Dirichlet series
| L(s) = 1 | − 3-s + 5·7-s + 5·9-s − 3·11-s + 2·13-s + 21·19-s − 5·21-s − 6·23-s + 9·25-s + 2·27-s + 6·29-s − 18·31-s + 3·33-s + 5·37-s − 2·39-s − 12·41-s − 42·43-s + 3·47-s + 10·49-s − 38·53-s − 21·57-s + 36·59-s + 23·61-s + 25·63-s − 2·67-s + 6·69-s + 48·71-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 0.577·3-s + 1.88·7-s + 5/3·9-s − 0.904·11-s + 0.554·13-s + 4.81·19-s − 1.09·21-s − 1.25·23-s + 9/5·25-s + 0.384·27-s + 1.11·29-s − 3.23·31-s + 0.522·33-s + 0.821·37-s − 0.320·39-s − 1.87·41-s − 6.40·43-s + 0.437·47-s + 10/7·49-s − 5.21·53-s − 2.78·57-s + 4.68·59-s + 2.94·61-s + 3.14·63-s − 0.244·67-s + 0.722·69-s + 5.69·71-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{60} \cdot 7^{20} \cdot 11^{20}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{20} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{60} \cdot 7^{20} \cdot 11^{20}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{20} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(40\) |
| Conductor: | \(2^{60} \cdot 7^{20} \cdot 11^{20}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(6.87315\times 10^{13}\) |
| Root analytic conductor: | \(2.21783\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((40,\ 2^{60} \cdot 7^{20} \cdot 11^{20} ,\ ( \ : [1/2]^{20} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(\approx\) | \(4.883668237\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(4.883668237\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 2 | \( 1 \) |
| 7 | \( ( 1 - T + T^{2} - T^{3} + T^{4} )^{5} \) | |
| 11 | \( 1 + 3 T + 17 T^{2} + 68 T^{3} + 27 p T^{4} + 516 T^{5} + 2061 T^{6} + 5244 T^{7} + 2191 T^{8} - 7971 T^{9} + 23066 T^{10} - 7971 p T^{11} + 2191 p^{2} T^{12} + 5244 p^{3} T^{13} + 2061 p^{4} T^{14} + 516 p^{5} T^{15} + 27 p^{7} T^{16} + 68 p^{7} T^{17} + 17 p^{8} T^{18} + 3 p^{9} T^{19} + p^{10} T^{20} \) | |
| good | 3 | \( 1 + T - 4 T^{2} - 11 T^{3} - 11 T^{4} + 43 T^{5} + 88 T^{6} - 19 T^{7} - 214 T^{8} - 287 T^{9} + 712 T^{10} + 109 p^{2} T^{11} - 277 p^{2} T^{12} - 5527 T^{13} - 32 p T^{14} + 8101 p T^{15} + 27656 T^{16} - 12341 p T^{17} - 96692 T^{18} + 4757 T^{19} + 259603 T^{20} + 4757 p T^{21} - 96692 p^{2} T^{22} - 12341 p^{4} T^{23} + 27656 p^{4} T^{24} + 8101 p^{6} T^{25} - 32 p^{7} T^{26} - 5527 p^{7} T^{27} - 277 p^{10} T^{28} + 109 p^{11} T^{29} + 712 p^{10} T^{30} - 287 p^{11} T^{31} - 214 p^{12} T^{32} - 19 p^{13} T^{33} + 88 p^{14} T^{34} + 43 p^{15} T^{35} - 11 p^{16} T^{36} - 11 p^{17} T^{37} - 4 p^{18} T^{38} + p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) |
| 5 | \( 1 - 9 T^{2} + 9 T^{3} + 8 T^{4} + 33 T^{5} + 336 T^{6} - 892 T^{7} - 991 T^{8} + 4033 T^{9} - 303 T^{10} + 599 p^{2} T^{11} - 4223 T^{12} - 113416 T^{13} + 108366 T^{14} + 330883 T^{15} + 492266 T^{16} - 135469 p T^{17} - 501509 p T^{18} + 196996 p^{2} T^{19} + 480756 p^{2} T^{20} + 196996 p^{3} T^{21} - 501509 p^{3} T^{22} - 135469 p^{4} T^{23} + 492266 p^{4} T^{24} + 330883 p^{5} T^{25} + 108366 p^{6} T^{26} - 113416 p^{7} T^{27} - 4223 p^{8} T^{28} + 599 p^{11} T^{29} - 303 p^{10} T^{30} + 4033 p^{11} T^{31} - 991 p^{12} T^{32} - 892 p^{13} T^{33} + 336 p^{14} T^{34} + 33 p^{15} T^{35} + 8 p^{16} T^{36} + 9 p^{17} T^{37} - 9 p^{18} T^{38} + p^{20} T^{40} \) | |
| 13 | \( 1 - 2 T - 50 T^{2} + 96 T^{3} + 920 T^{4} - 1510 T^{5} - 5064 T^{6} + 1920 T^{7} - 78573 T^{8} + 229207 T^{9} + 1601993 T^{10} - 4014497 T^{11} - 7605464 T^{12} + 63384656 T^{13} - 76182692 T^{14} - 1220597802 T^{15} + 301964269 T^{16} + 18573562048 T^{17} + 25562817620 T^{18} - 116512049552 T^{19} - 509092362783 T^{20} - 116512049552 p T^{21} + 25562817620 p^{2} T^{22} + 18573562048 p^{3} T^{23} + 301964269 p^{4} T^{24} - 1220597802 p^{5} T^{25} - 76182692 p^{6} T^{26} + 63384656 p^{7} T^{27} - 7605464 p^{8} T^{28} - 4014497 p^{9} T^{29} + 1601993 p^{10} T^{30} + 229207 p^{11} T^{31} - 78573 p^{12} T^{32} + 1920 p^{13} T^{33} - 5064 p^{14} T^{34} - 1510 p^{15} T^{35} + 920 p^{16} T^{36} + 96 p^{17} T^{37} - 50 p^{18} T^{38} - 2 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 17 | \( 1 - 46 T^{2} - 37 T^{3} + 767 T^{4} - 454 T^{5} + 1323 T^{6} + 45903 T^{7} - 212332 T^{8} - 1060680 T^{9} + 4003183 T^{10} + 12075170 T^{11} + 6869065 T^{12} - 123584437 T^{13} - 1092361313 T^{14} - 139582720 T^{15} + 460593504 p T^{16} - 7203063681 T^{17} + 426115659450 T^{18} + 31069254170 T^{19} - 10730297890807 T^{20} + 31069254170 p T^{21} + 426115659450 p^{2} T^{22} - 7203063681 p^{3} T^{23} + 460593504 p^{5} T^{24} - 139582720 p^{5} T^{25} - 1092361313 p^{6} T^{26} - 123584437 p^{7} T^{27} + 6869065 p^{8} T^{28} + 12075170 p^{9} T^{29} + 4003183 p^{10} T^{30} - 1060680 p^{11} T^{31} - 212332 p^{12} T^{32} + 45903 p^{13} T^{33} + 1323 p^{14} T^{34} - 454 p^{15} T^{35} + 767 p^{16} T^{36} - 37 p^{17} T^{37} - 46 p^{18} T^{38} + p^{20} T^{40} \) | |
| 19 | \( 1 - 21 T + 156 T^{2} - 121 T^{3} - 6031 T^{4} + 45697 T^{5} - 6170 p T^{6} - 505987 T^{7} + 346162 p T^{8} - 31247878 T^{9} + 39029209 T^{10} + 516104027 T^{11} - 4121964547 T^{12} + 13933472118 T^{13} + 515266923 T^{14} - 14636689071 p T^{15} + 1680718879944 T^{16} - 4994379999032 T^{17} - 1063809588143 T^{18} + 101200673805314 T^{19} - 612751042489304 T^{20} + 101200673805314 p T^{21} - 1063809588143 p^{2} T^{22} - 4994379999032 p^{3} T^{23} + 1680718879944 p^{4} T^{24} - 14636689071 p^{6} T^{25} + 515266923 p^{6} T^{26} + 13933472118 p^{7} T^{27} - 4121964547 p^{8} T^{28} + 516104027 p^{9} T^{29} + 39029209 p^{10} T^{30} - 31247878 p^{11} T^{31} + 346162 p^{13} T^{32} - 505987 p^{13} T^{33} - 6170 p^{15} T^{34} + 45697 p^{15} T^{35} - 6031 p^{16} T^{36} - 121 p^{17} T^{37} + 156 p^{18} T^{38} - 21 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 23 | \( ( 1 + 3 T + 83 T^{2} + 331 T^{3} + 3355 T^{4} + 17088 T^{5} + 105277 T^{6} + 529111 T^{7} + 3202397 T^{8} + 12130887 T^{9} + 83618442 T^{10} + 12130887 p T^{11} + 3202397 p^{2} T^{12} + 529111 p^{3} T^{13} + 105277 p^{4} T^{14} + 17088 p^{5} T^{15} + 3355 p^{6} T^{16} + 331 p^{7} T^{17} + 83 p^{8} T^{18} + 3 p^{9} T^{19} + p^{10} T^{20} )^{2} \) | |
| 29 | \( 1 - 6 T - 37 T^{2} + 106 T^{3} + 2308 T^{4} - 6824 T^{5} - 50163 T^{6} + 62258 T^{7} + 1725196 T^{8} - 3450168 T^{9} - 17462274 T^{10} + 39709148 T^{11} + 83813295 T^{12} - 999366212 T^{13} + 19832107175 T^{14} - 32600587620 T^{15} - 1505168638431 T^{16} + 2337442975860 T^{17} + 60854488810719 T^{18} - 18794385819982 T^{19} - 2021901327249997 T^{20} - 18794385819982 p T^{21} + 60854488810719 p^{2} T^{22} + 2337442975860 p^{3} T^{23} - 1505168638431 p^{4} T^{24} - 32600587620 p^{5} T^{25} + 19832107175 p^{6} T^{26} - 999366212 p^{7} T^{27} + 83813295 p^{8} T^{28} + 39709148 p^{9} T^{29} - 17462274 p^{10} T^{30} - 3450168 p^{11} T^{31} + 1725196 p^{12} T^{32} + 62258 p^{13} T^{33} - 50163 p^{14} T^{34} - 6824 p^{15} T^{35} + 2308 p^{16} T^{36} + 106 p^{17} T^{37} - 37 p^{18} T^{38} - 6 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 31 | \( 1 + 18 T + 15 T^{2} - 1414 T^{3} - 5826 T^{4} + 45820 T^{5} + 362171 T^{6} + 9066 p T^{7} - 9258084 T^{8} - 2457834 p T^{9} + 694412 p T^{10} + 3044179386 T^{11} + 7468785903 T^{12} - 43640550332 T^{13} - 262552852715 T^{14} - 813660050982 T^{15} + 5335188055263 T^{16} + 57692548454016 T^{17} - 64609136040645 T^{18} - 858235773922798 T^{19} + 1252691443992583 T^{20} - 858235773922798 p T^{21} - 64609136040645 p^{2} T^{22} + 57692548454016 p^{3} T^{23} + 5335188055263 p^{4} T^{24} - 813660050982 p^{5} T^{25} - 262552852715 p^{6} T^{26} - 43640550332 p^{7} T^{27} + 7468785903 p^{8} T^{28} + 3044179386 p^{9} T^{29} + 694412 p^{11} T^{30} - 2457834 p^{12} T^{31} - 9258084 p^{12} T^{32} + 9066 p^{14} T^{33} + 362171 p^{14} T^{34} + 45820 p^{15} T^{35} - 5826 p^{16} T^{36} - 1414 p^{17} T^{37} + 15 p^{18} T^{38} + 18 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 37 | \( 1 - 5 T - 108 T^{2} - 66 T^{3} + 8280 T^{4} + 30799 T^{5} - 188920 T^{6} - 2414381 T^{7} - 7168852 T^{8} + 25249452 T^{9} + 710227301 T^{10} + 3526001082 T^{11} - 83831250 p T^{12} - 187164158187 T^{13} - 1018967608280 T^{14} - 2468302931455 T^{15} + 35654287801360 T^{16} + 367879596494262 T^{17} + 1361513231599386 T^{18} - 8957206567391717 T^{19} - 100099836634119980 T^{20} - 8957206567391717 p T^{21} + 1361513231599386 p^{2} T^{22} + 367879596494262 p^{3} T^{23} + 35654287801360 p^{4} T^{24} - 2468302931455 p^{5} T^{25} - 1018967608280 p^{6} T^{26} - 187164158187 p^{7} T^{27} - 83831250 p^{9} T^{28} + 3526001082 p^{9} T^{29} + 710227301 p^{10} T^{30} + 25249452 p^{11} T^{31} - 7168852 p^{12} T^{32} - 2414381 p^{13} T^{33} - 188920 p^{14} T^{34} + 30799 p^{15} T^{35} + 8280 p^{16} T^{36} - 66 p^{17} T^{37} - 108 p^{18} T^{38} - 5 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 41 | \( 1 + 12 T - 127 T^{2} - 2058 T^{3} + 6435 T^{4} + 177874 T^{5} + 134147 T^{6} - 7880296 T^{7} - 30843522 T^{8} + 2824880 p T^{9} + 1510210269 T^{10} + 6578577034 T^{11} - 6640156311 T^{12} - 213694101518 T^{13} - 1854557683529 T^{14} - 15024559903752 T^{15} + 30884048375140 T^{16} + 1361115469127524 T^{17} + 5741362754963033 T^{18} - 28491685088297074 T^{19} - 384634027424877659 T^{20} - 28491685088297074 p T^{21} + 5741362754963033 p^{2} T^{22} + 1361115469127524 p^{3} T^{23} + 30884048375140 p^{4} T^{24} - 15024559903752 p^{5} T^{25} - 1854557683529 p^{6} T^{26} - 213694101518 p^{7} T^{27} - 6640156311 p^{8} T^{28} + 6578577034 p^{9} T^{29} + 1510210269 p^{10} T^{30} + 2824880 p^{12} T^{31} - 30843522 p^{12} T^{32} - 7880296 p^{13} T^{33} + 134147 p^{14} T^{34} + 177874 p^{15} T^{35} + 6435 p^{16} T^{36} - 2058 p^{17} T^{37} - 127 p^{18} T^{38} + 12 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 43 | \( ( 1 + 21 T + 422 T^{2} + 124 p T^{3} + 1482 p T^{4} + 584785 T^{5} + 5202853 T^{6} + 38122540 T^{7} + 283544113 T^{8} + 1829174149 T^{9} + 12686119985 T^{10} + 1829174149 p T^{11} + 283544113 p^{2} T^{12} + 38122540 p^{3} T^{13} + 5202853 p^{4} T^{14} + 584785 p^{5} T^{15} + 1482 p^{7} T^{16} + 124 p^{8} T^{17} + 422 p^{8} T^{18} + 21 p^{9} T^{19} + p^{10} T^{20} )^{2} \) | |
| 47 | \( 1 - 3 T - 145 T^{2} + 815 T^{3} + 10970 T^{4} - 97381 T^{5} - 437248 T^{6} + 6665651 T^{7} + 7316478 T^{8} - 297576233 T^{9} + 3770503 p T^{10} + 9349602971 T^{11} - 2099729097 T^{12} - 329579849809 T^{13} - 438219106422 T^{14} + 17152491238911 T^{15} - 8963781304813 T^{16} - 870798688744253 T^{17} + 4227451344753051 T^{18} + 17271079882910193 T^{19} - 286289453662349805 T^{20} + 17271079882910193 p T^{21} + 4227451344753051 p^{2} T^{22} - 870798688744253 p^{3} T^{23} - 8963781304813 p^{4} T^{24} + 17152491238911 p^{5} T^{25} - 438219106422 p^{6} T^{26} - 329579849809 p^{7} T^{27} - 2099729097 p^{8} T^{28} + 9349602971 p^{9} T^{29} + 3770503 p^{11} T^{30} - 297576233 p^{11} T^{31} + 7316478 p^{12} T^{32} + 6665651 p^{13} T^{33} - 437248 p^{14} T^{34} - 97381 p^{15} T^{35} + 10970 p^{16} T^{36} + 815 p^{17} T^{37} - 145 p^{18} T^{38} - 3 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 53 | \( 1 + 38 T + 470 T^{2} - 1089 T^{3} - 89575 T^{4} - 742304 T^{5} + 4254972 T^{6} + 114019649 T^{7} + 411886874 T^{8} - 7679571132 T^{9} - 86136145708 T^{10} + 75272351428 T^{11} + 7015843507671 T^{12} + 35831727371176 T^{13} - 279183923046778 T^{14} - 3938636908444830 T^{15} - 4001378064047867 T^{16} + 4133585174556818 p T^{17} + 1411592577976904891 T^{18} - 4977191098073175302 T^{19} - \)\(10\!\cdots\!22\)\( T^{20} - 4977191098073175302 p T^{21} + 1411592577976904891 p^{2} T^{22} + 4133585174556818 p^{4} T^{23} - 4001378064047867 p^{4} T^{24} - 3938636908444830 p^{5} T^{25} - 279183923046778 p^{6} T^{26} + 35831727371176 p^{7} T^{27} + 7015843507671 p^{8} T^{28} + 75272351428 p^{9} T^{29} - 86136145708 p^{10} T^{30} - 7679571132 p^{11} T^{31} + 411886874 p^{12} T^{32} + 114019649 p^{13} T^{33} + 4254972 p^{14} T^{34} - 742304 p^{15} T^{35} - 89575 p^{16} T^{36} - 1089 p^{17} T^{37} + 470 p^{18} T^{38} + 38 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 59 | \( 1 - 36 T + 414 T^{2} - 291 T^{3} - 18627 T^{4} - 226610 T^{5} + 6151709 T^{6} - 28759287 T^{7} - 257593143 T^{8} + 1737078229 T^{9} + 31086224317 T^{10} - 382177157281 T^{11} - 28929605659 T^{12} + 21156472229053 T^{13} - 13414151528609 T^{14} - 1920292194368814 T^{15} + 11414038328937711 T^{16} + 58682347356445905 T^{17} - 737307906632941084 T^{18} - 2595228096515301374 T^{19} + 65117696530889666716 T^{20} - 2595228096515301374 p T^{21} - 737307906632941084 p^{2} T^{22} + 58682347356445905 p^{3} T^{23} + 11414038328937711 p^{4} T^{24} - 1920292194368814 p^{5} T^{25} - 13414151528609 p^{6} T^{26} + 21156472229053 p^{7} T^{27} - 28929605659 p^{8} T^{28} - 382177157281 p^{9} T^{29} + 31086224317 p^{10} T^{30} + 1737078229 p^{11} T^{31} - 257593143 p^{12} T^{32} - 28759287 p^{13} T^{33} + 6151709 p^{14} T^{34} - 226610 p^{15} T^{35} - 18627 p^{16} T^{36} - 291 p^{17} T^{37} + 414 p^{18} T^{38} - 36 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 61 | \( 1 - 23 T + 93 T^{2} + 2880 T^{3} - 39390 T^{4} - 23219 T^{5} + 4512882 T^{6} - 30685490 T^{7} - 202901182 T^{8} + 4140775297 T^{9} - 12906415993 T^{10} - 230165905489 T^{11} + 2583820389005 T^{12} - 1381286838302 T^{13} - 175212961119512 T^{14} + 1347906602446447 T^{15} + 2550523270881961 T^{16} - 109652974124989112 T^{17} + 590774297893765929 T^{18} + 3052372261829181111 T^{19} - 57126263870666964107 T^{20} + 3052372261829181111 p T^{21} + 590774297893765929 p^{2} T^{22} - 109652974124989112 p^{3} T^{23} + 2550523270881961 p^{4} T^{24} + 1347906602446447 p^{5} T^{25} - 175212961119512 p^{6} T^{26} - 1381286838302 p^{7} T^{27} + 2583820389005 p^{8} T^{28} - 230165905489 p^{9} T^{29} - 12906415993 p^{10} T^{30} + 4140775297 p^{11} T^{31} - 202901182 p^{12} T^{32} - 30685490 p^{13} T^{33} + 4512882 p^{14} T^{34} - 23219 p^{15} T^{35} - 39390 p^{16} T^{36} + 2880 p^{17} T^{37} + 93 p^{18} T^{38} - 23 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 67 | \( ( 1 + T + 315 T^{2} + 1152 T^{3} + 54352 T^{4} + 269609 T^{5} + 6845811 T^{6} + 35305376 T^{7} + 667020714 T^{8} + 47474177 p T^{9} + 50697033803 T^{10} + 47474177 p^{2} T^{11} + 667020714 p^{2} T^{12} + 35305376 p^{3} T^{13} + 6845811 p^{4} T^{14} + 269609 p^{5} T^{15} + 54352 p^{6} T^{16} + 1152 p^{7} T^{17} + 315 p^{8} T^{18} + p^{9} T^{19} + p^{10} T^{20} )^{2} \) | |
| 71 | \( 1 - 48 T + 1076 T^{2} - 14350 T^{3} + 121660 T^{4} - 618944 T^{5} + 152610 T^{6} + 48914015 T^{7} - 869217756 T^{8} + 9664088328 T^{9} - 72240470024 T^{10} + 303094569299 T^{11} + 1254664070630 T^{12} - 47986332810705 T^{13} + 651194587866725 T^{14} - 5694545207298910 T^{15} + 32656984902523281 T^{16} - 74752491072077250 T^{17} - 1171412009504765538 T^{18} + 23011210507411004415 T^{19} - \)\(24\!\cdots\!54\)\( T^{20} + 23011210507411004415 p T^{21} - 1171412009504765538 p^{2} T^{22} - 74752491072077250 p^{3} T^{23} + 32656984902523281 p^{4} T^{24} - 5694545207298910 p^{5} T^{25} + 651194587866725 p^{6} T^{26} - 47986332810705 p^{7} T^{27} + 1254664070630 p^{8} T^{28} + 303094569299 p^{9} T^{29} - 72240470024 p^{10} T^{30} + 9664088328 p^{11} T^{31} - 869217756 p^{12} T^{32} + 48914015 p^{13} T^{33} + 152610 p^{14} T^{34} - 618944 p^{15} T^{35} + 121660 p^{16} T^{36} - 14350 p^{17} T^{37} + 1076 p^{18} T^{38} - 48 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 73 | \( 1 - 6 T - 190 T^{2} + 2293 T^{3} + 15333 T^{4} - 374132 T^{5} + 158673 T^{6} + 37362613 T^{7} - 174714373 T^{8} - 2507059049 T^{9} + 20347792205 T^{10} + 129000034793 T^{11} - 1463908869805 T^{12} - 9166183479125 T^{13} + 104109828233161 T^{14} + 924293601709468 T^{15} - 10951840804689199 T^{16} - 71668541953315373 T^{17} + 1234538479005770008 T^{18} + 2398349620782089118 T^{19} - \)\(10\!\cdots\!28\)\( T^{20} + 2398349620782089118 p T^{21} + 1234538479005770008 p^{2} T^{22} - 71668541953315373 p^{3} T^{23} - 10951840804689199 p^{4} T^{24} + 924293601709468 p^{5} T^{25} + 104109828233161 p^{6} T^{26} - 9166183479125 p^{7} T^{27} - 1463908869805 p^{8} T^{28} + 129000034793 p^{9} T^{29} + 20347792205 p^{10} T^{30} - 2507059049 p^{11} T^{31} - 174714373 p^{12} T^{32} + 37362613 p^{13} T^{33} + 158673 p^{14} T^{34} - 374132 p^{15} T^{35} + 15333 p^{16} T^{36} + 2293 p^{17} T^{37} - 190 p^{18} T^{38} - 6 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 79 | \( 1 - 43 T + 570 T^{2} + 1600 T^{3} - 115069 T^{4} + 1039246 T^{5} - 1235755 T^{6} - 36493398 T^{7} + 591427817 T^{8} - 10040046303 T^{9} + 86496119812 T^{10} + 106681429977 T^{11} - 8756430418914 T^{12} + 75219413548693 T^{13} - 225693137299661 T^{14} - 573578755155742 T^{15} + 15491099433937779 T^{16} - 319388254742483081 T^{17} + 2882332416540352939 T^{18} + 9970823835387371155 T^{19} - \)\(32\!\cdots\!82\)\( T^{20} + 9970823835387371155 p T^{21} + 2882332416540352939 p^{2} T^{22} - 319388254742483081 p^{3} T^{23} + 15491099433937779 p^{4} T^{24} - 573578755155742 p^{5} T^{25} - 225693137299661 p^{6} T^{26} + 75219413548693 p^{7} T^{27} - 8756430418914 p^{8} T^{28} + 106681429977 p^{9} T^{29} + 86496119812 p^{10} T^{30} - 10040046303 p^{11} T^{31} + 591427817 p^{12} T^{32} - 36493398 p^{13} T^{33} - 1235755 p^{14} T^{34} + 1039246 p^{15} T^{35} - 115069 p^{16} T^{36} + 1600 p^{17} T^{37} + 570 p^{18} T^{38} - 43 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 83 | \( 1 - 5 T - 110 T^{2} + 287 T^{3} - 2931 T^{4} + 281385 T^{5} + 237296 T^{6} - 24718701 T^{7} - 66304619 T^{8} - 680200854 T^{9} + 36453431688 T^{10} + 76707591640 T^{11} - 1559160517007 T^{12} - 11280630245705 T^{13} - 124278557895966 T^{14} + 3054574220875209 T^{15} + 1763775878800593 T^{16} - 62292897980881405 T^{17} - 537115926667878008 T^{18} - 5892668686475291787 T^{19} + \)\(19\!\cdots\!22\)\( T^{20} - 5892668686475291787 p T^{21} - 537115926667878008 p^{2} T^{22} - 62292897980881405 p^{3} T^{23} + 1763775878800593 p^{4} T^{24} + 3054574220875209 p^{5} T^{25} - 124278557895966 p^{6} T^{26} - 11280630245705 p^{7} T^{27} - 1559160517007 p^{8} T^{28} + 76707591640 p^{9} T^{29} + 36453431688 p^{10} T^{30} - 680200854 p^{11} T^{31} - 66304619 p^{12} T^{32} - 24718701 p^{13} T^{33} + 237296 p^{14} T^{34} + 281385 p^{15} T^{35} - 2931 p^{16} T^{36} + 287 p^{17} T^{37} - 110 p^{18} T^{38} - 5 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 89 | \( ( 1 + 23 T + 675 T^{2} + 10700 T^{3} + 193719 T^{4} + 2451278 T^{5} + 34507309 T^{6} + 372328244 T^{7} + 4442623001 T^{8} + 42270433185 T^{9} + 444175913766 T^{10} + 42270433185 p T^{11} + 4442623001 p^{2} T^{12} + 372328244 p^{3} T^{13} + 34507309 p^{4} T^{14} + 2451278 p^{5} T^{15} + 193719 p^{6} T^{16} + 10700 p^{7} T^{17} + 675 p^{8} T^{18} + 23 p^{9} T^{19} + p^{10} T^{20} )^{2} \) | |
| 97 | \( 1 - 9 T - 30 T^{2} + 3058 T^{3} - 39472 T^{4} + 183329 T^{5} + 4391544 T^{6} - 94689387 T^{7} + 771243768 T^{8} + 2158872176 T^{9} - 125783644591 T^{10} + 1402040542684 T^{11} - 4145822691540 T^{12} - 97569644917995 T^{13} + 1612532026734714 T^{14} - 8814681223519853 T^{15} - 55064933262337946 T^{16} + 1274744052122153204 T^{17} - 7336666306080402326 T^{18} - 44911086306474737451 T^{19} + \)\(98\!\cdots\!16\)\( T^{20} - 44911086306474737451 p T^{21} - 7336666306080402326 p^{2} T^{22} + 1274744052122153204 p^{3} T^{23} - 55064933262337946 p^{4} T^{24} - 8814681223519853 p^{5} T^{25} + 1612532026734714 p^{6} T^{26} - 97569644917995 p^{7} T^{27} - 4145822691540 p^{8} T^{28} + 1402040542684 p^{9} T^{29} - 125783644591 p^{10} T^{30} + 2158872176 p^{11} T^{31} + 771243768 p^{12} T^{32} - 94689387 p^{13} T^{33} + 4391544 p^{14} T^{34} + 183329 p^{15} T^{35} - 39472 p^{16} T^{36} + 3058 p^{17} T^{37} - 30 p^{18} T^{38} - 9 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{40} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−2.45145322350032380483461988012, −2.37551736154765562121957564007, −2.14596167113834451261438053948, −2.09407558287129768473336050222, −2.06068244189818840081805172621, −2.01277474078249752843598137209, −1.98162690946521983810081744320, −1.96129246058111414704506389778, −1.92164249235358482267956782362, −1.69862786511552592320931847372, −1.69207976883657643951551767760, −1.66591104139609670638587802881, −1.53160812047034509785150573316, −1.50541031515013577722277503093, −1.32246105185256354603224436730, −1.19593982649765097888460919559, −1.19365066101925706676558967915, −0.979011188043482530506362601443, −0.922175032458714802100737562815, −0.913451467530638756262971831180, −0.893464379330936485283606750583, −0.68289590136675198724178060294, −0.52829334343639198478505930006, −0.39203302323795413341474646154, −0.083882040605845931607852843838, 0.083882040605845931607852843838, 0.39203302323795413341474646154, 0.52829334343639198478505930006, 0.68289590136675198724178060294, 0.893464379330936485283606750583, 0.913451467530638756262971831180, 0.922175032458714802100737562815, 0.979011188043482530506362601443, 1.19365066101925706676558967915, 1.19593982649765097888460919559, 1.32246105185256354603224436730, 1.50541031515013577722277503093, 1.53160812047034509785150573316, 1.66591104139609670638587802881, 1.69207976883657643951551767760, 1.69862786511552592320931847372, 1.92164249235358482267956782362, 1.96129246058111414704506389778, 1.98162690946521983810081744320, 2.01277474078249752843598137209, 2.06068244189818840081805172621, 2.09407558287129768473336050222, 2.14596167113834451261438053948, 2.37551736154765562121957564007, 2.45145322350032380483461988012
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.