Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 3*x^26 + 3*x^25 - 25*x^24 + 60*x^23 - 60*x^22 + 152*x^21 - 216*x^20 + 114*x^19 + 234*x^18 - 78*x^17 + 762*x^16 - 1152*x^15 + 816*x^14 - 96*x^13 + 352*x^12 - 984*x^11 + 1128*x^10 - 872*x^9 + 696*x^8 - 864*x^7 + 480*x^6 - 192*x^5 + 192*x^4 - 336*x^3 + 240*x^2 - 144*x + 48)
gp: K = bnfinit(y^27 - 3*y^26 + 3*y^25 - 25*y^24 + 60*y^23 - 60*y^22 + 152*y^21 - 216*y^20 + 114*y^19 + 234*y^18 - 78*y^17 + 762*y^16 - 1152*y^15 + 816*y^14 - 96*y^13 + 352*y^12 - 984*y^11 + 1128*y^10 - 872*y^9 + 696*y^8 - 864*y^7 + 480*y^6 - 192*y^5 + 192*y^4 - 336*y^3 + 240*y^2 - 144*y + 48, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^27 - 3*x^26 + 3*x^25 - 25*x^24 + 60*x^23 - 60*x^22 + 152*x^21 - 216*x^20 + 114*x^19 + 234*x^18 - 78*x^17 + 762*x^16 - 1152*x^15 + 816*x^14 - 96*x^13 + 352*x^12 - 984*x^11 + 1128*x^10 - 872*x^9 + 696*x^8 - 864*x^7 + 480*x^6 - 192*x^5 + 192*x^4 - 336*x^3 + 240*x^2 - 144*x + 48);
oscar: Qx, x = polynomial_ring(QQ); K, a = number_field(x^27 - 3*x^26 + 3*x^25 - 25*x^24 + 60*x^23 - 60*x^22 + 152*x^21 - 216*x^20 + 114*x^19 + 234*x^18 - 78*x^17 + 762*x^16 - 1152*x^15 + 816*x^14 - 96*x^13 + 352*x^12 - 984*x^11 + 1128*x^10 - 872*x^9 + 696*x^8 - 864*x^7 + 480*x^6 - 192*x^5 + 192*x^4 - 336*x^3 + 240*x^2 - 144*x + 48)
\( x^{27} - 3 x^{26} + 3 x^{25} - 25 x^{24} + 60 x^{23} - 60 x^{22} + 152 x^{21} - 216 x^{20} + 114 x^{19} + \cdots + 48 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $27$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[3, 12]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(7080024337604477850771495275747466018816\)
\(\medspace = 2^{88}\cdot 3^{28}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(29.92\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | not computed | ||
| Ramified primes: |
\(2\), \(3\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $1$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is not Galois over $\Q$. | |||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $\frac{1}{2}a^{9}-\frac{1}{2}a^{8}$, $\frac{1}{2}a^{10}-\frac{1}{2}a^{8}$, $\frac{1}{2}a^{11}-\frac{1}{2}a^{8}$, $\frac{1}{2}a^{12}-\frac{1}{2}a^{8}$, $\frac{1}{2}a^{13}-\frac{1}{2}a^{8}$, $\frac{1}{2}a^{14}-\frac{1}{2}a^{8}$, $\frac{1}{4}a^{15}-\frac{1}{4}a^{14}-\frac{1}{2}a^{7}-\frac{1}{2}a^{6}$, $\frac{1}{4}a^{16}-\frac{1}{4}a^{14}-\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{2}a^{6}$, $\frac{1}{4}a^{17}-\frac{1}{4}a^{14}-\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{2}a^{6}$, $\frac{1}{4}a^{18}-\frac{1}{4}a^{14}-\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{2}a^{6}$, $\frac{1}{4}a^{19}-\frac{1}{4}a^{14}-\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{2}a^{6}$, $\frac{1}{4}a^{20}-\frac{1}{4}a^{14}-\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{2}a^{6}$, $\frac{1}{8}a^{21}-\frac{1}{8}a^{19}-\frac{1}{4}a^{13}-\frac{1}{4}a^{11}-\frac{1}{2}a^{8}$, $\frac{1}{8}a^{22}-\frac{1}{8}a^{20}-\frac{1}{4}a^{14}-\frac{1}{4}a^{12}-\frac{1}{2}a^{8}$, $\frac{1}{8}a^{23}-\frac{1}{8}a^{19}-\frac{1}{4}a^{14}-\frac{1}{4}a^{11}-\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{2}a^{7}-\frac{1}{2}a^{6}$, $\frac{1}{8}a^{24}-\frac{1}{8}a^{20}-\frac{1}{4}a^{14}-\frac{1}{4}a^{12}-\frac{1}{2}a^{6}$, $\frac{1}{568}a^{25}-\frac{7}{284}a^{24}-\frac{33}{568}a^{23}+\frac{2}{71}a^{22}-\frac{23}{568}a^{21}+\frac{8}{71}a^{20}+\frac{55}{568}a^{19}+\frac{3}{142}a^{18}+\frac{5}{71}a^{17}+\frac{35}{284}a^{16}-\frac{35}{284}a^{15}+\frac{9}{284}a^{14}+\frac{11}{284}a^{13}+\frac{17}{71}a^{12}+\frac{25}{284}a^{11}-\frac{13}{142}a^{10}+\frac{7}{142}a^{9}-\frac{23}{142}a^{8}+\frac{27}{71}a^{7}+\frac{45}{142}a^{6}+\frac{17}{71}a^{5}+\frac{12}{71}a^{3}+\frac{34}{71}a^{2}+\frac{2}{71}a+\frac{9}{71}$, $\frac{1}{11\!\cdots\!52}a^{26}-\frac{82\!\cdots\!45}{55\!\cdots\!76}a^{25}-\frac{15\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!52}a^{24}+\frac{15\!\cdots\!08}{69\!\cdots\!47}a^{23}+\frac{11\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!94}a^{22}-\frac{68\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!94}a^{21}+\frac{20\!\cdots\!15}{69\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{33\!\cdots\!09}{27\!\cdots\!88}a^{19}+\frac{58\!\cdots\!11}{55\!\cdots\!76}a^{18}+\frac{16\!\cdots\!93}{27\!\cdots\!88}a^{17}+\frac{23\!\cdots\!23}{55\!\cdots\!76}a^{16}+\frac{61\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!94}a^{15}-\frac{59\!\cdots\!83}{27\!\cdots\!88}a^{14}+\frac{44\!\cdots\!08}{69\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{94\!\cdots\!86}{69\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{75\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!94}a^{11}-\frac{40\!\cdots\!21}{69\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!37}{69\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{48\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!94}a^{8}+\frac{42\!\cdots\!29}{69\!\cdots\!47}a^{7}-\frac{58\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!94}a^{6}+\frac{24\!\cdots\!84}{69\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{92\!\cdots\!07}{69\!\cdots\!47}a^{4}-\frac{26\!\cdots\!37}{69\!\cdots\!47}a^{3}+\frac{20\!\cdots\!19}{69\!\cdots\!47}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!67}{69\!\cdots\!47}a+\frac{23\!\cdots\!21}{69\!\cdots\!47}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | No | |
| Index: | Not computed | |
| Inessential primes: | $2$ |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $14$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{10\!\cdots\!81}{55\!\cdots\!76}a^{26}-\frac{81\!\cdots\!55}{27\!\cdots\!88}a^{25}+\frac{23\!\cdots\!31}{27\!\cdots\!88}a^{24}-\frac{32\!\cdots\!21}{69\!\cdots\!47}a^{23}+\frac{27\!\cdots\!75}{55\!\cdots\!76}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!35}{55\!\cdots\!76}a^{21}+\frac{18\!\cdots\!60}{69\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{48\!\cdots\!53}{55\!\cdots\!76}a^{19}+\frac{18\!\cdots\!91}{27\!\cdots\!88}a^{18}+\frac{40\!\cdots\!29}{13\!\cdots\!94}a^{17}+\frac{69\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!94}a^{16}+\frac{26\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!94}a^{15}+\frac{46\!\cdots\!91}{27\!\cdots\!88}a^{14}+\frac{26\!\cdots\!71}{27\!\cdots\!88}a^{13}-\frac{32\!\cdots\!14}{69\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{26\!\cdots\!13}{27\!\cdots\!88}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!94}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!29}{13\!\cdots\!94}a^{9}-\frac{74\!\cdots\!04}{69\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{60\!\cdots\!01}{69\!\cdots\!47}a^{7}-\frac{59\!\cdots\!01}{69\!\cdots\!47}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!88}{69\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{53\!\cdots\!06}{69\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!70}{69\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{22\!\cdots\!90}{69\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!58}{69\!\cdots\!47}a-\frac{49\!\cdots\!61}{69\!\cdots\!47}$, $\frac{14\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!52}a^{26}+\frac{93\!\cdots\!21}{27\!\cdots\!88}a^{25}-\frac{19\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!52}a^{24}+\frac{82\!\cdots\!43}{27\!\cdots\!88}a^{23}-\frac{35\!\cdots\!89}{55\!\cdots\!76}a^{22}+\frac{17\!\cdots\!93}{55\!\cdots\!76}a^{21}-\frac{82\!\cdots\!63}{55\!\cdots\!76}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!58}{69\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{34\!\cdots\!85}{55\!\cdots\!76}a^{18}-\frac{56\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!94}a^{17}+\frac{36\!\cdots\!19}{55\!\cdots\!76}a^{16}-\frac{63\!\cdots\!86}{69\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!94}a^{14}+\frac{64\!\cdots\!19}{27\!\cdots\!88}a^{13}-\frac{98\!\cdots\!01}{27\!\cdots\!88}a^{12}+\frac{25\!\cdots\!33}{69\!\cdots\!47}a^{11}+\frac{88\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!94}a^{10}-\frac{47\!\cdots\!66}{69\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{21\!\cdots\!65}{69\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{30\!\cdots\!54}{69\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{50\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!94}a^{6}-\frac{27\!\cdots\!51}{69\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{26\!\cdots\!02}{69\!\cdots\!47}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!48}{69\!\cdots\!47}a^{3}+\frac{76\!\cdots\!49}{69\!\cdots\!47}a^{2}-\frac{17\!\cdots\!22}{69\!\cdots\!47}a+\frac{55\!\cdots\!86}{69\!\cdots\!47}$, $\frac{13\!\cdots\!77}{55\!\cdots\!76}a^{26}-\frac{29\!\cdots\!99}{55\!\cdots\!76}a^{25}+\frac{45\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!94}a^{24}-\frac{40\!\cdots\!06}{69\!\cdots\!47}a^{23}+\frac{53\!\cdots\!57}{55\!\cdots\!76}a^{22}-\frac{19\!\cdots\!31}{27\!\cdots\!88}a^{21}+\frac{45\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!94}a^{20}-\frac{14\!\cdots\!39}{55\!\cdots\!76}a^{19}+\frac{59\!\cdots\!80}{69\!\cdots\!47}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!13}{27\!\cdots\!88}a^{17}+\frac{58\!\cdots\!91}{27\!\cdots\!88}a^{16}+\frac{59\!\cdots\!01}{27\!\cdots\!88}a^{15}-\frac{30\!\cdots\!43}{27\!\cdots\!88}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!94}a^{13}+\frac{62\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!94}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!69}{27\!\cdots\!88}a^{11}-\frac{23\!\cdots\!01}{13\!\cdots\!94}a^{10}+\frac{91\!\cdots\!63}{69\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{19\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!94}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!94}a^{7}-\frac{88\!\cdots\!53}{69\!\cdots\!47}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!59}{69\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{23\!\cdots\!89}{69\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!33}{69\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{37\!\cdots\!49}{69\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{23\!\cdots\!71}{69\!\cdots\!47}a-\frac{34\!\cdots\!17}{69\!\cdots\!47}$, $\frac{14\!\cdots\!01}{27\!\cdots\!88}a^{26}+\frac{39\!\cdots\!39}{55\!\cdots\!76}a^{25}+\frac{38\!\cdots\!07}{55\!\cdots\!76}a^{24}+\frac{70\!\cdots\!83}{55\!\cdots\!76}a^{23}-\frac{59\!\cdots\!47}{55\!\cdots\!76}a^{22}+\frac{67\!\cdots\!19}{27\!\cdots\!88}a^{21}-\frac{94\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!94}a^{20}+\frac{35\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!94}a^{19}+\frac{96\!\cdots\!71}{69\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!94}a^{17}-\frac{44\!\cdots\!19}{27\!\cdots\!88}a^{16}-\frac{77\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!94}a^{15}-\frac{24\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!94}a^{14}-\frac{28\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!94}a^{13}-\frac{57\!\cdots\!30}{69\!\cdots\!47}a^{12}-\frac{15\!\cdots\!38}{69\!\cdots\!47}a^{11}+\frac{20\!\cdots\!76}{69\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{71\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!94}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!61}{69\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{96\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!94}a^{7}+\frac{32\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!94}a^{6}+\frac{82\!\cdots\!44}{69\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!62}{69\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{57\!\cdots\!34}{69\!\cdots\!47}a^{3}+\frac{61\!\cdots\!05}{69\!\cdots\!47}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!45}{69\!\cdots\!47}a+\frac{33\!\cdots\!27}{69\!\cdots\!47}$, $\frac{10\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!52}a^{26}+\frac{18\!\cdots\!63}{55\!\cdots\!76}a^{25}-\frac{33\!\cdots\!05}{11\!\cdots\!52}a^{24}+\frac{60\!\cdots\!03}{27\!\cdots\!88}a^{23}-\frac{37\!\cdots\!73}{55\!\cdots\!76}a^{22}+\frac{30\!\cdots\!79}{55\!\cdots\!76}a^{21}-\frac{68\!\cdots\!19}{55\!\cdots\!76}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!97}{55\!\cdots\!76}a^{19}-\frac{26\!\cdots\!67}{55\!\cdots\!76}a^{18}-\frac{35\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!94}a^{17}+\frac{95\!\cdots\!39}{55\!\cdots\!76}a^{16}-\frac{29\!\cdots\!84}{69\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{24\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!94}a^{14}-\frac{48\!\cdots\!61}{27\!\cdots\!88}a^{13}+\frac{24\!\cdots\!51}{27\!\cdots\!88}a^{12}-\frac{79\!\cdots\!97}{27\!\cdots\!88}a^{11}+\frac{14\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!94}a^{10}-\frac{82\!\cdots\!11}{69\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{35\!\cdots\!45}{69\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{47\!\cdots\!82}{69\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!94}a^{6}-\frac{34\!\cdots\!64}{69\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{89\!\cdots\!41}{69\!\cdots\!47}a^{4}-\frac{25\!\cdots\!21}{69\!\cdots\!47}a^{3}+\frac{18\!\cdots\!47}{69\!\cdots\!47}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!64}{69\!\cdots\!47}a+\frac{72\!\cdots\!62}{69\!\cdots\!47}$, $\frac{50\!\cdots\!91}{30\!\cdots\!24}a^{26}-\frac{78\!\cdots\!97}{15\!\cdots\!12}a^{25}+\frac{13\!\cdots\!17}{30\!\cdots\!24}a^{24}-\frac{63\!\cdots\!49}{15\!\cdots\!12}a^{23}+\frac{16\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!12}a^{22}-\frac{13\!\cdots\!15}{15\!\cdots\!12}a^{21}+\frac{19\!\cdots\!85}{75\!\cdots\!56}a^{20}-\frac{31\!\cdots\!49}{75\!\cdots\!56}a^{19}+\frac{20\!\cdots\!51}{15\!\cdots\!12}a^{18}+\frac{24\!\cdots\!67}{75\!\cdots\!56}a^{17}-\frac{28\!\cdots\!03}{15\!\cdots\!12}a^{16}+\frac{41\!\cdots\!49}{37\!\cdots\!78}a^{15}-\frac{18\!\cdots\!49}{75\!\cdots\!56}a^{14}+\frac{53\!\cdots\!05}{75\!\cdots\!56}a^{13}-\frac{30\!\cdots\!13}{37\!\cdots\!78}a^{12}+\frac{24\!\cdots\!36}{18\!\cdots\!39}a^{11}-\frac{68\!\cdots\!35}{37\!\cdots\!78}a^{10}+\frac{35\!\cdots\!45}{18\!\cdots\!39}a^{9}-\frac{23\!\cdots\!00}{18\!\cdots\!39}a^{8}+\frac{53\!\cdots\!35}{37\!\cdots\!78}a^{7}-\frac{30\!\cdots\!85}{18\!\cdots\!39}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!87}{18\!\cdots\!39}a^{5}-\frac{50\!\cdots\!70}{18\!\cdots\!39}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!18}{18\!\cdots\!39}a^{3}-\frac{88\!\cdots\!54}{18\!\cdots\!39}a^{2}+\frac{34\!\cdots\!87}{18\!\cdots\!39}a-\frac{37\!\cdots\!18}{18\!\cdots\!39}$, $\frac{33\!\cdots\!03}{69\!\cdots\!47}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!94}a^{25}+\frac{19\!\cdots\!23}{55\!\cdots\!76}a^{24}-\frac{80\!\cdots\!54}{69\!\cdots\!47}a^{23}+\frac{92\!\cdots\!61}{55\!\cdots\!76}a^{22}-\frac{47\!\cdots\!31}{55\!\cdots\!76}a^{21}+\frac{43\!\cdots\!62}{69\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{20\!\cdots\!45}{55\!\cdots\!76}a^{19}-\frac{21\!\cdots\!01}{27\!\cdots\!88}a^{18}+\frac{31\!\cdots\!99}{27\!\cdots\!88}a^{17}+\frac{21\!\cdots\!61}{27\!\cdots\!88}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!97}{27\!\cdots\!88}a^{15}-\frac{94\!\cdots\!16}{69\!\cdots\!47}a^{14}+\frac{34\!\cdots\!47}{27\!\cdots\!88}a^{13}+\frac{22\!\cdots\!69}{69\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{37\!\cdots\!05}{27\!\cdots\!88}a^{11}-\frac{20\!\cdots\!31}{69\!\cdots\!47}a^{10}+\frac{22\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!94}a^{9}-\frac{12\!\cdots\!39}{69\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!94}a^{7}-\frac{29\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!94}a^{6}-\frac{32\!\cdots\!90}{69\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{46\!\cdots\!18}{69\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{21\!\cdots\!87}{69\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{49\!\cdots\!48}{69\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{17\!\cdots\!62}{69\!\cdots\!47}a-\frac{12\!\cdots\!19}{69\!\cdots\!47}$, $\frac{25\!\cdots\!43}{55\!\cdots\!76}a^{26}+\frac{88\!\cdots\!17}{55\!\cdots\!76}a^{25}-\frac{21\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!94}a^{24}+\frac{30\!\cdots\!69}{27\!\cdots\!88}a^{23}-\frac{91\!\cdots\!31}{27\!\cdots\!88}a^{22}+\frac{79\!\cdots\!83}{27\!\cdots\!88}a^{21}-\frac{35\!\cdots\!69}{55\!\cdots\!76}a^{20}+\frac{69\!\cdots\!91}{55\!\cdots\!76}a^{19}-\frac{22\!\cdots\!24}{69\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{35\!\cdots\!17}{27\!\cdots\!88}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!94}a^{16}-\frac{34\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!94}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!94}a^{14}-\frac{24\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!94}a^{13}+\frac{86\!\cdots\!79}{27\!\cdots\!88}a^{12}-\frac{34\!\cdots\!99}{27\!\cdots\!88}a^{11}+\frac{67\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!94}a^{10}-\frac{42\!\cdots\!52}{69\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{20\!\cdots\!78}{69\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{22\!\cdots\!83}{69\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{24\!\cdots\!93}{69\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!69}{69\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{24\!\cdots\!56}{69\!\cdots\!47}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!60}{69\!\cdots\!47}a^{3}+\frac{88\!\cdots\!84}{69\!\cdots\!47}a^{2}-\frac{71\!\cdots\!14}{69\!\cdots\!47}a+\frac{35\!\cdots\!79}{69\!\cdots\!47}$, $\frac{10\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!94}a^{26}-\frac{93\!\cdots\!53}{55\!\cdots\!76}a^{25}+\frac{90\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!94}a^{24}-\frac{47\!\cdots\!95}{27\!\cdots\!88}a^{23}+\frac{17\!\cdots\!67}{55\!\cdots\!76}a^{22}-\frac{35\!\cdots\!99}{27\!\cdots\!88}a^{21}+\frac{50\!\cdots\!37}{55\!\cdots\!76}a^{20}-\frac{50\!\cdots\!73}{55\!\cdots\!76}a^{19}-\frac{41\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!94}a^{18}+\frac{24\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!94}a^{17}+\frac{94\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!94}a^{16}+\frac{37\!\cdots\!94}{69\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!83}{27\!\cdots\!88}a^{14}-\frac{99\!\cdots\!29}{69\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{30\!\cdots\!87}{27\!\cdots\!88}a^{12}+\frac{37\!\cdots\!17}{27\!\cdots\!88}a^{11}-\frac{37\!\cdots\!73}{69\!\cdots\!47}a^{10}+\frac{19\!\cdots\!85}{69\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!55}{69\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!63}{69\!\cdots\!47}a^{7}-\frac{18\!\cdots\!63}{69\!\cdots\!47}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!74}{69\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!54}{69\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!74}{69\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!94}{69\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{72\!\cdots\!83}{69\!\cdots\!47}a-\frac{75\!\cdots\!05}{69\!\cdots\!47}$, $\frac{39\!\cdots\!85}{55\!\cdots\!76}a^{26}+\frac{26\!\cdots\!29}{13\!\cdots\!94}a^{25}-\frac{98\!\cdots\!69}{69\!\cdots\!47}a^{24}+\frac{95\!\cdots\!11}{55\!\cdots\!76}a^{23}-\frac{20\!\cdots\!75}{55\!\cdots\!76}a^{22}+\frac{15\!\cdots\!17}{55\!\cdots\!76}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!94}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!94}a^{19}-\frac{63\!\cdots\!19}{27\!\cdots\!88}a^{18}-\frac{50\!\cdots\!79}{27\!\cdots\!88}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!94}a^{16}-\frac{14\!\cdots\!25}{27\!\cdots\!88}a^{15}+\frac{97\!\cdots\!07}{13\!\cdots\!94}a^{14}-\frac{63\!\cdots\!35}{27\!\cdots\!88}a^{13}+\frac{51\!\cdots\!90}{69\!\cdots\!47}a^{12}-\frac{22\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!94}a^{11}+\frac{40\!\cdots\!55}{69\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{37\!\cdots\!23}{69\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{20\!\cdots\!28}{69\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{21\!\cdots\!05}{69\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{57\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!94}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!68}{69\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{34\!\cdots\!64}{69\!\cdots\!47}a^{4}-\frac{90\!\cdots\!42}{69\!\cdots\!47}a^{3}+\frac{96\!\cdots\!81}{69\!\cdots\!47}a^{2}-\frac{71\!\cdots\!16}{69\!\cdots\!47}a+\frac{33\!\cdots\!53}{69\!\cdots\!47}$, $\frac{13\!\cdots\!65}{27\!\cdots\!88}a^{26}+\frac{17\!\cdots\!53}{55\!\cdots\!76}a^{25}+\frac{46\!\cdots\!71}{55\!\cdots\!76}a^{24}+\frac{61\!\cdots\!89}{55\!\cdots\!76}a^{23}-\frac{16\!\cdots\!35}{69\!\cdots\!47}a^{22}-\frac{71\!\cdots\!63}{55\!\cdots\!76}a^{21}-\frac{30\!\cdots\!83}{55\!\cdots\!76}a^{20}-\frac{19\!\cdots\!93}{55\!\cdots\!76}a^{19}+\frac{33\!\cdots\!26}{69\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{22\!\cdots\!81}{27\!\cdots\!88}a^{17}-\frac{61\!\cdots\!91}{27\!\cdots\!88}a^{16}-\frac{72\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!94}a^{15}-\frac{96\!\cdots\!71}{27\!\cdots\!88}a^{14}+\frac{36\!\cdots\!99}{27\!\cdots\!88}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!45}{27\!\cdots\!88}a^{12}-\frac{45\!\cdots\!99}{27\!\cdots\!88}a^{11}+\frac{88\!\cdots\!21}{69\!\cdots\!47}a^{10}+\frac{32\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!94}a^{9}+\frac{32\!\cdots\!14}{69\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{23\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!94}a^{7}+\frac{63\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!94}a^{6}+\frac{16\!\cdots\!22}{69\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{86\!\cdots\!72}{69\!\cdots\!47}a^{4}-\frac{23\!\cdots\!15}{69\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{25\!\cdots\!02}{69\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{93\!\cdots\!21}{69\!\cdots\!47}a-\frac{13\!\cdots\!99}{69\!\cdots\!47}$, $\frac{24\!\cdots\!09}{55\!\cdots\!76}a^{26}+\frac{10\!\cdots\!63}{55\!\cdots\!76}a^{25}-\frac{72\!\cdots\!45}{55\!\cdots\!76}a^{24}-\frac{29\!\cdots\!51}{27\!\cdots\!88}a^{23}-\frac{26\!\cdots\!83}{27\!\cdots\!88}a^{22}+\frac{10\!\cdots\!11}{55\!\cdots\!76}a^{21}+\frac{14\!\cdots\!89}{27\!\cdots\!88}a^{20}+\frac{26\!\cdots\!17}{27\!\cdots\!88}a^{19}-\frac{92\!\cdots\!37}{27\!\cdots\!88}a^{18}+\frac{16\!\cdots\!47}{27\!\cdots\!88}a^{17}+\frac{20\!\cdots\!46}{69\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{45\!\cdots\!48}{69\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{59\!\cdots\!78}{69\!\cdots\!47}a^{14}+\frac{33\!\cdots\!57}{27\!\cdots\!88}a^{13}+\frac{47\!\cdots\!93}{69\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!66}{69\!\cdots\!47}a^{11}+\frac{29\!\cdots\!25}{69\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{27\!\cdots\!45}{69\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!94}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!05}{69\!\cdots\!47}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!48}{69\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{24\!\cdots\!03}{69\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{17\!\cdots\!44}{69\!\cdots\!47}a^{4}-\frac{83\!\cdots\!36}{69\!\cdots\!47}a^{3}+\frac{17\!\cdots\!50}{69\!\cdots\!47}a^{2}-\frac{32\!\cdots\!66}{69\!\cdots\!47}a+\frac{31\!\cdots\!05}{69\!\cdots\!47}$, $\frac{54\!\cdots\!03}{55\!\cdots\!76}a^{26}+\frac{25\!\cdots\!13}{27\!\cdots\!88}a^{25}-\frac{65\!\cdots\!07}{55\!\cdots\!76}a^{24}+\frac{65\!\cdots\!61}{27\!\cdots\!88}a^{23}-\frac{28\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!94}a^{22}+\frac{13\!\cdots\!41}{69\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{22\!\cdots\!63}{13\!\cdots\!94}a^{20}+\frac{27\!\cdots\!07}{27\!\cdots\!88}a^{19}-\frac{66\!\cdots\!05}{27\!\cdots\!88}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!01}{27\!\cdots\!88}a^{17}+\frac{35\!\cdots\!07}{27\!\cdots\!88}a^{16}+\frac{26\!\cdots\!53}{27\!\cdots\!88}a^{15}+\frac{50\!\cdots\!63}{69\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{90\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!94}a^{13}+\frac{66\!\cdots\!05}{69\!\cdots\!47}a^{12}-\frac{51\!\cdots\!46}{69\!\cdots\!47}a^{11}+\frac{20\!\cdots\!69}{69\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{28\!\cdots\!20}{69\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{65\!\cdots\!87}{69\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{32\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!94}a^{7}+\frac{16\!\cdots\!18}{69\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{18\!\cdots\!40}{69\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{74\!\cdots\!75}{69\!\cdots\!47}a^{4}-\frac{99\!\cdots\!71}{69\!\cdots\!47}a^{3}+\frac{36\!\cdots\!34}{69\!\cdots\!47}a^{2}-\frac{42\!\cdots\!65}{69\!\cdots\!47}a+\frac{25\!\cdots\!41}{69\!\cdots\!47}$, $\frac{34\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!52}a^{26}-\frac{15\!\cdots\!31}{55\!\cdots\!76}a^{25}+\frac{41\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!52}a^{24}-\frac{40\!\cdots\!67}{55\!\cdots\!76}a^{23}+\frac{35\!\cdots\!73}{55\!\cdots\!76}a^{22}-\frac{35\!\cdots\!51}{55\!\cdots\!76}a^{21}+\frac{26\!\cdots\!27}{55\!\cdots\!76}a^{20}-\frac{42\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!94}a^{19}+\frac{44\!\cdots\!85}{55\!\cdots\!76}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!91}{69\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{22\!\cdots\!33}{55\!\cdots\!76}a^{16}-\frac{39\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!94}a^{15}-\frac{60\!\cdots\!49}{27\!\cdots\!88}a^{14}+\frac{30\!\cdots\!31}{27\!\cdots\!88}a^{13}-\frac{20\!\cdots\!55}{27\!\cdots\!88}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!81}{69\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!94}a^{10}+\frac{19\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!94}a^{9}-\frac{27\!\cdots\!16}{69\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{97\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!94}a^{7}-\frac{47\!\cdots\!34}{69\!\cdots\!47}a^{6}+\frac{50\!\cdots\!59}{69\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{21\!\cdots\!98}{69\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{29\!\cdots\!92}{69\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{17\!\cdots\!80}{69\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!95}{69\!\cdots\!47}a-\frac{10\!\cdots\!62}{69\!\cdots\!47}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 26800740160.001953 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{3}\cdot(2\pi)^{12}\cdot 26800740160.001953 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{7080024337604477850771495275747466018816}}\cr\approx \mathstrut & 4.82333942066359 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 3*x^26 + 3*x^25 - 25*x^24 + 60*x^23 - 60*x^22 + 152*x^21 - 216*x^20 + 114*x^19 + 234*x^18 - 78*x^17 + 762*x^16 - 1152*x^15 + 816*x^14 - 96*x^13 + 352*x^12 - 984*x^11 + 1128*x^10 - 872*x^9 + 696*x^8 - 864*x^7 + 480*x^6 - 192*x^5 + 192*x^4 - 336*x^3 + 240*x^2 - 144*x + 48)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^27 - 3*x^26 + 3*x^25 - 25*x^24 + 60*x^23 - 60*x^22 + 152*x^21 - 216*x^20 + 114*x^19 + 234*x^18 - 78*x^17 + 762*x^16 - 1152*x^15 + 816*x^14 - 96*x^13 + 352*x^12 - 984*x^11 + 1128*x^10 - 872*x^9 + 696*x^8 - 864*x^7 + 480*x^6 - 192*x^5 + 192*x^4 - 336*x^3 + 240*x^2 - 144*x + 48, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^27 - 3*x^26 + 3*x^25 - 25*x^24 + 60*x^23 - 60*x^22 + 152*x^21 - 216*x^20 + 114*x^19 + 234*x^18 - 78*x^17 + 762*x^16 - 1152*x^15 + 816*x^14 - 96*x^13 + 352*x^12 - 984*x^11 + 1128*x^10 - 872*x^9 + 696*x^8 - 864*x^7 + 480*x^6 - 192*x^5 + 192*x^4 - 336*x^3 + 240*x^2 - 144*x + 48);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^27 - 3*x^26 + 3*x^25 - 25*x^24 + 60*x^23 - 60*x^22 + 152*x^21 - 216*x^20 + 114*x^19 + 234*x^18 - 78*x^17 + 762*x^16 - 1152*x^15 + 816*x^14 - 96*x^13 + 352*x^12 - 984*x^11 + 1128*x^10 - 872*x^9 + 696*x^8 - 864*x^7 + 480*x^6 - 192*x^5 + 192*x^4 - 336*x^3 + 240*x^2 - 144*x + 48);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
$\SO(5,3)$ (as 27T1161):
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A non-solvable group of order 51840 |
| The 25 conjugacy class representatives for $\SO(5,3)$ |
| Character table for $\SO(5,3)$ |
Intermediate fields
| The extension is primitive: there are no intermediate fields between this field and $\Q$. |
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Sibling fields
| Degree 36 sibling: | data not computed |
| Degree 40 siblings: | data not computed |
| Degree 45 sibling: | data not computed |
| Minimal sibling: | This field is its own minimal sibling |
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | R | R | ${\href{/padicField/5.10.0.1}{10} }{,}\,{\href{/padicField/5.5.0.1}{5} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/5.2.0.1}{2} }$ | ${\href{/padicField/7.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/11.12.0.1}{12} }{,}\,{\href{/padicField/11.6.0.1}{6} }{,}\,{\href{/padicField/11.4.0.1}{4} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/11.1.0.1}{1} }$ | ${\href{/padicField/13.4.0.1}{4} }^{5}{,}\,{\href{/padicField/13.2.0.1}{2} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/13.1.0.1}{1} }$ | ${\href{/padicField/17.8.0.1}{8} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/17.2.0.1}{2} }{,}\,{\href{/padicField/17.1.0.1}{1} }$ | ${\href{/padicField/19.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/23.12.0.1}{12} }{,}\,{\href{/padicField/23.6.0.1}{6} }{,}\,{\href{/padicField/23.4.0.1}{4} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/23.1.0.1}{1} }$ | ${\href{/padicField/29.12.0.1}{12} }{,}\,{\href{/padicField/29.6.0.1}{6} }{,}\,{\href{/padicField/29.4.0.1}{4} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/29.1.0.1}{1} }$ | ${\href{/padicField/31.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/37.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/41.6.0.1}{6} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/41.3.0.1}{3} }^{5}$ | ${\href{/padicField/43.12.0.1}{12} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/43.3.0.1}{3} }$ | ${\href{/padicField/47.6.0.1}{6} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/47.3.0.1}{3} }^{5}$ | ${\href{/padicField/53.6.0.1}{6} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/53.3.0.1}{3} }$ | ${\href{/padicField/59.8.0.1}{8} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/59.2.0.1}{2} }{,}\,{\href{/padicField/59.1.0.1}{1} }$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(2\)
| $\Q_{2}$ | $x + 1$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ |
| 2.2.3.3 | $x^{2} + 2$ | $2$ | $1$ | $3$ | $C_2$ | $[3]$ | |
| 2.8.25.93 | $x^{8} + 4 x^{4} + 8 x^{3} + 28 x^{2} + 16 x + 26$ | $8$ | $1$ | $25$ | $C_2 \wr S_4$ | $[8/3, 8/3, 3, 23/6, 23/6, 17/4]_{3}^{2}$ | |
| Deg $16$ | $16$ | $1$ | $60$ | ||||
|
\(3\)
| 3.9.10.2 | $x^{9} + 6 x^{2} + 3$ | $9$ | $1$ | $10$ | $S_3^2:C_2$ | $[5/4, 5/4]_{4}^{2}$ |
| Deg $18$ | $6$ | $3$ | $18$ |