Number field 27.27.2483200209305807978357933262029481655226336972543071293849.5

• Label: 27.27.248...849.5
• Degree: $27$
• Signature: $[27, 0]$
• Discriminant: $2.483\times 10^{57}$
• Root discriminant: \(133.58\)
• Ramified primes: $3,37$
• Class number: $1$ (GRH)
• Class group: trivial (GRH)
• Galois group: $C_9\wr C_3$ (as 27T434)

Normalized defining polynomial

x^27 - 108*x^25 + 4941*x^23 - 126774*x^21 + 2035395*x^19 - 13896*x^18 - 21561876*x^17 + 583119*x^16 + 154457145*x^15 - 10207944*x^14 - 752212980*x^13 + 97047666*x^12 + 2461248585*x^11 - 544723542*x^10 - 5237061699*x^9 + 1831466700*x^8 + 6768794430*x^7 - 3554436006*x^6 - 4520390085*x^5 + 3569516910*x^4 + 755388189*x^3 - 1366263369*x^2 + 404818776*x - 31860737

Invariants

Degree:		$27$
Signature:		$[27, 0]$
Discriminant:		\(2483200209305807978357933262029481655226336972543071293849\) \(\medspace = 3^{94}\cdot 37^{8}\)
Root discriminant:		\(133.58\)
Galois root discriminant:		not computed
Ramified primes:		\(3\), \(37\)
Discriminant root field:		\(\Q\)
$\card{ \Aut(K/\Q) }$:		$9$
This field is not Galois over $\Q$.
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $\frac{1}{37}a^{21}+\frac{3}{37}a^{19}-\frac{17}{37}a^{17}-\frac{12}{37}a^{15}-\frac{12}{37}a^{13}+\frac{16}{37}a^{12}-\frac{15}{37}a^{11}-\frac{1}{37}a^{10}+\frac{16}{37}a^{9}-\frac{14}{37}a^{8}+\frac{17}{37}a^{7}-\frac{4}{37}a^{6}+\frac{1}{37}a^{5}+\frac{4}{37}a^{4}-\frac{3}{37}a^{3}$, $\frac{1}{37}a^{22}+\frac{3}{37}a^{20}-\frac{17}{37}a^{18}-\frac{12}{37}a^{16}-\frac{12}{37}a^{14}+\frac{16}{37}a^{13}-\frac{15}{37}a^{12}-\frac{1}{37}a^{11}+\frac{16}{37}a^{10}-\frac{14}{37}a^{9}+\frac{17}{37}a^{8}-\frac{4}{37}a^{7}+\frac{1}{37}a^{6}+\frac{4}{37}a^{5}-\frac{3}{37}a^{4}$, $\frac{1}{1369}a^{23}+\frac{3}{1369}a^{21}-\frac{202}{1369}a^{19}+\frac{25}{1369}a^{17}-\frac{271}{1369}a^{15}-\frac{206}{1369}a^{14}-\frac{89}{1369}a^{13}+\frac{332}{1369}a^{12}-\frac{576}{1369}a^{11}+\frac{578}{1369}a^{10}-\frac{464}{1369}a^{9}+\frac{440}{1369}a^{8}+\frac{667}{1369}a^{7}-\frac{255}{1369}a^{6}-\frac{3}{1369}a^{5}-\frac{6}{37}a^{4}-\frac{14}{37}a^{3}$, $\frac{1}{1369}a^{24}+\frac{3}{1369}a^{22}-\frac{202}{1369}a^{20}+\frac{25}{1369}a^{18}-\frac{271}{1369}a^{16}-\frac{206}{1369}a^{15}-\frac{89}{1369}a^{14}+\frac{332}{1369}a^{13}-\frac{576}{1369}a^{12}+\frac{578}{1369}a^{11}-\frac{464}{1369}a^{10}+\frac{440}{1369}a^{9}+\frac{667}{1369}a^{8}-\frac{255}{1369}a^{7}-\frac{3}{1369}a^{6}-\frac{6}{37}a^{5}-\frac{14}{37}a^{4}$, $\frac{1}{50653}a^{25}+\frac{3}{50653}a^{23}-\frac{202}{50653}a^{21}-\frac{13665}{50653}a^{19}+\frac{3836}{50653}a^{17}-\frac{13896}{50653}a^{16}+\frac{1280}{50653}a^{15}+\frac{3070}{50653}a^{14}+\frac{21328}{50653}a^{13}+\frac{23851}{50653}a^{12}+\frac{2274}{50653}a^{11}+\frac{15499}{50653}a^{10}-\frac{18499}{50653}a^{9}+\frac{23018}{50653}a^{8}-\frac{16431}{50653}a^{7}-\frac{6}{1369}a^{6}-\frac{606}{1369}a^{5}-\frac{7}{37}a^{4}-\frac{4}{37}a^{3}$, $\frac{1}{60\!\cdots\!01}a^{26}+\frac{56\!\cdots\!37}{60\!\cdots\!01}a^{25}+\frac{63\!\cdots\!36}{60\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{17\!\cdots\!11}{60\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{53\!\cdots\!91}{60\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{31\!\cdots\!86}{60\!\cdots\!01}a^{21}-\frac{18\!\cdots\!00}{60\!\cdots\!01}a^{20}-\frac{21\!\cdots\!34}{60\!\cdots\!01}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!11}{60\!\cdots\!01}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!09}{60\!\cdots\!01}a^{17}+\frac{18\!\cdots\!39}{60\!\cdots\!01}a^{16}-\frac{53\!\cdots\!86}{60\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{18\!\cdots\!41}{60\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{22\!\cdots\!54}{60\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!22}{60\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{29\!\cdots\!76}{60\!\cdots\!01}a^{11}+\frac{17\!\cdots\!92}{60\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!75}{60\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{20\!\cdots\!30}{60\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{23\!\cdots\!34}{60\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{81\!\cdots\!69}{16\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{51\!\cdots\!82}{16\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{21\!\cdots\!38}{44\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!47}{44\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{29\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!17}a^{2}+\frac{41\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!17}a+\frac{29\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!17}$

Monogenic:		Not computed
Index:		$1$
Inessential primes:		None

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

Unit group

Rank:		$26$
Torsion generator:		\( -1 \)  (order $2$)
Fundamental units:		$\frac{33\!\cdots\!64}{11\!\cdots\!17}a^{26}-\frac{18\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{35\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!17}a^{24}+\frac{20\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!17}a^{23}-\frac{16\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{92\!\cdots\!04}{11\!\cdots\!17}a^{21}+\frac{41\!\cdots\!78}{11\!\cdots\!17}a^{20}+\frac{23\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!17}a^{19}-\frac{66\!\cdots\!32}{11\!\cdots\!17}a^{18}-\frac{37\!\cdots\!82}{11\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{69\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!17}a^{16}+\frac{37\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!17}a^{15}-\frac{48\!\cdots\!48}{11\!\cdots\!17}a^{14}-\frac{24\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!17}a^{13}+\frac{23\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!17}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!17}a^{11}-\frac{74\!\cdots\!46}{11\!\cdots\!17}a^{10}-\frac{25\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!17}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!17}a^{8}+\frac{30\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!17}a^{6}-\frac{23\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!86}{11\!\cdots\!17}a^{4}-\frac{30\!\cdots\!05}{11\!\cdots\!17}a^{3}-\frac{42\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!17}a^{2}+\frac{19\!\cdots\!66}{11\!\cdots\!17}a-\frac{17\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!17}$, $\frac{49\!\cdots\!04}{11\!\cdots\!17}a^{26}-\frac{28\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{53\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!17}a^{24}+\frac{31\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!17}a^{23}-\frac{24\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{14\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!17}a^{21}+\frac{61\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!17}a^{20}+\frac{36\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!17}a^{19}-\frac{98\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!17}a^{18}-\frac{56\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!17}a^{16}+\frac{57\!\cdots\!05}{11\!\cdots\!17}a^{15}-\frac{72\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!17}a^{14}-\frac{37\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!17}a^{13}+\frac{34\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!17}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!48}{11\!\cdots\!17}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!17}a^{10}-\frac{39\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!17}a^{9}+\frac{23\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!17}a^{8}+\frac{48\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{30\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!17}a^{6}-\frac{49\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{21\!\cdots\!18}{11\!\cdots\!17}a^{4}-\frac{45\!\cdots\!66}{11\!\cdots\!17}a^{3}-\frac{64\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!17}a^{2}+\frac{29\!\cdots\!86}{11\!\cdots\!17}a-\frac{26\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!17}$, $\frac{62\!\cdots\!27}{16\!\cdots\!73}a^{26}+\frac{36\!\cdots\!72}{16\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{67\!\cdots\!84}{16\!\cdots\!73}a^{24}-\frac{39\!\cdots\!04}{16\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{82\!\cdots\!99}{44\!\cdots\!29}a^{22}+\frac{18\!\cdots\!04}{16\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{77\!\cdots\!13}{16\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{45\!\cdots\!13}{16\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!73}{16\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{72\!\cdots\!19}{16\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!85}{16\!\cdots\!73}a^{16}-\frac{72\!\cdots\!74}{16\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{92\!\cdots\!07}{16\!\cdots\!73}a^{14}+\frac{47\!\cdots\!25}{16\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{44\!\cdots\!06}{16\!\cdots\!73}a^{12}-\frac{19\!\cdots\!37}{16\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{14\!\cdots\!34}{16\!\cdots\!73}a^{10}+\frac{48\!\cdots\!42}{16\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{80\!\cdots\!68}{44\!\cdots\!29}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!11}{44\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{38\!\cdots\!96}{16\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{25\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!17}a^{5}-\frac{76\!\cdots\!56}{44\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!93}{44\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{60\!\cdots\!45}{11\!\cdots\!17}a^{2}-\frac{27\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!17}a+\frac{25\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!17}$, $\frac{63\!\cdots\!38}{16\!\cdots\!73}a^{26}+\frac{37\!\cdots\!97}{16\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{67\!\cdots\!54}{16\!\cdots\!73}a^{24}-\frac{40\!\cdots\!74}{16\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{83\!\cdots\!91}{44\!\cdots\!29}a^{22}+\frac{18\!\cdots\!52}{16\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{79\!\cdots\!11}{16\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{46\!\cdots\!44}{16\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!04}{16\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{73\!\cdots\!24}{16\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!88}{16\!\cdots\!73}a^{16}-\frac{73\!\cdots\!12}{16\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{93\!\cdots\!43}{16\!\cdots\!73}a^{14}+\frac{48\!\cdots\!99}{16\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{44\!\cdots\!57}{16\!\cdots\!73}a^{12}-\frac{20\!\cdots\!43}{16\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{14\!\cdots\!59}{16\!\cdots\!73}a^{10}+\frac{49\!\cdots\!45}{16\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{82\!\cdots\!02}{44\!\cdots\!29}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!33}{44\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{39\!\cdots\!27}{16\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{25\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!17}a^{5}-\frac{77\!\cdots\!67}{44\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!89}{44\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{61\!\cdots\!48}{11\!\cdots\!17}a^{2}-\frac{28\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!17}a+\frac{25\!\cdots\!43}{11\!\cdots\!17}$, $\frac{71\!\cdots\!49}{16\!\cdots\!73}a^{26}-\frac{35\!\cdots\!37}{16\!\cdots\!73}a^{25}+\frac{77\!\cdots\!37}{16\!\cdots\!73}a^{24}+\frac{37\!\cdots\!03}{16\!\cdots\!73}a^{23}-\frac{95\!\cdots\!61}{44\!\cdots\!29}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!50}{16\!\cdots\!73}a^{21}+\frac{89\!\cdots\!89}{16\!\cdots\!73}a^{20}+\frac{42\!\cdots\!51}{16\!\cdots\!73}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!67}{16\!\cdots\!73}a^{18}-\frac{65\!\cdots\!29}{16\!\cdots\!73}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!20}{16\!\cdots\!73}a^{16}+\frac{64\!\cdots\!17}{16\!\cdots\!73}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!75}{16\!\cdots\!73}a^{14}-\frac{40\!\cdots\!45}{16\!\cdots\!73}a^{13}+\frac{51\!\cdots\!20}{16\!\cdots\!73}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!16}{16\!\cdots\!73}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!57}{16\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{33\!\cdots\!04}{16\!\cdots\!73}a^{9}+\frac{97\!\cdots\!32}{44\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{58\!\cdots\!03}{44\!\cdots\!29}a^{7}-\frac{47\!\cdots\!05}{16\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{38\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{94\!\cdots\!57}{44\!\cdots\!29}a^{4}-\frac{29\!\cdots\!57}{44\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{75\!\cdots\!38}{11\!\cdots\!17}a^{2}+\frac{40\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!17}a-\frac{37\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!17}$, $\frac{15\!\cdots\!64}{16\!\cdots\!73}a^{26}+\frac{97\!\cdots\!91}{16\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{17\!\cdots\!22}{16\!\cdots\!73}a^{24}-\frac{10\!\cdots\!05}{16\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{21\!\cdots\!21}{44\!\cdots\!29}a^{22}+\frac{47\!\cdots\!88}{16\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{19\!\cdots\!16}{16\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!17}{16\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{31\!\cdots\!57}{16\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{19\!\cdots\!40}{16\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{33\!\cdots\!15}{16\!\cdots\!73}a^{16}-\frac{19\!\cdots\!23}{16\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{23\!\cdots\!15}{16\!\cdots\!73}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!28}{16\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!89}{16\!\cdots\!73}a^{12}-\frac{53\!\cdots\!32}{16\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{36\!\cdots\!77}{16\!\cdots\!73}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!02}{16\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{20\!\cdots\!08}{44\!\cdots\!29}a^{8}-\frac{45\!\cdots\!76}{44\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{98\!\cdots\!29}{16\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{21\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!17}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!86}{44\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{38\!\cdots\!23}{44\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!18}{11\!\cdots\!17}a^{2}-\frac{67\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!17}a+\frac{61\!\cdots\!28}{11\!\cdots\!17}$, $\frac{11\!\cdots\!23}{60\!\cdots\!01}a^{26}+\frac{80\!\cdots\!74}{60\!\cdots\!01}a^{25}+\frac{12\!\cdots\!38}{60\!\cdots\!01}a^{24}-\frac{83\!\cdots\!32}{60\!\cdots\!01}a^{23}-\frac{55\!\cdots\!70}{60\!\cdots\!01}a^{22}+\frac{36\!\cdots\!58}{60\!\cdots\!01}a^{21}+\frac{13\!\cdots\!18}{60\!\cdots\!01}a^{20}-\frac{88\!\cdots\!98}{60\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{21\!\cdots\!02}{60\!\cdots\!01}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!82}{60\!\cdots\!01}a^{17}+\frac{58\!\cdots\!26}{16\!\cdots\!73}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!85}{60\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!93}{60\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{86\!\cdots\!62}{60\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{65\!\cdots\!64}{60\!\cdots\!01}a^{12}-\frac{38\!\cdots\!04}{60\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{18\!\cdots\!24}{60\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!89}{60\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{33\!\cdots\!31}{60\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{22\!\cdots\!05}{60\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{87\!\cdots\!21}{16\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{64\!\cdots\!36}{16\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{94\!\cdots\!51}{44\!\cdots\!29}a^{4}-\frac{87\!\cdots\!20}{44\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{53\!\cdots\!32}{11\!\cdots\!17}a^{2}+\frac{27\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!17}a-\frac{30\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!17}$, $\frac{34\!\cdots\!87}{60\!\cdots\!01}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!11}{60\!\cdots\!01}a^{25}-\frac{36\!\cdots\!49}{60\!\cdots\!01}a^{24}-\frac{13\!\cdots\!68}{60\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{16\!\cdots\!58}{60\!\cdots\!01}a^{22}+\frac{61\!\cdots\!90}{60\!\cdots\!01}a^{21}-\frac{42\!\cdots\!81}{60\!\cdots\!01}a^{20}-\frac{16\!\cdots\!87}{60\!\cdots\!01}a^{19}+\frac{66\!\cdots\!29}{60\!\cdots\!01}a^{18}+\frac{25\!\cdots\!26}{60\!\cdots\!01}a^{17}-\frac{69\!\cdots\!10}{60\!\cdots\!01}a^{16}-\frac{26\!\cdots\!33}{60\!\cdots\!01}a^{15}+\frac{48\!\cdots\!81}{60\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{17\!\cdots\!19}{60\!\cdots\!01}a^{13}-\frac{23\!\cdots\!98}{60\!\cdots\!01}a^{12}-\frac{70\!\cdots\!74}{60\!\cdots\!01}a^{11}+\frac{19\!\cdots\!49}{16\!\cdots\!73}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!80}{60\!\cdots\!01}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!33}{60\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!51}{60\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{51\!\cdots\!64}{16\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{22\!\cdots\!07}{16\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{95\!\cdots\!83}{44\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{23\!\cdots\!44}{44\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{72\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!17}a^{2}-\frac{34\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!17}a+\frac{31\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!17}$, $\frac{25\!\cdots\!25}{60\!\cdots\!01}a^{26}+\frac{15\!\cdots\!72}{60\!\cdots\!01}a^{25}-\frac{27\!\cdots\!54}{60\!\cdots\!01}a^{24}-\frac{16\!\cdots\!37}{60\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{12\!\cdots\!23}{60\!\cdots\!01}a^{22}+\frac{75\!\cdots\!55}{60\!\cdots\!01}a^{21}-\frac{31\!\cdots\!00}{60\!\cdots\!01}a^{20}-\frac{19\!\cdots\!01}{60\!\cdots\!01}a^{19}+\frac{50\!\cdots\!12}{60\!\cdots\!01}a^{18}+\frac{30\!\cdots\!59}{60\!\cdots\!01}a^{17}-\frac{52\!\cdots\!86}{60\!\cdots\!01}a^{16}-\frac{30\!\cdots\!00}{60\!\cdots\!01}a^{15}+\frac{37\!\cdots\!37}{60\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{20\!\cdots\!75}{60\!\cdots\!01}a^{13}-\frac{17\!\cdots\!82}{60\!\cdots\!01}a^{12}-\frac{83\!\cdots\!32}{60\!\cdots\!01}a^{11}+\frac{57\!\cdots\!93}{60\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{21\!\cdots\!40}{60\!\cdots\!01}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!17}{60\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{26\!\cdots\!26}{60\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{41\!\cdots\!08}{16\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{32\!\cdots\!25}{44\!\cdots\!29}a^{5}-\frac{81\!\cdots\!29}{44\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!44}{44\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{64\!\cdots\!04}{11\!\cdots\!17}a^{2}-\frac{28\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!17}a+\frac{26\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!17}$, $\frac{17\!\cdots\!48}{60\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{99\!\cdots\!52}{60\!\cdots\!01}a^{25}+\frac{18\!\cdots\!79}{60\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!43}{60\!\cdots\!01}a^{23}-\frac{83\!\cdots\!81}{60\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{48\!\cdots\!86}{60\!\cdots\!01}a^{21}+\frac{21\!\cdots\!66}{60\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!16}{60\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{34\!\cdots\!68}{60\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{19\!\cdots\!14}{60\!\cdots\!01}a^{17}+\frac{35\!\cdots\!66}{60\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{19\!\cdots\!36}{60\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!67}{60\!\cdots\!01}a^{14}-\frac{13\!\cdots\!11}{60\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!19}{60\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{54\!\cdots\!37}{60\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{38\!\cdots\!15}{60\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!06}{60\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{81\!\cdots\!05}{60\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!44}{60\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{28\!\cdots\!46}{16\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{51\!\cdots\!38}{16\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{55\!\cdots\!95}{44\!\cdots\!29}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!63}{44\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{43\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!17}a^{2}+\frac{19\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!17}a-\frac{18\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!17}$, $\frac{19\!\cdots\!11}{60\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!24}{60\!\cdots\!01}a^{25}+\frac{21\!\cdots\!33}{60\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!92}{60\!\cdots\!01}a^{23}-\frac{97\!\cdots\!92}{60\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{58\!\cdots\!64}{60\!\cdots\!01}a^{21}+\frac{24\!\cdots\!49}{60\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!04}{60\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{39\!\cdots\!73}{60\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{23\!\cdots\!50}{60\!\cdots\!01}a^{17}+\frac{41\!\cdots\!73}{60\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{23\!\cdots\!50}{60\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{29\!\cdots\!15}{60\!\cdots\!01}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!26}{60\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{13\!\cdots\!76}{60\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{64\!\cdots\!21}{60\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{44\!\cdots\!28}{60\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!40}{60\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{94\!\cdots\!31}{60\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{20\!\cdots\!08}{60\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{33\!\cdots\!26}{16\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{70\!\cdots\!37}{16\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{64\!\cdots\!87}{44\!\cdots\!29}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!56}{44\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{51\!\cdots\!38}{11\!\cdots\!17}a^{2}+\frac{23\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!17}a-\frac{20\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!17}$, $\frac{73\!\cdots\!62}{60\!\cdots\!01}a^{26}+\frac{41\!\cdots\!22}{60\!\cdots\!01}a^{25}-\frac{79\!\cdots\!52}{60\!\cdots\!01}a^{24}-\frac{45\!\cdots\!52}{60\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{36\!\cdots\!58}{60\!\cdots\!01}a^{22}+\frac{20\!\cdots\!78}{60\!\cdots\!01}a^{21}-\frac{91\!\cdots\!26}{60\!\cdots\!01}a^{20}-\frac{52\!\cdots\!48}{60\!\cdots\!01}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!64}{60\!\cdots\!01}a^{18}+\frac{82\!\cdots\!64}{60\!\cdots\!01}a^{17}-\frac{15\!\cdots\!26}{60\!\cdots\!01}a^{16}-\frac{83\!\cdots\!86}{60\!\cdots\!01}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!34}{60\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{54\!\cdots\!52}{60\!\cdots\!01}a^{13}-\frac{51\!\cdots\!46}{60\!\cdots\!01}a^{12}-\frac{22\!\cdots\!66}{60\!\cdots\!01}a^{11}+\frac{16\!\cdots\!70}{60\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{55\!\cdots\!96}{60\!\cdots\!01}a^{9}-\frac{93\!\cdots\!60}{16\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{68\!\cdots\!17}{60\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{32\!\cdots\!72}{44\!\cdots\!29}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!68}{16\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{63\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!17}a^{4}+\frac{49\!\cdots\!22}{44\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{18\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!17}a^{2}-\frac{83\!\cdots\!64}{11\!\cdots\!17}a+\frac{76\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!17}$, $\frac{21\!\cdots\!51}{16\!\cdots\!73}a^{26}-\frac{11\!\cdots\!67}{16\!\cdots\!73}a^{25}+\frac{22\!\cdots\!93}{16\!\cdots\!73}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!97}{16\!\cdots\!73}a^{23}-\frac{27\!\cdots\!72}{44\!\cdots\!29}a^{22}-\frac{58\!\cdots\!65}{16\!\cdots\!73}a^{21}+\frac{26\!\cdots\!00}{16\!\cdots\!73}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!75}{16\!\cdots\!73}a^{19}-\frac{41\!\cdots\!47}{16\!\cdots\!73}a^{18}-\frac{23\!\cdots\!92}{16\!\cdots\!73}a^{17}+\frac{43\!\cdots\!29}{16\!\cdots\!73}a^{16}+\frac{23\!\cdots\!54}{16\!\cdots\!73}a^{15}-\frac{30\!\cdots\!87}{16\!\cdots\!73}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!15}{16\!\cdots\!73}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!88}{16\!\cdots\!73}a^{12}+\frac{64\!\cdots\!04}{16\!\cdots\!73}a^{11}-\frac{47\!\cdots\!20}{16\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!51}{16\!\cdots\!73}a^{9}+\frac{26\!\cdots\!43}{44\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{52\!\cdots\!54}{44\!\cdots\!29}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!52}{16\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{87\!\cdots\!43}{11\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{24\!\cdots\!79}{44\!\cdots\!29}a^{4}-\frac{53\!\cdots\!06}{44\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{19\!\cdots\!56}{11\!\cdots\!17}a^{2}+\frac{89\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!17}a-\frac{81\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!17}$, $\frac{73\!\cdots\!84}{16\!\cdots\!73}a^{26}-\frac{39\!\cdots\!40}{16\!\cdots\!73}a^{25}+\frac{78\!\cdots\!62}{16\!\cdots\!73}a^{24}+\frac{42\!\cdots\!54}{16\!\cdots\!73}a^{23}-\frac{96\!\cdots\!66}{44\!\cdots\!29}a^{22}-\frac{19\!\cdots\!73}{16\!\cdots\!73}a^{21}+\frac{91\!\cdots\!71}{16\!\cdots\!73}a^{20}+\frac{50\!\cdots\!54}{16\!\cdots\!73}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!79}{16\!\cdots\!73}a^{18}-\frac{79\!\cdots\!71}{16\!\cdots\!73}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!81}{16\!\cdots\!73}a^{16}+\frac{81\!\cdots\!74}{16\!\cdots\!73}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!41}{16\!\cdots\!73}a^{14}-\frac{53\!\cdots\!35}{16\!\cdots\!73}a^{13}+\frac{50\!\cdots\!31}{16\!\cdots\!73}a^{12}+\frac{22\!\cdots\!38}{16\!\cdots\!73}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!86}{16\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{56\!\cdots\!24}{16\!\cdots\!73}a^{9}+\frac{91\!\cdots\!73}{44\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!90}{44\!\cdots\!29}a^{7}-\frac{43\!\cdots\!17}{16\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{68\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{84\!\cdots\!71}{44\!\cdots\!29}a^{4}-\frac{17\!\cdots\!86}{44\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{66\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!17}a^{2}+\frac{29\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!17}a-\frac{27\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!17}$, $\frac{16\!\cdots\!98}{60\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{99\!\cdots\!39}{60\!\cdots\!01}a^{25}+\frac{17\!\cdots\!24}{60\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!48}{60\!\cdots\!01}a^{23}-\frac{78\!\cdots\!87}{60\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{48\!\cdots\!95}{60\!\cdots\!01}a^{21}+\frac{20\!\cdots\!69}{60\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!43}{60\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{32\!\cdots\!85}{60\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{19\!\cdots\!98}{60\!\cdots\!01}a^{17}+\frac{33\!\cdots\!64}{60\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{19\!\cdots\!69}{60\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{23\!\cdots\!61}{60\!\cdots\!01}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!57}{60\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!26}{60\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{53\!\cdots\!77}{60\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{36\!\cdots\!94}{60\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!16}{60\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{77\!\cdots\!81}{60\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!39}{60\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{27\!\cdots\!14}{16\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{17\!\cdots\!82}{44\!\cdots\!29}a^{5}+\frac{53\!\cdots\!40}{44\!\cdots\!29}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!53}{44\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{42\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!17}a^{2}+\frac{19\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!17}a-\frac{17\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!17}$, $\frac{24\!\cdots\!22}{60\!\cdots\!01}a^{26}+\frac{14\!\cdots\!03}{60\!\cdots\!01}a^{25}-\frac{26\!\cdots\!95}{60\!\cdots\!01}a^{24}-\frac{15\!\cdots\!43}{60\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{12\!\cdots\!95}{60\!\cdots\!01}a^{22}+\frac{72\!\cdots\!34}{60\!\cdots\!01}a^{21}-\frac{30\!\cdots\!87}{60\!\cdots\!01}a^{20}-\frac{18\!\cdots\!40}{60\!\cdots\!01}a^{19}+\frac{48\!\cdots\!56}{60\!\cdots\!01}a^{18}+\frac{78\!\cdots\!36}{16\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{51\!\cdots\!46}{60\!\cdots\!01}a^{16}-\frac{29\!\cdots\!26}{60\!\cdots\!01}a^{15}+\frac{36\!\cdots\!26}{60\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{19\!\cdots\!64}{60\!\cdots\!01}a^{13}-\frac{17\!\cdots\!06}{60\!\cdots\!01}a^{12}-\frac{80\!\cdots\!23}{60\!\cdots\!01}a^{11}+\frac{55\!\cdots\!34}{60\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{20\!\cdots\!50}{60\!\cdots\!01}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!72}{60\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{24\!\cdots\!56}{60\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{41\!\cdots\!88}{16\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{90\!\cdots\!27}{16\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{79\!\cdots\!84}{44\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!29}{44\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{63\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!17}a^{2}-\frac{28\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!17}a+\frac{25\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!17}$, $\frac{86\!\cdots\!25}{60\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{29\!\cdots\!51}{60\!\cdots\!01}a^{25}+\frac{92\!\cdots\!98}{60\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{31\!\cdots\!36}{60\!\cdots\!01}a^{23}-\frac{42\!\cdots\!91}{60\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{14\!\cdots\!55}{60\!\cdots\!01}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!82}{60\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{38\!\cdots\!62}{60\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{16\!\cdots\!24}{60\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{60\!\cdots\!19}{60\!\cdots\!01}a^{17}+\frac{17\!\cdots\!71}{60\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{61\!\cdots\!25}{60\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!32}{60\!\cdots\!01}a^{14}-\frac{40\!\cdots\!16}{60\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{59\!\cdots\!19}{60\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!36}{60\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{18\!\cdots\!50}{60\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{36\!\cdots\!25}{60\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{39\!\cdots\!17}{60\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{31\!\cdots\!02}{60\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!92}{16\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{96\!\cdots\!45}{16\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{25\!\cdots\!46}{44\!\cdots\!29}a^{4}-\frac{65\!\cdots\!06}{44\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{19\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!17}a^{2}+\frac{90\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!17}a-\frac{75\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!17}$, $\frac{78\!\cdots\!70}{60\!\cdots\!01}a^{26}+\frac{46\!\cdots\!55}{60\!\cdots\!01}a^{25}-\frac{84\!\cdots\!19}{60\!\cdots\!01}a^{24}-\frac{50\!\cdots\!08}{60\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{38\!\cdots\!81}{60\!\cdots\!01}a^{22}+\frac{23\!\cdots\!51}{60\!\cdots\!01}a^{21}-\frac{97\!\cdots\!44}{60\!\cdots\!01}a^{20}-\frac{58\!\cdots\!81}{60\!\cdots\!01}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!84}{60\!\cdots\!01}a^{18}+\frac{92\!\cdots\!05}{60\!\cdots\!01}a^{17}-\frac{16\!\cdots\!08}{60\!\cdots\!01}a^{16}-\frac{93\!\cdots\!19}{60\!\cdots\!01}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!14}{60\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{61\!\cdots\!54}{60\!\cdots\!01}a^{13}-\frac{55\!\cdots\!03}{60\!\cdots\!01}a^{12}-\frac{25\!\cdots\!44}{60\!\cdots\!01}a^{11}+\frac{17\!\cdots\!63}{60\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{64\!\cdots\!37}{60\!\cdots\!01}a^{9}-\frac{36\!\cdots\!14}{60\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{81\!\cdots\!93}{60\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!75}{16\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{37\!\cdots\!65}{16\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{25\!\cdots\!11}{44\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{50\!\cdots\!27}{44\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{19\!\cdots\!68}{11\!\cdots\!17}a^{2}-\frac{89\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!17}a+\frac{80\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!17}$, $\frac{20\!\cdots\!21}{60\!\cdots\!01}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!29}{60\!\cdots\!01}a^{25}-\frac{22\!\cdots\!52}{60\!\cdots\!01}a^{24}-\frac{13\!\cdots\!89}{60\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!07}{60\!\cdots\!01}a^{22}+\frac{60\!\cdots\!18}{60\!\cdots\!01}a^{21}-\frac{25\!\cdots\!23}{60\!\cdots\!01}a^{20}-\frac{15\!\cdots\!12}{60\!\cdots\!01}a^{19}+\frac{41\!\cdots\!86}{60\!\cdots\!01}a^{18}+\frac{24\!\cdots\!22}{60\!\cdots\!01}a^{17}-\frac{43\!\cdots\!73}{60\!\cdots\!01}a^{16}-\frac{24\!\cdots\!20}{60\!\cdots\!01}a^{15}+\frac{30\!\cdots\!26}{60\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{16\!\cdots\!12}{60\!\cdots\!01}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!24}{60\!\cdots\!01}a^{12}-\frac{67\!\cdots\!39}{60\!\cdots\!01}a^{11}+\frac{47\!\cdots\!21}{60\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!97}{60\!\cdots\!01}a^{9}-\frac{98\!\cdots\!68}{60\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{20\!\cdots\!58}{60\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{34\!\cdots\!17}{16\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{68\!\cdots\!57}{16\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{67\!\cdots\!54}{44\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!22}{44\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{53\!\cdots\!64}{11\!\cdots\!17}a^{2}-\frac{24\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!17}a+\frac{22\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!17}$, $\frac{16\!\cdots\!25}{60\!\cdots\!01}a^{26}+\frac{80\!\cdots\!23}{60\!\cdots\!01}a^{25}-\frac{17\!\cdots\!51}{60\!\cdots\!01}a^{24}-\frac{86\!\cdots\!98}{60\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{78\!\cdots\!57}{60\!\cdots\!01}a^{22}+\frac{39\!\cdots\!81}{60\!\cdots\!01}a^{21}-\frac{20\!\cdots\!07}{60\!\cdots\!01}a^{20}-\frac{99\!\cdots\!55}{60\!\cdots\!01}a^{19}+\frac{31\!\cdots\!72}{60\!\cdots\!01}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!14}{60\!\cdots\!01}a^{17}-\frac{33\!\cdots\!38}{60\!\cdots\!01}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!67}{60\!\cdots\!01}a^{15}+\frac{23\!\cdots\!37}{60\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!12}{60\!\cdots\!01}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!63}{60\!\cdots\!01}a^{12}-\frac{42\!\cdots\!46}{60\!\cdots\!01}a^{11}+\frac{35\!\cdots\!22}{60\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!47}{60\!\cdots\!01}a^{9}-\frac{73\!\cdots\!83}{60\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!83}{60\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{25\!\cdots\!65}{16\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{45\!\cdots\!57}{16\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{48\!\cdots\!51}{44\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!09}{44\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{37\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!17}a^{2}-\frac{17\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!17}a+\frac{15\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!17}$, $\frac{17\!\cdots\!99}{60\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{97\!\cdots\!27}{60\!\cdots\!01}a^{25}+\frac{18\!\cdots\!61}{60\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!51}{60\!\cdots\!01}a^{23}-\frac{86\!\cdots\!12}{60\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{47\!\cdots\!29}{60\!\cdots\!01}a^{21}+\frac{21\!\cdots\!87}{60\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!17}{60\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{34\!\cdots\!87}{60\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{19\!\cdots\!58}{60\!\cdots\!01}a^{17}+\frac{36\!\cdots\!79}{60\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{19\!\cdots\!42}{60\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!13}{60\!\cdots\!01}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!08}{60\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!00}{60\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{53\!\cdots\!28}{60\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{39\!\cdots\!03}{60\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!68}{60\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{82\!\cdots\!58}{60\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!68}{60\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{28\!\cdots\!16}{16\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{51\!\cdots\!27}{16\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{55\!\cdots\!38}{44\!\cdots\!29}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!11}{44\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{43\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!17}a^{2}+\frac{19\!\cdots\!45}{11\!\cdots\!17}a-\frac{17\!\cdots\!78}{11\!\cdots\!17}$, $\frac{10\!\cdots\!30}{60\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{63\!\cdots\!65}{60\!\cdots\!01}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!20}{60\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{68\!\cdots\!85}{60\!\cdots\!01}a^{23}-\frac{50\!\cdots\!93}{60\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{31\!\cdots\!82}{60\!\cdots\!01}a^{21}+\frac{12\!\cdots\!01}{60\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{79\!\cdots\!53}{60\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!29}{60\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!75}{60\!\cdots\!01}a^{17}+\frac{21\!\cdots\!42}{60\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!98}{60\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!03}{60\!\cdots\!01}a^{14}-\frac{82\!\cdots\!58}{60\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{73\!\cdots\!38}{60\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{93\!\cdots\!38}{16\!\cdots\!73}a^{11}-\frac{23\!\cdots\!49}{60\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{86\!\cdots\!82}{60\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{49\!\cdots\!08}{60\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!11}{60\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{17\!\cdots\!25}{16\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{42\!\cdots\!11}{16\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{34\!\cdots\!47}{44\!\cdots\!29}a^{4}-\frac{69\!\cdots\!47}{44\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{27\!\cdots\!32}{11\!\cdots\!17}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!17}a-\frac{11\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!17}$, $\frac{10\!\cdots\!30}{60\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{89\!\cdots\!27}{60\!\cdots\!01}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!78}{60\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{95\!\cdots\!61}{60\!\cdots\!01}a^{23}-\frac{50\!\cdots\!10}{60\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{43\!\cdots\!69}{60\!\cdots\!01}a^{21}+\frac{12\!\cdots\!66}{60\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!98}{60\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!57}{60\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{16\!\cdots\!56}{60\!\cdots\!01}a^{17}+\frac{21\!\cdots\!10}{60\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{17\!\cdots\!35}{60\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!95}{60\!\cdots\!01}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!90}{60\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{74\!\cdots\!12}{60\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{46\!\cdots\!19}{60\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{24\!\cdots\!75}{60\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!50}{60\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{52\!\cdots\!28}{60\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!67}{60\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{18\!\cdots\!52}{16\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!18}{16\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{38\!\cdots\!39}{44\!\cdots\!29}a^{4}-\frac{68\!\cdots\!40}{44\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{31\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!17}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!28}{11\!\cdots\!17}a-\frac{12\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!17}$, $\frac{86\!\cdots\!02}{60\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{51\!\cdots\!65}{60\!\cdots\!01}a^{25}+\frac{92\!\cdots\!42}{60\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{55\!\cdots\!87}{60\!\cdots\!01}a^{23}-\frac{42\!\cdots\!03}{60\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{25\!\cdots\!51}{60\!\cdots\!01}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!35}{60\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{64\!\cdots\!97}{60\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{17\!\cdots\!25}{60\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!42}{60\!\cdots\!01}a^{17}+\frac{18\!\cdots\!46}{60\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!06}{60\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!04}{60\!\cdots\!01}a^{14}-\frac{66\!\cdots\!32}{60\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{61\!\cdots\!87}{60\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{27\!\cdots\!44}{60\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!47}{60\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{68\!\cdots\!23}{60\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{41\!\cdots\!07}{60\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{84\!\cdots\!38}{60\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!01}{16\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{18\!\cdots\!61}{16\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{28\!\cdots\!92}{44\!\cdots\!29}a^{4}-\frac{60\!\cdots\!72}{44\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{22\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!17}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!74}{11\!\cdots\!17}a-\frac{93\!\cdots\!78}{11\!\cdots\!17}$, $\frac{33\!\cdots\!49}{60\!\cdots\!01}a^{26}+\frac{33\!\cdots\!79}{60\!\cdots\!01}a^{25}-\frac{35\!\cdots\!63}{60\!\cdots\!01}a^{24}-\frac{36\!\cdots\!88}{60\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{16\!\cdots\!17}{60\!\cdots\!01}a^{22}+\frac{16\!\cdots\!32}{60\!\cdots\!01}a^{21}-\frac{42\!\cdots\!27}{60\!\cdots\!01}a^{20}-\frac{40\!\cdots\!29}{60\!\cdots\!01}a^{19}+\frac{67\!\cdots\!09}{60\!\cdots\!01}a^{18}+\frac{63\!\cdots\!10}{60\!\cdots\!01}a^{17}-\frac{72\!\cdots\!60}{60\!\cdots\!01}a^{16}-\frac{63\!\cdots\!90}{60\!\cdots\!01}a^{15}+\frac{51\!\cdots\!78}{60\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{41\!\cdots\!30}{60\!\cdots\!01}a^{13}-\frac{25\!\cdots\!31}{60\!\cdots\!01}a^{12}-\frac{17\!\cdots\!86}{60\!\cdots\!01}a^{11}+\frac{82\!\cdots\!14}{60\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{44\!\cdots\!34}{60\!\cdots\!01}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!61}{60\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{61\!\cdots\!13}{60\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{17\!\cdots\!55}{44\!\cdots\!29}a^{6}+\frac{65\!\cdots\!28}{16\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!10}{44\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{21\!\cdots\!08}{44\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!17}a^{2}-\frac{45\!\cdots\!43}{11\!\cdots\!17}a+\frac{40\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!17}$, $\frac{60\!\cdots\!63}{60\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{61\!\cdots\!61}{60\!\cdots\!01}a^{25}+\frac{64\!\cdots\!05}{60\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{65\!\cdots\!06}{60\!\cdots\!01}a^{23}-\frac{29\!\cdots\!40}{60\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{29\!\cdots\!73}{60\!\cdots\!01}a^{21}+\frac{75\!\cdots\!16}{60\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{73\!\cdots\!96}{60\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!75}{60\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!83}{60\!\cdots\!01}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!01}{60\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!96}{60\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{90\!\cdots\!01}{60\!\cdots\!01}a^{14}-\frac{73\!\cdots\!71}{60\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{43\!\cdots\!49}{60\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{30\!\cdots\!30}{60\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!10}{60\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{79\!\cdots\!84}{60\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{30\!\cdots\!44}{60\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!81}{60\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!52}{16\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!67}{16\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{62\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!17}a^{4}-\frac{38\!\cdots\!21}{44\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{19\!\cdots\!06}{11\!\cdots\!17}a^{2}+\frac{84\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!17}a-\frac{75\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!17}$ (assuming GRH)
Regulator:		\( 277544536638652740000 \) (assuming GRH)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{27}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 277544536638652740000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{2483200209305807978357933262029481655226336972543071293849}}\cr\approx \mathstrut & 0.373771946291655 \end{aligned}\] (assuming GRH)

Galois group

$C_9\wr C_3$ (as 27T434):

A solvable group of order 2187

The 267 conjugacy class representatives for $C_9\wr C_3$

Character table for $C_9\wr C_3$

Intermediate fields

\(\Q(\zeta_{9})^+\), 9.9.42960670604721.2

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Sibling fields

Degree 27 siblings:	data not computed
Minimal sibling:	This field is its own minimal sibling

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	$27$	R	$27$	${\href{/padicField/7.9.0.1}{9} }^{3}$	$27$	$27$	${\href{/padicField/17.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/17.1.0.1}{1} }^{9}$	${\href{/padicField/19.9.0.1}{9} }{,}\,{\href{/padicField/19.3.0.1}{3} }^{6}$	$27$	$27$	$27$	R	$27$	$27$	$27$	${\href{/padicField/53.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/59.3.0.1}{3} }^{9}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
\(3\)		Deg $27$	$27$	$1$	$94$
\(37\)	37.3.0.1	$x^{3} + 6 x + 35$	$1$	$3$	$0$	$C_3$	$[\ ]^{3}$
	37.3.0.1	$x^{3} + 6 x + 35$	$1$	$3$	$0$	$C_3$	$[\ ]^{3}$
	37.3.0.1	$x^{3} + 6 x + 35$	$1$	$3$	$0$	$C_3$	$[\ ]^{3}$
	37.9.8.3	$x^{9} + 148$	$9$	$1$	$8$	$C_9$	$[\ ]_{9}$
	37.9.0.1	$x^{9} + 6 x^{3} + 20 x^{2} + 32 x + 35$	$1$	$9$	$0$	$C_9$	$[\ ]^{9}$