LMFDB - L-function 20-252e10-1.1-c7e10-0-0

Dirichlet series

L(s) = 1

− 249·5^-s + 332·7^-s − 6.39e3·11^-s − 2.69e4·13^-s − 3.60e3·17^-s − 1.24e4·19^-s + 1.39e4·23^-s + 1.45e5·25^-s − 2.61e4·29^-s − 2.01e4·31^-s − 8.26e4·35^-s − 5.47e4·37^-s + 1.82e6·41^-s − 1.93e6·43^-s − 1.21e6·47^-s + 9.16e5·49^-s + 2.34e6·53^-s + 1.59e6·55^-s − 2.18e6·59^-s + 6.10e6·61^-s + 6.72e6·65^-s − 3.17e6·67^-s + 1.89e7·71^-s + 8.03e6·73^-s − 2.12e6·77^-s − 7.58e6·79^-s + 1.34e7·83^-s + ⋯

L(s) = 1

− 0.890·5^-s + 0.365·7^-s − 1.44·11^-s − 3.40·13^-s − 0.178·17^-s − 0.414·19^-s + 0.239·23^-s + 1.85·25^-s − 0.199·29^-s − 0.121·31^-s − 0.325·35^-s − 0.177·37^-s + 4.13·41^-s − 3.71·43^-s − 1.71·47^-s + 1.11·49^-s + 2.16·53^-s + 1.29·55^-s − 1.38·59^-s + 3.44·61^-s + 3.03·65^-s − 1.28·67^-s + 6.27·71^-s + 2.41·73^-s − 0.530·77^-s − 1.73·79^-s + 2.58·83^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{20} \cdot 3^{20} \cdot 7^{10}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{10} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(8-s)\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{20} \cdot 3^{20} \cdot 7^{10}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+7/2)^{10} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$20$
Conductor:	$2^{20} \cdot 3^{20} \cdot 7^{10}$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$9.13918\times 10^{18}$
Root analytic conductor:	$8.87248$
Motivic weight:	$7$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$0$
Selberg data:	$(20,\ 2^{20} \cdot 3^{20} \cdot 7^{10} ,\ ( \ : [7/2]^{10} ),\ 1 )$

Particular Values

$L(4)$	$\approx$	$0.5144383589$
$L(\frac12)$	$\approx$	$0.5144383589$
$L(\frac{9}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$F_p(T)$
bad	2	$ 1 $
	3	$ 1 $
	7	$ 1 - 332 T - 115131 p T^{2} - 25640080 p^{2} T^{3} + 322933946 p^{4} T^{4} + 9231846072 p^{6} T^{5} + 322933946 p^{11} T^{6} - 25640080 p^{16} T^{7} - 115131 p^{22} T^{8} - 332 p^{28} T^{9} + p^{35} T^{10} $
good	5	$ 1 + 249 T - 16626 p T^{2} - 49730361 T^{3} + 190808126 T^{4} + 1133656209723 p T^{5} + 33364965040648 p^{2} T^{6} - 657852531991821 p^{4} T^{7} - 230422324288807511 p^{4} T^{8} + 4577239882017042054 p^{5} T^{9} + $$10\!\cdots\!76$$ p^{6} T^{10} + 4577239882017042054 p^{12} T^{11} - 230422324288807511 p^{18} T^{12} - 657852531991821 p^{25} T^{13} + 33364965040648 p^{30} T^{14} + 1133656209723 p^{36} T^{15} + 190808126 p^{42} T^{16} - 49730361 p^{49} T^{17} - 16626 p^{57} T^{18} + 249 p^{63} T^{19} + p^{70} T^{20} $
	11	$ 1 + 6399 T - 13307172 T^{2} + 55730744559 T^{3} + 1247580499001366 T^{4} - 890998410934715067 T^{5} + $$33\!\cdots\!06$$ T^{6} + $$15\!\cdots\!83$$ T^{7} - $$59\!\cdots\!71$$ T^{8} + $$13\!\cdots\!34$$ T^{9} + $$16\!\cdots\!20$$ T^{10} + $$13\!\cdots\!34$$ p^{7} T^{11} - $$59\!\cdots\!71$$ p^{14} T^{12} + $$15\!\cdots\!83$$ p^{21} T^{13} + $$33\!\cdots\!06$$ p^{28} T^{14} - 890998410934715067 p^{35} T^{15} + 1247580499001366 p^{42} T^{16} + 55730744559 p^{49} T^{17} - 13307172 p^{56} T^{18} + 6399 p^{63} T^{19} + p^{70} T^{20} $
	13	$ ( 1 + 1038 p T + 202348049 T^{2} + 1059028727368 T^{3} + 7960429460406130 T^{4} + 12503167614967234724 T^{5} + 7960429460406130 p^{7} T^{6} + 1059028727368 p^{14} T^{7} + 202348049 p^{21} T^{8} + 1038 p^{29} T^{9} + p^{35} T^{10} )^{2} $
	17	$ 1 + 3609 T - 926734062 T^{2} + 2555731451547 T^{3} + 376173169852081838 T^{4} - $$48\!\cdots\!29$$ T^{5} - $$54\!\cdots\!28$$ T^{6} + $$23\!\cdots\!99$$ p T^{7} - $$18\!\cdots\!07$$ p T^{8} - $$30\!\cdots\!50$$ p^{2} T^{9} + $$26\!\cdots\!40$$ p^{2} T^{10} - $$30\!\cdots\!50$$ p^{9} T^{11} - $$18\!\cdots\!07$$ p^{15} T^{12} + $$23\!\cdots\!99$$ p^{22} T^{13} - $$54\!\cdots\!28$$ p^{28} T^{14} - $$48\!\cdots\!29$$ p^{35} T^{15} + 376173169852081838 p^{42} T^{16} + 2555731451547 p^{49} T^{17} - 926734062 p^{56} T^{18} + 3609 p^{63} T^{19} + p^{70} T^{20} $
	19	$ 1 + 12403 T - 2498224436 T^{2} - 112222121717301 T^{3} + 3102457412032148838 T^{4} + $$22\!\cdots\!41$$ T^{5} + $$12\!\cdots\!26$$ T^{6} - $$26\!\cdots\!77$$ T^{7} - $$64\!\cdots\!35$$ T^{8} + $$10\!\cdots\!54$$ T^{9} + $$89\!\cdots\!48$$ T^{10} + $$10\!\cdots\!54$$ p^{7} T^{11} - $$64\!\cdots\!35$$ p^{14} T^{12} - $$26\!\cdots\!77$$ p^{21} T^{13} + $$12\!\cdots\!26$$ p^{28} T^{14} + $$22\!\cdots\!41$$ p^{35} T^{15} + 3102457412032148838 p^{42} T^{16} - 112222121717301 p^{49} T^{17} - 2498224436 p^{56} T^{18} + 12403 p^{63} T^{19} + p^{70} T^{20} $
	23	$ 1 - 13959 T - 12391634256 T^{2} + 245727261846837 T^{3} + 80001205241355075518 T^{4} - $$15\!\cdots\!61$$ T^{5} - $$40\!\cdots\!74$$ T^{6} + $$40\!\cdots\!33$$ T^{7} + $$18\!\cdots\!21$$ T^{8} - $$34\!\cdots\!70$$ T^{9} - $$68\!\cdots\!60$$ T^{10} - $$34\!\cdots\!70$$ p^{7} T^{11} + $$18\!\cdots\!21$$ p^{14} T^{12} + $$40\!\cdots\!33$$ p^{21} T^{13} - $$40\!\cdots\!74$$ p^{28} T^{14} - $$15\!\cdots\!61$$ p^{35} T^{15} + 80001205241355075518 p^{42} T^{16} + 245727261846837 p^{49} T^{17} - 12391634256 p^{56} T^{18} - 13959 p^{63} T^{19} + p^{70} T^{20} $
	29	$ ( 1 + 13074 T + 42688257921 T^{2} - 1103263471513320 T^{3} + $$11\!\cdots\!46$$ T^{4} - $$16\!\cdots\!32$$ T^{5} + $$11\!\cdots\!46$$ p^{7} T^{6} - 1103263471513320 p^{14} T^{7} + 42688257921 p^{21} T^{8} + 13074 p^{28} T^{9} + p^{35} T^{10} )^{2} $
	31	$ 1 + 21 p^{2} T - 67660440296 T^{2} + 3909805548824945 T^{3} + $$17\!\cdots\!22$$ T^{4} - $$22\!\cdots\!17$$ T^{5} - $$36\!\cdots\!42$$ T^{6} - $$27\!\cdots\!79$$ T^{7} + $$16\!\cdots\!61$$ T^{8} + $$85\!\cdots\!58$$ T^{9} - $$61\!\cdots\!92$$ T^{10} + $$85\!\cdots\!58$$ p^{7} T^{11} + $$16\!\cdots\!61$$ p^{14} T^{12} - $$27\!\cdots\!79$$ p^{21} T^{13} - $$36\!\cdots\!42$$ p^{28} T^{14} - $$22\!\cdots\!17$$ p^{35} T^{15} + $$17\!\cdots\!22$$ p^{42} T^{16} + 3909805548824945 p^{49} T^{17} - 67660440296 p^{56} T^{18} + 21 p^{65} T^{19} + p^{70} T^{20} $
	37	$ 1 + 54763 T - 425909379842 T^{2} - 16912552532175195 T^{3} + $$10\!\cdots\!14$$ T^{4} + $$30\!\cdots\!57$$ T^{5} - $$18\!\cdots\!68$$ T^{6} - $$28\!\cdots\!55$$ T^{7} + $$24\!\cdots\!77$$ T^{8} + $$11\!\cdots\!86$$ T^{9} - $$26\!\cdots\!28$$ T^{10} + $$11\!\cdots\!86$$ p^{7} T^{11} + $$24\!\cdots\!77$$ p^{14} T^{12} - $$28\!\cdots\!55$$ p^{21} T^{13} - $$18\!\cdots\!68$$ p^{28} T^{14} + $$30\!\cdots\!57$$ p^{35} T^{15} + $$10\!\cdots\!14$$ p^{42} T^{16} - 16912552532175195 p^{49} T^{17} - 425909379842 p^{56} T^{18} + 54763 p^{63} T^{19} + p^{70} T^{20} $
	41	$ ( 1 - 912234 T + 910157539669 T^{2} - 532613636859636312 T^{3} + $$33\!\cdots\!86$$ T^{4} - $$14\!\cdots\!52$$ T^{5} + $$33\!\cdots\!86$$ p^{7} T^{6} - 532613636859636312 p^{14} T^{7} + 910157539669 p^{21} T^{8} - 912234 p^{28} T^{9} + p^{35} T^{10} )^{2} $
	43	$ ( 1 + 969212 T + 854486868687 T^{2} + 418889562162638160 T^{3} + $$28\!\cdots\!58$$ T^{4} + $$13\!\cdots\!76$$ T^{5} + $$28\!\cdots\!58$$ p^{7} T^{6} + 418889562162638160 p^{14} T^{7} + 854486868687 p^{21} T^{8} + 969212 p^{28} T^{9} + p^{35} T^{10} )^{2} $
	47	$ 1 + 25899 p T - 1374240694168 T^{2} - 1394356400990587503 T^{3} + $$21\!\cdots\!34$$ T^{4} + $$13\!\cdots\!31$$ T^{5} - $$19\!\cdots\!38$$ T^{6} - $$60\!\cdots\!07$$ T^{7} + $$15\!\cdots\!49$$ T^{8} + $$17\!\cdots\!98$$ T^{9} - $$82\!\cdots\!04$$ T^{10} + $$17\!\cdots\!98$$ p^{7} T^{11} + $$15\!\cdots\!49$$ p^{14} T^{12} - $$60\!\cdots\!07$$ p^{21} T^{13} - $$19\!\cdots\!38$$ p^{28} T^{14} + $$13\!\cdots\!31$$ p^{35} T^{15} + $$21\!\cdots\!34$$ p^{42} T^{16} - 1394356400990587503 p^{49} T^{17} - 1374240694168 p^{56} T^{18} + 25899 p^{64} T^{19} + p^{70} T^{20} $
	53	$ 1 - 2349159 T + 250300976054 T^{2} + 3942955978706042487 T^{3} - $$23\!\cdots\!42$$ T^{4} - $$43\!\cdots\!01$$ T^{5} + $$47\!\cdots\!96$$ T^{6} + $$35\!\cdots\!63$$ T^{7} - $$75\!\cdots\!79$$ T^{8} - $$95\!\cdots\!50$$ T^{9} + $$70\!\cdots\!60$$ T^{10} - $$95\!\cdots\!50$$ p^{7} T^{11} - $$75\!\cdots\!79$$ p^{14} T^{12} + $$35\!\cdots\!63$$ p^{21} T^{13} + $$47\!\cdots\!96$$ p^{28} T^{14} - $$43\!\cdots\!01$$ p^{35} T^{15} - $$23\!\cdots\!42$$ p^{42} T^{16} + 3942955978706042487 p^{49} T^{17} + 250300976054 p^{56} T^{18} - 2349159 p^{63} T^{19} + p^{70} T^{20} $
	59	$ 1 + 2188611 T - 4824209251620 T^{2} - 3799527654253362309 T^{3} + $$30\!\cdots\!10$$ T^{4} + $$13\!\cdots\!25$$ T^{5} - $$80\!\cdots\!90$$ T^{6} + $$46\!\cdots\!75$$ T^{7} + $$14\!\cdots\!73$$ T^{8} - $$12\!\cdots\!54$$ p T^{9} - $$23\!\cdots\!12$$ T^{10} - $$12\!\cdots\!54$$ p^{8} T^{11} + $$14\!\cdots\!73$$ p^{14} T^{12} + $$46\!\cdots\!75$$ p^{21} T^{13} - $$80\!\cdots\!90$$ p^{28} T^{14} + $$13\!\cdots\!25$$ p^{35} T^{15} + $$30\!\cdots\!10$$ p^{42} T^{16} - 3799527654253362309 p^{49} T^{17} - 4824209251620 p^{56} T^{18} + 2188611 p^{63} T^{19} + p^{70} T^{20} $
	61	$ 1 - 6107445 T + 10874833097974 T^{2} - 5276441610538080739 T^{3} + $$31\!\cdots\!06$$ T^{4} - $$10\!\cdots\!95$$ T^{5} + $$33\!\cdots\!04$$ T^{6} + $$57\!\cdots\!81$$ T^{7} + $$51\!\cdots\!73$$ T^{8} - $$24\!\cdots\!38$$ T^{9} - $$14\!\cdots\!84$$ T^{10} - $$24\!\cdots\!38$$ p^{7} T^{11} + $$51\!\cdots\!73$$ p^{14} T^{12} + $$57\!\cdots\!81$$ p^{21} T^{13} + $$33\!\cdots\!04$$ p^{28} T^{14} - $$10\!\cdots\!95$$ p^{35} T^{15} + $$31\!\cdots\!06$$ p^{42} T^{16} - 5276441610538080739 p^{49} T^{17} + 10874833097974 p^{56} T^{18} - 6107445 p^{63} T^{19} + p^{70} T^{20} $
	67	$ 1 + 3171581 T - 9842922058220 T^{2} - 71834120796309454835 T^{3} - $$29\!\cdots\!82$$ T^{4} + $$56\!\cdots\!79$$ T^{5} + $$16\!\cdots\!94$$ p T^{6} - $$17\!\cdots\!15$$ T^{7} - $$77\!\cdots\!11$$ T^{8} + $$17\!\cdots\!62$$ T^{9} + $$37\!\cdots\!40$$ T^{10} + $$17\!\cdots\!62$$ p^{7} T^{11} - $$77\!\cdots\!11$$ p^{14} T^{12} - $$17\!\cdots\!15$$ p^{21} T^{13} + $$16\!\cdots\!94$$ p^{29} T^{14} + $$56\!\cdots\!79$$ p^{35} T^{15} - $$29\!\cdots\!82$$ p^{42} T^{16} - 71834120796309454835 p^{49} T^{17} - 9842922058220 p^{56} T^{18} + 3171581 p^{63} T^{19} + p^{70} T^{20} $
	71	$ ( 1 - 9469488 T + 50648806838355 T^{2} - $$19\!\cdots\!88$$ T^{3} + $$58\!\cdots\!94$$ T^{4} - $$17\!\cdots\!40$$ T^{5} + $$58\!\cdots\!94$$ p^{7} T^{6} - $$19\!\cdots\!88$$ p^{14} T^{7} + 50648806838355 p^{21} T^{8} - 9469488 p^{28} T^{9} + p^{35} T^{10} )^{2} $
	73	$ 1 - 8034853 T - 4416730301198 T^{2} + 83379410929933457689 T^{3} + $$64\!\cdots\!46$$ T^{4} - $$20\!\cdots\!11$$ T^{5} - $$11\!\cdots\!56$$ T^{6} + $$18\!\cdots\!13$$ T^{7} + $$16\!\cdots\!81$$ T^{8} - $$14\!\cdots\!54$$ T^{9} - $$22\!\cdots\!84$$ T^{10} - $$14\!\cdots\!54$$ p^{7} T^{11} + $$16\!\cdots\!81$$ p^{14} T^{12} + $$18\!\cdots\!13$$ p^{21} T^{13} - $$11\!\cdots\!56$$ p^{28} T^{14} - $$20\!\cdots\!11$$ p^{35} T^{15} + $$64\!\cdots\!46$$ p^{42} T^{16} + 83379410929933457689 p^{49} T^{17} - 4416730301198 p^{56} T^{18} - 8034853 p^{63} T^{19} + p^{70} T^{20} $
	79	$ 1 + 7589559 T - 43616309164472 T^{2} - $$32\!\cdots\!57$$ T^{3} + $$20\!\cdots\!02$$ T^{4} + $$10\!\cdots\!69$$ T^{5} - $$67\!\cdots\!86$$ T^{6} - $$16\!\cdots\!21$$ T^{7} + $$20\!\cdots\!77$$ T^{8} + $$15\!\cdots\!02$$ T^{9} - $$41\!\cdots\!96$$ T^{10} + $$15\!\cdots\!02$$ p^{7} T^{11} + $$20\!\cdots\!77$$ p^{14} T^{12} - $$16\!\cdots\!21$$ p^{21} T^{13} - $$67\!\cdots\!86$$ p^{28} T^{14} + $$10\!\cdots\!69$$ p^{35} T^{15} + $$20\!\cdots\!02$$ p^{42} T^{16} - $$32\!\cdots\!57$$ p^{49} T^{17} - 43616309164472 p^{56} T^{18} + 7589559 p^{63} T^{19} + p^{70} T^{20} $
	83	$ ( 1 - 6726204 T + 109061370811527 T^{2} - $$64\!\cdots\!80$$ T^{3} + $$54\!\cdots\!66$$ T^{4} - $$24\!\cdots\!84$$ T^{5} + $$54\!\cdots\!66$$ p^{7} T^{6} - $$64\!\cdots\!80$$ p^{14} T^{7} + 109061370811527 p^{21} T^{8} - 6726204 p^{28} T^{9} + p^{35} T^{10} )^{2} $
	89	$ 1 + 29864757 T + 420507434709410 T^{2} + $$38\!\cdots\!23$$ T^{3} + $$26\!\cdots\!42$$ T^{4} + $$12\!\cdots\!15$$ T^{5} + $$13\!\cdots\!04$$ T^{6} - $$41\!\cdots\!01$$ T^{7} - $$50\!\cdots\!79$$ T^{8} - $$41\!\cdots\!78$$ T^{9} - $$29\!\cdots\!28$$ T^{10} - $$41\!\cdots\!78$$ p^{7} T^{11} - $$50\!\cdots\!79$$ p^{14} T^{12} - $$41\!\cdots\!01$$ p^{21} T^{13} + $$13\!\cdots\!04$$ p^{28} T^{14} + $$12\!\cdots\!15$$ p^{35} T^{15} + $$26\!\cdots\!42$$ p^{42} T^{16} + $$38\!\cdots\!23$$ p^{49} T^{17} + 420507434709410 p^{56} T^{18} + 29864757 p^{63} T^{19} + p^{70} T^{20} $
	97	$ ( 1 - 142790 T + 38564498819901 T^{2} + $$41\!\cdots\!20$$ T^{3} + $$86\!\cdots\!18$$ T^{4} - $$26\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$86\!\cdots\!18$$ p^{7} T^{6} + $$41\!\cdots\!20$$ p^{14} T^{7} + 38564498819901 p^{21} T^{8} - 142790 p^{28} T^{9} + p^{35} T^{10} )^{2} $
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$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{20} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−3.25079130276362349247657899869, −3.19678391733962180138210662789, −3.02310193388700094242546932353, −2.89700851949213983272573709619, −2.86238437792967641285730277063, −2.61198997273608092473989120417, −2.61095519838810179231734947900, −2.29551327373169698009402740207, −2.27558080750959382934128128987, −2.27321384886147037616028287053, −2.15895120476490068916713168182, −1.99404185788558461648659080206, −1.91550556584906898377927823629, −1.77072529565496998688927499117, −1.51231726722194212649868590216, −1.10426086253996941156889964957, −1.08420795794233006795461309972, −1.07910776310270768546960366319, −0.852056674859453982437816962862, −0.819144930192827130129331562454, −0.74070417385737570384977079530, −0.39062681926120135464865839184, −0.26871132205305597924837056016, −0.19627153977666394570018353104, −0.06986285574477595425966971984, 0.06986285574477595425966971984, 0.19627153977666394570018353104, 0.26871132205305597924837056016, 0.39062681926120135464865839184, 0.74070417385737570384977079530, 0.819144930192827130129331562454, 0.852056674859453982437816962862, 1.07910776310270768546960366319, 1.08420795794233006795461309972, 1.10426086253996941156889964957, 1.51231726722194212649868590216, 1.77072529565496998688927499117, 1.91550556584906898377927823629, 1.99404185788558461648659080206, 2.15895120476490068916713168182, 2.27321384886147037616028287053, 2.27558080750959382934128128987, 2.29551327373169698009402740207, 2.61095519838810179231734947900, 2.61198997273608092473989120417, 2.86238437792967641285730277063, 2.89700851949213983272573709619, 3.02310193388700094242546932353, 3.19678391733962180138210662789, 3.25079130276362349247657899869

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(4)\)	\(\approx\)	\(0.5144383589\)
\(L(\frac12)\)	\(\approx\)	\(0.5144383589\)
\(L(\frac{9}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

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