Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 3*x^26 + 6*x^25 - 24*x^24 + 48*x^23 - 168*x^22 + 432*x^21 - 912*x^20 + 1881*x^19 - 3339*x^18 + 5010*x^17 - 6228*x^16 + 4974*x^15 + 678*x^14 - 7944*x^13 + 10788*x^12 - 6252*x^11 - 1380*x^10 + 6072*x^9 - 6312*x^8 + 3396*x^7 + 324*x^6 - 2112*x^5 + 1416*x^4 - 156*x^3 - 252*x^2 + 120*x - 16)
gp: K = bnfinit(y^27 - 3*y^26 + 6*y^25 - 24*y^24 + 48*y^23 - 168*y^22 + 432*y^21 - 912*y^20 + 1881*y^19 - 3339*y^18 + 5010*y^17 - 6228*y^16 + 4974*y^15 + 678*y^14 - 7944*y^13 + 10788*y^12 - 6252*y^11 - 1380*y^10 + 6072*y^9 - 6312*y^8 + 3396*y^7 + 324*y^6 - 2112*y^5 + 1416*y^4 - 156*y^3 - 252*y^2 + 120*y - 16, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^27 - 3*x^26 + 6*x^25 - 24*x^24 + 48*x^23 - 168*x^22 + 432*x^21 - 912*x^20 + 1881*x^19 - 3339*x^18 + 5010*x^17 - 6228*x^16 + 4974*x^15 + 678*x^14 - 7944*x^13 + 10788*x^12 - 6252*x^11 - 1380*x^10 + 6072*x^9 - 6312*x^8 + 3396*x^7 + 324*x^6 - 2112*x^5 + 1416*x^4 - 156*x^3 - 252*x^2 + 120*x - 16);
oscar: Qx, x = polynomial_ring(QQ); K, a = number_field(x^27 - 3*x^26 + 6*x^25 - 24*x^24 + 48*x^23 - 168*x^22 + 432*x^21 - 912*x^20 + 1881*x^19 - 3339*x^18 + 5010*x^17 - 6228*x^16 + 4974*x^15 + 678*x^14 - 7944*x^13 + 10788*x^12 - 6252*x^11 - 1380*x^10 + 6072*x^9 - 6312*x^8 + 3396*x^7 + 324*x^6 - 2112*x^5 + 1416*x^4 - 156*x^3 - 252*x^2 + 120*x - 16)
\( x^{27} - 3 x^{26} + 6 x^{25} - 24 x^{24} + 48 x^{23} - 168 x^{22} + 432 x^{21} - 912 x^{20} + 1881 x^{19} + \cdots - 16 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $27$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[3, 12]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(10815458297502011800862797653344256000000\)
\(\medspace = 2^{62}\cdot 3^{36}\cdot 5^{6}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(30.39\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | not computed | ||
| Ramified primes: |
\(2\), \(3\), \(5\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $1$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is not Galois over $\Q$. | |||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $\frac{1}{2}a^{12}-\frac{1}{2}a^{8}$, $\frac{1}{2}a^{13}-\frac{1}{2}a^{9}$, $\frac{1}{2}a^{14}-\frac{1}{2}a^{10}$, $\frac{1}{2}a^{15}-\frac{1}{2}a^{11}$, $\frac{1}{2}a^{16}-\frac{1}{2}a^{8}$, $\frac{1}{4}a^{17}-\frac{1}{4}a^{16}-\frac{1}{4}a^{13}-\frac{1}{4}a^{12}-\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{2}a^{5}-\frac{1}{2}a^{4}$, $\frac{1}{4}a^{18}-\frac{1}{4}a^{16}-\frac{1}{4}a^{14}-\frac{1}{4}a^{12}-\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{2}a^{6}-\frac{1}{2}a^{4}$, $\frac{1}{4}a^{19}-\frac{1}{4}a^{16}-\frac{1}{4}a^{15}-\frac{1}{4}a^{12}-\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{2}a^{7}-\frac{1}{2}a^{4}$, $\frac{1}{4}a^{20}-\frac{1}{4}a^{12}-\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{2}a^{4}$, $\frac{1}{4}a^{21}-\frac{1}{4}a^{13}-\frac{1}{2}a^{9}-\frac{1}{2}a^{5}$, $\frac{1}{4}a^{22}-\frac{1}{4}a^{14}-\frac{1}{2}a^{10}-\frac{1}{2}a^{6}$, $\frac{1}{8}a^{23}-\frac{1}{8}a^{21}-\frac{1}{8}a^{19}-\frac{1}{8}a^{17}-\frac{1}{4}a^{16}-\frac{1}{4}a^{15}-\frac{1}{4}a^{12}-\frac{1}{2}a^{11}-\frac{1}{2}a^{10}-\frac{1}{2}a^{5}-\frac{1}{2}a^{4}-\frac{1}{2}a^{3}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{8}a^{24}-\frac{1}{8}a^{22}-\frac{1}{8}a^{20}-\frac{1}{8}a^{18}-\frac{1}{4}a^{12}-\frac{1}{2}a^{11}-\frac{1}{2}a^{9}-\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{2}a^{6}-\frac{1}{2}a^{2}$, $\frac{1}{1384}a^{25}-\frac{41}{692}a^{24}-\frac{51}{1384}a^{23}-\frac{29}{692}a^{22}-\frac{127}{1384}a^{21}+\frac{41}{346}a^{20}+\frac{169}{1384}a^{19}-\frac{41}{692}a^{18}+\frac{9}{173}a^{17}+\frac{29}{692}a^{16}-\frac{28}{173}a^{15}+\frac{59}{346}a^{14}+\frac{21}{346}a^{13}+\frac{33}{346}a^{12}-\frac{141}{346}a^{11}+\frac{36}{173}a^{10}+\frac{26}{173}a^{9}+\frac{85}{346}a^{8}-\frac{55}{346}a^{7}-\frac{73}{173}a^{6}+\frac{31}{346}a^{5}-\frac{52}{173}a^{4}-\frac{99}{346}a^{3}+\frac{70}{173}a^{2}-\frac{41}{173}a-\frac{31}{173}$, $\frac{1}{27\!\cdots\!56}a^{26}+\frac{91\!\cdots\!71}{27\!\cdots\!56}a^{25}-\frac{47\!\cdots\!05}{27\!\cdots\!56}a^{24}-\frac{27\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!28}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!19}{27\!\cdots\!56}a^{22}+\frac{33\!\cdots\!29}{13\!\cdots\!28}a^{21}+\frac{27\!\cdots\!49}{27\!\cdots\!56}a^{20}-\frac{28\!\cdots\!71}{69\!\cdots\!14}a^{19}+\frac{52\!\cdots\!85}{69\!\cdots\!14}a^{18}+\frac{22\!\cdots\!05}{27\!\cdots\!56}a^{17}-\frac{16\!\cdots\!75}{69\!\cdots\!14}a^{16}-\frac{25\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!28}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!27}{69\!\cdots\!14}a^{14}+\frac{58\!\cdots\!17}{47\!\cdots\!32}a^{13}-\frac{21\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!28}a^{12}-\frac{20\!\cdots\!65}{69\!\cdots\!14}a^{11}+\frac{33\!\cdots\!23}{69\!\cdots\!14}a^{10}+\frac{32\!\cdots\!95}{69\!\cdots\!14}a^{9}+\frac{33\!\cdots\!67}{69\!\cdots\!14}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!11}{69\!\cdots\!14}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!63}{69\!\cdots\!14}a^{6}-\frac{34\!\cdots\!53}{69\!\cdots\!14}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!38}{34\!\cdots\!57}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!21}{34\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{67\!\cdots\!52}{34\!\cdots\!57}a^{2}-\frac{19\!\cdots\!11}{69\!\cdots\!14}a+\frac{14\!\cdots\!07}{34\!\cdots\!57}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | No | |
| Index: | Not computed | |
| Inessential primes: | $2$ |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $14$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{74\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!28}a^{26}-\frac{17\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!28}a^{25}+\frac{33\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!28}a^{24}-\frac{31\!\cdots\!79}{27\!\cdots\!56}a^{23}+\frac{25\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!28}a^{22}-\frac{21\!\cdots\!33}{27\!\cdots\!56}a^{21}+\frac{25\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!28}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!21}{27\!\cdots\!56}a^{19}+\frac{26\!\cdots\!50}{34\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{36\!\cdots\!63}{27\!\cdots\!56}a^{17}+\frac{25\!\cdots\!79}{13\!\cdots\!28}a^{16}-\frac{30\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!28}a^{15}+\frac{90\!\cdots\!45}{69\!\cdots\!14}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!33}a^{13}-\frac{48\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!28}a^{12}+\frac{24\!\cdots\!93}{69\!\cdots\!14}a^{11}-\frac{75\!\cdots\!75}{69\!\cdots\!14}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!23}{69\!\cdots\!14}a^{9}+\frac{81\!\cdots\!13}{34\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{65\!\cdots\!11}{34\!\cdots\!57}a^{7}+\frac{21\!\cdots\!29}{34\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{39\!\cdots\!77}{69\!\cdots\!14}a^{5}-\frac{53\!\cdots\!93}{69\!\cdots\!14}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!27}{69\!\cdots\!14}a^{3}+\frac{30\!\cdots\!76}{34\!\cdots\!57}a^{2}-\frac{55\!\cdots\!03}{69\!\cdots\!14}a+\frac{46\!\cdots\!28}{34\!\cdots\!57}$, $\frac{12\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!28}a^{26}-\frac{15\!\cdots\!77}{69\!\cdots\!14}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!67}{27\!\cdots\!56}a^{24}-\frac{13\!\cdots\!97}{69\!\cdots\!14}a^{23}+\frac{88\!\cdots\!53}{27\!\cdots\!56}a^{22}-\frac{18\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!28}a^{21}+\frac{87\!\cdots\!27}{27\!\cdots\!56}a^{20}-\frac{22\!\cdots\!72}{34\!\cdots\!57}a^{19}+\frac{36\!\cdots\!79}{27\!\cdots\!56}a^{18}-\frac{31\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!28}a^{17}+\frac{44\!\cdots\!29}{13\!\cdots\!28}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!65}{34\!\cdots\!57}a^{15}+\frac{77\!\cdots\!30}{34\!\cdots\!57}a^{14}+\frac{24\!\cdots\!74}{11\!\cdots\!33}a^{13}-\frac{83\!\cdots\!63}{13\!\cdots\!28}a^{12}+\frac{21\!\cdots\!41}{34\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!41}{69\!\cdots\!14}a^{10}-\frac{85\!\cdots\!54}{34\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{28\!\cdots\!81}{69\!\cdots\!14}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!79}{34\!\cdots\!57}a^{7}+\frac{73\!\cdots\!03}{69\!\cdots\!14}a^{6}+\frac{33\!\cdots\!49}{34\!\cdots\!57}a^{5}-\frac{46\!\cdots\!86}{34\!\cdots\!57}a^{4}+\frac{15\!\cdots\!61}{34\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!27}{69\!\cdots\!14}a^{2}-\frac{47\!\cdots\!92}{34\!\cdots\!57}a+\frac{80\!\cdots\!21}{34\!\cdots\!57}$, $\frac{80\!\cdots\!15}{27\!\cdots\!56}a^{26}-\frac{19\!\cdots\!73}{27\!\cdots\!56}a^{25}+\frac{36\!\cdots\!33}{27\!\cdots\!56}a^{24}-\frac{42\!\cdots\!29}{69\!\cdots\!14}a^{23}+\frac{27\!\cdots\!85}{27\!\cdots\!56}a^{22}-\frac{58\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!28}a^{21}+\frac{27\!\cdots\!05}{27\!\cdots\!56}a^{20}-\frac{70\!\cdots\!66}{34\!\cdots\!57}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!77}{34\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{19\!\cdots\!57}{27\!\cdots\!56}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!28}a^{16}-\frac{40\!\cdots\!12}{34\!\cdots\!57}a^{15}+\frac{97\!\cdots\!07}{13\!\cdots\!28}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!71}{23\!\cdots\!66}a^{13}-\frac{26\!\cdots\!81}{13\!\cdots\!28}a^{12}+\frac{66\!\cdots\!55}{34\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{20\!\cdots\!85}{34\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{26\!\cdots\!89}{34\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{88\!\cdots\!99}{69\!\cdots\!14}a^{8}-\frac{35\!\cdots\!80}{34\!\cdots\!57}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!12}{34\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!79}{34\!\cdots\!57}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!23}{34\!\cdots\!57}a^{4}+\frac{50\!\cdots\!38}{34\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!16}{34\!\cdots\!57}a^{2}-\frac{29\!\cdots\!41}{69\!\cdots\!14}a+\frac{25\!\cdots\!86}{34\!\cdots\!57}$, $\frac{13\!\cdots\!43}{69\!\cdots\!14}a^{26}+\frac{15\!\cdots\!15}{34\!\cdots\!57}a^{25}-\frac{11\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!28}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!13}{27\!\cdots\!56}a^{23}-\frac{45\!\cdots\!53}{69\!\cdots\!14}a^{22}+\frac{76\!\cdots\!09}{27\!\cdots\!56}a^{21}-\frac{44\!\cdots\!67}{69\!\cdots\!14}a^{20}+\frac{21\!\cdots\!05}{16\!\cdots\!72}a^{19}-\frac{37\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!28}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!01}{27\!\cdots\!56}a^{17}-\frac{91\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!28}a^{16}+\frac{52\!\cdots\!81}{69\!\cdots\!14}a^{15}-\frac{63\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!28}a^{14}-\frac{99\!\cdots\!95}{23\!\cdots\!66}a^{13}+\frac{85\!\cdots\!31}{69\!\cdots\!14}a^{12}-\frac{87\!\cdots\!97}{69\!\cdots\!14}a^{11}+\frac{13\!\cdots\!71}{34\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{35\!\cdots\!83}{69\!\cdots\!14}a^{9}-\frac{57\!\cdots\!85}{69\!\cdots\!14}a^{8}+\frac{46\!\cdots\!29}{69\!\cdots\!14}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!37}{69\!\cdots\!14}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!29}{69\!\cdots\!14}a^{5}+\frac{95\!\cdots\!35}{34\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{66\!\cdots\!79}{69\!\cdots\!14}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!06}{34\!\cdots\!57}a^{2}+\frac{19\!\cdots\!61}{69\!\cdots\!14}a-\frac{16\!\cdots\!35}{34\!\cdots\!57}$, $\frac{16\!\cdots\!67}{27\!\cdots\!56}a^{26}-\frac{19\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!28}a^{25}+\frac{72\!\cdots\!83}{27\!\cdots\!56}a^{24}-\frac{17\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!28}a^{23}+\frac{55\!\cdots\!43}{27\!\cdots\!56}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!28}a^{21}+\frac{54\!\cdots\!95}{27\!\cdots\!56}a^{20}-\frac{56\!\cdots\!81}{13\!\cdots\!28}a^{19}+\frac{58\!\cdots\!37}{69\!\cdots\!14}a^{18}-\frac{19\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!28}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!25}{69\!\cdots\!14}a^{16}-\frac{81\!\cdots\!45}{34\!\cdots\!57}a^{15}+\frac{97\!\cdots\!79}{69\!\cdots\!14}a^{14}+\frac{62\!\cdots\!75}{47\!\cdots\!32}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!92}{34\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!64}{34\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{81\!\cdots\!71}{69\!\cdots\!14}a^{10}-\frac{54\!\cdots\!86}{34\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!65}{69\!\cdots\!14}a^{8}-\frac{71\!\cdots\!57}{34\!\cdots\!57}a^{7}+\frac{46\!\cdots\!39}{69\!\cdots\!14}a^{6}+\frac{42\!\cdots\!13}{69\!\cdots\!14}a^{5}-\frac{58\!\cdots\!85}{69\!\cdots\!14}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!36}{34\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{32\!\cdots\!92}{34\!\cdots\!57}a^{2}-\frac{30\!\cdots\!15}{34\!\cdots\!57}a+\frac{50\!\cdots\!55}{34\!\cdots\!57}$, $\frac{13\!\cdots\!93}{69\!\cdots\!14}a^{26}+\frac{15\!\cdots\!40}{34\!\cdots\!57}a^{25}-\frac{23\!\cdots\!99}{27\!\cdots\!56}a^{24}+\frac{55\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!28}a^{23}-\frac{18\!\cdots\!25}{27\!\cdots\!56}a^{22}+\frac{96\!\cdots\!89}{34\!\cdots\!57}a^{21}-\frac{17\!\cdots\!59}{27\!\cdots\!56}a^{20}+\frac{18\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!28}a^{19}-\frac{76\!\cdots\!31}{27\!\cdots\!56}a^{18}+\frac{64\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!28}a^{17}-\frac{91\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!28}a^{16}+\frac{26\!\cdots\!43}{34\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{63\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!28}a^{14}-\frac{20\!\cdots\!09}{47\!\cdots\!32}a^{13}+\frac{17\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!28}a^{12}-\frac{43\!\cdots\!79}{34\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{26\!\cdots\!47}{69\!\cdots\!14}a^{10}+\frac{35\!\cdots\!35}{69\!\cdots\!14}a^{9}-\frac{57\!\cdots\!89}{69\!\cdots\!14}a^{8}+\frac{23\!\cdots\!55}{34\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{75\!\cdots\!39}{34\!\cdots\!57}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!23}{69\!\cdots\!14}a^{5}+\frac{95\!\cdots\!63}{34\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{32\!\cdots\!75}{34\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{21\!\cdots\!71}{69\!\cdots\!14}a^{2}+\frac{98\!\cdots\!71}{34\!\cdots\!57}a-\frac{16\!\cdots\!99}{34\!\cdots\!57}$, $\frac{78\!\cdots\!71}{27\!\cdots\!56}a^{26}+\frac{18\!\cdots\!37}{27\!\cdots\!56}a^{25}-\frac{35\!\cdots\!59}{27\!\cdots\!56}a^{24}+\frac{20\!\cdots\!51}{34\!\cdots\!57}a^{23}-\frac{27\!\cdots\!51}{27\!\cdots\!56}a^{22}+\frac{28\!\cdots\!23}{69\!\cdots\!14}a^{21}-\frac{26\!\cdots\!27}{27\!\cdots\!56}a^{20}+\frac{68\!\cdots\!56}{34\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!25}{34\!\cdots\!57}a^{18}+\frac{19\!\cdots\!99}{27\!\cdots\!56}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!28}a^{16}+\frac{78\!\cdots\!65}{69\!\cdots\!14}a^{15}-\frac{23\!\cdots\!13}{34\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{75\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!33}a^{13}+\frac{25\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!28}a^{12}-\frac{64\!\cdots\!93}{34\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{39\!\cdots\!89}{69\!\cdots\!14}a^{10}+\frac{26\!\cdots\!87}{34\!\cdots\!57}a^{9}-\frac{85\!\cdots\!01}{69\!\cdots\!14}a^{8}+\frac{34\!\cdots\!28}{34\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{22\!\cdots\!19}{69\!\cdots\!14}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!68}{34\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!62}{34\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{48\!\cdots\!95}{34\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!18}{34\!\cdots\!57}a^{2}+\frac{29\!\cdots\!93}{69\!\cdots\!14}a-\frac{24\!\cdots\!34}{34\!\cdots\!57}$, $\frac{11\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!28}a^{26}+\frac{13\!\cdots\!03}{69\!\cdots\!14}a^{25}-\frac{25\!\cdots\!03}{69\!\cdots\!14}a^{24}+\frac{47\!\cdots\!09}{27\!\cdots\!56}a^{23}-\frac{96\!\cdots\!08}{34\!\cdots\!57}a^{22}+\frac{32\!\cdots\!87}{27\!\cdots\!56}a^{21}-\frac{38\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!28}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!49}{27\!\cdots\!56}a^{19}-\frac{80\!\cdots\!33}{69\!\cdots\!14}a^{18}+\frac{54\!\cdots\!89}{27\!\cdots\!56}a^{17}-\frac{97\!\cdots\!23}{34\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!31}{34\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{27\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!28}a^{14}-\frac{85\!\cdots\!75}{47\!\cdots\!32}a^{13}+\frac{73\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!28}a^{12}-\frac{37\!\cdots\!87}{69\!\cdots\!14}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!75}{69\!\cdots\!14}a^{10}+\frac{75\!\cdots\!08}{34\!\cdots\!57}a^{9}-\frac{12\!\cdots\!92}{34\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!97}{69\!\cdots\!14}a^{7}-\frac{64\!\cdots\!37}{69\!\cdots\!14}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!41}{34\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{80\!\cdots\!09}{69\!\cdots\!14}a^{4}-\frac{27\!\cdots\!45}{69\!\cdots\!14}a^{3}-\frac{45\!\cdots\!57}{34\!\cdots\!57}a^{2}+\frac{83\!\cdots\!29}{69\!\cdots\!14}a-\frac{70\!\cdots\!44}{34\!\cdots\!57}$, $\frac{23\!\cdots\!29}{27\!\cdots\!56}a^{26}-\frac{27\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!28}a^{25}+\frac{52\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!28}a^{24}-\frac{49\!\cdots\!23}{27\!\cdots\!56}a^{23}+\frac{20\!\cdots\!35}{69\!\cdots\!14}a^{22}-\frac{34\!\cdots\!37}{27\!\cdots\!56}a^{21}+\frac{39\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!28}a^{20}-\frac{16\!\cdots\!45}{27\!\cdots\!56}a^{19}+\frac{33\!\cdots\!71}{27\!\cdots\!56}a^{18}-\frac{56\!\cdots\!73}{27\!\cdots\!56}a^{17}+\frac{40\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!28}a^{16}-\frac{46\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!28}a^{15}+\frac{14\!\cdots\!03}{69\!\cdots\!14}a^{14}+\frac{89\!\cdots\!69}{47\!\cdots\!32}a^{13}-\frac{76\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!28}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!56}{34\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{58\!\cdots\!71}{34\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!87}{69\!\cdots\!14}a^{9}+\frac{25\!\cdots\!19}{69\!\cdots\!14}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!24}{34\!\cdots\!57}a^{7}+\frac{33\!\cdots\!42}{34\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{30\!\cdots\!96}{34\!\cdots\!57}a^{5}-\frac{83\!\cdots\!57}{69\!\cdots\!14}a^{4}+\frac{28\!\cdots\!87}{69\!\cdots\!14}a^{3}+\frac{94\!\cdots\!61}{69\!\cdots\!14}a^{2}-\frac{86\!\cdots\!97}{69\!\cdots\!14}a+\frac{72\!\cdots\!67}{34\!\cdots\!57}$, $\frac{45\!\cdots\!67}{27\!\cdots\!56}a^{26}+\frac{54\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!28}a^{25}-\frac{25\!\cdots\!95}{34\!\cdots\!57}a^{24}+\frac{96\!\cdots\!53}{27\!\cdots\!56}a^{23}-\frac{79\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!28}a^{22}+\frac{66\!\cdots\!99}{27\!\cdots\!56}a^{21}-\frac{38\!\cdots\!87}{69\!\cdots\!14}a^{20}+\frac{31\!\cdots\!77}{27\!\cdots\!56}a^{19}-\frac{65\!\cdots\!53}{27\!\cdots\!56}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!07}{27\!\cdots\!56}a^{17}-\frac{79\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!28}a^{16}+\frac{22\!\cdots\!16}{34\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{55\!\cdots\!01}{13\!\cdots\!28}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!77}{47\!\cdots\!32}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!28}a^{12}-\frac{37\!\cdots\!92}{34\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{23\!\cdots\!15}{69\!\cdots\!14}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!21}{34\!\cdots\!57}a^{9}-\frac{49\!\cdots\!23}{69\!\cdots\!14}a^{8}+\frac{40\!\cdots\!67}{69\!\cdots\!14}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!67}{69\!\cdots\!14}a^{6}-\frac{60\!\cdots\!85}{34\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!99}{69\!\cdots\!14}a^{4}-\frac{56\!\cdots\!15}{69\!\cdots\!14}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!91}{69\!\cdots\!14}a^{2}+\frac{17\!\cdots\!51}{69\!\cdots\!14}a-\frac{14\!\cdots\!68}{34\!\cdots\!57}$, $\frac{14\!\cdots\!05}{34\!\cdots\!57}a^{26}-\frac{27\!\cdots\!99}{27\!\cdots\!56}a^{25}+\frac{51\!\cdots\!87}{27\!\cdots\!56}a^{24}-\frac{24\!\cdots\!69}{27\!\cdots\!56}a^{23}+\frac{39\!\cdots\!03}{27\!\cdots\!56}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!75}{27\!\cdots\!56}a^{21}+\frac{39\!\cdots\!13}{27\!\cdots\!56}a^{20}-\frac{80\!\cdots\!23}{27\!\cdots\!56}a^{19}+\frac{16\!\cdots\!51}{27\!\cdots\!56}a^{18}-\frac{69\!\cdots\!69}{69\!\cdots\!14}a^{17}+\frac{99\!\cdots\!65}{69\!\cdots\!14}a^{16}-\frac{23\!\cdots\!79}{13\!\cdots\!28}a^{15}+\frac{69\!\cdots\!59}{69\!\cdots\!14}a^{14}+\frac{22\!\cdots\!63}{23\!\cdots\!66}a^{13}-\frac{37\!\cdots\!01}{13\!\cdots\!28}a^{12}+\frac{95\!\cdots\!75}{34\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{29\!\cdots\!70}{34\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{38\!\cdots\!84}{34\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{62\!\cdots\!98}{34\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{50\!\cdots\!88}{34\!\cdots\!57}a^{7}+\frac{32\!\cdots\!03}{69\!\cdots\!14}a^{6}+\frac{30\!\cdots\!01}{69\!\cdots\!14}a^{5}-\frac{20\!\cdots\!28}{34\!\cdots\!57}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!11}{69\!\cdots\!14}a^{3}+\frac{46\!\cdots\!67}{69\!\cdots\!14}a^{2}-\frac{21\!\cdots\!70}{34\!\cdots\!57}a+\frac{36\!\cdots\!25}{34\!\cdots\!57}$, $\frac{45\!\cdots\!09}{27\!\cdots\!56}a^{26}+\frac{10\!\cdots\!15}{27\!\cdots\!56}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!28}a^{24}+\frac{47\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!28}a^{23}-\frac{19\!\cdots\!55}{34\!\cdots\!57}a^{22}+\frac{32\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!28}a^{21}-\frac{76\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!28}a^{20}+\frac{78\!\cdots\!37}{69\!\cdots\!14}a^{19}-\frac{64\!\cdots\!81}{27\!\cdots\!56}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!35}{27\!\cdots\!56}a^{17}-\frac{78\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!28}a^{16}+\frac{90\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!28}a^{15}-\frac{54\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!28}a^{14}-\frac{86\!\cdots\!97}{23\!\cdots\!66}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!28}a^{12}-\frac{37\!\cdots\!58}{34\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{22\!\cdots\!53}{69\!\cdots\!14}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!02}{34\!\cdots\!57}a^{9}-\frac{24\!\cdots\!64}{34\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{39\!\cdots\!39}{69\!\cdots\!14}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!81}{69\!\cdots\!14}a^{6}-\frac{59\!\cdots\!70}{34\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!49}{69\!\cdots\!14}a^{4}-\frac{28\!\cdots\!08}{34\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!89}{69\!\cdots\!14}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!09}{69\!\cdots\!14}a-\frac{14\!\cdots\!87}{34\!\cdots\!57}$, $\frac{14\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!28}a^{26}-\frac{16\!\cdots\!33}{69\!\cdots\!14}a^{25}+\frac{31\!\cdots\!57}{69\!\cdots\!14}a^{24}-\frac{29\!\cdots\!07}{13\!\cdots\!28}a^{23}+\frac{48\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!28}a^{22}-\frac{20\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!28}a^{21}+\frac{12\!\cdots\!11}{34\!\cdots\!57}a^{20}-\frac{98\!\cdots\!63}{13\!\cdots\!28}a^{19}+\frac{50\!\cdots\!72}{34\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{17\!\cdots\!35}{69\!\cdots\!14}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!66}{34\!\cdots\!57}a^{16}-\frac{28\!\cdots\!81}{69\!\cdots\!14}a^{15}+\frac{17\!\cdots\!65}{69\!\cdots\!14}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!09}{47\!\cdots\!32}a^{13}-\frac{46\!\cdots\!95}{69\!\cdots\!14}a^{12}+\frac{46\!\cdots\!13}{69\!\cdots\!14}a^{11}-\frac{71\!\cdots\!44}{34\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!33}{69\!\cdots\!14}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!30}{34\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!22}{34\!\cdots\!57}a^{7}+\frac{40\!\cdots\!52}{34\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{74\!\cdots\!65}{69\!\cdots\!14}a^{5}-\frac{50\!\cdots\!80}{34\!\cdots\!57}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!82}{34\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{57\!\cdots\!84}{34\!\cdots\!57}a^{2}-\frac{52\!\cdots\!19}{34\!\cdots\!57}a+\frac{88\!\cdots\!79}{34\!\cdots\!57}$, $\frac{34\!\cdots\!81}{13\!\cdots\!28}a^{26}+\frac{81\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!28}a^{25}-\frac{31\!\cdots\!03}{27\!\cdots\!56}a^{24}+\frac{36\!\cdots\!31}{69\!\cdots\!14}a^{23}-\frac{23\!\cdots\!19}{27\!\cdots\!56}a^{22}+\frac{25\!\cdots\!37}{69\!\cdots\!14}a^{21}-\frac{23\!\cdots\!35}{27\!\cdots\!56}a^{20}+\frac{24\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!28}a^{19}-\frac{99\!\cdots\!21}{27\!\cdots\!56}a^{18}+\frac{83\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!28}a^{17}-\frac{29\!\cdots\!36}{34\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!28}a^{15}-\frac{41\!\cdots\!99}{69\!\cdots\!14}a^{14}-\frac{66\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!33}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!87}{69\!\cdots\!14}a^{12}-\frac{57\!\cdots\!95}{34\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{17\!\cdots\!81}{34\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{46\!\cdots\!73}{69\!\cdots\!14}a^{9}-\frac{75\!\cdots\!71}{69\!\cdots\!14}a^{8}+\frac{60\!\cdots\!33}{69\!\cdots\!14}a^{7}-\frac{19\!\cdots\!83}{69\!\cdots\!14}a^{6}-\frac{91\!\cdots\!64}{34\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{24\!\cdots\!79}{69\!\cdots\!14}a^{4}-\frac{42\!\cdots\!76}{34\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{27\!\cdots\!61}{69\!\cdots\!14}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!90}{34\!\cdots\!57}a-\frac{21\!\cdots\!41}{34\!\cdots\!57}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 9454549156.39464 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{3}\cdot(2\pi)^{12}\cdot 9454549156.39464 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{10815458297502011800862797653344256000000}}\cr\approx \mathstrut & 1.37669194782884 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 3*x^26 + 6*x^25 - 24*x^24 + 48*x^23 - 168*x^22 + 432*x^21 - 912*x^20 + 1881*x^19 - 3339*x^18 + 5010*x^17 - 6228*x^16 + 4974*x^15 + 678*x^14 - 7944*x^13 + 10788*x^12 - 6252*x^11 - 1380*x^10 + 6072*x^9 - 6312*x^8 + 3396*x^7 + 324*x^6 - 2112*x^5 + 1416*x^4 - 156*x^3 - 252*x^2 + 120*x - 16)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^27 - 3*x^26 + 6*x^25 - 24*x^24 + 48*x^23 - 168*x^22 + 432*x^21 - 912*x^20 + 1881*x^19 - 3339*x^18 + 5010*x^17 - 6228*x^16 + 4974*x^15 + 678*x^14 - 7944*x^13 + 10788*x^12 - 6252*x^11 - 1380*x^10 + 6072*x^9 - 6312*x^8 + 3396*x^7 + 324*x^6 - 2112*x^5 + 1416*x^4 - 156*x^3 - 252*x^2 + 120*x - 16, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^27 - 3*x^26 + 6*x^25 - 24*x^24 + 48*x^23 - 168*x^22 + 432*x^21 - 912*x^20 + 1881*x^19 - 3339*x^18 + 5010*x^17 - 6228*x^16 + 4974*x^15 + 678*x^14 - 7944*x^13 + 10788*x^12 - 6252*x^11 - 1380*x^10 + 6072*x^9 - 6312*x^8 + 3396*x^7 + 324*x^6 - 2112*x^5 + 1416*x^4 - 156*x^3 - 252*x^2 + 120*x - 16);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^27 - 3*x^26 + 6*x^25 - 24*x^24 + 48*x^23 - 168*x^22 + 432*x^21 - 912*x^20 + 1881*x^19 - 3339*x^18 + 5010*x^17 - 6228*x^16 + 4974*x^15 + 678*x^14 - 7944*x^13 + 10788*x^12 - 6252*x^11 - 1380*x^10 + 6072*x^9 - 6312*x^8 + 3396*x^7 + 324*x^6 - 2112*x^5 + 1416*x^4 - 156*x^3 - 252*x^2 + 120*x - 16);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
$\SO(5,3)$ (as 27T1161):
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A non-solvable group of order 51840 |
| The 25 conjugacy class representatives for $\SO(5,3)$ |
| Character table for $\SO(5,3)$ |
Intermediate fields
| The extension is primitive: there are no intermediate fields between this field and $\Q$. |
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Sibling fields
| Degree 36 sibling: | data not computed |
| Degree 40 siblings: | data not computed |
| Degree 45 sibling: | data not computed |
| Minimal sibling: | This field is its own minimal sibling |
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | R | R | R | ${\href{/padicField/7.10.0.1}{10} }{,}\,{\href{/padicField/7.5.0.1}{5} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/7.2.0.1}{2} }$ | ${\href{/padicField/11.12.0.1}{12} }{,}\,{\href{/padicField/11.6.0.1}{6} }{,}\,{\href{/padicField/11.4.0.1}{4} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/11.1.0.1}{1} }$ | ${\href{/padicField/13.12.0.1}{12} }{,}\,{\href{/padicField/13.6.0.1}{6} }{,}\,{\href{/padicField/13.4.0.1}{4} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/13.1.0.1}{1} }$ | ${\href{/padicField/17.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/19.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/23.12.0.1}{12} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/23.3.0.1}{3} }$ | ${\href{/padicField/29.8.0.1}{8} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/29.2.0.1}{2} }{,}\,{\href{/padicField/29.1.0.1}{1} }$ | ${\href{/padicField/31.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/37.6.0.1}{6} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/37.3.0.1}{3} }$ | ${\href{/padicField/41.12.0.1}{12} }{,}\,{\href{/padicField/41.6.0.1}{6} }{,}\,{\href{/padicField/41.4.0.1}{4} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/41.1.0.1}{1} }$ | ${\href{/padicField/43.10.0.1}{10} }{,}\,{\href{/padicField/43.5.0.1}{5} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/43.2.0.1}{2} }$ | ${\href{/padicField/47.6.0.1}{6} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/47.3.0.1}{3} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/47.2.0.1}{2} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/47.1.0.1}{1} }$ | ${\href{/padicField/53.5.0.1}{5} }^{5}{,}\,{\href{/padicField/53.1.0.1}{1} }^{2}$ | ${\href{/padicField/59.6.0.1}{6} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/59.3.0.1}{3} }$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(2\)
| $\Q_{2}$ | $x + 1$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ |
| 2.2.0.1 | $x^{2} + x + 1$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | |
| 2.8.18.17 | $x^{8} + 8 x^{7} + 28 x^{6} + 48 x^{5} + 56 x^{4} + 80 x^{3} + 120 x^{2} + 148$ | $4$ | $2$ | $18$ | $C_2^3: C_4$ | $[2, 2, 3, 7/2]^{2}$ | |
| Deg $16$ | $8$ | $2$ | $44$ | ||||
|
\(3\)
| Deg $27$ | $27$ | $1$ | $36$ | |||
|
\(5\)
| 5.3.0.1 | $x^{3} + 3 x + 3$ | $1$ | $3$ | $0$ | $C_3$ | $[\ ]^{3}$ |
| 5.6.0.1 | $x^{6} + x^{4} + 4 x^{3} + x^{2} + 2$ | $1$ | $6$ | $0$ | $C_6$ | $[\ ]^{6}$ | |
| 5.6.0.1 | $x^{6} + x^{4} + 4 x^{3} + x^{2} + 2$ | $1$ | $6$ | $0$ | $C_6$ | $[\ ]^{6}$ | |
| 5.12.6.1 | $x^{12} + 120 x^{11} + 6032 x^{10} + 163208 x^{9} + 2529528 x^{8} + 21853448 x^{7} + 92223962 x^{6} + 138649448 x^{5} + 223472880 x^{4} + 401794296 x^{3} + 295909124 x^{2} + 118616440 x + 126881009$ | $2$ | $6$ | $6$ | $C_6\times C_2$ | $[\ ]_{2}^{6}$ |