Number field 27.27.148006914530150602810277926280344512637681407668353320305121.10

• Label: 27.27.148...121.10
• Degree: $27$
• Signature: $[27, 0]$
• Discriminant: $1.480\times 10^{59}$
• Root discriminant: \(155.41\)
• Ramified primes: $3,37$
• Class number: $1$ (GRH)
• Class group: trivial (GRH)
• Galois group: $C_9\wr C_3$ (as 27T434)

Normalized defining polynomial

x^27 - 9*x^26 - 207*x^25 + 2799*x^24 + 5922*x^23 - 254160*x^22 + 1067706*x^21 + 5184450*x^20 - 60066783*x^19 + 169760046*x^18 + 173607633*x^17 - 1995002874*x^16 + 2806251156*x^15 + 6814404873*x^14 - 21984532803*x^13 - 1750133259*x^12 + 67700695032*x^11 - 42064801020*x^10 - 108704725638*x^9 + 106963312905*x^8 + 98762533614*x^7 - 111025954818*x^6 - 56131777134*x^5 + 46914875073*x^4 + 20807085114*x^3 - 3017697426*x^2 - 1193105691*x + 86840011

Invariants

Degree:		$27$
Signature:		$[27, 0]$
Discriminant:		\(148006914530150602810277926280344512637681407668353320305121\) \(\medspace = 3^{78}\cdot 37^{14}\)
Root discriminant:		\(155.41\)
Galois root discriminant:		not computed
Ramified primes:		\(3\), \(37\)
Discriminant root field:		\(\Q\)
$\card{ \Aut(K/\Q) }$:		$9$
This field is not Galois over $\Q$.
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $\frac{1}{3}a^{14}-\frac{1}{3}a^{13}+\frac{1}{3}a^{12}+\frac{1}{3}a^{11}-\frac{1}{3}a^{10}+\frac{1}{3}a^{9}+\frac{1}{3}a^{5}-\frac{1}{3}a^{4}+\frac{1}{3}a^{3}+\frac{1}{3}a^{2}-\frac{1}{3}a+\frac{1}{3}$, $\frac{1}{3}a^{15}-\frac{1}{3}a^{12}+\frac{1}{3}a^{9}+\frac{1}{3}a^{6}-\frac{1}{3}a^{3}+\frac{1}{3}$, $\frac{1}{3}a^{16}-\frac{1}{3}a^{13}+\frac{1}{3}a^{10}+\frac{1}{3}a^{7}-\frac{1}{3}a^{4}+\frac{1}{3}a$, $\frac{1}{3}a^{17}-\frac{1}{3}a^{13}+\frac{1}{3}a^{12}-\frac{1}{3}a^{11}-\frac{1}{3}a^{10}+\frac{1}{3}a^{9}+\frac{1}{3}a^{8}-\frac{1}{3}a^{4}+\frac{1}{3}a^{3}-\frac{1}{3}a^{2}-\frac{1}{3}a+\frac{1}{3}$, $\frac{1}{3}a^{18}-\frac{1}{3}a^{9}+\frac{1}{3}$, $\frac{1}{3}a^{19}-\frac{1}{3}a^{10}+\frac{1}{3}a$, $\frac{1}{3}a^{20}-\frac{1}{3}a^{11}+\frac{1}{3}a^{2}$, $\frac{1}{3}a^{21}-\frac{1}{3}a^{12}+\frac{1}{3}a^{3}$, $\frac{1}{3}a^{22}-\frac{1}{3}a^{13}+\frac{1}{3}a^{4}$, $\frac{1}{3}a^{23}-\frac{1}{3}a^{13}+\frac{1}{3}a^{12}+\frac{1}{3}a^{11}-\frac{1}{3}a^{10}+\frac{1}{3}a^{9}-\frac{1}{3}a^{5}-\frac{1}{3}a^{4}+\frac{1}{3}a^{3}+\frac{1}{3}a^{2}-\frac{1}{3}a+\frac{1}{3}$, $\frac{1}{3}a^{24}-\frac{1}{3}a^{12}+\frac{1}{3}a^{9}-\frac{1}{3}a^{6}-\frac{1}{3}a^{3}+\frac{1}{3}$, $\frac{1}{3}a^{25}-\frac{1}{3}a^{13}+\frac{1}{3}a^{10}-\frac{1}{3}a^{7}-\frac{1}{3}a^{4}+\frac{1}{3}a$, $\frac{1}{13\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{47\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!89}a^{25}-\frac{11\!\cdots\!53}{46\!\cdots\!63}a^{24}+\frac{57\!\cdots\!19}{46\!\cdots\!63}a^{23}-\frac{32\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!89}a^{22}-\frac{82\!\cdots\!54}{46\!\cdots\!63}a^{21}-\frac{17\!\cdots\!79}{13\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{53\!\cdots\!36}{13\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{89\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{71\!\cdots\!26}{46\!\cdots\!63}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{68\!\cdots\!86}{13\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{28\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!06}{46\!\cdots\!63}a^{13}+\frac{42\!\cdots\!40}{13\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!59}{46\!\cdots\!63}a^{10}-\frac{24\!\cdots\!78}{13\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{42\!\cdots\!86}{12\!\cdots\!21}a^{8}-\frac{30\!\cdots\!77}{46\!\cdots\!63}a^{7}+\frac{51\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{58\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{42\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{57\!\cdots\!40}{13\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{17\!\cdots\!57}{46\!\cdots\!63}a^{2}-\frac{60\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!89}a+\frac{16\!\cdots\!68}{46\!\cdots\!63}$

Monogenic:		Not computed
Index:		$1$
Inessential primes:		None

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

Unit group

Rank:		$26$
Torsion generator:		\( -1 \)  (order $2$)
Fundamental units:		$\frac{33\!\cdots\!20}{43\!\cdots\!73}a^{26}-\frac{18\!\cdots\!30}{43\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{22\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!19}a^{24}+\frac{67\!\cdots\!02}{43\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{42\!\cdots\!17}{43\!\cdots\!73}a^{22}-\frac{21\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!19}a^{21}+\frac{12\!\cdots\!53}{43\!\cdots\!73}a^{20}+\frac{20\!\cdots\!33}{43\!\cdots\!73}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!54}{43\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!29}{43\!\cdots\!73}a^{17}+\frac{94\!\cdots\!98}{43\!\cdots\!73}a^{16}-\frac{94\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!19}a^{15}-\frac{64\!\cdots\!51}{43\!\cdots\!73}a^{14}+\frac{16\!\cdots\!83}{43\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{44\!\cdots\!78}{13\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{37\!\cdots\!22}{43\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{61\!\cdots\!07}{43\!\cdots\!73}a^{10}+\frac{41\!\cdots\!51}{43\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!89}{43\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!74}{43\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{28\!\cdots\!76}{13\!\cdots\!19}a^{6}-\frac{23\!\cdots\!20}{43\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{35\!\cdots\!52}{43\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{15\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{19\!\cdots\!78}{43\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{30\!\cdots\!01}{43\!\cdots\!73}a+\frac{79\!\cdots\!14}{43\!\cdots\!73}$, $\frac{33\!\cdots\!20}{43\!\cdots\!73}a^{26}-\frac{18\!\cdots\!30}{43\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{22\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!19}a^{24}+\frac{67\!\cdots\!02}{43\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{42\!\cdots\!17}{43\!\cdots\!73}a^{22}-\frac{21\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!19}a^{21}+\frac{12\!\cdots\!53}{43\!\cdots\!73}a^{20}+\frac{20\!\cdots\!33}{43\!\cdots\!73}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!54}{43\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!29}{43\!\cdots\!73}a^{17}+\frac{94\!\cdots\!98}{43\!\cdots\!73}a^{16}-\frac{94\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!19}a^{15}-\frac{64\!\cdots\!51}{43\!\cdots\!73}a^{14}+\frac{16\!\cdots\!83}{43\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{44\!\cdots\!78}{13\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{37\!\cdots\!22}{43\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{61\!\cdots\!07}{43\!\cdots\!73}a^{10}+\frac{41\!\cdots\!51}{43\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!89}{43\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!74}{43\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{28\!\cdots\!76}{13\!\cdots\!19}a^{6}-\frac{23\!\cdots\!20}{43\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{35\!\cdots\!52}{43\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{15\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{19\!\cdots\!78}{43\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{30\!\cdots\!01}{43\!\cdots\!73}a+\frac{35\!\cdots\!41}{43\!\cdots\!73}$, $\frac{17\!\cdots\!15}{42\!\cdots\!07}a^{26}-\frac{11\!\cdots\!46}{42\!\cdots\!07}a^{25}-\frac{11\!\cdots\!54}{12\!\cdots\!21}a^{24}+\frac{40\!\cdots\!74}{42\!\cdots\!07}a^{23}+\frac{18\!\cdots\!60}{42\!\cdots\!07}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!10}{12\!\cdots\!21}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!01}{42\!\cdots\!07}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!87}{42\!\cdots\!07}a^{19}-\frac{24\!\cdots\!91}{12\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!94}{42\!\cdots\!07}a^{17}+\frac{53\!\cdots\!35}{42\!\cdots\!07}a^{16}-\frac{69\!\cdots\!59}{12\!\cdots\!21}a^{15}+\frac{36\!\cdots\!40}{42\!\cdots\!07}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!21}{42\!\cdots\!07}a^{13}-\frac{42\!\cdots\!52}{12\!\cdots\!21}a^{12}-\frac{28\!\cdots\!61}{42\!\cdots\!07}a^{11}+\frac{57\!\cdots\!35}{42\!\cdots\!07}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!64}{12\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!12}{42\!\cdots\!07}a^{8}-\frac{22\!\cdots\!51}{42\!\cdots\!07}a^{7}+\frac{33\!\cdots\!94}{12\!\cdots\!21}a^{6}+\frac{16\!\cdots\!38}{42\!\cdots\!07}a^{5}-\frac{52\!\cdots\!58}{42\!\cdots\!07}a^{4}-\frac{44\!\cdots\!25}{12\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{49\!\cdots\!88}{42\!\cdots\!07}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!51}{42\!\cdots\!07}a-\frac{24\!\cdots\!90}{12\!\cdots\!21}$, $\frac{17\!\cdots\!15}{42\!\cdots\!07}a^{26}+\frac{11\!\cdots\!46}{42\!\cdots\!07}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!54}{12\!\cdots\!21}a^{24}-\frac{40\!\cdots\!74}{42\!\cdots\!07}a^{23}-\frac{18\!\cdots\!60}{42\!\cdots\!07}a^{22}+\frac{11\!\cdots\!10}{12\!\cdots\!21}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!01}{42\!\cdots\!07}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!87}{42\!\cdots\!07}a^{19}+\frac{24\!\cdots\!91}{12\!\cdots\!21}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!94}{42\!\cdots\!07}a^{17}-\frac{53\!\cdots\!35}{42\!\cdots\!07}a^{16}+\frac{69\!\cdots\!59}{12\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{36\!\cdots\!40}{42\!\cdots\!07}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!21}{42\!\cdots\!07}a^{13}+\frac{42\!\cdots\!52}{12\!\cdots\!21}a^{12}+\frac{28\!\cdots\!61}{42\!\cdots\!07}a^{11}-\frac{57\!\cdots\!35}{42\!\cdots\!07}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!64}{12\!\cdots\!21}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!12}{42\!\cdots\!07}a^{8}+\frac{22\!\cdots\!51}{42\!\cdots\!07}a^{7}-\frac{33\!\cdots\!94}{12\!\cdots\!21}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!38}{42\!\cdots\!07}a^{5}+\frac{52\!\cdots\!58}{42\!\cdots\!07}a^{4}+\frac{44\!\cdots\!25}{12\!\cdots\!21}a^{3}-\frac{49\!\cdots\!88}{42\!\cdots\!07}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!51}{42\!\cdots\!07}a+\frac{36\!\cdots\!11}{12\!\cdots\!21}$, $\frac{16\!\cdots\!81}{12\!\cdots\!21}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!41}{12\!\cdots\!21}a^{25}-\frac{12\!\cdots\!27}{42\!\cdots\!07}a^{24}+\frac{35\!\cdots\!71}{12\!\cdots\!21}a^{23}+\frac{20\!\cdots\!02}{12\!\cdots\!21}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!67}{42\!\cdots\!07}a^{21}+\frac{73\!\cdots\!98}{12\!\cdots\!21}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!91}{12\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{23\!\cdots\!30}{42\!\cdots\!07}a^{18}+\frac{85\!\cdots\!47}{12\!\cdots\!21}a^{17}+\frac{52\!\cdots\!87}{12\!\cdots\!21}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!01}{12\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{41\!\cdots\!79}{12\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{97\!\cdots\!50}{12\!\cdots\!21}a^{13}-\frac{84\!\cdots\!30}{12\!\cdots\!21}a^{12}-\frac{25\!\cdots\!44}{12\!\cdots\!21}a^{11}+\frac{37\!\cdots\!10}{12\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{34\!\cdots\!99}{12\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{72\!\cdots\!89}{12\!\cdots\!21}a^{8}-\frac{26\!\cdots\!17}{12\!\cdots\!21}a^{7}+\frac{69\!\cdots\!40}{12\!\cdots\!21}a^{6}+\frac{16\!\cdots\!94}{12\!\cdots\!21}a^{5}-\frac{29\!\cdots\!72}{12\!\cdots\!21}a^{4}-\frac{91\!\cdots\!37}{12\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{19\!\cdots\!68}{12\!\cdots\!21}a^{2}+\frac{52\!\cdots\!80}{12\!\cdots\!21}a-\frac{39\!\cdots\!68}{12\!\cdots\!21}$, $\frac{67\!\cdots\!59}{12\!\cdots\!21}a^{26}+\frac{42\!\cdots\!60}{12\!\cdots\!21}a^{25}+\frac{15\!\cdots\!03}{12\!\cdots\!21}a^{24}-\frac{14\!\cdots\!81}{12\!\cdots\!21}a^{23}-\frac{79\!\cdots\!19}{12\!\cdots\!21}a^{22}+\frac{15\!\cdots\!78}{12\!\cdots\!21}a^{21}-\frac{32\!\cdots\!94}{12\!\cdots\!21}a^{20}-\frac{43\!\cdots\!02}{12\!\cdots\!21}a^{19}+\frac{29\!\cdots\!62}{12\!\cdots\!21}a^{18}-\frac{38\!\cdots\!76}{12\!\cdots\!21}a^{17}-\frac{21\!\cdots\!06}{12\!\cdots\!21}a^{16}+\frac{77\!\cdots\!67}{12\!\cdots\!21}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!37}{12\!\cdots\!21}a^{14}-\frac{41\!\cdots\!48}{12\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{38\!\cdots\!30}{12\!\cdots\!21}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!18}{12\!\cdots\!21}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!07}{12\!\cdots\!21}a^{10}-\frac{48\!\cdots\!21}{42\!\cdots\!07}a^{9}+\frac{32\!\cdots\!90}{12\!\cdots\!21}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!77}{12\!\cdots\!21}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!52}{42\!\cdots\!07}a^{6}-\frac{77\!\cdots\!04}{12\!\cdots\!21}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!06}{12\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!55}{42\!\cdots\!07}a^{3}-\frac{88\!\cdots\!16}{12\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{24\!\cdots\!18}{12\!\cdots\!21}a+\frac{23\!\cdots\!61}{12\!\cdots\!21}$, $\frac{82\!\cdots\!44}{12\!\cdots\!21}a^{26}-\frac{52\!\cdots\!08}{12\!\cdots\!21}a^{25}-\frac{18\!\cdots\!69}{12\!\cdots\!21}a^{24}+\frac{18\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!21}a^{23}+\frac{97\!\cdots\!08}{12\!\cdots\!21}a^{22}-\frac{18\!\cdots\!86}{12\!\cdots\!21}a^{21}+\frac{39\!\cdots\!78}{12\!\cdots\!21}a^{20}+\frac{52\!\cdots\!04}{12\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{35\!\cdots\!11}{12\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{46\!\cdots\!91}{12\!\cdots\!21}a^{17}+\frac{25\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!21}a^{16}-\frac{93\!\cdots\!16}{12\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!44}{12\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{50\!\cdots\!02}{12\!\cdots\!21}a^{13}-\frac{47\!\cdots\!84}{12\!\cdots\!21}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!95}{12\!\cdots\!21}a^{11}+\frac{20\!\cdots\!51}{12\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!54}{12\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{38\!\cdots\!79}{12\!\cdots\!21}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!28}{12\!\cdots\!21}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!78}{42\!\cdots\!07}a^{6}+\frac{81\!\cdots\!78}{12\!\cdots\!21}a^{5}-\frac{16\!\cdots\!84}{12\!\cdots\!21}a^{4}-\frac{16\!\cdots\!33}{42\!\cdots\!07}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!86}{12\!\cdots\!21}a^{2}+\frac{28\!\cdots\!94}{12\!\cdots\!21}a-\frac{86\!\cdots\!05}{42\!\cdots\!07}$, $\frac{11\!\cdots\!63}{12\!\cdots\!21}a^{26}+\frac{67\!\cdots\!60}{12\!\cdots\!21}a^{25}+\frac{82\!\cdots\!94}{42\!\cdots\!07}a^{24}-\frac{23\!\cdots\!20}{12\!\cdots\!21}a^{23}-\frac{13\!\cdots\!59}{12\!\cdots\!21}a^{22}+\frac{80\!\cdots\!22}{42\!\cdots\!07}a^{21}-\frac{47\!\cdots\!86}{12\!\cdots\!21}a^{20}-\frac{71\!\cdots\!25}{12\!\cdots\!21}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!37}{42\!\cdots\!07}a^{18}-\frac{54\!\cdots\!76}{12\!\cdots\!21}a^{17}-\frac{34\!\cdots\!46}{12\!\cdots\!21}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!83}{12\!\cdots\!21}a^{15}+\frac{31\!\cdots\!37}{12\!\cdots\!21}a^{14}-\frac{64\!\cdots\!97}{12\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{52\!\cdots\!98}{12\!\cdots\!21}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!40}{12\!\cdots\!21}a^{11}-\frac{24\!\cdots\!46}{12\!\cdots\!21}a^{10}-\frac{23\!\cdots\!04}{12\!\cdots\!21}a^{9}+\frac{46\!\cdots\!07}{12\!\cdots\!21}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!03}{12\!\cdots\!21}a^{7}-\frac{44\!\cdots\!59}{12\!\cdots\!21}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!49}{12\!\cdots\!21}a^{5}+\frac{18\!\cdots\!94}{12\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{61\!\cdots\!81}{12\!\cdots\!21}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!59}{12\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{33\!\cdots\!68}{12\!\cdots\!21}a+\frac{15\!\cdots\!15}{12\!\cdots\!21}$, $\frac{83\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!89}a^{26}-\frac{52\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!89}a^{25}-\frac{18\!\cdots\!60}{13\!\cdots\!89}a^{24}+\frac{18\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!89}a^{23}+\frac{99\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!89}a^{22}-\frac{18\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{38\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{17\!\cdots\!73}{46\!\cdots\!63}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!59}{46\!\cdots\!63}a^{18}+\frac{44\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{26\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{93\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{21\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{51\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{43\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{19\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{64\!\cdots\!10}{46\!\cdots\!63}a^{9}-\frac{35\!\cdots\!87}{12\!\cdots\!21}a^{8}-\frac{55\!\cdots\!71}{46\!\cdots\!63}a^{7}+\frac{38\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{55\!\cdots\!40}{46\!\cdots\!63}a^{4}-\frac{61\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{36\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!89}a-\frac{91\!\cdots\!07}{46\!\cdots\!63}$, $\frac{83\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!89}a^{26}-\frac{17\!\cdots\!06}{46\!\cdots\!63}a^{25}-\frac{18\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!89}a^{24}+\frac{18\!\cdots\!32}{13\!\cdots\!89}a^{23}+\frac{33\!\cdots\!33}{46\!\cdots\!63}a^{22}-\frac{61\!\cdots\!41}{46\!\cdots\!63}a^{21}+\frac{12\!\cdots\!53}{46\!\cdots\!63}a^{20}+\frac{53\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{35\!\cdots\!14}{13\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{42\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{27\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{91\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{28\!\cdots\!63}{13\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{51\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!25}{46\!\cdots\!63}a^{12}-\frac{46\!\cdots\!58}{46\!\cdots\!63}a^{11}+\frac{19\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{21\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{34\!\cdots\!10}{12\!\cdots\!21}a^{8}-\frac{19\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{38\!\cdots\!88}{13\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!40}{13\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{16\!\cdots\!74}{13\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{24\!\cdots\!58}{46\!\cdots\!63}a^{3}+\frac{33\!\cdots\!76}{46\!\cdots\!63}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!90}{46\!\cdots\!63}a-\frac{32\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!89}$, $\frac{21\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!89}a^{26}-\frac{13\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!89}a^{25}-\frac{48\!\cdots\!62}{13\!\cdots\!89}a^{24}+\frac{47\!\cdots\!81}{13\!\cdots\!89}a^{23}+\frac{25\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!89}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!72}{46\!\cdots\!63}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{92\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!63}{13\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{69\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{24\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{49\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!06}{13\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!32}{46\!\cdots\!63}a^{11}+\frac{17\!\cdots\!57}{46\!\cdots\!63}a^{10}+\frac{49\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{31\!\cdots\!33}{42\!\cdots\!07}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!25}{46\!\cdots\!63}a^{7}+\frac{33\!\cdots\!49}{46\!\cdots\!63}a^{6}+\frac{97\!\cdots\!42}{46\!\cdots\!63}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!11}{46\!\cdots\!63}a^{4}-\frac{16\!\cdots\!52}{13\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{28\!\cdots\!06}{13\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{95\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!89}a-\frac{23\!\cdots\!59}{46\!\cdots\!63}$, $\frac{28\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!89}a^{26}-\frac{19\!\cdots\!72}{13\!\cdots\!89}a^{25}-\frac{64\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!89}a^{24}+\frac{22\!\cdots\!05}{46\!\cdots\!63}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!45}{46\!\cdots\!63}a^{22}-\frac{66\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{16\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{18\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{19\!\cdots\!57}{13\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{32\!\cdots\!61}{46\!\cdots\!63}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!59}{46\!\cdots\!63}a^{15}-\frac{33\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{20\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{19\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{17\!\cdots\!47}{46\!\cdots\!63}a^{11}+\frac{28\!\cdots\!57}{46\!\cdots\!63}a^{10}+\frac{74\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{51\!\cdots\!78}{42\!\cdots\!07}a^{8}-\frac{62\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{16\!\cdots\!60}{13\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{44\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{73\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{87\!\cdots\!95}{46\!\cdots\!63}a^{3}+\frac{46\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!01}{13\!\cdots\!89}a-\frac{38\!\cdots\!08}{46\!\cdots\!63}$, $\frac{11\!\cdots\!89}{46\!\cdots\!63}a^{26}+\frac{19\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{25\!\cdots\!16}{46\!\cdots\!63}a^{24}-\frac{23\!\cdots\!77}{46\!\cdots\!63}a^{23}-\frac{42\!\cdots\!96}{13\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{71\!\cdots\!12}{13\!\cdots\!89}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{21\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{32\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!78}{13\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!14}{13\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{50\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{63\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{75\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!87}{12\!\cdots\!21}a^{8}+\frac{67\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!72}{13\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{45\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{54\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{72\!\cdots\!48}{46\!\cdots\!63}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!39}{46\!\cdots\!63}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!89}a+\frac{38\!\cdots\!12}{46\!\cdots\!63}$, $\frac{78\!\cdots\!06}{46\!\cdots\!63}a^{26}+\frac{45\!\cdots\!26}{46\!\cdots\!63}a^{25}+\frac{52\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{49\!\cdots\!52}{13\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{29\!\cdots\!52}{13\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{50\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!89}a^{21}-\frac{93\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{14\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{93\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!80}{13\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{71\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{80\!\cdots\!37}{46\!\cdots\!63}a^{15}+\frac{58\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{13\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!56}{13\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{32\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{51\!\cdots\!90}{13\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{40\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{89\!\cdots\!46}{12\!\cdots\!21}a^{8}+\frac{24\!\cdots\!86}{13\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{92\!\cdots\!86}{13\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{37\!\cdots\!69}{46\!\cdots\!63}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!38}{46\!\cdots\!63}a^{4}+\frac{25\!\cdots\!40}{46\!\cdots\!63}a^{3}-\frac{92\!\cdots\!83}{46\!\cdots\!63}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!05}{46\!\cdots\!63}a+\frac{10\!\cdots\!65}{46\!\cdots\!63}$, $\frac{10\!\cdots\!95}{46\!\cdots\!63}a^{26}+\frac{18\!\cdots\!32}{13\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{22\!\cdots\!01}{46\!\cdots\!63}a^{24}-\frac{64\!\cdots\!29}{13\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{36\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{65\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!89}a^{21}-\frac{43\!\cdots\!00}{46\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{19\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{14\!\cdots\!34}{13\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{95\!\cdots\!08}{13\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{32\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{30\!\cdots\!97}{46\!\cdots\!63}a^{14}-\frac{59\!\cdots\!82}{46\!\cdots\!63}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!36}{13\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{47\!\cdots\!36}{13\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{66\!\cdots\!12}{13\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{67\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!17}{12\!\cdots\!21}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!69}{46\!\cdots\!63}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{38\!\cdots\!58}{13\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{55\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{67\!\cdots\!13}{46\!\cdots\!63}a^{3}-\frac{35\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{39\!\cdots\!18}{46\!\cdots\!63}a+\frac{29\!\cdots\!71}{46\!\cdots\!63}$, $\frac{28\!\cdots\!87}{46\!\cdots\!63}a^{26}+\frac{70\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{17\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{74\!\cdots\!73}{46\!\cdots\!63}a^{23}-\frac{20\!\cdots\!63}{46\!\cdots\!63}a^{22}+\frac{68\!\cdots\!76}{46\!\cdots\!63}a^{21}-\frac{78\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{44\!\cdots\!86}{13\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!39}{46\!\cdots\!63}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{48\!\cdots\!79}{46\!\cdots\!63}a^{16}+\frac{48\!\cdots\!98}{46\!\cdots\!63}a^{15}-\frac{19\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{47\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{28\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!24}{46\!\cdots\!63}a^{10}+\frac{31\!\cdots\!74}{13\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{55\!\cdots\!93}{12\!\cdots\!21}a^{8}-\frac{73\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{39\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{69\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{26\!\cdots\!08}{13\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{52\!\cdots\!15}{46\!\cdots\!63}a^{2}+\frac{20\!\cdots\!07}{13\!\cdots\!89}a-\frac{13\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!89}$, $\frac{80\!\cdots\!69}{46\!\cdots\!63}a^{26}+\frac{14\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{54\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{17\!\cdots\!67}{46\!\cdots\!63}a^{23}-\frac{98\!\cdots\!13}{46\!\cdots\!63}a^{22}+\frac{53\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!89}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{15\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{33\!\cdots\!67}{46\!\cdots\!63}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{77\!\cdots\!36}{13\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{26\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{71\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{39\!\cdots\!19}{46\!\cdots\!63}a^{12}+\frac{38\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{18\!\cdots\!74}{46\!\cdots\!63}a^{10}-\frac{54\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{98\!\cdots\!45}{12\!\cdots\!21}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!93}{46\!\cdots\!63}a^{7}-\frac{35\!\cdots\!93}{46\!\cdots\!63}a^{6}-\frac{31\!\cdots\!76}{13\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{45\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{97\!\cdots\!24}{46\!\cdots\!63}a^{2}-\frac{99\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!89}a+\frac{74\!\cdots\!01}{13\!\cdots\!89}$, $\frac{62\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!97}{46\!\cdots\!63}a^{25}+\frac{14\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{13\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{25\!\cdots\!82}{46\!\cdots\!63}a^{22}+\frac{45\!\cdots\!49}{46\!\cdots\!63}a^{21}-\frac{27\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{40\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{26\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{31\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{20\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{68\!\cdots\!52}{13\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{18\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{37\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{30\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{99\!\cdots\!06}{13\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{47\!\cdots\!64}{46\!\cdots\!63}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{25\!\cdots\!12}{12\!\cdots\!21}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{91\!\cdots\!59}{46\!\cdots\!63}a^{6}-\frac{82\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{43\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{75\!\cdots\!63}{13\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{25\!\cdots\!48}{13\!\cdots\!89}a+\frac{63\!\cdots\!11}{46\!\cdots\!63}$, $\frac{27\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{60\!\cdots\!99}{46\!\cdots\!63}a^{25}+\frac{60\!\cdots\!34}{13\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{61\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{30\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{20\!\cdots\!11}{46\!\cdots\!63}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{17\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{17\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{87\!\cdots\!90}{13\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!84}{46\!\cdots\!63}a^{15}+\frac{14\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{45\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{78\!\cdots\!62}{13\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{62\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{46\!\cdots\!90}{42\!\cdots\!07}a^{8}+\frac{50\!\cdots\!76}{13\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!65}{46\!\cdots\!63}a^{5}+\frac{22\!\cdots\!06}{46\!\cdots\!63}a^{4}+\frac{23\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!35}{46\!\cdots\!63}a^{2}-\frac{47\!\cdots\!17}{46\!\cdots\!63}a+\frac{35\!\cdots\!07}{46\!\cdots\!63}$, $\frac{75\!\cdots\!67}{46\!\cdots\!63}a^{26}-\frac{14\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!89}a^{25}-\frac{50\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!89}a^{24}+\frac{49\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!89}a^{23}+\frac{90\!\cdots\!18}{46\!\cdots\!63}a^{22}-\frac{50\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{33\!\cdots\!59}{46\!\cdots\!63}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{31\!\cdots\!35}{46\!\cdots\!63}a^{18}+\frac{39\!\cdots\!54}{46\!\cdots\!63}a^{17}+\frac{72\!\cdots\!62}{13\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{24\!\cdots\!76}{13\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{66\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{45\!\cdots\!10}{46\!\cdots\!63}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!15}{46\!\cdots\!63}a^{11}+\frac{52\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!56}{46\!\cdots\!63}a^{9}-\frac{31\!\cdots\!52}{42\!\cdots\!07}a^{8}-\frac{46\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!96}{13\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{32\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!12}{46\!\cdots\!63}a^{4}-\frac{16\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{78\!\cdots\!97}{46\!\cdots\!63}a^{2}+\frac{93\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!89}a-\frac{21\!\cdots\!57}{46\!\cdots\!63}$, $\frac{47\!\cdots\!98}{46\!\cdots\!63}a^{26}+\frac{31\!\cdots\!32}{46\!\cdots\!63}a^{25}+\frac{32\!\cdots\!86}{13\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{10\!\cdots\!19}{46\!\cdots\!63}a^{23}-\frac{16\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{10\!\cdots\!26}{46\!\cdots\!63}a^{21}-\frac{24\!\cdots\!21}{46\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{30\!\cdots\!11}{46\!\cdots\!63}a^{19}+\frac{63\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{88\!\cdots\!76}{13\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{15\!\cdots\!54}{46\!\cdots\!63}a^{16}+\frac{57\!\cdots\!60}{46\!\cdots\!63}a^{15}+\frac{20\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{93\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{88\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{24\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!08}{46\!\cdots\!63}a^{10}-\frac{33\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{68\!\cdots\!02}{12\!\cdots\!21}a^{8}+\frac{94\!\cdots\!33}{46\!\cdots\!63}a^{7}-\frac{73\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{20\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{32\!\cdots\!72}{13\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!14}{13\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{20\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{22\!\cdots\!97}{46\!\cdots\!63}a+\frac{17\!\cdots\!27}{46\!\cdots\!63}$, $\frac{19\!\cdots\!67}{46\!\cdots\!63}a^{26}+\frac{14\!\cdots\!76}{46\!\cdots\!63}a^{25}+\frac{13\!\cdots\!29}{13\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{47\!\cdots\!13}{46\!\cdots\!63}a^{23}-\frac{59\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{45\!\cdots\!29}{46\!\cdots\!63}a^{21}-\frac{39\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{35\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{94\!\cdots\!69}{46\!\cdots\!63}a^{18}-\frac{56\!\cdots\!80}{13\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!76}{13\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{81\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{56\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{33\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{21\!\cdots\!10}{46\!\cdots\!63}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!15}{46\!\cdots\!63}a^{11}-\frac{69\!\cdots\!07}{46\!\cdots\!63}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!31}{46\!\cdots\!63}a^{9}+\frac{29\!\cdots\!35}{12\!\cdots\!21}a^{8}-\frac{19\!\cdots\!06}{13\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{24\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{20\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{25\!\cdots\!65}{46\!\cdots\!63}a^{4}-\frac{23\!\cdots\!39}{46\!\cdots\!63}a^{3}-\frac{68\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{54\!\cdots\!36}{13\!\cdots\!89}a-\frac{10\!\cdots\!04}{46\!\cdots\!63}$, $\frac{72\!\cdots\!27}{46\!\cdots\!63}a^{26}-\frac{37\!\cdots\!11}{46\!\cdots\!63}a^{25}-\frac{16\!\cdots\!36}{46\!\cdots\!63}a^{24}+\frac{13\!\cdots\!93}{46\!\cdots\!63}a^{23}+\frac{29\!\cdots\!76}{13\!\cdots\!89}a^{22}-\frac{14\!\cdots\!54}{46\!\cdots\!63}a^{21}+\frac{59\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{76\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{63\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{63\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{58\!\cdots\!31}{46\!\cdots\!63}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{99\!\cdots\!56}{13\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{19\!\cdots\!46}{46\!\cdots\!63}a^{12}-\frac{86\!\cdots\!04}{46\!\cdots\!63}a^{11}+\frac{10\!\cdots\!93}{46\!\cdots\!63}a^{10}+\frac{35\!\cdots\!08}{13\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{52\!\cdots\!94}{12\!\cdots\!21}a^{8}-\frac{24\!\cdots\!57}{13\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{17\!\cdots\!95}{46\!\cdots\!63}a^{6}+\frac{93\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{66\!\cdots\!48}{46\!\cdots\!63}a^{4}-\frac{96\!\cdots\!93}{46\!\cdots\!63}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{79\!\cdots\!72}{13\!\cdots\!89}a-\frac{26\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!89}$, $\frac{27\!\cdots\!77}{46\!\cdots\!63}a^{26}-\frac{49\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!89}a^{25}-\frac{63\!\cdots\!36}{46\!\cdots\!63}a^{24}+\frac{58\!\cdots\!34}{46\!\cdots\!63}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!89}a^{22}-\frac{60\!\cdots\!24}{46\!\cdots\!63}a^{21}+\frac{32\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{55\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!76}{46\!\cdots\!63}a^{18}+\frac{34\!\cdots\!60}{13\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{28\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{29\!\cdots\!31}{46\!\cdots\!63}a^{15}-\frac{44\!\cdots\!96}{13\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{52\!\cdots\!07}{13\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!40}{46\!\cdots\!63}a^{12}-\frac{48\!\cdots\!43}{46\!\cdots\!63}a^{11}+\frac{18\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{72\!\cdots\!62}{46\!\cdots\!63}a^{9}-\frac{35\!\cdots\!78}{12\!\cdots\!21}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{13\!\cdots\!17}{46\!\cdots\!63}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{16\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{16\!\cdots\!09}{46\!\cdots\!63}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{25\!\cdots\!58}{13\!\cdots\!89}a-\frac{69\!\cdots\!75}{46\!\cdots\!63}$, $\frac{60\!\cdots\!94}{46\!\cdots\!63}a^{26}-\frac{39\!\cdots\!95}{46\!\cdots\!63}a^{25}-\frac{40\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!89}a^{24}+\frac{40\!\cdots\!32}{13\!\cdots\!89}a^{23}+\frac{69\!\cdots\!64}{46\!\cdots\!63}a^{22}-\frac{40\!\cdots\!62}{13\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{30\!\cdots\!26}{46\!\cdots\!63}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{26\!\cdots\!82}{46\!\cdots\!63}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{56\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{21\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{28\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{16\!\cdots\!05}{46\!\cdots\!63}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!47}{46\!\cdots\!63}a^{9}-\frac{84\!\cdots\!89}{12\!\cdots\!21}a^{8}-\frac{25\!\cdots\!90}{13\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{88\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{52\!\cdots\!45}{46\!\cdots\!63}a^{5}-\frac{38\!\cdots\!90}{13\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!34}{13\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{25\!\cdots\!86}{13\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{60\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!89}a-\frac{16\!\cdots\!18}{46\!\cdots\!63}$, $\frac{59\!\cdots\!76}{13\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!70}{46\!\cdots\!63}a^{25}+\frac{13\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{12\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{72\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{43\!\cdots\!74}{46\!\cdots\!63}a^{21}-\frac{25\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!63}{46\!\cdots\!63}a^{19}+\frac{24\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{29\!\cdots\!08}{13\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{64\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{17\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{35\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{29\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{93\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{24\!\cdots\!93}{12\!\cdots\!21}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!62}{13\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{86\!\cdots\!58}{46\!\cdots\!63}a^{6}-\frac{76\!\cdots\!72}{13\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{37\!\cdots\!48}{46\!\cdots\!63}a^{4}+\frac{40\!\cdots\!81}{13\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{72\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{24\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!89}a+\frac{62\!\cdots\!84}{46\!\cdots\!63}$ (assuming GRH)
Regulator:		\( 1130213042200532100000 \) (assuming GRH)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{27}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 1130213042200532100000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{148006914530150602810277926280344512637681407668353320305121}}\cr\approx \mathstrut & 0.197151097616195 \end{aligned}\] (assuming GRH)

Galois group

$C_9\wr C_3$ (as 27T434):

A solvable group of order 2187

The 267 conjugacy class representatives for $C_9\wr C_3$

Character table for $C_9\wr C_3$

Intermediate fields

\(\Q(\zeta_{9})^+\), 9.9.530378649441.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Sibling fields

Degree 27 siblings:	data not computed
Minimal sibling:	27.27.57686164047333778996963166184701539873997301038169.3

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	$27$	R	$27$	$27$	${\href{/padicField/11.3.0.1}{3} }^{9}$	$27$	${\href{/padicField/17.9.0.1}{9} }{,}\,{\href{/padicField/17.3.0.1}{3} }^{6}$	${\href{/padicField/19.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/23.3.0.1}{3} }^{9}$	${\href{/padicField/29.3.0.1}{3} }^{9}$	${\href{/padicField/31.9.0.1}{9} }^{3}$	R	$27$	${\href{/padicField/43.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/47.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/53.9.0.1}{9} }^{3}$	$27$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
\(3\)		Deg $27$	$27$	$1$	$78$
\(37\)	37.9.8.7	$x^{9} + 370$	$9$	$1$	$8$	$C_9$	$[\ ]_{9}$
	37.9.0.1	$x^{9} + 6 x^{3} + 20 x^{2} + 32 x + 35$	$1$	$9$	$0$	$C_9$	$[\ ]^{9}$
	37.9.6.2	$x^{9} + 8214 x^{3} - 1772855$	$3$	$3$	$6$	$C_9$	$[\ ]_{3}^{3}$