cdots\!94\)\( T^{12} - \)\(83\!\cdots\!72\)\( p^{5} T^{13} + \)\(29\!\cdots\!07\)\( p^{10} T^{14} - \)\(16\!\cdots\!88\)\( p^{15} T^{15} + \)\(64\!\cdots\!10\)\( p^{20} T^{16} - \)\(23\!\cdots\!48\)\( p^{25} T^{17} + 1168342624652329434 p^{30} T^{18} - 161364375199720 p^{35} T^{19} + 1741189228852 p^{40} T^{20} + 106847184 p^{45} T^{21} + 1866727 p^{50} T^{22} + 236 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \) | |
| 17 | \( 1 - 98 p T + 8176290 T^{2} - 14204001204 T^{3} + 39452050063188 T^{4} - 60857551564301814 T^{5} + \)\(12\!\cdots\!03\)\( T^{6} - \)\(18\!\cdots\!64\)\( T^{7} + \)\(31\!\cdots\!97\)\( T^{8} - \)\(39\!\cdots\!94\)\( T^{9} + \)\(60\!\cdots\!23\)\( T^{10} - \)\(69\!\cdots\!54\)\( T^{11} + \)\(94\!\cdots\!60\)\( T^{12} - \)\(69\!\cdots\!54\)\( p^{5} T^{13} + \)\(60\!\cdots\!23\)\( p^{10} T^{14} - \)\(39\!\cdots\!94\)\( p^{15} T^{15} + \)\(31\!\cdots\!97\)\( p^{20} T^{16} - \)\(18\!\cdots\!64\)\( p^{25} T^{17} + \)\(12\!\cdots\!03\)\( p^{30} T^{18} - 60857551564301814 p^{35} T^{19} + 39452050063188 p^{40} T^{20} - 14204001204 p^{45} T^{21} + 8176290 p^{50} T^{22} - 98 p^{56} T^{23} + p^{60} T^{24} \) | |
| 19 | \( 1 - 616 T + 13667577 T^{2} + 3338434148 T^{3} + 85709418022413 T^{4} + 91949555717759184 T^{5} + \)\(38\!\cdots\!17\)\( T^{6} + \)\(62\!\cdots\!80\)\( T^{7} + \)\(15\!\cdots\!31\)\( T^{8} + \)\(13\!\cdots\!24\)\( p T^{9} + \)\(54\!\cdots\!46\)\( T^{10} + \)\(74\!\cdots\!08\)\( T^{11} + \)\(15\!\cdots\!30\)\( T^{12} + \)\(74\!\cdots\!08\)\( p^{5} T^{13} + \)\(54\!\cdots\!46\)\( p^{10} T^{14} + \)\(13\!\cdots\!24\)\( p^{16} T^{15} + \)\(15\!\cdots\!31\)\( p^{20} T^{16} + \)\(62\!\cdots\!80\)\( p^{25} T^{17} + \)\(38\!\cdots\!17\)\( p^{30} T^{18} + 91949555717759184 p^{35} T^{19} + 85709418022413 p^{40} T^{20} + 3338434148 p^{45} T^{21} + 13667577 p^{50} T^{22} - 616 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \) | |
| 29 | \( 1 - 818 p T + 379525075 T^{2} - 4581616530954 T^{3} + 46230958847336183 T^{4} - 13860226607814872580 p T^{5} + \)\(31\!\cdots\!24\)\( T^{6} - \)\(21\!\cdots\!88\)\( T^{7} + \)\(13\!\cdots\!29\)\( T^{8} - \)\(81\!\cdots\!18\)\( T^{9} + \)\(44\!\cdots\!09\)\( T^{10} - \)\(22\!\cdots\!38\)\( T^{11} + \)\(10\!\cdots\!58\)\( T^{12} - \)\(22\!\cdots\!38\)\( p^{5} T^{13} + \)\(44\!\cdots\!09\)\( p^{10} T^{14} - \)\(81\!\cdots\!18\)\( p^{15} T^{15} + \)\(13\!\cdots\!29\)\( p^{20} T^{16} - \)\(21\!\cdots\!88\)\( p^{25} T^{17} + \)\(31\!\cdots\!24\)\( p^{30} T^{18} - 13860226607814872580 p^{36} T^{19} + 46230958847336183 p^{40} T^{20} - 4581616530954 p^{45} T^{21} + 379525075 p^{50} T^{22} - 818 p^{56} T^{23} + p^{60} T^{24} \) | |
| 31 | \( 1 - 18446 T + 397191600 T^{2} - 4956317975360 T^{3} + 63545443895996129 T^{4} - \)\(61\!\cdots\!56\)\( T^{5} + \)\(59\!\cdots\!39\)\( T^{6} - \)\(46\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(36\!\cdots\!53\)\( T^{8} - \)\(79\!\cdots\!20\)\( p T^{9} + \)\(16\!\cdots\!46\)\( T^{10} - \)\(95\!\cdots\!58\)\( T^{11} + \)\(54\!\cdots\!04\)\( T^{12} - \)\(95\!\cdots\!58\)\( p^{5} T^{13} + \)\(16\!\cdots\!46\)\( p^{10} T^{14} - \)\(79\!\cdots\!20\)\( p^{16} T^{15} + \)\(36\!\cdots\!53\)\( p^{20} T^{16} - \)\(46\!\cdots\!00\)\( p^{25} T^{17} + \)\(59\!\cdots\!39\)\( p^{30} T^{18} - \)\(61\!\cdots\!56\)\( p^{35} T^{19} + 63545443895996129 p^{40} T^{20} - 4956317975360 p^{45} T^{21} + 397191600 p^{50} T^{22} - 18446 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \) | |
| 37 | \( 1 - 10394 T + 547466285 T^{2} - 4984377865934 T^{3} + 146918590426568612 T^{4} - \)\(12\!\cdots\!70\)\( T^{5} + \)\(25\!\cdots\!61\)\( T^{6} - \)\(19\!\cdots\!10\)\( T^{7} + \)\(33\!\cdots\!15\)\( T^{8} - \)\(22\!\cdots\!60\)\( T^{9} + \)\(32\!\cdots\!22\)\( T^{10} - \)\(19\!\cdots\!56\)\( T^{11} + \)\(25\!\cdots\!00\)\( T^{12} - \)\(19\!\cdots\!56\)\( p^{5} T^{13} + \)\(32\!\cdots\!22\)\( p^{10} T^{14} - \)\(22\!\cdots\!60\)\( p^{15} T^{15} + \)\(33\!\cdots\!15\)\( p^{20} T^{16} - \)\(19\!\cdots\!10\)\( p^{25} T^{17} + \)\(25\!\cdots\!61\)\( p^{30} T^{18} - \)\(12\!\cdots\!70\)\( p^{35} T^{19} + 146918590426568612 p^{40} T^{20} - 4984377865934 p^{45} T^{21} + 547466285 p^{50} T^{22} - 10394 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \) | |
| 41 | \( 1 - 48232 T + 1466849146 T^{2} - 33533168064242 T^{3} + 658401161955640795 T^{4} - \)\(11\!\cdots\!54\)\( T^{5} + \)\(18\!\cdots\!19\)\( T^{6} - \)\(26\!\cdots\!82\)\( T^{7} + \)\(36\!\cdots\!51\)\( T^{8} - \)\(46\!\cdots\!70\)\( T^{9} + \)\(57\!\cdots\!00\)\( T^{10} - \)\(66\!\cdots\!60\)\( T^{11} + \)\(73\!\cdots\!96\)\( T^{12} - \)\(66\!\cdots\!60\)\( p^{5} T^{13} + \)\(57\!\cdots\!00\)\( p^{10} T^{14} - \)\(46\!\cdots\!70\)\( p^{15} T^{15} + \)\(36\!\cdots\!51\)\( p^{20} T^{16} - \)\(26\!\cdots\!82\)\( p^{25} T^{17} + \)\(18\!\cdots\!19\)\( p^{30} T^{18} - \)\(11\!\cdots\!54\)\( p^{35} T^{19} + 658401161955640795 p^{40} T^{20} - 33533168064242 p^{45} T^{21} + 1466849146 p^{50} T^{22} - 48232 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \) | |
| 43 | \( 1 - 10732 T + 1196666312 T^{2} - 15398859374460 T^{3} + 697838564583220922 T^{4} - \)\(98\!\cdots\!96\)\( T^{5} + \)\(26\!\cdots\!48\)\( T^{6} - \)\(37\!\cdots\!04\)\( T^{7} + \)\(76\!\cdots\!95\)\( T^{8} - \)\(99\!\cdots\!20\)\( T^{9} + \)\(16\!\cdots\!12\)\( T^{10} - \)\(19\!\cdots\!20\)\( T^{11} + \)\(27\!\cdots\!84\)\( T^{12} - \)\(19\!\cdots\!20\)\( p^{5} T^{13} + \)\(16\!\cdots\!12\)\( p^{10} T^{14} - \)\(99\!\cdots\!20\)\( p^{15} T^{15} + \)\(76\!\cdots\!95\)\( p^{20} T^{16} - \)\(37\!\cdots\!04\)\( p^{25} T^{17} + \)\(26\!\cdots\!48\)\( p^{30} T^{18} - \)\(98\!\cdots\!96\)\( p^{35} T^{19} + 697838564583220922 p^{40} T^{20} - 15398859374460 p^{45} T^{21} + 1196666312 p^{50} T^{22} - 10732 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \) | |
| 47 | \( 1 + 30448 T + 1329044246 T^{2} + 22171644694036 T^{3} + 599803107520591487 T^{4} + \)\(61\!\cdots\!56\)\( T^{5} + \)\(16\!\cdots\!18\)\( T^{6} + \)\(10\!\cdots\!32\)\( T^{7} + \)\(37\!\cdots\!35\)\( T^{8} + \)\(67\!\cdots\!68\)\( T^{9} + \)\(65\!\cdots\!36\)\( T^{10} - \)\(40\!\cdots\!24\)\( T^{11} + \)\(10\!\cdots\!34\)\( T^{12} - \)\(40\!\cdots\!24\)\( p^{5} T^{13} + \)\(65\!\cdots\!36\)\( p^{10} T^{14} + \)\(67\!\cdots\!68\)\( p^{15} T^{15} + \)\(37\!\cdots\!35\)\( p^{20} T^{16} + \)\(10\!\cdots\!32\)\( p^{25} T^{17} + \)\(16\!\cdots\!18\)\( p^{30} T^{18} + \)\(61\!\cdots\!56\)\( p^{35} T^{19} + 599803107520591487 p^{40} T^{20} + 22171644694036 p^{45} T^{21} + 1329044246 p^{50} T^{22} + 30448 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \) | |
| 53 | \( 1 - 36494 T + 3778631593 T^{2} - 120274490282822 T^{3} + 6924165786606754752 T^{4} - \)\(19\!\cdots\!14\)\( T^{5} + \)\(81\!\cdots\!77\)\( T^{6} - \)\(20\!\cdots\!58\)\( T^{7} + \)\(67\!\cdots\!27\)\( T^{8} - \)\(14\!\cdots\!12\)\( T^{9} + \)\(42\!\cdots\!10\)\( T^{10} - \)\(82\!\cdots\!00\)\( T^{11} + \)\(20\!\cdots\!60\)\( T^{12} - \)\(82\!\cdots\!00\)\( p^{5} T^{13} + \)\(42\!\cdots\!10\)\( p^{10} T^{14} - \)\(14\!\cdots\!12\)\( p^{15} T^{15} + \)\(67\!\cdots\!27\)\( p^{20} T^{16} - \)\(20\!\cdots\!58\)\( p^{25} T^{17} + \)\(81\!\cdots\!77\)\( p^{30} T^{18} - \)\(19\!\cdots\!14\)\( p^{35} T^{19} + 6924165786606754752 p^{40} T^{20} - 120274490282822 p^{45} T^{21} + 3778631593 p^{50} T^{22} - 36494 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \) | |
| 59 | \( 1 + 23870 T + 3673078265 T^{2} + 29016398394666 T^{3} + 6145829118402594652 T^{4} - \)\(16\!\cdots\!50\)\( T^{5} + \)\(79\!\cdots\!93\)\( T^{6} - \)\(67\!\cdots\!10\)\( T^{7} + \)\(87\!\cdots\!99\)\( T^{8} - \)\(94\!\cdots\!24\)\( T^{9} + \)\(81\!\cdots\!50\)\( T^{10} - \)\(86\!\cdots\!60\)\( T^{11} + \)\(64\!\cdots\!80\)\( T^{12} - \)\(86\!\cdots\!60\)\( p^{5} T^{13} + \)\(81\!\cdots\!50\)\( p^{10} T^{14} - \)\(94\!\cdots\!24\)\( p^{15} T^{15} + \)\(87\!\cdots\!99\)\( p^{20} T^{16} - \)\(67\!\cdots\!10\)\( p^{25} T^{17} + \)\(79\!\cdots\!93\)\( p^{30} T^{18} - \)\(16\!\cdots\!50\)\( p^{35} T^{19} + 6145829118402594652 p^{40} T^{20} + 29016398394666 p^{45} T^{21} + 3673078265 p^{50} T^{22} + 23870 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \) | |
| 61 | \( 1 - 30862 T + 2189810935 T^{2} - 80470422914680 T^{3} + 4825425766672464609 T^{4} - \)\(17\!\cdots\!88\)\( T^{5} + \)\(71\!\cdots\!87\)\( T^{6} - \)\(25\!\cdots\!02\)\( T^{7} + \)\(94\!\cdots\!95\)\( T^{8} - \)\(31\!\cdots\!60\)\( T^{9} + \)\(98\!\cdots\!58\)\( T^{10} - \)\(31\!\cdots\!20\)\( T^{11} + \)\(92\!\cdots\!54\)\( T^{12} - \)\(31\!\cdots\!20\)\( p^{5} T^{13} + \)\(98\!\cdots\!58\)\( p^{10} T^{14} - \)\(31\!\cdots\!60\)\( p^{15} T^{15} + \)\(94\!\cdots\!95\)\( p^{20} T^{16} - \)\(25\!\cdots\!02\)\( p^{25} T^{17} + \)\(71\!\cdots\!87\)\( p^{30} T^{18} - \)\(17\!\cdots\!88\)\( p^{35} T^{19} + 4825425766672464609 p^{40} T^{20} - 80470422914680 p^{45} T^{21} + 2189810935 p^{50} T^{22} - 30862 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \) | |
| 67 | \( 1 + 71910 T + 7551371465 T^{2} + 250330491218034 T^{3} + 14546431907159558084 T^{4} + \)\(63\!\cdots\!18\)\( T^{5} + \)\(12\!\cdots\!01\)\( T^{6} - \)\(20\!\cdots\!26\)\( T^{7} + \)\(33\!\cdots\!91\)\( T^{8} + \)\(31\!\cdots\!04\)\( T^{9} + \)\(10\!\cdots\!42\)\( p T^{10} + \)\(34\!\cdots\!56\)\( T^{11} + \)\(85\!\cdots\!28\)\( T^{12} + \)\(34\!\cdots\!56\)\( p^{5} T^{13} + \)\(10\!\cdots\!42\)\( p^{11} T^{14} + \)\(31\!\cdots\!04\)\( p^{15} T^{15} + \)\(33\!\cdots\!91\)\( p^{20} T^{16} - \)\(20\!\cdots\!26\)\( p^{25} T^{17} + \)\(12\!\cdots\!01\)\( p^{30} T^{18} + \)\(63\!\cdots\!18\)\( p^{35} T^{19} + 14546431907159558084 p^{40} T^{20} + 250330491218034 p^{45} T^{21} + 7551371465 p^{50} T^{22} + 71910 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \) | |
| 71 | \( 1 - 167158 T + 22198128592 T^{2} - 2113141119217732 T^{3} + \)\(17\!\cdots\!29\)\( T^{4} - \)\(12\!\cdots\!92\)\( T^{5} + \)\(82\!\cdots\!35\)\( T^{6} - \)\(48\!\cdots\!12\)\( T^{7} + \)\(26\!\cdots\!57\)\( T^{8} - \)\(13\!\cdots\!28\)\( T^{9} + \)\(64\!\cdots\!38\)\( T^{10} - \)\(29\!\cdots\!58\)\( T^{11} + \)\(12\!\cdots\!56\)\( T^{12} - \)\(29\!\cdots\!58\)\( p^{5} T^{13} + \)\(64\!\cdots\!38\)\( p^{10} T^{14} - \)\(13\!\cdots\!28\)\( p^{15} T^{15} + \)\(26\!\cdots\!57\)\( p^{20} T^{16} - \)\(48\!\cdots\!12\)\( p^{25} T^{17} + \)\(82\!\cdots\!35\)\( p^{30} T^{18} - \)\(12\!\cdots\!92\)\( p^{35} T^{19} + \)\(17\!\cdots\!29\)\( p^{40} T^{20} - 2113141119217732 p^{45} T^{21} + 22198128592 p^{50} T^{22} - 167158 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \) | |
| 73 | \( 1 - 52152 T + 14181050674 T^{2} - 540944500541420 T^{3} + 92270694180069877915 T^{4} - \)\(26\!\cdots\!04\)\( T^{5} + \)\(38\!\cdots\!78\)\( T^{6} - \)\(82\!\cdots\!68\)\( T^{7} + \)\(12\!\cdots\!19\)\( T^{8} - \)\(21\!\cdots\!56\)\( T^{9} + \)\(33\!\cdots\!32\)\( T^{10} - \)\(49\!\cdots\!48\)\( T^{11} + \)\(74\!\cdots\!30\)\( T^{12} - \)\(49\!\cdots\!48\)\( p^{5} T^{13} + \)\(33\!\cdots\!32\)\( p^{10} T^{14} - \)\(21\!\cdots\!56\)\( p^{15} T^{15} + \)\(12\!\cdots\!19\)\( p^{20} T^{16} - \)\(82\!\cdots\!68\)\( p^{25} T^{17} + \)\(38\!\cdots\!78\)\( p^{30} T^{18} - \)\(26\!\cdots\!04\)\( p^{35} T^{19} + 92270694180069877915 p^{40} T^{20} - 540944500541420 p^{45} T^{21} + 14181050674 p^{50} T^{22} - 52152 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \) | |
| 79 | \( 1 + 123092 T + 26277809936 T^{2} + 2441433115904612 T^{3} + \)\(31\!\cdots\!42\)\( T^{4} + \)\(23\!\cdots\!16\)\( T^{5} + \)\(23\!\cdots\!52\)\( T^{6} + \)\(15\!\cdots\!52\)\( T^{7} + \)\(13\!\cdots\!39\)\( T^{8} + \)\(76\!\cdots\!64\)\( T^{9} + \)\(55\!\cdots\!48\)\( T^{10} + \)\(29\!\cdots\!12\)\( T^{11} + \)\(19\!\cdots\!84\)\( T^{12} + \)\(29\!\cdots\!12\)\( p^{5} T^{13} + \)\(55\!\cdots\!48\)\( p^{10} T^{14} + \)\(76\!\cdots\!64\)\( p^{15} T^{15} + \)\(13\!\cdots\!39\)\( p^{20} T^{16} + \)\(15\!\cdots\!52\)\( p^{25} T^{17} + \)\(23\!\cdots\!52\)\( p^{30} T^{18} + \)\(23\!\cdots\!16\)\( p^{35} T^{19} + \)\(31\!\cdots\!42\)\( p^{40} T^{20} + 2441433115904612 p^{45} T^{21} + 26277809936 p^{50} T^{22} + 123092 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \) | |
| 83 | \( 1 - 89322 T + 21820280997 T^{2} - 1394317019545918 T^{3} + \)\(22\!\cdots\!92\)\( T^{4} - \)\(10\!\cdots\!14\)\( T^{5} + \)\(13\!\cdots\!89\)\( T^{6} - \)\(41\!\cdots\!14\)\( T^{7} + \)\(58\!\cdots\!79\)\( T^{8} - \)\(65\!\cdots\!60\)\( T^{9} + \)\(19\!\cdots\!50\)\( T^{10} + \)\(15\!\cdots\!96\)\( T^{11} + \)\(67\!\cdots\!08\)\( T^{12} + \)\(15\!\cdots\!96\)\( p^{5} T^{13} + \)\(19\!\cdots\!50\)\( p^{10} T^{14} - \)\(65\!\cdots\!60\)\( p^{15} T^{15} + \)\(58\!\cdots\!79\)\( p^{20} T^{16} - \)\(41\!\cdots\!14\)\( p^{25} T^{17} + \)\(13\!\cdots\!89\)\( p^{30} T^{18} - \)\(10\!\cdots\!14\)\( p^{35} T^{19} + \)\(22\!\cdots\!92\)\( p^{40} T^{20} - 1394317019545918 p^{45} T^{21} + 21820280997 p^{50} T^{22} - 89322 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \) | |
| 89 | \( 1 + 46184 T + 32602289908 T^{2} + 1113130267171624 T^{3} + \)\(54\!\cdots\!70\)\( T^{4} + \)\(14\!\cdots\!44\)\( T^{5} + \)\(64\!\cdots\!64\)\( T^{6} + \)\(13\!\cdots\!36\)\( T^{7} + \)\(58\!\cdots\!59\)\( T^{8} + \)\(10\!\cdots\!56\)\( T^{9} + \)\(43\!\cdots\!08\)\( T^{10} + \)\(68\!\cdots\!84\)\( T^{11} + \)\(26\!\cdots\!80\)\( T^{12} + \)\(68\!\cdots\!84\)\( p^{5} T^{13} + \)\(43\!\cdots\!08\)\( p^{10} T^{14} + \)\(10\!\cdots\!56\)\( p^{15} T^{15} + \)\(58\!\cdots\!59\)\( p^{20} T^{16} + \)\(13\!\cdots\!36\)\( p^{25} T^{17} + \)\(64\!\cdots\!64\)\( p^{30} T^{18} + \)\(14\!\cdots\!44\)\( p^{35} T^{19} + \)\(54\!\cdots\!70\)\( p^{40} T^{20} + 1113130267171624 p^{45} T^{21} + 32602289908 p^{50} T^{22} + 46184 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \) | |
| 97 | \( 1 + 94220 T + 62993599353 T^{2} + 4879190803999948 T^{3} + \)\(18\!\cdots\!17\)\( T^{4} + \)\(11\!\cdots\!92\)\( T^{5} + \)\(34\!\cdots\!45\)\( T^{6} + \)\(18\!\cdots\!24\)\( T^{7} + \)\(47\!\cdots\!55\)\( T^{8} + \)\(23\!\cdots\!56\)\( T^{9} + \)\(54\!\cdots\!58\)\( T^{10} + \)\(24\!\cdots\!36\)\( T^{11} + \)\(51\!\cdots\!98\)\( T^{12} + \)\(24\!\cdots\!36\)\( p^{5} T^{13} + \)\(54\!\cdots\!58\)\( p^{10} T^{14} + \)\(23\!\cdots\!56\)\( p^{15} T^{15} + \)\(47\!\cdots\!55\)\( p^{20} T^{16} + \)\(18\!\cdots\!24\)\( p^{25} T^{17} + \)\(34\!\cdots\!45\)\( p^{30} T^{18} + \)\(11\!\cdots\!92\)\( p^{35} T^{19} + \)\(18\!\cdots\!17\)\( p^{40} T^{20} + 4879190803999948 p^{45} T^{21} + 62993599353 p^{50} T^{22} + 94220 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{24} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−3.86312064518784024257907871651, −3.28441480810567847629992578349, −3.27399172510939614173976212975, −3.25456618889138848997649467802, −3.17658714567202750440037304184, −3.08264107323508528913634128295, −3.04209281694334763307050090347, −2.84884640112079949887932365631, −2.66343616253587915401980321269, −2.47420444457956940407434633430, −2.47304259523790880671345865537, −2.34390612092424597879213929784, −2.18389088613828110160197080291, −2.07581304571033395672063556741, −1.97695302924953878943791026876, −1.78226617409113099548997557121, −1.61282554563650754054985840383, −1.33099635849868286721949233215, −1.21980223088510120628662331946, −0.978688998892845808788436173562, −0.848566895142459322626031267448, −0.836506830287488842400384665966, −0.68219626799653917970463596921, −0.41353746697234595761918884196, −0.34493055359336298149029354085, 0.34493055359336298149029354085, 0.41353746697234595761918884196, 0.68219626799653917970463596921, 0.836506830287488842400384665966, 0.848566895142459322626031267448, 0.978688998892845808788436173562, 1.21980223088510120628662331946, 1.33099635849868286721949233215, 1.61282554563650754054985840383, 1.78226617409113099548997557121, 1.97695302924953878943791026876, 2.07581304571033395672063556741, 2.18389088613828110160197080291, 2.34390612092424597879213929784, 2.47304259523790880671345865537, 2.47420444457956940407434633430, 2.66343616253587915401980321269, 2.84884640112079949887932365631, 3.04209281694334763307050090347, 3.08264107323508528913634128295, 3.17658714567202750440037304184, 3.25456618889138848997649467802, 3.27399172510939614173976212975, 3.28441480810567847629992578349, 3.86312064518784024257907871651
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.