LMFDB - Newform orbit 1344.4.p.b

Show commands: Magma / PariGP / SageMath

Newspace parameters

comment: Compute space of new eigenforms

[N,k,chi] = [1344,4,Mod(223,1344)]

mf = mfinit([N,k,chi],0)

lf = mfeigenbasis(mf)

from sage.modular.dirichlet import DirichletCharacter

H = DirichletGroup(1344, base_ring=CyclotomicField(2))

chi = DirichletCharacter(H, H._module([1, 1, 0, 1]))

N = Newforms(chi, 4, names="a")

//Please install CHIMP (https://github.com/edgarcosta/CHIMP) if you want to run this code

chi := DirichletCharacter("1344.223");

S:= CuspForms(chi, 4);

N := Newforms(S);

Level:	$ N $	$=$	$ 1344 = 2^{6} \cdot 3 \cdot 7 $
Weight:	$ k $	$=$	$ 4 $
Character orbit:	$[\chi]$	$=$	1344.p (of order $2$, degree $1$, minimal)

Newform invariants

comment: select newform

sage: f = N[0] # Warning: the index may be different

gp: f = lf[1] \\ Warning: the index may be different

Self dual:	no
Analytic conductor:	$79.2985670477$
Analytic rank:	$0$
Dimension:	$16$
Coefficient field:	$\mathbb{Q}[x]/(x^{16} - \cdots)$
comment: defining polynomial gp: f.mod \\ as an extension of the character field
Defining polynomial:	$ x^{16} - 2 x^{15} + 2 x^{14} + 58 x^{13} + 178264 x^{12} - 331354 x^{11} + 307862 x^{10} + \cdots + 22\!\cdots\!01 $ x^16 - 2x^15 + 2x^14 + 58x^13 + 178264x^12 - 331354x^11 + 307862x^10 - 610x^9 + 8375926786x^8 - 15937543350x^7 + 15140222838x^6 - 113574152394x^5 + 45261122709708x^4 - 121918187031822x^3 + 150109311002562x^2 + 2604526546410882*x + 22595395600887201
Coefficient ring:	$\Z[a_1, \ldots, a_{11}]$
Coefficient ring index:	$ 2^{17}\cdot 3^{4} $
Twist minimal:	yes
Sato-Tate group:	$\mathrm{SU}(2)[C_{2}]$

$q$-expansion

comment: q-expansion

sage: f.q_expansion() # note that sage often uses an isomorphic number field

gp: mfcoefs(f, 20)

Coefficients of the $q$-expansion are expressed in terms of a basis $1,\beta_1,\ldots,\beta_{15}$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $q$-expansion of the trace form.

$f(q)$	$=$	$ q - 3 \beta_1 q^{3} + \beta_{7} q^{5} + ( - \beta_{5} + \beta_1) q^{7} - 9 q^{9} + \beta_{10} q^{11} + (\beta_{13} - \beta_{7} + \beta_{4} + \cdots + 3) q^{13} + 3 \beta_{6} q^{15} + ( - \beta_{11} - \beta_{8} - \beta_{4}) q^{17}+ \cdots - 9 \beta_{10} q^{99}+O(q^{100}) $ q - 3b1 q^3 + b7 * q^5 + (-b5 + b1) * q^7 - 9 * q^9 + b10 * q^11 + (b13 - b7 + b4 + b2 + 3) * q^13 + 3b6 q^15 + (-b11 - b8 - b4) * q^17 + (-b12 + b6 + 7b1) q^19 + (-3b2 + 3) q^21 + (b12 + 2b6 - 2b5 - 2b3 + 19b1) * q^23 + (b13 + 5b7 - 2b4 - 2b2 + 6) q^25 + 27b1 q^27 + (-b14 - 3b11) q^29 + (-b15 - 3b10 + 2b5 - 2b3) q^31 - 3b11 q^33 + (-b15 - 2b12 - 2b10 + b9 - 6b6 + b3 - 14b1) * q^35 + (b14 - b11 + 2b8 - b4 + 3b2) * q^37 + (3b12 - 3b6 - 3b5 - 3b3 - 9b1) q^39 + (2b14 + b11 + b8 - 5b4 + 6b2) q^41 + (4b10 - b9 - 5b5 + 6b3) q^43 - 9b7 q^45 + (-2b15 + 4b10 + 2b9 + 4b5 - 6b3) q^47 + (b14 + 5b13 + 5b11 - b8 + b7 - 2b4 + 3b2 + 24) * q^49 + (-3b10 + 3b9 - 3b5) q^51 + (-b14 + 3b11 - 4b8 - 10b4 + 6b2) * q^53 + (b15 - 5b10 + 2b9 + 5b5 - 7b3) * q^55 + (3b13 - 3b7 + 21) * q^57 + (2b12 + 12b6 + 14b5 + 14b3 - 106b1) q^59 + (3b13 + 27b7 - 11b4 - 11b2 + 17) * q^61 + (9b5 - 9b1) * q^63 + (-8b13 + 14b7 - 16b4 - 16b2 - 88) * q^65 + (2b15 + 4b10 - 7b9 - 5b5 + 12b3) q^67 + (-3b13 - 6b7 - 6b4 - 6b2 + 57) * q^69 + (-13b12 + 22b6 - 4b5 - 4b3 + 41b1) q^71 + (-14b11 + 4b8 - 6b4 + 10b2) * q^73 + (3b12 + 15b6 + 6b5 + 6b3 - 18b1) q^75 + (b14 - 2b13 + 5b11 + 6b8 - 13b7 - 16b4 + 2b2 - 10) * q^77 + (12b12 - 6b6 - 19b5 - 19b3 + 86b1) q^79 + 81 * q^81 + (10b12 - 12b6 + 4b5 + 4b3 + 190b1) q^83 + (5b14 + 11b11 - 4b8 - 25b4 + 21b2) q^85 + (3b15 - 9b10) * q^87 + (-2b14 + 21b11 - 3b8 - 21b4 + 18b2) q^89 + (4b15 + b12 - 6b10 + 3b9 - 25b6 - 3b5 + 24b3 - 151b1) q^91 + (-3b14 + 9b11 - 6b4 + 6b2) * q^93 + (4b12 - 28b6 - 14b5 - 14b3 - 116b1) q^95 + (-6b14 - 12b11 - 6b8 + 4b4 - 10b2) q^97 - 9b10 q^99
$\operatorname{Tr}(f)(q)$	$=$	$ 16 q - 144 q^{9} + 56 q^{13} + 36 q^{21} + 80 q^{25} + 392 q^{49} + 336 q^{57} + 184 q^{61} - 1536 q^{65} + 864 q^{69} - 240 q^{77} + 1296 q^{81}+O(q^{100}) $ 16 * q - 144 * q^9 + 56 * q^13 + 36 * q^21 + 80 * q^25 + 392 * q^49 + 336 * q^57 + 184 * q^61 - 1536 * q^65 + 864 * q^69 - 240 * q^77 + 1296 * q^81

Basis of coefficient ring in terms of a root $\nu$ of $ x^{16} - 2 x^{15} + 2 x^{14} + 58 x^{13} + 178264 x^{12} - 331354 x^{11} + 307862 x^{10} + \cdots + 22\!\cdots\!01 $ x^16 - 2*x^15 + 2*x^14 + 58*x^13 + 178264*x^12 - 331354*x^11 + 307862*x^10 - 610*x^9 + 8375926786*x^8 - 15937543350*x^7 + 15140222838*x^6 - 113574152394*x^5 + 45261122709708*x^4 - 121918187031822*x^3 + 150109311002562*x^2 + 2604526546410882*x + 22595395600887201 :

$\beta_{1}$	$=$	$ ( - 20\!\cdots\!32 \nu^{15} + \cdots - 27\!\cdots\!76 ) / 41\!\cdots\!92 $ (-20372040911331273768374528122272119834228940879382732v^15 + 335950885618247967279498373742793767396889561560873567v^14 - 339153926372896622386689372124047867595203882064062101v^13 - 830471019198726616618034608339929596881041789620024014v^12 - 3619381008348501827255964225465908593933559267039512551544v^11 + 59753252771284522024344801379946877177074084867352016610113v^10 - 52039487735663319305314714727996284752882531245213476274975v^9 + 55388401282768469315636042116060748653444205649068250682378v^8 - 171500451015098622089501435784606343191700532657854714484075434v^7 + 2866631751248081953429874871219555769052694124619628058669282191v^6 - 2562654252619389092879471537984959752571463875690677887775891753v^5 + 5030832095432654145167384840394766780891112135880782583106321224v^4 - 997802955330759136797967660228010101299233804265147287461089752550v^3 + 20404186052116562202741462924572881687169243933056147081630462278345v^2 - 25684324012141546177510367237216621091828366947281962683702476387191*v - 27512779392820488215121118061020289502522689317470149928628756670976) / 414050931230026968103902334268239292369094182596223731647303743459292
$\beta_{2}$	$=$	$ ( 45\!\cdots\!01 \nu^{15} + \cdots - 21\!\cdots\!55 ) / 10\!\cdots\!14 $ (45320418688999110770704458039657844020190624914409901v^15 - 2941461018839361133996095913242342630467008325221597344v^14 - 12157453852830963523682967628489607995283621896891547748v^13 - 109485160578423845615051582672567681008502572899303419085v^12 + 7874218290007240753351076323274609176295110127249363146722v^11 - 519748952238255970916886251822300922783080188295314619633878v^10 - 2127951228482841388788449042567371912914359920967507587337218v^9 - 20484711581934944701656579475438198216321594738011938347609185v^8 + 368783175579778885523638920955102616657988979236587057507353967v^7 - 23663893295557167353466497002938941922580635788048660671361588512v^6 - 90079347073487095603379633374269480608014029474964794267759764100v^5 - 939234679874936269758467226214078752763936976545191718137765694331v^4 + 1552859528452234722839157336775674873645998333556550051376402744340v^3 - 85081337895283610755656711561335631919644943135591770124823103478842v^2 - 134673337110990079347148844501533723047247620642330001678746225531324*v - 2142946519476913733745826775141705937801165163035176097087298709438655) / 103273966759270799352585617477205783940990427732393610386861542478214
$\beta_{3}$	$=$	$ ( 91\!\cdots\!68 \nu^{15} + \cdots - 90\!\cdots\!27 ) / 48\!\cdots\!34 $ (9103372943098038935370609340584385200787733345343877153834368v^15 - 146078833754566609284060431394554972839173577700412469410632437v^14 - 566400938622568118793901553410143932084040255787848961433276570v^13 - 4887175782480483910405285585083411166747724546240621879953211369v^12 + 1622040644281937533185719249902640667430004657657683359786159767947v^11 - 25647638852017709217880893864405289411780583943149520666034572861357v^10 - 99282002394329282451856008904251528444747177830052775545955261647176v^9 - 988722016575511696080654490563087876650550251431245440032909175148663v^8 + 77372464794331925504431185726685147054526427106807749864028486669997866v^7 - 1171742332692849470967392912694897616554117350810734903449426954558445945v^6 - 4193960898332230954622882545619754730771246377015567154553204832008204036v^5 - 46183430758685167936684965589132103003414597841983480202324457809414184637v^4 + 495974557546598480756571492191906058128690007228485296392312336122127340029v^3 - 4555312600638504504536331814170604100122250840681586463213824342421980451305v^2 - 5763577435944795056333230259403353410544912922805317017884981122865588316052*v - 90442229018330749549897527548683852577526698755063716590646065215850624964927) / 4881737791712010405091663921897289898823934442006572568786270390267373051134
$\beta_{4}$	$=$	$ ( 22\!\cdots\!51 \nu^{15} + \cdots - 20\!\cdots\!12 ) / 10\!\cdots\!14 $ (220230204401576361258214452745797285428350960465855351v^15 + 2808076239389776449832892696021631615681707165743300810v^14 - 1598607436869501686815000153265493495818906000247159360v^13 - 102655234697670930366277293610818028484554041683476512044v^12 + 38485276257698990279353144794992588174910657538112543466704v^11 + 502135347329718243117387795386546718574485872469334065208282v^10 - 218406356321611978916399171619748894773689836956773670382996v^9 - 20842467787705566672623795364824696714107168266747692315965500v^8 + 1697157964540573299487407984710377026336472788206794606036006981v^7 + 22788844668016948939887993110091583513375826991217149256473919242v^6 - 10837871123296399696483872187279835974372091316406835742501137476v^5 - 977124792439879233842172312108439164216055783485656572649127113080v^4 + 4125210953930752209797081591371910229492465109526373047126067822306v^3 + 73536759395838409635279811305621323410149966042572215220501876471610v^2 - 31890869265789418431682797900059850002931149162468856506585450285514*v - 2015004126895821052249415257666681579561845935809716283520216898560712) / 103273966759270799352585617477205783940990427732393610386861542478214
$\beta_{5}$	$=$	$ ( - 22\!\cdots\!51 \nu^{15} + \cdots + 20\!\cdots\!12 ) / 10\!\cdots\!14 $ (-220230204401576361258214452745797285428350960465855351v^15 - 2808076239389776449832892696021631615681707165743300810v^14 + 1598607436869501686815000153265493495818906000247159360v^13 + 102655234697670930366277293610818028484554041683476512044v^12 - 38485276257698990279353144794992588174910657538112543466704v^11 - 502135347329718243117387795386546718574485872469334065208282v^10 + 218406356321611978916399171619748894773689836956773670382996v^9 + 20842467787705566672623795364824696714107168266747692315965500v^8 - 1697157964540573299487407984710377026336472788206794606036006981v^7 - 22788844668016948939887993110091583513375826991217149256473919242v^6 + 10837871123296399696483872187279835974372091316406835742501137476v^5 + 977124792439879233842172312108439164216055783485656572649127113080v^4 - 4125210953930752209797081591371910229492465109526373047126067822306v^3 - 73536759395838409635279811305621323410149966042572215220501876471610v^2 + 238438802784331017136854032854471417884912004627256077280308535241942*v + 2015004126895821052249415257666681579561845935809716283520216898560712) / 103273966759270799352585617477205783940990427732393610386861542478214
$\beta_{6}$	$=$	$ ( - 63\!\cdots\!46 \nu^{15} + \cdots - 77\!\cdots\!93 ) / 27\!\cdots\!38 $ (-638967614307383683944410720193273711822693255849341088926315246v^15 - 2042716625650269443877278803278445566173600785496108349213926807v^14 - 12314518214071923204347470349060537259443360271610928596378800292v^13 - 25916316475810500827135181484612500373548376790058957105918972554v^12 - 115038887839561104742623831277596516029668867285108693628835090453653v^11 - 350712304448915925078037756268571563970142979559426865547238148958944v^10 - 2630822658357093312374323529403556663210325174299279915336949198706571v^9 + 1675858371194556230481696384665346743794962266371653222079305911857073v^8 - 5407851304577148631145372046960442935115233518470181297798309421221733014v^7 - 14285616712440633520977480559209700869861483726711511428632773267964710461v^6 - 140454710180007137237130865569004987120747766303309828844706935899355317394v^5 + 155723779107126364996382520285474007976105647772222803523015630575702959114v^4 - 26057947251007289387208974761505715457690670961415496848434691583214426619743v^3 - 5105169837584643959128636524866045032070147846817861130797404973039137352828v^2 - 707389173973934104993224567999894500028079598342611245834884152768643080654395*v - 775610880242235059425060865598572830686396602956801058423016504676270162142793) / 278259054127584593090224843548145524232964263194374636420817412245240263914638
$\beta_{7}$	$=$	$ ( - 30\!\cdots\!71 \nu^{15} + \cdots + 20\!\cdots\!98 ) / 11\!\cdots\!06 $ (-302986508511321439669674587802503186367141204471v^15 + 234352093051288938743572737833815172056719641251v^14 + 5131115875709260652533134675248298364904970303231v^13 + 70042734584158183417529097351747115013251872719830v^12 - 54450649960294983039484956176055034561500703172534563v^11 + 34366760360547429057172776149134017693482276112497409v^10 + 1085184909547168471531481766938297531726492161970041405v^9 + 12649241745548345808537400340160437960898762954765016380v^8 - 2563354141316214192238665622419043103752271231436289784901v^7 + 1697922281010727896157771357754404141175558213279694827177v^6 + 58083491311030260659368092652526214383345712443139885435713v^5 + 477779463226058036659718545075827740916878198140747249901016v^4 - 12718284501737055946683966617303700724196188158293620432043841v^3 + 18615508925622104192286928662391437715268389415763779755904475v^2 + 301181151446221980050971520096822788435691492218274522733844587*v + 201984853779989756344596594417388295951892208491076375288003698) / 117483531929343218302277602735805088688616751465021298837326306
$\beta_{8}$	$=$	$ ( 11\!\cdots\!76 \nu^{15} + \cdots + 59\!\cdots\!77 ) / 19\!\cdots\!66 $ (11246694073490647659112996655592505502935670293337579876v^15 - 97269666477652210536001801472082476153568733754761425880v^14 + 313403764746111742094923958232676212234757776764674877583v^13 + 2579783809417210404283429353475831413647259672758041024019v^12 + 1986166979073163993050984826604993496710382630656048956690729v^11 - 15897605816423371917303105657401014127924050472319259526557726v^10 + 40362756458759077647802773088090850443399805841334952915674885v^9 + 353982276820688644487624094986061561524266665149925308556838191v^8 + 95470282133310512911090756921206568306614574158577003786166005244v^7 - 670046067896892627608781100323945191885807889313811399015888474772v^6 + 1498004973862217590130657711863715142110961160199231425636704905341v^5 + 14763853504239882391609202305475919791796340204654246671952361314765v^4 + 723699210155124331803838419778179623906476017451370425682153952533637v^3 - 1788833340674770334855695423033824882161366383887440104651777075189422v^2 + 20874739070526013858781678492722010063726797432485329122587482426872677*v + 59813021288411912948897987467097013452477235126246569659779055352097777) / 1962205368426145187699126732066909894878818126915478597350369307086066
$\beta_{9}$	$=$	$ ( 53\!\cdots\!25 \nu^{15} + \cdots + 25\!\cdots\!41 ) / 92\!\cdots\!46 $ (534036198028343754825688034877931413579102163472262343471047325v^15 - 3174083661695778559823728518280205796373280956771869474239091509v^14 - 10548739815219718730963093126655047466450463951653152848773778317v^13 + 383795765083473880123138214825116938989586836608499020788778864105v^12 + 94365103983057602276561833434977175484104739576386109199609828426360v^11 - 549250979857177858553899480944065700596121602496027676768377285987491v^10 - 1325210657894266208126433050142368048952120020400169297644632150279581v^9 + 50363864823760485627151889099462085437172638836193108892920206478099709v^8 + 4532000309345864982955078809530052556393645862940766069195668960337154089v^7 - 25310419923259541446539873131468514431512700986276406609308114408659547173v^6 - 41982446997932307591060993559832632060724261038131418778622658681793480953v^5 + 1636290567304197043368937397839291152605447835055922621561304951444400691237v^4 + 34109054355330272404020691294703197930913460972251279871907581000528015727380v^3 - 116285984613234429553557271859584816945868394425885339968765130519311841083671v^2 - 630379962395782463040004840706751391953273846101420220045998945860052518157679*v + 2545345314466944040266593194164495238139780935940429401231817121003715591562241) / 92753018042528197696741614516048508077654754398124878806939137415080087971546
$\beta_{10}$	$=$	$ ( - 10\!\cdots\!09 \nu^{15} + \cdots - 25\!\cdots\!35 ) / 12\!\cdots\!02 $ (-1061464709111119038694624004594749679136540634611411209v^15 + 701656945816424777518442584051724983485817706066915743v^14 + 37565116106492108644231561545991045464533362789518013735v^13 + 20166593675577646612032365761615125623904033914489238472v^12 - 186835548016749711898962005535719568748737812353421785702056v^11 + 99796576328994230469833617431009533537771658928774512403254v^10 + 6351629530680960005282818423545109055645043720466601598629912v^9 + 23776205069899912321161145550248923238917706186471922032917817v^8 - 8538508488915923444264112642099850846051207707700905413506471235v^7 + 4936052118479493774306032657820196078571238817212537392174031003v^6 + 274725051524799208369611239260431656140431686250178541213383128727v^5 + 1469072473704123128704612268836521602334589615017227182085053827058v^4 - 35718831026906103167414494227399673099443058689093076175249944222032v^3 + 57138627223260051956306307217324007237247504327959899500215488037844v^2 + 893979382440437134618921641695605860240279053487435304774004970117954*v - 2566888597453039565656301974967310202031376460961981130044251514330535) / 129149321521082823325205908895965288395267233364720603636650444422302
$\beta_{11}$	$=$	$ ( 39\!\cdots\!68 \nu^{15} + \cdots + 42\!\cdots\!29 ) / 45\!\cdots\!62 $ (394751133711279321026522563454993344800781567679742668v^15 - 154401621903525609366119811613992005903200027538407549v^14 + 14271831771741231905049032711545561830923896094845757119v^13 + 15790995920620399357870016507602216648347966731580684801v^12 + 69531344785202860308640208201327336059635808330690160819496v^11 - 10997955697619879970086756718523052579545884060687194556261v^10 + 2411892159469901706953001163709391540435220406095521189487235v^9 - 957850577655015800082067328570544053421454923017779129175287v^8 + 3182068931151166685367072962806944929704488560897816304861631306v^7 - 900044769302934936585171112514057759556098337658651088319937099v^6 + 105260648857954365598908648189534123627770636661188114679563457587v^5 - 92256074142395109979794971510568252035442798945062987388483358631v^4 + 13497325764026104515494352074040601697776724927581366210477198930290v^3 - 53035299922809052964813848606272947335629123413642070323202452791587v^2 + 382965512648678341806302637440758571590746987989209829183957905400259*v + 427565599880270721558584062250679273672302896661371482861344902296729) / 45632682986654539248816900745742090578577165742220432496520216443862
$\beta_{12}$	$=$	$ ( - 17\!\cdots\!50 \nu^{15} + \cdots - 17\!\cdots\!40 ) / 16\!\cdots\!28 $ (-17607837819654973111368278694242923666994356507248903114436140650v^15 - 70363915343583516667093650514921706815244309009364139596803719517v^14 - 724950163693665435368291600001080789563934452191066689412950564011v^13 - 699943211707791034428484823070126331232645869516020811299243219584v^12 - 3114824315308766663879901697579264854634706901020939545003934130143360v^11 - 12282348904146949257916968993073197212085750755291207814772461955878097v^10 - 131752564648403830100851486111481434187500779573199116889475941104087187v^9 + 40962811173457597264119310194597941155420801313688722484559526392398626v^8 - 141367559074536223862972158821705511262172906784597078076447624782416531836v^7 - 514824621206150930425068502433251185227028778446647959988319083918679430845v^6 - 5991489022655946584037992801897798988944297829549610194359960624447485900455v^5 + 4045011229444864189544281753103647605292087444977761488586193939437960732130v^4 - 481740415925375843647089191456721139128960058138470762093488676675369462184782v^3 - 527626743111194843699643123826068215221710631036115211946833106357477210634397v^2 - 14787306918869789946047500704619382090620934530470545779811200092545130441718551*v - 17004406236627988807964682332208227927037490486515979429585152960038276876115840) / 1669554324765507558541349061288873145397785579166247818524904473471441583487828
$\beta_{13}$	$=$	$ ( - 47\!\cdots\!55 \nu^{15} + \cdots + 54\!\cdots\!94 ) / 39\!\cdots\!02 $ (-472535026606153412386515423785003893324781128855v^15 + 293659882681440295942764897945439824097196250463v^14 + 17165994626898373332226073511204572744043379170179v^13 + 112705740237726295708689719538387309775038909969190v^12 - 83601874111830071372485597804970604772824807281947955v^11 + 41120395679314598510469143602927839518561108855784157v^10 + 3088994379999762381386240971778540626751170237655005081v^9 + 21525411673572937253213372770400659118506505673854305974v^8 - 3818075960513908341314224802171984790973568410927122502269v^7 + 2036428245514088009921729778556817978909559613653985455909v^6 + 140543019556522020697689118661197521001067043671234894040645v^5 + 854354964305385532204633630661645407575360718286363481623820v^4 - 14378667354561452567823496654854687180964238111043042900709161v^3 + 24274894930717053440267675249736343438180151079486265923723063v^2 + 372556917904017452117824038731380275765275423985406091883851511*v + 545510750201533212224020331699358043192226774915479932161609994) / 39161177309781072767425867578601696229538917155007099612442102
$\beta_{14}$	$=$	$ ( - 32\!\cdots\!76 \nu^{15} + \cdots - 25\!\cdots\!08 ) / 19\!\cdots\!66 $ (-32573805876379704307735709453382474885180391498599299276v^15 - 333902461709946606393168563724783147999584317417413377323v^14 - 1837820569441418983806495185064619716649939152374758775439v^13 - 1276031192063673225756271707406128113468273226130650282484v^12 - 5704875586991450562656497622151301995012685999105910363202650v^11 - 61572336066741785666659811303918007489063107449475715681079145v^10 - 325962782544088398990060615794112138036681808533612278642874171v^9 + 68753060723234469395299157299414204002545892076624778248047750v^8 - 252083283275163544444735410603634483784434764518585976448082462942v^7 - 2903080330473570621428189782986585714933953272955154726740650130041v^6 - 14200101616588122171499314801209743172690166141585845522015381167559v^5 + 7157863179279569548584094457498701597110558116076204350603942567738v^4 - 554757175208896026028260984452821473517253793807824336527737110918352v^3 - 11892836188583955981411705255854612569619035021952735235802460134254267v^2 - 20701641954355999533556184990861244719954129908781434682496036124218603*v - 25308333150651215465526602745617606824295035920642617385680510144482608) / 1962205368426145187699126732066909894878818126915478597350369307086066
$\beta_{15}$	$=$	$ ( - 10\!\cdots\!01 \nu^{15} + \cdots + 59\!\cdots\!81 ) / 42\!\cdots\!22 $ (-10775906150194483103584879882125917573705399923121452301v^15 + 6388071824187940827858426561951142032586341315191767511v^14 + 442881429345515938705425006849125174868902134041356139512v^13 + 727017603598832463899608703521821835691971565929621988778v^12 - 1895871847794420830630750078290254471710080023802058381459180v^11 + 884464088293232081781519500152370076443104428545450406070720v^10 + 76956458772858926486775725749012287082931203160272593054799633v^9 + 338324837711720124924551987878427251773980238205460680416599595v^8 - 85927634941946838123313771112775903411432725042520027548043279453v^7 + 43822238436550999219590548738803257410109517709204609112045543205v^6 + 3388969426589642446209717151406094004977864674824387198048620906148v^5 + 21187854874007706228526186005986447787677280920526011127984717654214v^4 - 305047669760289689774793142194245615786044969472045956204626611043846v^3 + 532675952329053208334073127340814190580693189989805741088271963640916v^2 + 8079139562329397874903698867078581015707625013560570816591276903188147*v + 59821074490935738844324024010886721391546328223040383408481327071184781) / 427186217338966261767988775578962107768960848821768150490459162319922

Display $\nu^j$ in terms of $\beta_i$

$\nu$	$=$	$ ( \beta_{5} + \beta_{4} ) / 2 $ (b5 + b4) / 2
$\nu^{2}$	$=$	$ ( \beta_{14} + 5\beta_{11} - \beta_{8} + \beta_{5} - 2\beta_{4} + \beta_{3} + \beta_{2} + 342\beta_1 ) / 2 $ (b14 + 5b11 - b8 + b5 - 2b4 + b3 + b2 + 342*b1) / 2
$\nu^{3}$	$=$	$ ( - 7 \beta_{15} - 7 \beta_{14} - 13 \beta_{13} - 13 \beta_{12} - 7 \beta_{11} + 7 \beta_{10} - 28 \beta_{9} + \cdots + 97 ) / 4 $ (-7b15 - 7b14 - 13b13 - 13b12 - 7b11 + 7b10 - 28b9 - 28b8 + 157b7 + 157b6 + 41b5 - 41b4 + 553b3 - 553b2 - 97*b1 + 97) / 4
$\nu^{4}$	$=$	$ 163 \beta_{15} + 79 \beta_{13} - 843 \beta_{10} - 198 \beta_{9} - 64 \beta_{7} + 269 \beta_{5} + \cdots - 44560 $ 163b15 + 79b13 - 843b10 - 198b9 - 64b7 + 269b5 - 71b4 - 71b3 - 71*b2 - 44560
$\nu^{5}$	$=$	$ ( - 1496 \beta_{15} + 1496 \beta_{14} - 2047 \beta_{13} + 2047 \beta_{12} + 417 \beta_{11} + 417 \beta_{10} + \cdots + 5299 ) / 2 $ (-1496b15 + 1496b14 - 2047b13 + 2047b12 + 417b11 + 417b10 - 5238b9 + 5238b8 + 24568b7 - 24568b6 - 75344b5 - 75344b4 - 3843b3 - 3843b2 + 5299*b1 + 5299) / 2
$\nu^{6}$	$=$	$ ( - 92451 \beta_{14} - 81136 \beta_{12} - 523953 \beta_{11} + 129075 \beta_{8} + 78256 \beta_{6} + \cdots - 25601422 \beta_1 ) / 2 $ (-92451b14 - 81136b12 - 523953b11 + 129075b8 + 78256b6 - 36503b5 + 151104b4 - 36503b3 - 22029b2 - 25601422b1) / 2
$\nu^{7}$	$=$	$ ( 1044781 \beta_{15} + 1044781 \beta_{14} + 845557 \beta_{13} + 845557 \beta_{12} - 80373 \beta_{11} + \cdots + 5582015 ) / 4 $ (1044781b15 + 1044781b14 + 845557b13 + 845557b12 - 80373b11 + 80373b10 + 3483834b9 + 3483834b8 - 13191643b7 - 13191643b6 - 6402785b5 + 6402785b4 - 47510067b3 + 47510067b2 - 5582015*b1 + 5582015) / 4
$\nu^{8}$	$=$	$ - 12704042 \beta_{15} - 16333579 \beta_{13} + 80518170 \beta_{10} + 20422200 \beta_{9} + \cdots + 3764173504 $ -12704042b15 - 16333579b13 + 80518170b10 + 20422200b9 + 16195387b7 - 22134178b5 + 7004246b4 + 1711978b3 + 7004246*b2 + 3764173504
$\nu^{9}$	$=$	$ ( 172651005 \beta_{15} - 172651005 \beta_{14} + 52776727 \beta_{13} - 52776727 \beta_{12} + \cdots + 2274028613 ) / 2 $ (172651005b15 - 172651005b14 + 52776727b13 - 52776727b12 + 61321509b11 + 61321509b10 + 567056502b9 - 567056502b8 - 1695155929b7 + 1695155929b6 + 6469666126b5 + 6469666126b4 + 503909881b3 + 503909881b2 + 2274028613*b1 + 2274028613) / 2
$\nu^{10}$	$=$	$ ( 6902289991 \beta_{14} + 12082786564 \beta_{12} + 49433985051 \beta_{11} - 12879763521 \beta_{8} + \cdots + 2231044630090 \beta_1 ) / 2 $ (6902289991b14 + 12082786564b12 + 49433985051b11 - 12879763521b8 - 11882130856b6 + 5669850665b5 - 13074457964b4 + 5669850665b3 + 194694443b2 + 2231044630090b1) / 2
$\nu^{11}$	$=$	$ ( - 111743533385 \beta_{15} - 111743533385 \beta_{14} + 14565283037 \beta_{13} + 14565283037 \beta_{12} + \cdots - 2315920372097 ) / 4 $ (-111743533385b15 - 111743533385b14 + 14565283037b13 + 14565283037b12 + 68277298119b11 - 68277298119b10 - 366693656160b9 - 366693656160b8 + 847639903675b7 + 847639903675b6 + 703934146923b5 - 703934146923b4 + 4183549183859b3 - 4183549183859b2 + 2315920372097*b1 - 2315920372097) / 4
$\nu^{12}$	$=$	$ 930489180369 \beta_{15} + 2139104560648 \beta_{13} - 7592699813517 \beta_{10} - 2032338076482 \beta_{9} + \cdots - 332000524438189 $ 930489180369b15 + 2139104560648b13 - 7592699813517b10 - 2032338076482b9 - 2069856552361b7 + 1921138610019b5 - 1115238623711b4 + 111199466463b3 - 1115238623711*b2 - 332000524438189
$\nu^{13}$	$=$	$ ( - 17880852446077 \beta_{15} + 17880852446077 \beta_{14} + 9101406164066 \beta_{13} + \cdots - 506243338698578 ) / 2 $ (-17880852446077b15 + 17880852446077b14 + 9101406164066b13 - 9101406164066b12 - 15330070159428b11 - 15330070159428b10 - 59056569341982b9 + 59056569341982b8 + 102765907530157b7 - 102765907530157b6 - 564754588847145b5 - 564754588847145b4 - 55604496349610b3 - 55604496349610b2 - 506243338698578*b1 - 506243338698578) / 2
$\nu^{14}$	$=$	$ ( - 497993622759701 \beta_{14} + \cdots - 19\!\cdots\!10 \beta_1 ) / 2 $ (-497993622759701b14 - 1473849965809096b12 - 4669758783234003b11 + 1284513331328631b8 + 1402161695970004b6 - 848793770477567b5 + 1119200067718210b4 - 848793770477567b3 + 165313263610421b2 - 198294012114428710b1) / 2
$\nu^{15}$	$=$	$ ( 11\!\cdots\!03 \beta_{15} + \cdots + 40\!\cdots\!09 ) / 4 $ (11361059747960403b15 + 11361059747960403b14 - 9575336721511049b13 - 9575336721511049b12 - 12484222759253871b11 + 12484222759253871b10 + 37936359163892730b9 + 37936359163892730b8 - 47723909723138317b7 - 47723909723138317b6 - 74277728152726735b5 + 74277728152726735b4 - 373221922451418181b3 + 373221922451418181b2 - 409273246637842709*b1 + 409273246637842709) / 4

Display $\beta_i$ in terms of $\nu^j$

Character values

We give the values of $\chi$ on generators for $\left(\mathbb{Z}/1344\mathbb{Z}\right)^\times$.

$n$	$127$	$449$	$577$	$1093$
$\chi(n)$	$-1$	$1$	$-1$	$-1$

Embeddings

For each embedding $\iota_m$ of the coefficient field, the values $\iota_m(a_n)$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

comment: embeddings in the coefficient field

gp: mfembed(f)

Label

$\iota_m(\nu)$

$ a_{2} $

$ a_{3} $

$ a_{4} $

$ a_{5} $

$ a_{6} $

$ a_{7} $

$ a_{8} $

$ a_{9} $

$ a_{10} $

223.1

11.6544	+	11.6544i
−6.36140	−	6.36140i
−2.77393	−	2.77393i
−12.1800	−	12.1800i
12.6006	+	12.6006i
5.50749	+	5.50749i
4.51719	+	4.51719i
−11.9644	−	11.9644i
11.6544	−	11.6544i
−6.36140	+	6.36140i
−2.77393	+	2.77393i
−12.1800	+	12.1800i
12.6006	−	12.6006i
5.50749	−	5.50749i
4.51719	−	4.51719i
−11.9644	+	11.9644i

−

3.00000i

−10.6345

−18.0158

−

4.29303i

−9.00000

223.2

−

3.00000i

−10.6345

18.0158

−

4.29303i

−9.00000

223.3

−

3.00000i

−10.4276

−9.40604

15.9539i

−9.00000

223.4

−

3.00000i

−10.4276

9.40604

15.9539i

−9.00000

223.5

−

3.00000i

4.35176

−7.09314

−

17.1081i

−9.00000

223.6

−

3.00000i

4.35176

7.09314

−

17.1081i

−9.00000

223.7

−

3.00000i

16.7103

−16.4816

8.44725i

−9.00000

223.8

−

3.00000i

16.7103

16.4816

8.44725i

−9.00000

223.9

3.00000i

−10.6345

−18.0158

4.29303i

−9.00000

223.10

3.00000i

−10.6345

18.0158

4.29303i

−9.00000

223.11

3.00000i

−10.4276

−9.40604

−

15.9539i

−9.00000

223.12

3.00000i

−10.4276

9.40604

−

15.9539i

−9.00000

223.13

3.00000i

4.35176

−7.09314

17.1081i

−9.00000

223.14

3.00000i

4.35176

7.09314

17.1081i

−9.00000

223.15

3.00000i

16.7103

−16.4816

−

8.44725i

−9.00000

223.16

3.00000i

16.7103

16.4816

−

8.44725i

−9.00000

Inner twists

Char	Parity	Ord	Mult	Type
1.a	even	1	1	trivial
4.b	odd	2	1	inner
56.e	even	2	1	inner
56.h	odd	2	1	inner

Twists

By twisting character orbit
Char	Parity	Ord	Mult	Type	Twist	Min	Dim
1.a	even	1	1	trivial	1344.4.p.b	yes	16
4.b	odd	2	1	inner	1344.4.p.b	yes	16
7.b	odd	2	1		1344.4.p.a	✓	16
8.b	even	2	1		1344.4.p.a	✓	16
8.d	odd	2	1		1344.4.p.a	✓	16
28.d	even	2	1		1344.4.p.a	✓	16
56.e	even	2	1	inner	1344.4.p.b	yes	16
56.h	odd	2	1	inner	1344.4.p.b	yes	16

By twisted newform orbit
Twist	Min	Dim	Char	Parity	Ord	Mult	Type
1344.4.p.a	✓	16	7.b	odd	2	1
1344.4.p.a	✓	16	8.b	even	2	1
1344.4.p.a	✓	16	8.d	odd	2	1
1344.4.p.a	✓	16	28.d	even	2	1
1344.4.p.b	yes	16	1.a	even	1	1	trivial
1344.4.p.b	yes	16	4.b	odd	2	1	inner
1344.4.p.b	yes	16	56.e	even	2	1	inner
1344.4.p.b	yes	16	56.h	odd	2	1	inner

Hecke kernels

This newform subspace can be constructed as the kernel of the linear operator $ T_{5}^{4} - 260T_{5}^{2} - 804T_{5} + 8064 $ T5^4 - 260*T5^2 - 804*T5 + 8064 acting on $S_{4}^{\mathrm{new}}(1344, [\chi])$.

Hecke characteristic polynomials

$p$	$F_p(T)$
$2$	$ T^{16} $ T^16
$3$	$ (T^{2} + 9)^{8} $ (T^2 + 9)^8
$5$	$ (T^{4} - 260 T^{2} + \cdots + 8064)^{4} $ (T^4 - 260T^2 - 804T + 8064)^4
$7$	$ T^{16} + \cdots + 19\!\cdots\!01 $ T^16 - 196T^14 + 49492T^12 - 31889788T^10 + 23447488918T^8 - 3751801668412T^6 + 685032986151892T^4 - 319169065190448004*T^2 + 191581231380566414401
$11$	$ (T^{8} - 4620 T^{6} + \cdots + 10053320832)^{2} $ (T^8 - 4620T^6 + 5417280T^4 - 532252080*T^2 + 10053320832)^2
$13$	$ (T^{4} - 14 T^{3} + \cdots + 624672)^{4} $ (T^4 - 14T^3 - 4604T^2 - 70056*T + 624672)^4
$17$	$ (T^{8} + \cdots + 645802409513088)^{2} $ (T^8 + 28080T^6 + 263318832T^4 + 890623697328*T^2 + 645802409513088)^2
$19$	$ (T^{8} + \cdots + 1880891559936)^{2} $ (T^8 + 9728T^6 + 26099008T^4 + 15860544768*T^2 + 1880891559936)^2
$23$	$ (T^{8} + 18576 T^{6} + \cdots + 4988879424)^{2} $ (T^8 + 18576T^6 + 30371760T^4 + 8947979280*T^2 + 4988879424)^2
$29$	$ (T^{8} + \cdots + 18\!\cdots\!28)^{2} $ (T^8 + 123804T^6 + 4835701008T^4 + 62949711816000*T^2 + 188578587861692928)^2
$31$	$ (T^{8} + \cdots + 63\!\cdots\!92)^{2} $ (T^8 - 142620T^6 + 6204160656T^4 - 106536332946240*T^2 + 631297159314043392)^2
$37$	$ (T^{8} + \cdots + 51\!\cdots\!48)^{2} $ (T^8 + 208512T^6 + 9519540480T^4 + 143519500567296*T^2 + 518142430247067648)^2
$41$	$ (T^{8} + \cdots + 10\!\cdots\!48)^{2} $ (T^8 + 427104T^6 + 65675342736T^4 + 4348641712095792*T^2 + 105232616165558533248)^2
$43$	$ (T^{8} + \cdots + 16\!\cdots\!92)^{2} $ (T^8 - 168372T^6 + 4721458608T^4 - 20708867540160*T^2 + 16734751747540992)^2
$47$	$ (T^{8} + \cdots + 46\!\cdots\!72)^{2} $ (T^8 - 634464T^6 + 105224799744T^4 - 5437257718901760*T^2 + 46627091556634755072)^2
$53$	$ (T^{8} + \cdots + 93\!\cdots\!88)^{2} $ (T^8 + 793308T^6 + 201114411408T^4 + 16060010828887872*T^2 + 9338615013218738688)^2
$59$	$ (T^{8} + \cdots + 28\!\cdots\!76)^{2} $ (T^8 + 683056T^6 + 143398037248T^4 + 9234955482485760*T^2 + 28460511679864651776)^2
$61$	$ (T^{4} - 46 T^{3} + \cdots - 1820784672)^{4} $ (T^4 - 46T^3 - 394604T^2 - 81687048*T - 1820784672)^4
$67$	$ (T^{8} + \cdots + 42\!\cdots\!52)^{2} $ (T^8 - 1819044T^6 + 1238711562864T^4 - 374260459014855360*T^2 + 42332708171878670794752)^2
$71$	$ (T^{8} + \cdots + 19\!\cdots\!76)^{2} $ (T^8 + 1963872T^6 + 996524903952T^4 + 32353327112945040*T^2 + 19268222762880576)^2
$73$	$ (T^{8} + \cdots + 77\!\cdots\!88)^{2} $ (T^8 + 1728096T^6 + 354545300736T^4 + 20087887061707776*T^2 + 77717817041551884288)^2
$79$	$ (T^{8} + \cdots + 43\!\cdots\!84)^{2} $ (T^8 + 1665844T^6 + 709508650560T^4 + 18914375429190400*T^2 + 43687244058769859584)^2
$83$	$ (T^{8} + \cdots + 41\!\cdots\!64)^{2} $ (T^8 + 1273408T^6 + 284727547648T^4 + 12764678447932416*T^2 + 4105135542077374464)^2
$89$	$ (T^{8} + \cdots + 29\!\cdots\!12)^{2} $ (T^8 + 3975840T^6 + 5433582012624T^4 + 2769455779547306544*T^2 + 296322198599604454595712)^2
$97$	$ (T^{8} + \cdots + 55\!\cdots\!28)^{2} $ (T^8 + 4368480T^6 + 6247014769152T^4 + 3288616220215913472*T^2 + 559004048497400955568128)^2
show more
show less

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Level:	\( N \)	\(=\)	\( 1344 = 2^{6} \cdot 3 \cdot 7 \)
Weight:	\( k \)	\(=\)	\( 4 \)
Character orbit:	\([\chi]\)	\(=\)	1344.p (of order \(2\), degree \(1\), minimal)

\(f(q)\)	\(=\)	\( q - 3 \beta_1 q^{3} + \beta_{7} q^{5} + ( - \beta_{5} + \beta_1) q^{7} - 9 q^{9} + \beta_{10} q^{11} + (\beta_{13} - \beta_{7} + \beta_{4} + \cdots + 3) q^{13} + 3 \beta_{6} q^{15} + ( - \beta_{11} - \beta_{8} - \beta_{4}) q^{17}+ \cdots - 9 \beta_{10} q^{99}+O(q^{100}) \) q - 3b1 q^3 + b7 * q^5 + (-b5 + b1) * q^7 - 9 * q^9 + b10 * q^11 + (b13 - b7 + b4 + b2 + 3) * q^13 + 3b6 q^15 + (-b11 - b8 - b4) * q^17 + (-b12 + b6 + 7b1) q^19 + (-3b2 + 3) q^21 + (b12 + 2b6 - 2b5 - 2b3 + 19b1) * q^23 + (b13 + 5b7 - 2b4 - 2b2 + 6) q^25 + 27b1 q^27 + (-b14 - 3b11) q^29 + (-b15 - 3b10 + 2b5 - 2b3) q^31 - 3b11 q^33 + (-b15 - 2b12 - 2b10 + b9 - 6b6 + b3 - 14b1) * q^35 + (b14 - b11 + 2b8 - b4 + 3b2) * q^37 + (3b12 - 3b6 - 3b5 - 3b3 - 9b1) q^39 + (2b14 + b11 + b8 - 5b4 + 6b2) q^41 + (4b10 - b9 - 5b5 + 6b3) q^43 - 9b7 q^45 + (-2b15 + 4b10 + 2b9 + 4b5 - 6b3) q^47 + (b14 + 5b13 + 5b11 - b8 + b7 - 2b4 + 3b2 + 24) * q^49 + (-3b10 + 3b9 - 3b5) q^51 + (-b14 + 3b11 - 4b8 - 10b4 + 6b2) * q^53 + (b15 - 5b10 + 2b9 + 5b5 - 7b3) * q^55 + (3b13 - 3b7 + 21) * q^57 + (2b12 + 12b6 + 14b5 + 14b3 - 106b1) q^59 + (3b13 + 27b7 - 11b4 - 11b2 + 17) * q^61 + (9b5 - 9b1) * q^63 + (-8b13 + 14b7 - 16b4 - 16b2 - 88) * q^65 + (2b15 + 4b10 - 7b9 - 5b5 + 12b3) q^67 + (-3b13 - 6b7 - 6b4 - 6b2 + 57) * q^69 + (-13b12 + 22b6 - 4b5 - 4b3 + 41b1) q^71 + (-14b11 + 4b8 - 6b4 + 10b2) * q^73 + (3b12 + 15b6 + 6b5 + 6b3 - 18b1) q^75 + (b14 - 2b13 + 5b11 + 6b8 - 13b7 - 16b4 + 2b2 - 10) * q^77 + (12b12 - 6b6 - 19b5 - 19b3 + 86b1) q^79 + 81 * q^81 + (10b12 - 12b6 + 4b5 + 4b3 + 190b1) q^83 + (5b14 + 11b11 - 4b8 - 25b4 + 21b2) q^85 + (3b15 - 9b10) * q^87 + (-2b14 + 21b11 - 3b8 - 21b4 + 18b2) q^89 + (4b15 + b12 - 6b10 + 3b9 - 25b6 - 3b5 + 24b3 - 151b1) q^91 + (-3b14 + 9b11 - 6b4 + 6b2) * q^93 + (4b12 - 28b6 - 14b5 - 14b3 - 116b1) q^95 + (-6b14 - 12b11 - 6b8 + 4b4 - 10b2) q^97 - 9b10 q^99
\(\operatorname{Tr}(f)(q)\)	\(=\)	\( 16 q - 144 q^{9} + 56 q^{13} + 36 q^{21} + 80 q^{25} + 392 q^{49} + 336 q^{57} + 184 q^{61} - 1536 q^{65} + 864 q^{69} - 240 q^{77} + 1296 q^{81}+O(q^{100}) \) 16 * q - 144 * q^9 + 56 * q^13 + 36 * q^21 + 80 * q^25 + 392 * q^49 + 336 * q^57 + 184 * q^61 - 1536 * q^65 + 864 * q^69 - 240 * q^77 + 1296 * q^81

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Newspace parameters

Newform invariants

$q$-expansion

Character values

Embeddings

Inner twists

Twists

Hecke kernels

Hecke characteristic polynomials

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	1344.4.p.b

Level	$1344$
Weight	$4$
Character orbit	1344.p
Analytic conductor	$79.299$
Analytic rank	$0$
Dimension	$16$
Inner twists	$4$

Self dual:	no
Analytic conductor:	\(79.2985670477\)
Analytic rank:	\(0\)
Dimension:	\(16\)
Coefficient field:	\(\mathbb{Q}[x]/(x^{16} - \cdots)\)
comment: defining polynomial gp: f.mod \\ as an extension of the character field
Defining polynomial:	\( x^{16} - 2 x^{15} + 2 x^{14} + 58 x^{13} + 178264 x^{12} - 331354 x^{11} + 307862 x^{10} + \cdots + 22\!\cdots\!01 \) x^16 - 2x^15 + 2x^14 + 58x^13 + 178264x^12 - 331354x^11 + 307862x^10 - 610x^9 + 8375926786x^8 - 15937543350x^7 + 15140222838x^6 - 113574152394x^5 + 45261122709708x^4 - 121918187031822x^3 + 150109311002562x^2 + 2604526546410882*x + 22595395600887201
Coefficient ring:	\(\Z[a_1, \ldots, a_{11}]\)
Coefficient ring index:	\( 2^{17}\cdot 3^{4} \)
Twist minimal:	yes
Sato-Tate group:	$\mathrm{SU}(2)[C_{2}]$

\(\beta_{1}\)	\(=\)	\( ( - 20\!\cdots\!32 \nu^{15} + \cdots - 27\!\cdots\!76 ) / 41\!\cdots\!92 \) (-20372040911331273768374528122272119834228940879382732v^15 + 335950885618247967279498373742793767396889561560873567v^14 - 339153926372896622386689372124047867595203882064062101v^13 - 830471019198726616618034608339929596881041789620024014v^12 - 3619381008348501827255964225465908593933559267039512551544v^11 + 59753252771284522024344801379946877177074084867352016610113v^10 - 52039487735663319305314714727996284752882531245213476274975v^9 + 55388401282768469315636042116060748653444205649068250682378v^8 - 171500451015098622089501435784606343191700532657854714484075434v^7 + 2866631751248081953429874871219555769052694124619628058669282191v^6 - 2562654252619389092879471537984959752571463875690677887775891753v^5 + 5030832095432654145167384840394766780891112135880782583106321224v^4 - 997802955330759136797967660228010101299233804265147287461089752550v^3 + 20404186052116562202741462924572881687169243933056147081630462278345v^2 - 25684324012141546177510367237216621091828366947281962683702476387191*v - 27512779392820488215121118061020289502522689317470149928628756670976) / 414050931230026968103902334268239292369094182596223731647303743459292
\(\beta_{2}\)	\(=\)	\( ( 45\!\cdots\!01 \nu^{15} + \cdots - 21\!\cdots\!55 ) / 10\!\cdots\!14 \) (45320418688999110770704458039657844020190624914409901v^15 - 2941461018839361133996095913242342630467008325221597344v^14 - 12157453852830963523682967628489607995283621896891547748v^13 - 109485160578423845615051582672567681008502572899303419085v^12 + 7874218290007240753351076323274609176295110127249363146722v^11 - 519748952238255970916886251822300922783080188295314619633878v^10 - 2127951228482841388788449042567371912914359920967507587337218v^9 - 20484711581934944701656579475438198216321594738011938347609185v^8 + 368783175579778885523638920955102616657988979236587057507353967v^7 - 23663893295557167353466497002938941922580635788048660671361588512v^6 - 90079347073487095603379633374269480608014029474964794267759764100v^5 - 939234679874936269758467226214078752763936976545191718137765694331v^4 + 1552859528452234722839157336775674873645998333556550051376402744340v^3 - 85081337895283610755656711561335631919644943135591770124823103478842v^2 - 134673337110990079347148844501533723047247620642330001678746225531324*v - 2142946519476913733745826775141705937801165163035176097087298709438655) / 103273966759270799352585617477205783940990427732393610386861542478214
\(\beta_{3}\)	\(=\)	\( ( 91\!\cdots\!68 \nu^{15} + \cdots - 90\!\cdots\!27 ) / 48\!\cdots\!34 \) (9103372943098038935370609340584385200787733345343877153834368v^15 - 146078833754566609284060431394554972839173577700412469410632437v^14 - 566400938622568118793901553410143932084040255787848961433276570v^13 - 4887175782480483910405285585083411166747724546240621879953211369v^12 + 1622040644281937533185719249902640667430004657657683359786159767947v^11 - 25647638852017709217880893864405289411780583943149520666034572861357v^10 - 99282002394329282451856008904251528444747177830052775545955261647176v^9 - 988722016575511696080654490563087876650550251431245440032909175148663v^8 + 77372464794331925504431185726685147054526427106807749864028486669997866v^7 - 1171742332692849470967392912694897616554117350810734903449426954558445945v^6 - 4193960898332230954622882545619754730771246377015567154553204832008204036v^5 - 46183430758685167936684965589132103003414597841983480202324457809414184637v^4 + 495974557546598480756571492191906058128690007228485296392312336122127340029v^3 - 4555312600638504504536331814170604100122250840681586463213824342421980451305v^2 - 5763577435944795056333230259403353410544912922805317017884981122865588316052*v - 90442229018330749549897527548683852577526698755063716590646065215850624964927) / 4881737791712010405091663921897289898823934442006572568786270390267373051134
\(\beta_{4}\)	\(=\)	\( ( 22\!\cdots\!51 \nu^{15} + \cdots - 20\!\cdots\!12 ) / 10\!\cdots\!14 \) (220230204401576361258214452745797285428350960465855351v^15 + 2808076239389776449832892696021631615681707165743300810v^14 - 1598607436869501686815000153265493495818906000247159360v^13 - 102655234697670930366277293610818028484554041683476512044v^12 + 38485276257698990279353144794992588174910657538112543466704v^11 + 502135347329718243117387795386546718574485872469334065208282v^10 - 218406356321611978916399171619748894773689836956773670382996v^9 - 20842467787705566672623795364824696714107168266747692315965500v^8 + 1697157964540573299487407984710377026336472788206794606036006981v^7 + 22788844668016948939887993110091583513375826991217149256473919242v^6 - 10837871123296399696483872187279835974372091316406835742501137476v^5 - 977124792439879233842172312108439164216055783485656572649127113080v^4 + 4125210953930752209797081591371910229492465109526373047126067822306v^3 + 73536759395838409635279811305621323410149966042572215220501876471610v^2 - 31890869265789418431682797900059850002931149162468856506585450285514*v - 2015004126895821052249415257666681579561845935809716283520216898560712) / 103273966759270799352585617477205783940990427732393610386861542478214
\(\beta_{5}\)	\(=\)	\( ( - 22\!\cdots\!51 \nu^{15} + \cdots + 20\!\cdots\!12 ) / 10\!\cdots\!14 \) (-220230204401576361258214452745797285428350960465855351v^15 - 2808076239389776449832892696021631615681707165743300810v^14 + 1598607436869501686815000153265493495818906000247159360v^13 + 102655234697670930366277293610818028484554041683476512044v^12 - 38485276257698990279353144794992588174910657538112543466704v^11 - 502135347329718243117387795386546718574485872469334065208282v^10 + 218406356321611978916399171619748894773689836956773670382996v^9 + 20842467787705566672623795364824696714107168266747692315965500v^8 - 1697157964540573299487407984710377026336472788206794606036006981v^7 - 22788844668016948939887993110091583513375826991217149256473919242v^6 + 10837871123296399696483872187279835974372091316406835742501137476v^5 + 977124792439879233842172312108439164216055783485656572649127113080v^4 - 4125210953930752209797081591371910229492465109526373047126067822306v^3 - 73536759395838409635279811305621323410149966042572215220501876471610v^2 + 238438802784331017136854032854471417884912004627256077280308535241942*v + 2015004126895821052249415257666681579561845935809716283520216898560712) / 103273966759270799352585617477205783940990427732393610386861542478214
\(\beta_{6}\)	\(=\)	\( ( - 63\!\cdots\!46 \nu^{15} + \cdots - 77\!\cdots\!93 ) / 27\!\cdots\!38 \) (-638967614307383683944410720193273711822693255849341088926315246v^15 - 2042716625650269443877278803278445566173600785496108349213926807v^14 - 12314518214071923204347470349060537259443360271610928596378800292v^13 - 25916316475810500827135181484612500373548376790058957105918972554v^12 - 115038887839561104742623831277596516029668867285108693628835090453653v^11 - 350712304448915925078037756268571563970142979559426865547238148958944v^10 - 2630822658357093312374323529403556663210325174299279915336949198706571v^9 + 1675858371194556230481696384665346743794962266371653222079305911857073v^8 - 5407851304577148631145372046960442935115233518470181297798309421221733014v^7 - 14285616712440633520977480559209700869861483726711511428632773267964710461v^6 - 140454710180007137237130865569004987120747766303309828844706935899355317394v^5 + 155723779107126364996382520285474007976105647772222803523015630575702959114v^4 - 26057947251007289387208974761505715457690670961415496848434691583214426619743v^3 - 5105169837584643959128636524866045032070147846817861130797404973039137352828v^2 - 707389173973934104993224567999894500028079598342611245834884152768643080654395*v - 775610880242235059425060865598572830686396602956801058423016504676270162142793) / 278259054127584593090224843548145524232964263194374636420817412245240263914638
\(\beta_{7}\)	\(=\)	\( ( - 30\!\cdots\!71 \nu^{15} + \cdots + 20\!\cdots\!98 ) / 11\!\cdots\!06 \) (-302986508511321439669674587802503186367141204471v^15 + 234352093051288938743572737833815172056719641251v^14 + 5131115875709260652533134675248298364904970303231v^13 + 70042734584158183417529097351747115013251872719830v^12 - 54450649960294983039484956176055034561500703172534563v^11 + 34366760360547429057172776149134017693482276112497409v^10 + 1085184909547168471531481766938297531726492161970041405v^9 + 12649241745548345808537400340160437960898762954765016380v^8 - 2563354141316214192238665622419043103752271231436289784901v^7 + 1697922281010727896157771357754404141175558213279694827177v^6 + 58083491311030260659368092652526214383345712443139885435713v^5 + 477779463226058036659718545075827740916878198140747249901016v^4 - 12718284501737055946683966617303700724196188158293620432043841v^3 + 18615508925622104192286928662391437715268389415763779755904475v^2 + 301181151446221980050971520096822788435691492218274522733844587*v + 201984853779989756344596594417388295951892208491076375288003698) / 117483531929343218302277602735805088688616751465021298837326306
\(\beta_{8}\)	\(=\)	\( ( 11\!\cdots\!76 \nu^{15} + \cdots + 59\!\cdots\!77 ) / 19\!\cdots\!66 \) (11246694073490647659112996655592505502935670293337579876v^15 - 97269666477652210536001801472082476153568733754761425880v^14 + 313403764746111742094923958232676212234757776764674877583v^13 + 2579783809417210404283429353475831413647259672758041024019v^12 + 1986166979073163993050984826604993496710382630656048956690729v^11 - 15897605816423371917303105657401014127924050472319259526557726v^10 + 40362756458759077647802773088090850443399805841334952915674885v^9 + 353982276820688644487624094986061561524266665149925308556838191v^8 + 95470282133310512911090756921206568306614574158577003786166005244v^7 - 670046067896892627608781100323945191885807889313811399015888474772v^6 + 1498004973862217590130657711863715142110961160199231425636704905341v^5 + 14763853504239882391609202305475919791796340204654246671952361314765v^4 + 723699210155124331803838419778179623906476017451370425682153952533637v^3 - 1788833340674770334855695423033824882161366383887440104651777075189422v^2 + 20874739070526013858781678492722010063726797432485329122587482426872677*v + 59813021288411912948897987467097013452477235126246569659779055352097777) / 1962205368426145187699126732066909894878818126915478597350369307086066
\(\beta_{9}\)	\(=\)	\( ( 53\!\cdots\!25 \nu^{15} + \cdots + 25\!\cdots\!41 ) / 92\!\cdots\!46 \) (534036198028343754825688034877931413579102163472262343471047325v^15 - 3174083661695778559823728518280205796373280956771869474239091509v^14 - 10548739815219718730963093126655047466450463951653152848773778317v^13 + 383795765083473880123138214825116938989586836608499020788778864105v^12 + 94365103983057602276561833434977175484104739576386109199609828426360v^11 - 549250979857177858553899480944065700596121602496027676768377285987491v^10 - 1325210657894266208126433050142368048952120020400169297644632150279581v^9 + 50363864823760485627151889099462085437172638836193108892920206478099709v^8 + 4532000309345864982955078809530052556393645862940766069195668960337154089v^7 - 25310419923259541446539873131468514431512700986276406609308114408659547173v^6 - 41982446997932307591060993559832632060724261038131418778622658681793480953v^5 + 1636290567304197043368937397839291152605447835055922621561304951444400691237v^4 + 34109054355330272404020691294703197930913460972251279871907581000528015727380v^3 - 116285984613234429553557271859584816945868394425885339968765130519311841083671v^2 - 630379962395782463040004840706751391953273846101420220045998945860052518157679*v + 2545345314466944040266593194164495238139780935940429401231817121003715591562241) / 92753018042528197696741614516048508077654754398124878806939137415080087971546
\(\beta_{10}\)	\(=\)	\( ( - 10\!\cdots\!09 \nu^{15} + \cdots - 25\!\cdots\!35 ) / 12\!\cdots\!02 \) (-1061464709111119038694624004594749679136540634611411209v^15 + 701656945816424777518442584051724983485817706066915743v^14 + 37565116106492108644231561545991045464533362789518013735v^13 + 20166593675577646612032365761615125623904033914489238472v^12 - 186835548016749711898962005535719568748737812353421785702056v^11 + 99796576328994230469833617431009533537771658928774512403254v^10 + 6351629530680960005282818423545109055645043720466601598629912v^9 + 23776205069899912321161145550248923238917706186471922032917817v^8 - 8538508488915923444264112642099850846051207707700905413506471235v^7 + 4936052118479493774306032657820196078571238817212537392174031003v^6 + 274725051524799208369611239260431656140431686250178541213383128727v^5 + 1469072473704123128704612268836521602334589615017227182085053827058v^4 - 35718831026906103167414494227399673099443058689093076175249944222032v^3 + 57138627223260051956306307217324007237247504327959899500215488037844v^2 + 893979382440437134618921641695605860240279053487435304774004970117954*v - 2566888597453039565656301974967310202031376460961981130044251514330535) / 129149321521082823325205908895965288395267233364720603636650444422302
\(\beta_{11}\)	\(=\)	\( ( 39\!\cdots\!68 \nu^{15} + \cdots + 42\!\cdots\!29 ) / 45\!\cdots\!62 \) (394751133711279321026522563454993344800781567679742668v^15 - 154401621903525609366119811613992005903200027538407549v^14 + 14271831771741231905049032711545561830923896094845757119v^13 + 15790995920620399357870016507602216648347966731580684801v^12 + 69531344785202860308640208201327336059635808330690160819496v^11 - 10997955697619879970086756718523052579545884060687194556261v^10 + 2411892159469901706953001163709391540435220406095521189487235v^9 - 957850577655015800082067328570544053421454923017779129175287v^8 + 3182068931151166685367072962806944929704488560897816304861631306v^7 - 900044769302934936585171112514057759556098337658651088319937099v^6 + 105260648857954365598908648189534123627770636661188114679563457587v^5 - 92256074142395109979794971510568252035442798945062987388483358631v^4 + 13497325764026104515494352074040601697776724927581366210477198930290v^3 - 53035299922809052964813848606272947335629123413642070323202452791587v^2 + 382965512648678341806302637440758571590746987989209829183957905400259*v + 427565599880270721558584062250679273672302896661371482861344902296729) / 45632682986654539248816900745742090578577165742220432496520216443862
\(\beta_{12}\)	\(=\)	\( ( - 17\!\cdots\!50 \nu^{15} + \cdots - 17\!\cdots\!40 ) / 16\!\cdots\!28 \) (-17607837819654973111368278694242923666994356507248903114436140650v^15 - 70363915343583516667093650514921706815244309009364139596803719517v^14 - 724950163693665435368291600001080789563934452191066689412950564011v^13 - 699943211707791034428484823070126331232645869516020811299243219584v^12 - 3114824315308766663879901697579264854634706901020939545003934130143360v^11 - 12282348904146949257916968993073197212085750755291207814772461955878097v^10 - 131752564648403830100851486111481434187500779573199116889475941104087187v^9 + 40962811173457597264119310194597941155420801313688722484559526392398626v^8 - 141367559074536223862972158821705511262172906784597078076447624782416531836v^7 - 514824621206150930425068502433251185227028778446647959988319083918679430845v^6 - 5991489022655946584037992801897798988944297829549610194359960624447485900455v^5 + 4045011229444864189544281753103647605292087444977761488586193939437960732130v^4 - 481740415925375843647089191456721139128960058138470762093488676675369462184782v^3 - 527626743111194843699643123826068215221710631036115211946833106357477210634397v^2 - 14787306918869789946047500704619382090620934530470545779811200092545130441718551*v - 17004406236627988807964682332208227927037490486515979429585152960038276876115840) / 1669554324765507558541349061288873145397785579166247818524904473471441583487828
\(\beta_{13}\)	\(=\)	\( ( - 47\!\cdots\!55 \nu^{15} + \cdots + 54\!\cdots\!94 ) / 39\!\cdots\!02 \) (-472535026606153412386515423785003893324781128855v^15 + 293659882681440295942764897945439824097196250463v^14 + 17165994626898373332226073511204572744043379170179v^13 + 112705740237726295708689719538387309775038909969190v^12 - 83601874111830071372485597804970604772824807281947955v^11 + 41120395679314598510469143602927839518561108855784157v^10 + 3088994379999762381386240971778540626751170237655005081v^9 + 21525411673572937253213372770400659118506505673854305974v^8 - 3818075960513908341314224802171984790973568410927122502269v^7 + 2036428245514088009921729778556817978909559613653985455909v^6 + 140543019556522020697689118661197521001067043671234894040645v^5 + 854354964305385532204633630661645407575360718286363481623820v^4 - 14378667354561452567823496654854687180964238111043042900709161v^3 + 24274894930717053440267675249736343438180151079486265923723063v^2 + 372556917904017452117824038731380275765275423985406091883851511*v + 545510750201533212224020331699358043192226774915479932161609994) / 39161177309781072767425867578601696229538917155007099612442102
\(\beta_{14}\)	\(=\)	\( ( - 32\!\cdots\!76 \nu^{15} + \cdots - 25\!\cdots\!08 ) / 19\!\cdots\!66 \) (-32573805876379704307735709453382474885180391498599299276v^15 - 333902461709946606393168563724783147999584317417413377323v^14 - 1837820569441418983806495185064619716649939152374758775439v^13 - 1276031192063673225756271707406128113468273226130650282484v^12 - 5704875586991450562656497622151301995012685999105910363202650v^11 - 61572336066741785666659811303918007489063107449475715681079145v^10 - 325962782544088398990060615794112138036681808533612278642874171v^9 + 68753060723234469395299157299414204002545892076624778248047750v^8 - 252083283275163544444735410603634483784434764518585976448082462942v^7 - 2903080330473570621428189782986585714933953272955154726740650130041v^6 - 14200101616588122171499314801209743172690166141585845522015381167559v^5 + 7157863179279569548584094457498701597110558116076204350603942567738v^4 - 554757175208896026028260984452821473517253793807824336527737110918352v^3 - 11892836188583955981411705255854612569619035021952735235802460134254267v^2 - 20701641954355999533556184990861244719954129908781434682496036124218603*v - 25308333150651215465526602745617606824295035920642617385680510144482608) / 1962205368426145187699126732066909894878818126915478597350369307086066
\(\beta_{15}\)	\(=\)	\( ( - 10\!\cdots\!01 \nu^{15} + \cdots + 59\!\cdots\!81 ) / 42\!\cdots\!22 \) (-10775906150194483103584879882125917573705399923121452301v^15 + 6388071824187940827858426561951142032586341315191767511v^14 + 442881429345515938705425006849125174868902134041356139512v^13 + 727017603598832463899608703521821835691971565929621988778v^12 - 1895871847794420830630750078290254471710080023802058381459180v^11 + 884464088293232081781519500152370076443104428545450406070720v^10 + 76956458772858926486775725749012287082931203160272593054799633v^9 + 338324837711720124924551987878427251773980238205460680416599595v^8 - 85927634941946838123313771112775903411432725042520027548043279453v^7 + 43822238436550999219590548738803257410109517709204609112045543205v^6 + 3388969426589642446209717151406094004977864674824387198048620906148v^5 + 21187854874007706228526186005986447787677280920526011127984717654214v^4 - 305047669760289689774793142194245615786044969472045956204626611043846v^3 + 532675952329053208334073127340814190580693189989805741088271963640916v^2 + 8079139562329397874903698867078581015707625013560570816591276903188147*v + 59821074490935738844324024010886721391546328223040383408481327071184781) / 427186217338966261767988775578962107768960848821768150490459162319922

\(\nu\)	\(=\)	\( ( \beta_{5} + \beta_{4} ) / 2 \) (b5 + b4) / 2
\(\nu^{2}\)	\(=\)	\( ( \beta_{14} + 5\beta_{11} - \beta_{8} + \beta_{5} - 2\beta_{4} + \beta_{3} + \beta_{2} + 342\beta_1 ) / 2 \) (b14 + 5b11 - b8 + b5 - 2b4 + b3 + b2 + 342*b1) / 2
\(\nu^{3}\)	\(=\)	\( ( - 7 \beta_{15} - 7 \beta_{14} - 13 \beta_{13} - 13 \beta_{12} - 7 \beta_{11} + 7 \beta_{10} - 28 \beta_{9} + \cdots + 97 ) / 4 \) (-7b15 - 7b14 - 13b13 - 13b12 - 7b11 + 7b10 - 28b9 - 28b8 + 157b7 + 157b6 + 41b5 - 41b4 + 553b3 - 553b2 - 97*b1 + 97) / 4
\(\nu^{4}\)	\(=\)	\( 163 \beta_{15} + 79 \beta_{13} - 843 \beta_{10} - 198 \beta_{9} - 64 \beta_{7} + 269 \beta_{5} + \cdots - 44560 \) 163b15 + 79b13 - 843b10 - 198b9 - 64b7 + 269b5 - 71b4 - 71b3 - 71*b2 - 44560
\(\nu^{5}\)	\(=\)	\( ( - 1496 \beta_{15} + 1496 \beta_{14} - 2047 \beta_{13} + 2047 \beta_{12} + 417 \beta_{11} + 417 \beta_{10} + \cdots + 5299 ) / 2 \) (-1496b15 + 1496b14 - 2047b13 + 2047b12 + 417b11 + 417b10 - 5238b9 + 5238b8 + 24568b7 - 24568b6 - 75344b5 - 75344b4 - 3843b3 - 3843b2 + 5299*b1 + 5299) / 2
\(\nu^{6}\)	\(=\)	\( ( - 92451 \beta_{14} - 81136 \beta_{12} - 523953 \beta_{11} + 129075 \beta_{8} + 78256 \beta_{6} + \cdots - 25601422 \beta_1 ) / 2 \) (-92451b14 - 81136b12 - 523953b11 + 129075b8 + 78256b6 - 36503b5 + 151104b4 - 36503b3 - 22029b2 - 25601422b1) / 2
\(\nu^{7}\)	\(=\)	\( ( 1044781 \beta_{15} + 1044781 \beta_{14} + 845557 \beta_{13} + 845557 \beta_{12} - 80373 \beta_{11} + \cdots + 5582015 ) / 4 \) (1044781b15 + 1044781b14 + 845557b13 + 845557b12 - 80373b11 + 80373b10 + 3483834b9 + 3483834b8 - 13191643b7 - 13191643b6 - 6402785b5 + 6402785b4 - 47510067b3 + 47510067b2 - 5582015*b1 + 5582015) / 4
\(\nu^{8}\)	\(=\)	\( - 12704042 \beta_{15} - 16333579 \beta_{13} + 80518170 \beta_{10} + 20422200 \beta_{9} + \cdots + 3764173504 \) -12704042b15 - 16333579b13 + 80518170b10 + 20422200b9 + 16195387b7 - 22134178b5 + 7004246b4 + 1711978b3 + 7004246*b2 + 3764173504
\(\nu^{9}\)	\(=\)	\( ( 172651005 \beta_{15} - 172651005 \beta_{14} + 52776727 \beta_{13} - 52776727 \beta_{12} + \cdots + 2274028613 ) / 2 \) (172651005b15 - 172651005b14 + 52776727b13 - 52776727b12 + 61321509b11 + 61321509b10 + 567056502b9 - 567056502b8 - 1695155929b7 + 1695155929b6 + 6469666126b5 + 6469666126b4 + 503909881b3 + 503909881b2 + 2274028613*b1 + 2274028613) / 2
\(\nu^{10}\)	\(=\)	\( ( 6902289991 \beta_{14} + 12082786564 \beta_{12} + 49433985051 \beta_{11} - 12879763521 \beta_{8} + \cdots + 2231044630090 \beta_1 ) / 2 \) (6902289991b14 + 12082786564b12 + 49433985051b11 - 12879763521b8 - 11882130856b6 + 5669850665b5 - 13074457964b4 + 5669850665b3 + 194694443b2 + 2231044630090b1) / 2
\(\nu^{11}\)	\(=\)	\( ( - 111743533385 \beta_{15} - 111743533385 \beta_{14} + 14565283037 \beta_{13} + 14565283037 \beta_{12} + \cdots - 2315920372097 ) / 4 \) (-111743533385b15 - 111743533385b14 + 14565283037b13 + 14565283037b12 + 68277298119b11 - 68277298119b10 - 366693656160b9 - 366693656160b8 + 847639903675b7 + 847639903675b6 + 703934146923b5 - 703934146923b4 + 4183549183859b3 - 4183549183859b2 + 2315920372097*b1 - 2315920372097) / 4
\(\nu^{12}\)	\(=\)	\( 930489180369 \beta_{15} + 2139104560648 \beta_{13} - 7592699813517 \beta_{10} - 2032338076482 \beta_{9} + \cdots - 332000524438189 \) 930489180369b15 + 2139104560648b13 - 7592699813517b10 - 2032338076482b9 - 2069856552361b7 + 1921138610019b5 - 1115238623711b4 + 111199466463b3 - 1115238623711*b2 - 332000524438189
\(\nu^{13}\)	\(=\)	\( ( - 17880852446077 \beta_{15} + 17880852446077 \beta_{14} + 9101406164066 \beta_{13} + \cdots - 506243338698578 ) / 2 \) (-17880852446077b15 + 17880852446077b14 + 9101406164066b13 - 9101406164066b12 - 15330070159428b11 - 15330070159428b10 - 59056569341982b9 + 59056569341982b8 + 102765907530157b7 - 102765907530157b6 - 564754588847145b5 - 564754588847145b4 - 55604496349610b3 - 55604496349610b2 - 506243338698578*b1 - 506243338698578) / 2
\(\nu^{14}\)	\(=\)	\( ( - 497993622759701 \beta_{14} + \cdots - 19\!\cdots\!10 \beta_1 ) / 2 \) (-497993622759701b14 - 1473849965809096b12 - 4669758783234003b11 + 1284513331328631b8 + 1402161695970004b6 - 848793770477567b5 + 1119200067718210b4 - 848793770477567b3 + 165313263610421b2 - 198294012114428710b1) / 2
\(\nu^{15}\)	\(=\)	\( ( 11\!\cdots\!03 \beta_{15} + \cdots + 40\!\cdots\!09 ) / 4 \) (11361059747960403b15 + 11361059747960403b14 - 9575336721511049b13 - 9575336721511049b12 - 12484222759253871b11 + 12484222759253871b10 + 37936359163892730b9 + 37936359163892730b8 - 47723909723138317b7 - 47723909723138317b6 - 74277728152726735b5 + 74277728152726735b4 - 373221922451418181b3 + 373221922451418181b2 - 409273246637842709*b1 + 409273246637842709) / 4

\(n\)	\(127\)	\(449\)	\(577\)	\(1093\)
\(\chi(n)\)	\(-1\)	\(1\)	\(-1\)	\(-1\)

\(n\):		e.g. 2-40 or 990-1000
Embeddings:		e.g. 1-3 or 223.16
Significant digits:
Format:

$p$	$F_p(T)$
$2$	\( T^{16} \) T^16
$3$	\( (T^{2} + 9)^{8} \) (T^2 + 9)^8
$5$	\( (T^{4} - 260 T^{2} + \cdots + 8064)^{4} \) (T^4 - 260T^2 - 804T + 8064)^4
$7$	\( T^{16} + \cdots + 19\!\cdots\!01 \) T^16 - 196T^14 + 49492T^12 - 31889788T^10 + 23447488918T^8 - 3751801668412T^6 + 685032986151892T^4 - 319169065190448004*T^2 + 191581231380566414401
$11$	\( (T^{8} - 4620 T^{6} + \cdots + 10053320832)^{2} \) (T^8 - 4620T^6 + 5417280T^4 - 532252080*T^2 + 10053320832)^2
$13$	\( (T^{4} - 14 T^{3} + \cdots + 624672)^{4} \) (T^4 - 14T^3 - 4604T^2 - 70056*T + 624672)^4
$17$	\( (T^{8} + \cdots + 645802409513088)^{2} \) (T^8 + 28080T^6 + 263318832T^4 + 890623697328*T^2 + 645802409513088)^2
$19$	\( (T^{8} + \cdots + 1880891559936)^{2} \) (T^8 + 9728T^6 + 26099008T^4 + 15860544768*T^2 + 1880891559936)^2
$23$	\( (T^{8} + 18576 T^{6} + \cdots + 4988879424)^{2} \) (T^8 + 18576T^6 + 30371760T^4 + 8947979280*T^2 + 4988879424)^2
$29$	\( (T^{8} + \cdots + 18\!\cdots\!28)^{2} \) (T^8 + 123804T^6 + 4835701008T^4 + 62949711816000*T^2 + 188578587861692928)^2
$31$	\( (T^{8} + \cdots + 63\!\cdots\!92)^{2} \) (T^8 - 142620T^6 + 6204160656T^4 - 106536332946240*T^2 + 631297159314043392)^2
$37$	\( (T^{8} + \cdots + 51\!\cdots\!48)^{2} \) (T^8 + 208512T^6 + 9519540480T^4 + 143519500567296*T^2 + 518142430247067648)^2
$41$	\( (T^{8} + \cdots + 10\!\cdots\!48)^{2} \) (T^8 + 427104T^6 + 65675342736T^4 + 4348641712095792*T^2 + 105232616165558533248)^2
$43$	\( (T^{8} + \cdots + 16\!\cdots\!92)^{2} \) (T^8 - 168372T^6 + 4721458608T^4 - 20708867540160*T^2 + 16734751747540992)^2
$47$	\( (T^{8} + \cdots + 46\!\cdots\!72)^{2} \) (T^8 - 634464T^6 + 105224799744T^4 - 5437257718901760*T^2 + 46627091556634755072)^2
$53$	\( (T^{8} + \cdots + 93\!\cdots\!88)^{2} \) (T^8 + 793308T^6 + 201114411408T^4 + 16060010828887872*T^2 + 9338615013218738688)^2
$59$	\( (T^{8} + \cdots + 28\!\cdots\!76)^{2} \) (T^8 + 683056T^6 + 143398037248T^4 + 9234955482485760*T^2 + 28460511679864651776)^2
$61$	\( (T^{4} - 46 T^{3} + \cdots - 1820784672)^{4} \) (T^4 - 46T^3 - 394604T^2 - 81687048*T - 1820784672)^4
$67$	\( (T^{8} + \cdots + 42\!\cdots\!52)^{2} \) (T^8 - 1819044T^6 + 1238711562864T^4 - 374260459014855360*T^2 + 42332708171878670794752)^2
$71$	\( (T^{8} + \cdots + 19\!\cdots\!76)^{2} \) (T^8 + 1963872T^6 + 996524903952T^4 + 32353327112945040*T^2 + 19268222762880576)^2
$73$	\( (T^{8} + \cdots + 77\!\cdots\!88)^{2} \) (T^8 + 1728096T^6 + 354545300736T^4 + 20087887061707776*T^2 + 77717817041551884288)^2
$79$	\( (T^{8} + \cdots + 43\!\cdots\!84)^{2} \) (T^8 + 1665844T^6 + 709508650560T^4 + 18914375429190400*T^2 + 43687244058769859584)^2
$83$	\( (T^{8} + \cdots + 41\!\cdots\!64)^{2} \) (T^8 + 1273408T^6 + 284727547648T^4 + 12764678447932416*T^2 + 4105135542077374464)^2
$89$	\( (T^{8} + \cdots + 29\!\cdots\!12)^{2} \) (T^8 + 3975840T^6 + 5433582012624T^4 + 2769455779547306544*T^2 + 296322198599604454595712)^2
$97$	\( (T^{8} + \cdots + 55\!\cdots\!28)^{2} \) (T^8 + 4368480T^6 + 6247014769152T^4 + 3288616220215913472*T^2 + 559004048497400955568128)^2
show more
show less