LMFDB - Artin representation 2.2016.12t18.c.b

Basic invariants

Dimension:	$2$
Group:	$C_6\times S_3$
Conductor:	$2016$$\medspace = 2^{5} \cdot 3^{2} \cdot 7 $
Artin stem field:	Galois closure of 12.0.12950250637492224.2
Galois orbit size:	$2$
Smallest permutation container:	$C_6\times S_3$
Parity:	odd
Determinant:	1.504.6t1.f.a
Projective image:	$S_3$
Projective stem field:	Galois closure of 3.1.4536.1

Defining polynomial

$f(x)$

$=$

$ x^{12} - 4 x^{11} + 22 x^{10} - 48 x^{9} + 108 x^{8} - 132 x^{7} + 170 x^{6} - 140 x^{5} + 107 x^{4} + \cdots + 9 $

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 29 }$ to precision 7.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 29 }$: $ x^{6} + x^{4} + 25x^{3} + 17x^{2} + 13x + 2 $ x^6 + x^4 + 25*x^3 + 17*x^2 + 13*x + 2

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ 25 a^{5} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 14 + \left(5 a^{5} + 12 a^{4} + 27 a^{3} + 19 a^{2} + 13 a + 27\right)\cdot 29 + \left(2 a^{5} + 13 a^{4} + 12 a^{3} + 21 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 29^{2} + \left(26 a^{5} + 16 a^{4} + 8 a^{2} + 17 a + 20\right)\cdot 29^{3} + \left(9 a^{5} + 26 a^{4} + 12 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 29^{4} + \left(8 a^{5} + 15 a^{4} + 8 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 23\right)\cdot 29^{5} + \left(11 a^{5} + a^{4} + 7 a^{3} + 13 a^{2} + 7 a + 28\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})$ 25a^5 + 4a^3 + 3a^2 + 10a + 14 + (5a^5 + 12a^4 + 27a^3 + 19a^2 + 13a + 27)29 + (2a^5 + 13a^4 + 12a^3 + 21a^2 + 10a + 18)29^2 + (26a^5 + 16a^4 + 8a^2 + 17a + 20)29^3 + (9a^5 + 26a^4 + 12a^3 + 10a^2 + 8a + 3)29^4 + (8a^5 + 15a^4 + 8a^3 + 15a^2 + 4a + 23)29^5 + (11a^5 + a^4 + 7a^3 + 13a^2 + 7a + 28)29^6+O(29^7)
$r_{ 2 }$	$=$	$ 22 a^{5} + 11 a^{4} + 24 a^{3} + 5 a^{2} + a + \left(a^{5} + 9 a^{4} + 18 a^{3} + 23 a^{2} + 4 a\right)\cdot 29 + \left(28 a^{5} + 20 a^{4} + 21 a^{3} + 13 a^{2} + 22 a + 20\right)\cdot 29^{2} + \left(17 a^{5} + 22 a^{4} + a^{3} + 10 a + 14\right)\cdot 29^{3} + \left(20 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 20 a^{2} + 21 a + 1\right)\cdot 29^{4} + \left(27 a^{5} + 10 a^{4} + 21 a^{3} + 25 a^{2} + 27 a + 25\right)\cdot 29^{5} + \left(11 a^{5} + 16 a^{4} + 10 a^{2} + 9 a + 24\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})$ 22a^5 + 11a^4 + 24a^3 + 5a^2 + a + (a^5 + 9a^4 + 18a^3 + 23a^2 + 4a)29 + (28a^5 + 20a^4 + 21a^3 + 13a^2 + 22a + 20)29^2 + (17a^5 + 22a^4 + a^3 + 10a + 14)29^3 + (20a^5 + 8a^4 + 11a^3 + 20a^2 + 21a + 1)29^4 + (27a^5 + 10a^4 + 21a^3 + 25a^2 + 27a + 25)29^5 + (11a^5 + 16a^4 + 10a^2 + 9a + 24)29^6+O(29^7)
$r_{ 3 }$	$=$	$ 19 a^{5} + 5 a^{4} + 25 a^{3} + 15 a^{2} + 23 a + 4 + \left(24 a^{5} + 19 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 6\right)\cdot 29 + \left(23 a^{5} + 23 a^{4} + 20 a^{3} + 23 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 29^{2} + \left(23 a^{5} + 15 a^{4} + 6 a^{3} + 21 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 29^{3} + \left(12 a^{5} + 19 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 28 a + 16\right)\cdot 29^{4} + \left(23 a^{5} + 23 a^{4} + 8 a^{3} + 21 a^{2} + 20 a + 24\right)\cdot 29^{5} + \left(6 a^{5} + 19 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})$ 19a^5 + 5a^4 + 25a^3 + 15a^2 + 23a + 4 + (24a^5 + 19a^4 + 4a^3 + 15a^2 + 6)29 + (23a^5 + 23a^4 + 20a^3 + 23a^2 + 10a + 6)29^2 + (23a^5 + 15a^4 + 6a^3 + 21a^2 + 6a + 12)29^3 + (12a^5 + 19a^4 + 6a^3 + 4a^2 + 28a + 16)29^4 + (23a^5 + 23a^4 + 8a^3 + 21a^2 + 20a + 24)29^5 + (6a^5 + 19a^4 + 6a^3 + 16a^2 + 4a + 6)29^6+O(29^7)
$r_{ 4 }$	$=$	$ 6 a^{5} + a^{4} + 23 a^{2} + 14 a + 17 + \left(2 a^{5} + 21 a^{4} + 9 a^{3} + 19 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 29 + \left(5 a^{5} + 22 a^{4} + 7 a^{3} + 22 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 29^{2} + \left(16 a^{5} + 25 a^{4} + 19 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 29^{3} + \left(25 a^{5} + 4 a^{4} + 25 a^{3} + a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 29^{4} + \left(7 a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + 18 a + 27\right)\cdot 29^{5} + \left(7 a^{5} + 4 a^{4} + 9 a^{3} + 19 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})$ 6a^5 + a^4 + 23a^2 + 14a + 17 + (2a^5 + 21a^4 + 9a^3 + 19a^2 + 10a + 4)29 + (5a^5 + 22a^4 + 7a^3 + 22a^2 + 16a + 8)29^2 + (16a^5 + 25a^4 + 19a^3 + 4a^2 + 4a + 11)29^3 + (25a^5 + 4a^4 + 25a^3 + a^2 + 2a + 3)29^4 + (7a^5 + 5a^4 + 3a^3 + 16a^2 + 18a + 27)29^5 + (7a^5 + 4a^4 + 9a^3 + 19a^2 + 6a + 6)29^6+O(29^7)
$r_{ 5 }$	$=$	$ 2 a^{5} + 15 a^{4} + 5 a^{3} + 23 a^{2} + 22 a + 27 + \left(17 a^{5} + 18 a^{4} + 28 a^{3} + 11 a^{2} + 24 a + 16\right)\cdot 29 + \left(25 a^{5} + 27 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 22\right)\cdot 29^{2} + \left(17 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 23 a^{2} + 8 a\right)\cdot 29^{3} + \left(12 a^{5} + 8 a^{4} + 24 a^{3} + 28 a^{2} + 13 a + 19\right)\cdot 29^{4} + \left(14 a^{5} + 18 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 29^{5} + \left(23 a^{5} + 7 a^{4} + 13 a^{3} + 2 a^{2} + 23 a + 18\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})$ 2a^5 + 15a^4 + 5a^3 + 23a^2 + 22a + 27 + (17a^5 + 18a^4 + 28a^3 + 11a^2 + 24a + 16)29 + (25a^5 + 27a^4 + 4a^3 + 12a^2 + 8a + 22)29^2 + (17a^5 + 9a^4 + 11a^3 + 23a^2 + 8a)29^3 + (12a^5 + 8a^4 + 24a^3 + 28a^2 + 13a + 19)29^4 + (14a^5 + 18a^3 + 6a^2 + 5a + 9)29^5 + (23a^5 + 7a^4 + 13a^3 + 2a^2 + 23a + 18)29^6+O(29^7)
$r_{ 6 }$	$=$	$ 23 a^{5} + 3 a^{4} + 17 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 3 + \left(14 a^{5} + 10 a^{4} + 15 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 29 + \left(13 a^{5} + 19 a^{4} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 29^{2} + \left(8 a^{5} + 6 a^{4} + 20 a^{3} + 18 a^{2} + 19 a\right)\cdot 29^{3} + \left(25 a^{5} + 12 a^{4} + 27 a^{3} + 10 a^{2} + a + 9\right)\cdot 29^{4} + \left(9 a^{5} + 26 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 26\right)\cdot 29^{5} + \left(28 a^{5} + 12 a^{4} + 4 a^{3} + 25 a^{2} + 10 a + 28\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})$ 23a^5 + 3a^4 + 17a^3 + 5a^2 + 17a + 3 + (14a^5 + 10a^4 + 15a^3 + 3a^2 + 6a + 14)29 + (13a^5 + 19a^4 + 5a^3 + 6a^2 + 5a + 18)29^2 + (8a^5 + 6a^4 + 20a^3 + 18a^2 + 19a)29^3 + (25a^5 + 12a^4 + 27a^3 + 10a^2 + a + 9)29^4 + (9a^5 + 26a^4 + 12a^3 + 3a^2 + 3a + 26)29^5 + (28a^5 + 12a^4 + 4a^3 + 25a^2 + 10a + 28)29^6+O(29^7)
$r_{ 7 }$	$=$	$ 9 a^{5} + 7 a^{4} + 28 a^{3} + 13 a^{2} + 21 a + 13 + \left(8 a^{5} + 11 a^{4} + 22 a^{3} + 27 a^{2} + 13 a + 27\right)\cdot 29 + \left(9 a^{5} + 19 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 28 a + 21\right)\cdot 29^{2} + \left(10 a^{5} + 3 a^{4} + 14 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 29^{3} + \left(4 a^{5} + 23 a^{4} + a^{3} + 16 a^{2} + 24 a + 17\right)\cdot 29^{4} + \left(12 a^{5} + 20 a^{4} + 17 a^{3} + 20 a^{2} + 24 a + 27\right)\cdot 29^{5} + \left(12 a^{5} + 3 a^{3} + 13 a^{2} + 11 a + 24\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})$ 9a^5 + 7a^4 + 28a^3 + 13a^2 + 21a + 13 + (8a^5 + 11a^4 + 22a^3 + 27a^2 + 13a + 27)29 + (9a^5 + 19a^4 + 8a^3 + 12a^2 + 28a + 21)29^2 + (10a^5 + 3a^4 + 14a^3 + 12a^2 + 8a + 13)29^3 + (4a^5 + 23a^4 + a^3 + 16a^2 + 24a + 17)29^4 + (12a^5 + 20a^4 + 17a^3 + 20a^2 + 24a + 27)29^5 + (12a^5 + 3a^3 + 13a^2 + 11a + 24)*29^6+O(29^7)
$r_{ 8 }$	$=$	$ 3 a^{5} + 16 a^{4} + 10 a^{3} + 19 a^{2} + 9 a + 7 + \left(4 a^{5} + 6 a^{4} + 18 a^{3} + 23 a^{2} + 21 a + 7\right)\cdot 29 + \left(4 a^{5} + 19 a^{4} + 2 a^{3} + 28 a\right)\cdot 29^{2} + \left(12 a^{5} + 20 a^{4} + 15 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 29^{3} + \left(6 a^{5} + 18 a^{4} + 5 a^{3} + 14 a^{2} + 24 a + 22\right)\cdot 29^{4} + \left(10 a^{5} + 26 a^{4} + 24 a^{3} + 10 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 29^{5} + \left(23 a^{5} + 22 a^{4} + 4 a^{3} + 27 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})$ 3a^5 + 16a^4 + 10a^3 + 19a^2 + 9a + 7 + (4a^5 + 6a^4 + 18a^3 + 23a^2 + 21a + 7)29 + (4a^5 + 19a^4 + 2a^3 + 28a)29^2 + (12a^5 + 20a^4 + 15a^3 + 16a^2 + 17a + 5)29^3 + (6a^5 + 18a^4 + 5a^3 + 14a^2 + 24a + 22)29^4 + (10a^5 + 26a^4 + 24a^3 + 10a^2 + 14a + 3)29^5 + (23a^5 + 22a^4 + 4a^3 + 27a^2 + 19a + 1)29^6+O(29^7)
$r_{ 9 }$	$=$	$ 6 a^{5} + 22 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 16 a + 3 + \left(10 a^{5} + 25 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 24 a + 1\right)\cdot 29 + \left(8 a^{5} + 15 a^{4} + 4 a^{3} + 20 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 29^{2} + \left(6 a^{5} + 27 a^{4} + 10 a^{3} + 23 a^{2} + 22 a + 7\right)\cdot 29^{3} + \left(14 a^{5} + 7 a^{4} + 10 a^{3} + 17 a + 7\right)\cdot 29^{4} + \left(14 a^{5} + 13 a^{4} + 8 a^{3} + 15 a^{2} + 21 a + 4\right)\cdot 29^{5} + \left(28 a^{5} + 19 a^{4} + 28 a^{3} + 21 a^{2} + 24 a + 19\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})$ 6a^5 + 22a^4 + 9a^3 + 9a^2 + 16a + 3 + (10a^5 + 25a^4 + 3a^3 + 2a^2 + 24a + 1)29 + (8a^5 + 15a^4 + 4a^3 + 20a^2 + 11a + 14)29^2 + (6a^5 + 27a^4 + 10a^3 + 23a^2 + 22a + 7)29^3 + (14a^5 + 7a^4 + 10a^3 + 17a + 7)29^4 + (14a^5 + 13a^4 + 8a^3 + 15a^2 + 21a + 4)29^5 + (28a^5 + 19a^4 + 28a^3 + 21a^2 + 24a + 19)29^6+O(29^7)
$r_{ 10 }$	$=$	$ 28 a^{5} + 6 a^{4} + 3 a^{3} + 22 a^{2} + 17 a + 10 + \left(11 a^{5} + 2 a^{4} + 12 a^{3} + 26 a^{2} + 16 a + 21\right)\cdot 29 + \left(6 a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 22 a + 3\right)\cdot 29^{2} + \left(20 a^{5} + 23 a^{4} + 24 a^{3} + 16 a^{2} + 21 a + 23\right)\cdot 29^{3} + \left(17 a^{5} + 15 a^{4} + 16 a^{3} + 25 a^{2} + a + 17\right)\cdot 29^{4} + \left(12 a^{5} + 2 a^{4} + 21 a^{3} + 19 a^{2} + 11 a + 23\right)\cdot 29^{5} + \left(16 a^{5} + 27 a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})$ 28a^5 + 6a^4 + 3a^3 + 22a^2 + 17a + 10 + (11a^5 + 2a^4 + 12a^3 + 26a^2 + 16a + 21)29 + (6a^5 + 10a^4 + 14a^3 + 11a^2 + 22a + 3)29^2 + (20a^5 + 23a^4 + 24a^3 + 16a^2 + 21a + 23)29^3 + (17a^5 + 15a^4 + 16a^3 + 25a^2 + a + 17)29^4 + (12a^5 + 2a^4 + 21a^3 + 19a^2 + 11a + 23)29^5 + (16a^5 + 27a^4 + a^3 + 7a^2 + 12a + 17)*29^6+O(29^7)
$r_{ 11 }$	$=$	$ 26 a^{5} + 9 a^{4} + 16 a^{3} + 24 a^{2} + 24 a + 28 + \left(20 a^{5} + 10 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 29 + \left(17 a^{5} + 16 a^{4} + 7 a^{3} + 25 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 29^{2} + \left(2 a^{5} + 13 a^{4} + 15 a^{3} + 25 a^{2} + 23 a + 3\right)\cdot 29^{3} + \left(4 a^{5} + a^{4} + 3 a^{3} + 25 a^{2} + 23 a + 23\right)\cdot 29^{4} + \left(14 a^{5} + 13 a^{4} + 26 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 26\right)\cdot 29^{5} + \left(4 a^{5} + 9 a^{4} + 27 a^{3} + 19 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})$ 26a^5 + 9a^4 + 16a^3 + 24a^2 + 24a + 28 + (20a^5 + 10a^2 + 9a + 7)29 + (17a^5 + 16a^4 + 7a^3 + 25a^2 + 17a + 3)29^2 + (2a^5 + 13a^4 + 15a^3 + 25a^2 + 23a + 3)29^3 + (4a^5 + a^4 + 3a^3 + 25a^2 + 23a + 23)29^4 + (14a^5 + 13a^4 + 26a^3 + 7a^2 + 9a + 26)29^5 + (4a^5 + 9a^4 + 27a^3 + 19a^2 + 15a + 17)29^6+O(29^7)
$r_{ 12 }$	$=$	$ 5 a^{5} + 21 a^{4} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 23 + \left(23 a^{5} + 8 a^{4} + 13 a^{3} + 19 a^{2} + 28 a + 10\right)\cdot 29 + \left(24 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 20 a + 7\right)\cdot 29^{2} + \left(12 a^{5} + 16 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 29^{3} + \left(20 a^{5} + 26 a^{4} + 15 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 29^{4} + \left(18 a^{5} + 15 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 29^{5} + \left(28 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 25 a^{2} + 28 a + 7\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})$ 5a^5 + 21a^4 + 4a^3 + 13a^2 + 23 + (23a^5 + 8a^4 + 13a^3 + 19a^2 + 28a + 10)29 + (24a^4 + 6a^3 + 2a^2 + 20a + 7)29^2 + (12a^5 + 16a^4 + 6a^3 + 2a^2 + 12a + 3)29^3 + (20a^5 + 26a^4 + 15a^2 + 6a + 4)29^4 + (18a^5 + 15a^4 + 3a^3 + 11a^2 + 12a + 10)29^5 + (28a^5 + 3a^4 + 8a^3 + 25a^2 + 28a + 7)29^6+O(29^7)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 12 }$

Cycle notation
$(1,10)(2,3)(4,7)(5,12)(6,11)(8,9)$
$(1,9,5,10,8,12)(2,3)(4,7)(6,11)$
$(1,7)(2,8)(3,9)(4,10)(5,11)(6,12)$
$(1,5,8)(2,7,11)(3,4,6)(9,10,12)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 12 }$	Character value
$1$	$1$	$()$	$2$
$1$	$2$	$(1,10)(2,3)(4,7)(5,12)(6,11)(8,9)$	$-2$
$3$	$2$	$(1,7)(2,8)(3,9)(4,10)(5,11)(6,12)$	$0$
$3$	$2$	$(1,4)(2,9)(3,8)(5,6)(7,10)(11,12)$	$0$
$1$	$3$	$(1,5,8)(2,7,11)(3,4,6)(9,10,12)$	$2 \zeta_{3}$
$1$	$3$	$(1,8,5)(2,11,7)(3,6,4)(9,12,10)$	$-2 \zeta_{3} - 2$
$2$	$3$	$(1,5,8)(9,10,12)$	$\zeta_{3} + 1$
$2$	$3$	$(1,8,5)(9,12,10)$	$-\zeta_{3}$
$2$	$3$	$(1,5,8)(2,11,7)(3,6,4)(9,10,12)$	$-1$
$1$	$6$	$(1,12,8,10,5,9)(2,4,11,3,7,6)$	$-2 \zeta_{3}$
$1$	$6$	$(1,9,5,10,8,12)(2,6,7,3,11,4)$	$2 \zeta_{3} + 2$
$2$	$6$	$(1,9,5,10,8,12)(2,3)(4,7)(6,11)$	$\zeta_{3}$
$2$	$6$	$(1,12,8,10,5,9)(2,3)(4,7)(6,11)$	$-\zeta_{3} - 1$
$2$	$6$	$(1,9,5,10,8,12)(2,4,11,3,7,6)$	$1$
$3$	$6$	$(1,3,8,6,5,4)(2,9,11,12,7,10)$	$0$
$3$	$6$	$(1,4,5,6,8,3)(2,10,7,12,11,9)$	$0$
$3$	$6$	$(1,11,8,7,5,2)(3,10,6,9,4,12)$	$0$
$3$	$6$	$(1,2,5,7,8,11)(3,12,4,9,6,10)$	$0$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 12 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	2.2016.12t18.c.b
Dimension	$2$
Group	$C_6\times S_3$
Conductor	$2016$
Root number	not computed
Indicator	$0$

$r_{ 1 }$	$=$	\( 25 a^{5} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 14 + \left(5 a^{5} + 12 a^{4} + 27 a^{3} + 19 a^{2} + 13 a + 27\right)\cdot 29 + \left(2 a^{5} + 13 a^{4} + 12 a^{3} + 21 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 29^{2} + \left(26 a^{5} + 16 a^{4} + 8 a^{2} + 17 a + 20\right)\cdot 29^{3} + \left(9 a^{5} + 26 a^{4} + 12 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 29^{4} + \left(8 a^{5} + 15 a^{4} + 8 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 23\right)\cdot 29^{5} + \left(11 a^{5} + a^{4} + 7 a^{3} + 13 a^{2} + 7 a + 28\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})\) 25a^5 + 4a^3 + 3a^2 + 10a + 14 + (5a^5 + 12a^4 + 27a^3 + 19a^2 + 13a + 27)29 + (2a^5 + 13a^4 + 12a^3 + 21a^2 + 10a + 18)29^2 + (26a^5 + 16a^4 + 8a^2 + 17a + 20)29^3 + (9a^5 + 26a^4 + 12a^3 + 10a^2 + 8a + 3)29^4 + (8a^5 + 15a^4 + 8a^3 + 15a^2 + 4a + 23)29^5 + (11a^5 + a^4 + 7a^3 + 13a^2 + 7a + 28)29^6+O(29^7)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 22 a^{5} + 11 a^{4} + 24 a^{3} + 5 a^{2} + a + \left(a^{5} + 9 a^{4} + 18 a^{3} + 23 a^{2} + 4 a\right)\cdot 29 + \left(28 a^{5} + 20 a^{4} + 21 a^{3} + 13 a^{2} + 22 a + 20\right)\cdot 29^{2} + \left(17 a^{5} + 22 a^{4} + a^{3} + 10 a + 14\right)\cdot 29^{3} + \left(20 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 20 a^{2} + 21 a + 1\right)\cdot 29^{4} + \left(27 a^{5} + 10 a^{4} + 21 a^{3} + 25 a^{2} + 27 a + 25\right)\cdot 29^{5} + \left(11 a^{5} + 16 a^{4} + 10 a^{2} + 9 a + 24\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})\) 22a^5 + 11a^4 + 24a^3 + 5a^2 + a + (a^5 + 9a^4 + 18a^3 + 23a^2 + 4a)29 + (28a^5 + 20a^4 + 21a^3 + 13a^2 + 22a + 20)29^2 + (17a^5 + 22a^4 + a^3 + 10a + 14)29^3 + (20a^5 + 8a^4 + 11a^3 + 20a^2 + 21a + 1)29^4 + (27a^5 + 10a^4 + 21a^3 + 25a^2 + 27a + 25)29^5 + (11a^5 + 16a^4 + 10a^2 + 9a + 24)29^6+O(29^7)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 19 a^{5} + 5 a^{4} + 25 a^{3} + 15 a^{2} + 23 a + 4 + \left(24 a^{5} + 19 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 6\right)\cdot 29 + \left(23 a^{5} + 23 a^{4} + 20 a^{3} + 23 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 29^{2} + \left(23 a^{5} + 15 a^{4} + 6 a^{3} + 21 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 29^{3} + \left(12 a^{5} + 19 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 28 a + 16\right)\cdot 29^{4} + \left(23 a^{5} + 23 a^{4} + 8 a^{3} + 21 a^{2} + 20 a + 24\right)\cdot 29^{5} + \left(6 a^{5} + 19 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})\) 19a^5 + 5a^4 + 25a^3 + 15a^2 + 23a + 4 + (24a^5 + 19a^4 + 4a^3 + 15a^2 + 6)29 + (23a^5 + 23a^4 + 20a^3 + 23a^2 + 10a + 6)29^2 + (23a^5 + 15a^4 + 6a^3 + 21a^2 + 6a + 12)29^3 + (12a^5 + 19a^4 + 6a^3 + 4a^2 + 28a + 16)29^4 + (23a^5 + 23a^4 + 8a^3 + 21a^2 + 20a + 24)29^5 + (6a^5 + 19a^4 + 6a^3 + 16a^2 + 4a + 6)29^6+O(29^7)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 6 a^{5} + a^{4} + 23 a^{2} + 14 a + 17 + \left(2 a^{5} + 21 a^{4} + 9 a^{3} + 19 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 29 + \left(5 a^{5} + 22 a^{4} + 7 a^{3} + 22 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 29^{2} + \left(16 a^{5} + 25 a^{4} + 19 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 29^{3} + \left(25 a^{5} + 4 a^{4} + 25 a^{3} + a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 29^{4} + \left(7 a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + 18 a + 27\right)\cdot 29^{5} + \left(7 a^{5} + 4 a^{4} + 9 a^{3} + 19 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})\) 6a^5 + a^4 + 23a^2 + 14a + 17 + (2a^5 + 21a^4 + 9a^3 + 19a^2 + 10a + 4)29 + (5a^5 + 22a^4 + 7a^3 + 22a^2 + 16a + 8)29^2 + (16a^5 + 25a^4 + 19a^3 + 4a^2 + 4a + 11)29^3 + (25a^5 + 4a^4 + 25a^3 + a^2 + 2a + 3)29^4 + (7a^5 + 5a^4 + 3a^3 + 16a^2 + 18a + 27)29^5 + (7a^5 + 4a^4 + 9a^3 + 19a^2 + 6a + 6)29^6+O(29^7)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 2 a^{5} + 15 a^{4} + 5 a^{3} + 23 a^{2} + 22 a + 27 + \left(17 a^{5} + 18 a^{4} + 28 a^{3} + 11 a^{2} + 24 a + 16\right)\cdot 29 + \left(25 a^{5} + 27 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 22\right)\cdot 29^{2} + \left(17 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 23 a^{2} + 8 a\right)\cdot 29^{3} + \left(12 a^{5} + 8 a^{4} + 24 a^{3} + 28 a^{2} + 13 a + 19\right)\cdot 29^{4} + \left(14 a^{5} + 18 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 29^{5} + \left(23 a^{5} + 7 a^{4} + 13 a^{3} + 2 a^{2} + 23 a + 18\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})\) 2a^5 + 15a^4 + 5a^3 + 23a^2 + 22a + 27 + (17a^5 + 18a^4 + 28a^3 + 11a^2 + 24a + 16)29 + (25a^5 + 27a^4 + 4a^3 + 12a^2 + 8a + 22)29^2 + (17a^5 + 9a^4 + 11a^3 + 23a^2 + 8a)29^3 + (12a^5 + 8a^4 + 24a^3 + 28a^2 + 13a + 19)29^4 + (14a^5 + 18a^3 + 6a^2 + 5a + 9)29^5 + (23a^5 + 7a^4 + 13a^3 + 2a^2 + 23a + 18)29^6+O(29^7)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 23 a^{5} + 3 a^{4} + 17 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 3 + \left(14 a^{5} + 10 a^{4} + 15 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 29 + \left(13 a^{5} + 19 a^{4} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 29^{2} + \left(8 a^{5} + 6 a^{4} + 20 a^{3} + 18 a^{2} + 19 a\right)\cdot 29^{3} + \left(25 a^{5} + 12 a^{4} + 27 a^{3} + 10 a^{2} + a + 9\right)\cdot 29^{4} + \left(9 a^{5} + 26 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 26\right)\cdot 29^{5} + \left(28 a^{5} + 12 a^{4} + 4 a^{3} + 25 a^{2} + 10 a + 28\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})\) 23a^5 + 3a^4 + 17a^3 + 5a^2 + 17a + 3 + (14a^5 + 10a^4 + 15a^3 + 3a^2 + 6a + 14)29 + (13a^5 + 19a^4 + 5a^3 + 6a^2 + 5a + 18)29^2 + (8a^5 + 6a^4 + 20a^3 + 18a^2 + 19a)29^3 + (25a^5 + 12a^4 + 27a^3 + 10a^2 + a + 9)29^4 + (9a^5 + 26a^4 + 12a^3 + 3a^2 + 3a + 26)29^5 + (28a^5 + 12a^4 + 4a^3 + 25a^2 + 10a + 28)29^6+O(29^7)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 9 a^{5} + 7 a^{4} + 28 a^{3} + 13 a^{2} + 21 a + 13 + \left(8 a^{5} + 11 a^{4} + 22 a^{3} + 27 a^{2} + 13 a + 27\right)\cdot 29 + \left(9 a^{5} + 19 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 28 a + 21\right)\cdot 29^{2} + \left(10 a^{5} + 3 a^{4} + 14 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 29^{3} + \left(4 a^{5} + 23 a^{4} + a^{3} + 16 a^{2} + 24 a + 17\right)\cdot 29^{4} + \left(12 a^{5} + 20 a^{4} + 17 a^{3} + 20 a^{2} + 24 a + 27\right)\cdot 29^{5} + \left(12 a^{5} + 3 a^{3} + 13 a^{2} + 11 a + 24\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})\) 9a^5 + 7a^4 + 28a^3 + 13a^2 + 21a + 13 + (8a^5 + 11a^4 + 22a^3 + 27a^2 + 13a + 27)29 + (9a^5 + 19a^4 + 8a^3 + 12a^2 + 28a + 21)29^2 + (10a^5 + 3a^4 + 14a^3 + 12a^2 + 8a + 13)29^3 + (4a^5 + 23a^4 + a^3 + 16a^2 + 24a + 17)29^4 + (12a^5 + 20a^4 + 17a^3 + 20a^2 + 24a + 27)29^5 + (12a^5 + 3a^3 + 13a^2 + 11a + 24)*29^6+O(29^7)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 3 a^{5} + 16 a^{4} + 10 a^{3} + 19 a^{2} + 9 a + 7 + \left(4 a^{5} + 6 a^{4} + 18 a^{3} + 23 a^{2} + 21 a + 7\right)\cdot 29 + \left(4 a^{5} + 19 a^{4} + 2 a^{3} + 28 a\right)\cdot 29^{2} + \left(12 a^{5} + 20 a^{4} + 15 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 29^{3} + \left(6 a^{5} + 18 a^{4} + 5 a^{3} + 14 a^{2} + 24 a + 22\right)\cdot 29^{4} + \left(10 a^{5} + 26 a^{4} + 24 a^{3} + 10 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 29^{5} + \left(23 a^{5} + 22 a^{4} + 4 a^{3} + 27 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})\) 3a^5 + 16a^4 + 10a^3 + 19a^2 + 9a + 7 + (4a^5 + 6a^4 + 18a^3 + 23a^2 + 21a + 7)29 + (4a^5 + 19a^4 + 2a^3 + 28a)29^2 + (12a^5 + 20a^4 + 15a^3 + 16a^2 + 17a + 5)29^3 + (6a^5 + 18a^4 + 5a^3 + 14a^2 + 24a + 22)29^4 + (10a^5 + 26a^4 + 24a^3 + 10a^2 + 14a + 3)29^5 + (23a^5 + 22a^4 + 4a^3 + 27a^2 + 19a + 1)29^6+O(29^7)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 6 a^{5} + 22 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 16 a + 3 + \left(10 a^{5} + 25 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 24 a + 1\right)\cdot 29 + \left(8 a^{5} + 15 a^{4} + 4 a^{3} + 20 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 29^{2} + \left(6 a^{5} + 27 a^{4} + 10 a^{3} + 23 a^{2} + 22 a + 7\right)\cdot 29^{3} + \left(14 a^{5} + 7 a^{4} + 10 a^{3} + 17 a + 7\right)\cdot 29^{4} + \left(14 a^{5} + 13 a^{4} + 8 a^{3} + 15 a^{2} + 21 a + 4\right)\cdot 29^{5} + \left(28 a^{5} + 19 a^{4} + 28 a^{3} + 21 a^{2} + 24 a + 19\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})\) 6a^5 + 22a^4 + 9a^3 + 9a^2 + 16a + 3 + (10a^5 + 25a^4 + 3a^3 + 2a^2 + 24a + 1)29 + (8a^5 + 15a^4 + 4a^3 + 20a^2 + 11a + 14)29^2 + (6a^5 + 27a^4 + 10a^3 + 23a^2 + 22a + 7)29^3 + (14a^5 + 7a^4 + 10a^3 + 17a + 7)29^4 + (14a^5 + 13a^4 + 8a^3 + 15a^2 + 21a + 4)29^5 + (28a^5 + 19a^4 + 28a^3 + 21a^2 + 24a + 19)29^6+O(29^7)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 28 a^{5} + 6 a^{4} + 3 a^{3} + 22 a^{2} + 17 a + 10 + \left(11 a^{5} + 2 a^{4} + 12 a^{3} + 26 a^{2} + 16 a + 21\right)\cdot 29 + \left(6 a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 22 a + 3\right)\cdot 29^{2} + \left(20 a^{5} + 23 a^{4} + 24 a^{3} + 16 a^{2} + 21 a + 23\right)\cdot 29^{3} + \left(17 a^{5} + 15 a^{4} + 16 a^{3} + 25 a^{2} + a + 17\right)\cdot 29^{4} + \left(12 a^{5} + 2 a^{4} + 21 a^{3} + 19 a^{2} + 11 a + 23\right)\cdot 29^{5} + \left(16 a^{5} + 27 a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})\) 28a^5 + 6a^4 + 3a^3 + 22a^2 + 17a + 10 + (11a^5 + 2a^4 + 12a^3 + 26a^2 + 16a + 21)29 + (6a^5 + 10a^4 + 14a^3 + 11a^2 + 22a + 3)29^2 + (20a^5 + 23a^4 + 24a^3 + 16a^2 + 21a + 23)29^3 + (17a^5 + 15a^4 + 16a^3 + 25a^2 + a + 17)29^4 + (12a^5 + 2a^4 + 21a^3 + 19a^2 + 11a + 23)29^5 + (16a^5 + 27a^4 + a^3 + 7a^2 + 12a + 17)*29^6+O(29^7)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 26 a^{5} + 9 a^{4} + 16 a^{3} + 24 a^{2} + 24 a + 28 + \left(20 a^{5} + 10 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 29 + \left(17 a^{5} + 16 a^{4} + 7 a^{3} + 25 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 29^{2} + \left(2 a^{5} + 13 a^{4} + 15 a^{3} + 25 a^{2} + 23 a + 3\right)\cdot 29^{3} + \left(4 a^{5} + a^{4} + 3 a^{3} + 25 a^{2} + 23 a + 23\right)\cdot 29^{4} + \left(14 a^{5} + 13 a^{4} + 26 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 26\right)\cdot 29^{5} + \left(4 a^{5} + 9 a^{4} + 27 a^{3} + 19 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})\) 26a^5 + 9a^4 + 16a^3 + 24a^2 + 24a + 28 + (20a^5 + 10a^2 + 9a + 7)29 + (17a^5 + 16a^4 + 7a^3 + 25a^2 + 17a + 3)29^2 + (2a^5 + 13a^4 + 15a^3 + 25a^2 + 23a + 3)29^3 + (4a^5 + a^4 + 3a^3 + 25a^2 + 23a + 23)29^4 + (14a^5 + 13a^4 + 26a^3 + 7a^2 + 9a + 26)29^5 + (4a^5 + 9a^4 + 27a^3 + 19a^2 + 15a + 17)29^6+O(29^7)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 5 a^{5} + 21 a^{4} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 23 + \left(23 a^{5} + 8 a^{4} + 13 a^{3} + 19 a^{2} + 28 a + 10\right)\cdot 29 + \left(24 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 20 a + 7\right)\cdot 29^{2} + \left(12 a^{5} + 16 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 29^{3} + \left(20 a^{5} + 26 a^{4} + 15 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 29^{4} + \left(18 a^{5} + 15 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 29^{5} + \left(28 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 25 a^{2} + 28 a + 7\right)\cdot 29^{6} +O(29^{7})\) 5a^5 + 21a^4 + 4a^3 + 13a^2 + 23 + (23a^5 + 8a^4 + 13a^3 + 19a^2 + 28a + 10)29 + (24a^4 + 6a^3 + 2a^2 + 20a + 7)29^2 + (12a^5 + 16a^4 + 6a^3 + 2a^2 + 12a + 3)29^3 + (20a^5 + 26a^4 + 15a^2 + 6a + 4)29^4 + (18a^5 + 15a^4 + 3a^3 + 11a^2 + 12a + 10)29^5 + (28a^5 + 3a^4 + 8a^3 + 25a^2 + 28a + 7)29^6+O(29^7)