| L(s) = 1 | + 16·2-s − 40·3-s + 160·4-s + 100·5-s − 640·6-s + 1.28e3·8-s + 450·9-s + 1.60e3·10-s − 432·11-s − 6.40e3·12-s − 620·13-s − 4.00e3·15-s + 8.96e3·16-s − 2.26e3·17-s + 7.20e3·18-s − 1.48e3·19-s + 1.60e4·20-s − 6.91e3·22-s + 1.96e3·23-s − 5.12e4·24-s + 6.25e3·25-s − 9.92e3·26-s + 3.28e3·27-s − 564·29-s − 6.40e4·30-s − 1.02e4·31-s + 5.73e4·32-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 2.82·2-s − 2.56·3-s + 5·4-s + 1.78·5-s − 7.25·6-s + 7.07·8-s + 1.85·9-s + 5.05·10-s − 1.07·11-s − 12.8·12-s − 1.01·13-s − 4.59·15-s + 35/4·16-s − 1.89·17-s + 5.23·18-s − 0.940·19-s + 8.94·20-s − 3.04·22-s + 0.775·23-s − 18.1·24-s + 2·25-s − 2.87·26-s + 0.865·27-s − 0.124·29-s − 12.9·30-s − 1.91·31-s + 9.89·32-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{4} \cdot 5^{4} \cdot 7^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{4} \cdot 5^{4} \cdot 7^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 2 | $C_1$ | \( ( 1 - p^{2} T )^{4} \) |
| 5 | $C_1$ | \( ( 1 - p^{2} T )^{4} \) |
| 7 | | \( 1 \) |
| good | 3 | $(((C_4 \times C_2): C_2):C_2):C_2$ | \( 1 + 40 T + 1150 T^{2} + 8240 p T^{3} + 48803 p^{2} T^{4} + 8240 p^{6} T^{5} + 1150 p^{10} T^{6} + 40 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 11 | $(((C_4 \times C_2): C_2):C_2):C_2$ | \( 1 + 432 T + 424946 T^{2} + 155685072 T^{3} + 100205028739 T^{4} + 155685072 p^{5} T^{5} + 424946 p^{10} T^{6} + 432 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 13 | $(((C_4 \times C_2): C_2):C_2):C_2$ | \( 1 + 620 T + 1364814 T^{2} + 630975960 T^{3} + 736096010131 T^{4} + 630975960 p^{5} T^{5} + 1364814 p^{10} T^{6} + 620 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 17 | $(((C_4 \times C_2): C_2):C_2):C_2$ | \( 1 + 2260 T + 6689558 T^{2} + 9325180360 T^{3} + 14902549646075 T^{4} + 9325180360 p^{5} T^{5} + 6689558 p^{10} T^{6} + 2260 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 19 | $(((C_4 \times C_2): C_2):C_2):C_2$ | \( 1 + 1480 T + 9396964 T^{2} + 10144231720 T^{3} + 34421947075670 T^{4} + 10144231720 p^{5} T^{5} + 9396964 p^{10} T^{6} + 1480 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 23 | $(((C_4 \times C_2): C_2):C_2):C_2$ | \( 1 - 1968 T + 9987488 T^{2} - 32046096912 T^{3} + 52040993557570 T^{4} - 32046096912 p^{5} T^{5} + 9987488 p^{10} T^{6} - 1968 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 29 | $(((C_4 \times C_2): C_2):C_2):C_2$ | \( 1 + 564 T + 69433474 T^{2} + 9006757936 T^{3} + 1994184496605979 T^{4} + 9006757936 p^{5} T^{5} + 69433474 p^{10} T^{6} + 564 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 31 | $(((C_4 \times C_2): C_2):C_2):C_2$ | \( 1 + 10240 T + 148124560 T^{2} + 29604903040 p T^{3} + 6856056611517602 T^{4} + 29604903040 p^{6} T^{5} + 148124560 p^{10} T^{6} + 10240 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 37 | $(((C_4 \times C_2): C_2):C_2):C_2$ | \( 1 + 1648 T + 161896744 T^{2} + 101725654768 T^{3} + 13339828319781218 T^{4} + 101725654768 p^{5} T^{5} + 161896744 p^{10} T^{6} + 1648 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 41 | $(((C_4 \times C_2): C_2):C_2):C_2$ | \( 1 + 32320 T + 609845624 T^{2} + 7548797241280 T^{3} + 84857018876077202 T^{4} + 7548797241280 p^{5} T^{5} + 609845624 p^{10} T^{6} + 32320 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 43 | $(((C_4 \times C_2): C_2):C_2):C_2$ | \( 1 - 19320 T + 647664324 T^{2} - 8553439555800 T^{3} + 147201745308735542 T^{4} - 8553439555800 p^{5} T^{5} + 647664324 p^{10} T^{6} - 19320 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 47 | $(((C_4 \times C_2): C_2):C_2):C_2$ | \( 1 + 15600 T + 589104950 T^{2} + 3062232126720 T^{3} + 126459226732351027 T^{4} + 3062232126720 p^{5} T^{5} + 589104950 p^{10} T^{6} + 15600 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 53 | $(((C_4 \times C_2): C_2):C_2):C_2$ | \( 1 - 28928 T + 1635333216 T^{2} - 31852579536384 T^{3} + 1005064993135837554 T^{4} - 31852579536384 p^{5} T^{5} + 1635333216 p^{10} T^{6} - 28928 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 59 | $(((C_4 \times C_2): C_2):C_2):C_2$ | \( 1 + 5800 T - 228430544 T^{2} + 9932648143800 T^{3} + 786538339437354002 T^{4} + 9932648143800 p^{5} T^{5} - 228430544 p^{10} T^{6} + 5800 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 61 | $(((C_4 \times C_2): C_2):C_2):C_2$ | \( 1 + 83720 T + 4627195636 T^{2} + 172113870704120 T^{3} + 5572286308486140470 T^{4} + 172113870704120 p^{5} T^{5} + 4627195636 p^{10} T^{6} + 83720 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 67 | $(((C_4 \times C_2): C_2):C_2):C_2$ | \( 1 + 33000 T + 5259529240 T^{2} + 125466399418200 T^{3} + 10527764775076193698 T^{4} + 125466399418200 p^{5} T^{5} + 5259529240 p^{10} T^{6} + 33000 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 71 | $(((C_4 \times C_2): C_2):C_2):C_2$ | \( 1 - 4112 T + 162751908 T^{2} - 37355181830544 T^{3} + 877858340675496870 T^{4} - 37355181830544 p^{5} T^{5} + 162751908 p^{10} T^{6} - 4112 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 73 | $(((C_4 \times C_2): C_2):C_2):C_2$ | \( 1 + 84400 T + 8395914132 T^{2} + 436767418008080 T^{3} + 25012278932128479110 T^{4} + 436767418008080 p^{5} T^{5} + 8395914132 p^{10} T^{6} + 84400 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 79 | $(((C_4 \times C_2): C_2):C_2):C_2$ | \( 1 + 44648 T + 3915859882 T^{2} + 198304071878096 T^{3} + 23368298036236933259 T^{4} + 198304071878096 p^{5} T^{5} + 3915859882 p^{10} T^{6} + 44648 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 83 | $(((C_4 \times C_2): C_2):C_2):C_2$ | \( 1 + 129120 T + 20912281996 T^{2} + 1580873942983520 T^{3} + \)\(13\!\cdots\!02\)\( T^{4} + 1580873942983520 p^{5} T^{5} + 20912281996 p^{10} T^{6} + 129120 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 89 | $(((C_4 \times C_2): C_2):C_2):C_2$ | \( 1 + 309800 T + 51469973748 T^{2} + 5970269052356280 T^{3} + \)\(51\!\cdots\!02\)\( T^{4} + 5970269052356280 p^{5} T^{5} + 51469973748 p^{10} T^{6} + 309800 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 97 | $(((C_4 \times C_2): C_2):C_2):C_2$ | \( 1 - 5220 T + 27657295382 T^{2} + 978769401240 T^{3} + \)\(32\!\cdots\!79\)\( T^{4} + 978769401240 p^{5} T^{5} + 27657295382 p^{10} T^{6} - 5220 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{8} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−7.28413635820975987062670514036, −6.84157712582858095073167660077, −6.80543587330803708486577057578, −6.60067949523966819854660640013, −6.58491029432711012933765817567, −6.00794894804152440657068035185, −5.92647385097282771125121157206, −5.76521854140670405978798278322, −5.63813169990461271423590345064, −5.22052750822711979374558044446, −5.10117840994094939324189245453, −5.05137395462990635189800138691, −4.98446190867513019323673349323, −4.35522627729635474817724807778, −4.22847239940124644770689890196, −3.91800154982087090414175867425, −3.73275220912251184955501548713, −2.76152061352543979186966655918, −2.75085905274412054897301435172, −2.73275084334761361485536229703, −2.71102440614718416731050357358, −1.87764276777206850481614960163, −1.71985010280181465723176865392, −1.39689279777401256275828606329, −1.26596724798542388294792693606, 0, 0, 0, 0,
1.26596724798542388294792693606, 1.39689279777401256275828606329, 1.71985010280181465723176865392, 1.87764276777206850481614960163, 2.71102440614718416731050357358, 2.73275084334761361485536229703, 2.75085905274412054897301435172, 2.76152061352543979186966655918, 3.73275220912251184955501548713, 3.91800154982087090414175867425, 4.22847239940124644770689890196, 4.35522627729635474817724807778, 4.98446190867513019323673349323, 5.05137395462990635189800138691, 5.10117840994094939324189245453, 5.22052750822711979374558044446, 5.63813169990461271423590345064, 5.76521854140670405978798278322, 5.92647385097282771125121157206, 6.00794894804152440657068035185, 6.58491029432711012933765817567, 6.60067949523966819854660640013, 6.80543587330803708486577057578, 6.84157712582858095073167660077, 7.28413635820975987062670514036
