LMFDB - L-function 40-13e40-1.1-c9e20-0-0

Dirichlet series

L(s) = 1

+ 326·3^-s − 2.56e3·4^-s − 7.89e4·9^-s − 8.34e5·12^-s + 2.92e6·16^-s − 9.93e4·17^-s + 6.25e6·23^-s − 1.87e7·25^-s − 3.34e7·27^-s + 5.42e6·29^-s + 2.02e8·36^-s + 5.32e7·43^-s + 9.52e8·48^-s − 3.96e8·49^-s − 3.23e7·51^-s − 3.64e7·53^-s + 5.36e8·61^-s − 2.04e9·64^-s + 2.54e8·68^-s + 2.03e9·69^-s − 6.11e9·75^-s + 1.55e9·79^-s + 3.33e9·81^-s + 1.76e9·87^-s − 1.60e10·92^-s + 4.80e10·100^-s − 3.67e9·101^-s + ⋯

L(s) = 1

+ 2.32·3^-s − 5.00·4^-s − 4.01·9^-s − 11.6·12^-s + 11.1·16^-s − 0.288·17^-s + 4.65·23^-s − 9.60·25^-s − 12.0·27^-s + 1.42·29^-s + 20.0·36^-s + 2.37·43^-s + 25.8·48^-s − 9.82·49^-s − 0.670·51^-s − 0.634·53^-s + 4.96·61^-s − 15.2·64^-s + 1.44·68^-s + 10.8·69^-s − 22.3·75^-s + 4.49·79^-s + 8.60·81^-s + 3.30·87^-s − 23.3·92^-s + 48.0·100^-s − 3.51·101^-s + ⋯

Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(13^{40}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{20} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(10-s)\end{aligned}

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(13^{40}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+9/2)^{20} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}

Invariants

Degree:	$40$
Conductor:	$13^{40}$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$6.22992\times 10^{38}$
Root analytic conductor:	$9.32957$
Motivic weight:	$9$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$0$
Selberg data:	$(40,\ 13^{40} ,\ ( \ : [9/2]^{20} ),\ 1 )$

Particular Values

$L(5)$	$\approx$	$0.04923141791$
$L(\frac12)$	$\approx$	$0.04923141791$
$L(\frac{11}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1}

	$p$	$F_p(T)$
bad	13	$1$
good	2	$1 + 2561 T^{2} + 909265 p^{2} T^{4} + 7566965 p^{9} T^{6} + 54406481057 p^{6} T^{8} + 10840550729209 p^{8} T^{10} + 488114341991933 p^{12} T^{12} + 10073627325839483 p^{17} T^{14} + 385231428691215799 p^{21} T^{16} + 27421398175067442169 p^{24} T^{18} +$ $90\!\cdots\!61$ $p^{28} T^{20} + 27421398175067442169 p^{42} T^{22} + 385231428691215799 p^{57} T^{24} + 10073627325839483 p^{71} T^{26} + 488114341991933 p^{84} T^{28} + 10840550729209 p^{98} T^{30} + 54406481057 p^{114} T^{32} + 7566965 p^{135} T^{34} + 909265 p^{146} T^{36} + 2561 p^{162} T^{38} + p^{180} T^{40}$
	3	$( 1 - 163 T + 79318 T^{2} - 4474865 p T^{3} + 383805682 p^{2} T^{4} - 6256779041 p^{4} T^{5} + 403662559972 p^{5} T^{6} - 17084366468795 p^{6} T^{7} + 2827169147415389 p^{6} T^{8} - 112858897457614078 p^{7} T^{9} + 6024779946139796012 p^{8} T^{10} - 112858897457614078 p^{16} T^{11} + 2827169147415389 p^{24} T^{12} - 17084366468795 p^{33} T^{13} + 403662559972 p^{41} T^{14} - 6256779041 p^{49} T^{15} + 383805682 p^{56} T^{16} - 4474865 p^{64} T^{17} + 79318 p^{72} T^{18} - 163 p^{81} T^{19} + p^{90} T^{20} )^{2}$
	5	$1 + 18766613 T^{2} + 182328407955298 T^{4} +$ $12\!\cdots\!43$ $T^{6} +$ $60\!\cdots\!38$ $T^{8} +$ $24\!\cdots\!07$ $T^{10} +$ $66\!\cdots\!96$ $p^{3} T^{12} +$ $38\!\cdots\!71$ $p^{4} T^{14} +$ $39\!\cdots\!21$ $p^{6} T^{16} +$ $35\!\cdots\!14$ $p^{8} T^{18} +$ $29\!\cdots\!16$ $p^{10} T^{20} +$ $35\!\cdots\!14$ $p^{26} T^{22} +$ $39\!\cdots\!21$ $p^{42} T^{24} +$ $38\!\cdots\!71$ $p^{58} T^{26} +$ $66\!\cdots\!96$ $p^{75} T^{28} +$ $24\!\cdots\!07$ $p^{90} T^{30} +$ $60\!\cdots\!38$ $p^{108} T^{32} +$ $12\!\cdots\!43$ $p^{126} T^{34} + 182328407955298 p^{144} T^{36} + 18766613 p^{162} T^{38} + p^{180} T^{40}$
	7	$1 + 396508421 T^{2} + 78250729165264630 T^{4} +$ $21\!\cdots\!47$ $p^{2} T^{6} +$ $43\!\cdots\!78$ $p^{4} T^{8} +$ $72\!\cdots\!67$ $p^{6} T^{10} +$ $10\!\cdots\!44$ $p^{8} T^{12} +$ $12\!\cdots\!19$ $p^{10} T^{14} +$ $19\!\cdots\!27$ $p^{13} T^{16} +$ $13\!\cdots\!70$ $p^{14} T^{18} +$ $23\!\cdots\!12$ $p^{18} T^{20} +$ $13\!\cdots\!70$ $p^{32} T^{22} +$ $19\!\cdots\!27$ $p^{49} T^{24} +$ $12\!\cdots\!19$ $p^{64} T^{26} +$ $10\!\cdots\!44$ $p^{80} T^{28} +$ $72\!\cdots\!67$ $p^{96} T^{30} +$ $43\!\cdots\!78$ $p^{112} T^{32} +$ $21\!\cdots\!47$ $p^{128} T^{34} + 78250729165264630 p^{144} T^{36} + 396508421 p^{162} T^{38} + p^{180} T^{40}$
	11	$1 + 1116156895 p T^{2} + 84568073197684469518 T^{4} +$ $41\!\cdots\!43$ $T^{6} +$ $16\!\cdots\!02$ $T^{8} +$ $55\!\cdots\!03$ $T^{10} +$ $16\!\cdots\!36$ $T^{12} +$ $42\!\cdots\!91$ $T^{14} +$ $10\!\cdots\!65$ $T^{16} +$ $23\!\cdots\!94$ $T^{18} +$ $54\!\cdots\!48$ $T^{20} +$ $23\!\cdots\!94$ $p^{18} T^{22} +$ $10\!\cdots\!65$ $p^{36} T^{24} +$ $42\!\cdots\!91$ $p^{54} T^{26} +$ $16\!\cdots\!36$ $p^{72} T^{28} +$ $55\!\cdots\!03$ $p^{90} T^{30} +$ $16\!\cdots\!02$ $p^{108} T^{32} +$ $41\!\cdots\!43$ $p^{126} T^{34} + 84568073197684469518 p^{144} T^{36} + 1116156895 p^{163} T^{38} + p^{180} T^{40}$
	17	$( 1 + 49656 T + 534818052869 T^{2} - 31315884659192520 T^{3} +$ $14\!\cdots\!39$ $T^{4} -$ $17\!\cdots\!24$ $T^{5} +$ $29\!\cdots\!38$ $T^{6} -$ $41\!\cdots\!96$ $T^{7} +$ $45\!\cdots\!57$ $T^{8} -$ $69\!\cdots\!92$ $T^{9} +$ $58\!\cdots\!75$ $T^{10} -$ $69\!\cdots\!92$ $p^{9} T^{11} +$ $45\!\cdots\!57$ $p^{18} T^{12} -$ $41\!\cdots\!96$ $p^{27} T^{13} +$ $29\!\cdots\!38$ $p^{36} T^{14} -$ $17\!\cdots\!24$ $p^{45} T^{15} +$ $14\!\cdots\!39$ $p^{54} T^{16} - 31315884659192520 p^{63} T^{17} + 534818052869 p^{72} T^{18} + 49656 p^{81} T^{19} + p^{90} T^{20} )^{2}$
	19	$1 + 548575019 p^{3} T^{2} +$ $70\!\cdots\!10$ $T^{4} +$ $87\!\cdots\!91$ $T^{6} +$ $81\!\cdots\!38$ $T^{8} +$ $59\!\cdots\!43$ $T^{10} +$ $35\!\cdots\!28$ $T^{12} +$ $18\!\cdots\!75$ $T^{14} +$ $80\!\cdots\!01$ $T^{16} +$ $30\!\cdots\!18$ $T^{18} +$ $10\!\cdots\!24$ $T^{20} +$ $30\!\cdots\!18$ $p^{18} T^{22} +$ $80\!\cdots\!01$ $p^{36} T^{24} +$ $18\!\cdots\!75$ $p^{54} T^{26} +$ $35\!\cdots\!28$ $p^{72} T^{28} +$ $59\!\cdots\!43$ $p^{90} T^{30} +$ $81\!\cdots\!38$ $p^{108} T^{32} +$ $87\!\cdots\!91$ $p^{126} T^{34} +$ $70\!\cdots\!10$ $p^{144} T^{36} + 548575019 p^{165} T^{38} + p^{180} T^{40}$
	23	$( 1 - 3126189 T + 11973013625246 T^{2} - 28963662194694384585 T^{3} +$ $71\!\cdots\!66$ $T^{4} -$ $14\!\cdots\!83$ $T^{5} +$ $28\!\cdots\!24$ $T^{6} -$ $48\!\cdots\!13$ $T^{7} +$ $78\!\cdots\!57$ $T^{8} -$ $11\!\cdots\!22$ $T^{9} +$ $16\!\cdots\!00$ $T^{10} -$ $11\!\cdots\!22$ $p^{9} T^{11} +$ $78\!\cdots\!57$ $p^{18} T^{12} -$ $48\!\cdots\!13$ $p^{27} T^{13} +$ $28\!\cdots\!24$ $p^{36} T^{14} -$ $14\!\cdots\!83$ $p^{45} T^{15} +$ $71\!\cdots\!66$ $p^{54} T^{16} - 28963662194694384585 p^{63} T^{17} + 11973013625246 p^{72} T^{18} - 3126189 p^{81} T^{19} + p^{90} T^{20} )^{2}$
	29	$( 1 - 2712414 T + 101714019641951 T^{2} -$ $22\!\cdots\!46$ $T^{3} +$ $49\!\cdots\!71$ $T^{4} -$ $93\!\cdots\!52$ $T^{5} +$ $15\!\cdots\!34$ $T^{6} -$ $25\!\cdots\!16$ $T^{7} +$ $34\!\cdots\!25$ $T^{8} -$ $49\!\cdots\!86$ $T^{9} +$ $58\!\cdots\!29$ $T^{10} -$ $49\!\cdots\!86$ $p^{9} T^{11} +$ $34\!\cdots\!25$ $p^{18} T^{12} -$ $25\!\cdots\!16$ $p^{27} T^{13} +$ $15\!\cdots\!34$ $p^{36} T^{14} -$ $93\!\cdots\!52$ $p^{45} T^{15} +$ $49\!\cdots\!71$ $p^{54} T^{16} -$ $22\!\cdots\!46$ $p^{63} T^{17} + 101714019641951 p^{72} T^{18} - 2712414 p^{81} T^{19} + p^{90} T^{20} )^{2}$
	31	$1 + 324518493957860 T^{2} +$ $52\!\cdots\!38$ $T^{4} +$ $18\!\cdots\!44$ $p T^{6} +$ $44\!\cdots\!17$ $T^{8} +$ $28\!\cdots\!72$ $T^{10} +$ $14\!\cdots\!92$ $T^{12} +$ $63\!\cdots\!92$ $T^{14} +$ $23\!\cdots\!58$ $T^{16} +$ $76\!\cdots\!24$ $T^{18} +$ $21\!\cdots\!32$ $T^{20} +$ $76\!\cdots\!24$ $p^{18} T^{22} +$ $23\!\cdots\!58$ $p^{36} T^{24} +$ $63\!\cdots\!92$ $p^{54} T^{26} +$ $14\!\cdots\!92$ $p^{72} T^{28} +$ $28\!\cdots\!72$ $p^{90} T^{30} +$ $44\!\cdots\!17$ $p^{108} T^{32} +$ $18\!\cdots\!44$ $p^{127} T^{34} +$ $52\!\cdots\!38$ $p^{144} T^{36} + 324518493957860 p^{162} T^{38} + p^{180} T^{40}$
	37	$1 + 1419832968167534 T^{2} +$ $10\!\cdots\!39$ $T^{4} +$ $47\!\cdots\!34$ $T^{6} +$ $16\!\cdots\!83$ $T^{8} +$ $46\!\cdots\!00$ $T^{10} +$ $10\!\cdots\!02$ $T^{12} +$ $20\!\cdots\!56$ $T^{14} +$ $35\!\cdots\!25$ $T^{16} +$ $54\!\cdots\!46$ $T^{18} +$ $74\!\cdots\!21$ $T^{20} +$ $54\!\cdots\!46$ $p^{18} T^{22} +$ $35\!\cdots\!25$ $p^{36} T^{24} +$ $20\!\cdots\!56$ $p^{54} T^{26} +$ $10\!\cdots\!02$ $p^{72} T^{28} +$ $46\!\cdots\!00$ $p^{90} T^{30} +$ $16\!\cdots\!83$ $p^{108} T^{32} +$ $47\!\cdots\!34$ $p^{126} T^{34} +$ $10\!\cdots\!39$ $p^{144} T^{36} + 1419832968167534 p^{162} T^{38} + p^{180} T^{40}$
	41	$1 + 1965380062206758 T^{2} +$ $17\!\cdots\!55$ $T^{4} +$ $98\!\cdots\!94$ $T^{6} +$ $49\!\cdots\!23$ $T^{8} +$ $23\!\cdots\!44$ $T^{10} +$ $98\!\cdots\!62$ $T^{12} +$ $38\!\cdots\!04$ $T^{14} +$ $14\!\cdots\!01$ $T^{16} +$ $50\!\cdots\!38$ $T^{18} +$ $16\!\cdots\!81$ $T^{20} +$ $50\!\cdots\!38$ $p^{18} T^{22} +$ $14\!\cdots\!01$ $p^{36} T^{24} +$ $38\!\cdots\!04$ $p^{54} T^{26} +$ $98\!\cdots\!62$ $p^{72} T^{28} +$ $23\!\cdots\!44$ $p^{90} T^{30} +$ $49\!\cdots\!23$ $p^{108} T^{32} +$ $98\!\cdots\!94$ $p^{126} T^{34} +$ $17\!\cdots\!55$ $p^{144} T^{36} + 1965380062206758 p^{162} T^{38} + p^{180} T^{40}$
	43	$( 1 - 26621029 T + 3731482435669156 T^{2} -$ $77\!\cdots\!13$ $T^{3} +$ $64\!\cdots\!94$ $T^{4} -$ $11\!\cdots\!03$ $T^{5} +$ $71\!\cdots\!42$ $T^{6} -$ $10\!\cdots\!45$ $T^{7} +$ $55\!\cdots\!97$ $T^{8} -$ $70\!\cdots\!38$ $T^{9} +$ $32\!\cdots\!16$ $T^{10} -$ $70\!\cdots\!38$ $p^{9} T^{11} +$ $55\!\cdots\!97$ $p^{18} T^{12} -$ $10\!\cdots\!45$ $p^{27} T^{13} +$ $71\!\cdots\!42$ $p^{36} T^{14} -$ $11\!\cdots\!03$ $p^{45} T^{15} +$ $64\!\cdots\!94$ $p^{54} T^{16} -$ $77\!\cdots\!13$ $p^{63} T^{17} + 3731482435669156 p^{72} T^{18} - 26621029 p^{81} T^{19} + p^{90} T^{20} )^{2}$
	47	$1 + 14897963086138820 T^{2} +$ $10\!\cdots\!98$ $T^{4} +$ $50\!\cdots\!12$ $T^{6} +$ $17\!\cdots\!97$ $T^{8} +$ $44\!\cdots\!12$ $T^{10} +$ $94\!\cdots\!68$ $T^{12} +$ $16\!\cdots\!32$ $T^{14} +$ $25\!\cdots\!70$ $T^{16} +$ $33\!\cdots\!20$ $T^{18} +$ $40\!\cdots\!52$ $T^{20} +$ $33\!\cdots\!20$ $p^{18} T^{22} +$ $25\!\cdots\!70$ $p^{36} T^{24} +$ $16\!\cdots\!32$ $p^{54} T^{26} +$ $94\!\cdots\!68$ $p^{72} T^{28} +$ $44\!\cdots\!12$ $p^{90} T^{30} +$ $17\!\cdots\!97$ $p^{108} T^{32} +$ $50\!\cdots\!12$ $p^{126} T^{34} +$ $10\!\cdots\!98$ $p^{144} T^{36} + 14897963086138820 p^{162} T^{38} + p^{180} T^{40}$
	53	$( 1 + 18214893 T + 22487841037440566 T^{2} +$ $15\!\cdots\!39$ $T^{3} +$ $24\!\cdots\!46$ $T^{4} -$ $15\!\cdots\!77$ $T^{5} +$ $16\!\cdots\!52$ $T^{6} -$ $83\!\cdots\!01$ $T^{7} +$ $84\!\cdots\!53$ $T^{8} -$ $55\!\cdots\!50$ $T^{9} +$ $31\!\cdots\!56$ $T^{10} -$ $55\!\cdots\!50$ $p^{9} T^{11} +$ $84\!\cdots\!53$ $p^{18} T^{12} -$ $83\!\cdots\!01$ $p^{27} T^{13} +$ $16\!\cdots\!52$ $p^{36} T^{14} -$ $15\!\cdots\!77$ $p^{45} T^{15} +$ $24\!\cdots\!46$ $p^{54} T^{16} +$ $15\!\cdots\!39$ $p^{63} T^{17} + 22487841037440566 p^{72} T^{18} + 18214893 p^{81} T^{19} + p^{90} T^{20} )^{2}$
	59	$1 + 92619383932328741 T^{2} +$ $41\!\cdots\!54$ $T^{4} +$ $11\!\cdots\!31$ $T^{6} +$ $25\!\cdots\!26$ $T^{8} +$ $42\!\cdots\!39$ $T^{10} +$ $59\!\cdots\!80$ $T^{12} +$ $73\!\cdots\!71$ $T^{14} +$ $82\!\cdots\!05$ $T^{16} +$ $82\!\cdots\!26$ $T^{18} +$ $75\!\cdots\!76$ $T^{20} +$ $82\!\cdots\!26$ $p^{18} T^{22} +$ $82\!\cdots\!05$ $p^{36} T^{24} +$ $73\!\cdots\!71$ $p^{54} T^{26} +$ $59\!\cdots\!80$ $p^{72} T^{28} +$ $42\!\cdots\!39$ $p^{90} T^{30} +$ $25\!\cdots\!26$ $p^{108} T^{32} +$ $11\!\cdots\!31$ $p^{126} T^{34} +$ $41\!\cdots\!54$ $p^{144} T^{36} + 92619383932328741 p^{162} T^{38} + p^{180} T^{40}$
	61	$( 1 - 268212896 T + 103138971494572405 T^{2} -$ $19\!\cdots\!20$ $T^{3} +$ $45\!\cdots\!75$ $T^{4} -$ $68\!\cdots\!96$ $T^{5} +$ $12\!\cdots\!26$ $T^{6} -$ $15\!\cdots\!72$ $T^{7} +$ $22\!\cdots\!17$ $T^{8} -$ $24\!\cdots\!20$ $T^{9} +$ $30\!\cdots\!59$ $T^{10} -$ $24\!\cdots\!20$ $p^{9} T^{11} +$ $22\!\cdots\!17$ $p^{18} T^{12} -$ $15\!\cdots\!72$ $p^{27} T^{13} +$ $12\!\cdots\!26$ $p^{36} T^{14} -$ $68\!\cdots\!96$ $p^{45} T^{15} +$ $45\!\cdots\!75$ $p^{54} T^{16} -$ $19\!\cdots\!20$ $p^{63} T^{17} + 103138971494572405 p^{72} T^{18} - 268212896 p^{81} T^{19} + p^{90} T^{20} )^{2}$
	67	$1 + 246887561783242241 T^{2} +$ $30\!\cdots\!18$ $T^{4} +$ $25\!\cdots\!47$ $T^{6} +$ $16\!\cdots\!42$ $T^{8} +$ $85\!\cdots\!75$ $T^{10} +$ $37\!\cdots\!64$ $T^{12} +$ $14\!\cdots\!99$ $T^{14} +$ $50\!\cdots\!05$ $T^{16} +$ $16\!\cdots\!18$ $T^{18} +$ $45\!\cdots\!24$ $T^{20} +$ $16\!\cdots\!18$ $p^{18} T^{22} +$ $50\!\cdots\!05$ $p^{36} T^{24} +$ $14\!\cdots\!99$ $p^{54} T^{26} +$ $37\!\cdots\!64$ $p^{72} T^{28} +$ $85\!\cdots\!75$ $p^{90} T^{30} +$ $16\!\cdots\!42$ $p^{108} T^{32} +$ $25\!\cdots\!47$ $p^{126} T^{34} +$ $30\!\cdots\!18$ $p^{144} T^{36} + 246887561783242241 p^{162} T^{38} + p^{180} T^{40}$
	71	$1 + 538838541563825777 T^{2} +$ $14\!\cdots\!58$ $T^{4} +$ $24\!\cdots\!27$ $T^{6} +$ $32\!\cdots\!66$ $T^{8} +$ $33\!\cdots\!03$ $T^{10} +$ $28\!\cdots\!24$ $T^{12} +$ $20\!\cdots\!79$ $T^{14} +$ $13\!\cdots\!45$ $T^{16} +$ $73\!\cdots\!38$ $T^{18} +$ $35\!\cdots\!20$ $T^{20} +$ $73\!\cdots\!38$ $p^{18} T^{22} +$ $13\!\cdots\!45$ $p^{36} T^{24} +$ $20\!\cdots\!79$ $p^{54} T^{26} +$ $28\!\cdots\!24$ $p^{72} T^{28} +$ $33\!\cdots\!03$ $p^{90} T^{30} +$ $32\!\cdots\!66$ $p^{108} T^{32} +$ $24\!\cdots\!27$ $p^{126} T^{34} +$ $14\!\cdots\!58$ $p^{144} T^{36} + 538838541563825777 p^{162} T^{38} + p^{180} T^{40}$
	73	$1 + 948791083991149685 T^{2} +$ $43\!\cdots\!42$ $T^{4} +$ $13\!\cdots\!83$ $T^{6} +$ $28\!\cdots\!62$ $T^{8} +$ $46\!\cdots\!91$ $T^{10} +$ $62\!\cdots\!64$ $T^{12} +$ $67\!\cdots\!51$ $T^{14} +$ $61\!\cdots\!85$ $T^{16} +$ $46\!\cdots\!86$ $T^{18} +$ $29\!\cdots\!72$ $T^{20} +$ $46\!\cdots\!86$ $p^{18} T^{22} +$ $61\!\cdots\!85$ $p^{36} T^{24} +$ $67\!\cdots\!51$ $p^{54} T^{26} +$ $62\!\cdots\!64$ $p^{72} T^{28} +$ $46\!\cdots\!91$ $p^{90} T^{30} +$ $28\!\cdots\!62$ $p^{108} T^{32} +$ $13\!\cdots\!83$ $p^{126} T^{34} +$ $43\!\cdots\!42$ $p^{144} T^{36} + 948791083991149685 p^{162} T^{38} + p^{180} T^{40}$
	79	$( 1 - 778351808 T + 1162270557708283606 T^{2} -$ $70\!\cdots\!64$ $T^{3} +$ $59\!\cdots\!05$ $T^{4} -$ $29\!\cdots\!48$ $T^{5} +$ $18\!\cdots\!60$ $T^{6} -$ $76\!\cdots\!96$ $T^{7} +$ $37\!\cdots\!86$ $T^{8} -$ $13\!\cdots\!92$ $T^{9} +$ $53\!\cdots\!84$ $T^{10} -$ $13\!\cdots\!92$ $p^{9} T^{11} +$ $37\!\cdots\!86$ $p^{18} T^{12} -$ $76\!\cdots\!96$ $p^{27} T^{13} +$ $18\!\cdots\!60$ $p^{36} T^{14} -$ $29\!\cdots\!48$ $p^{45} T^{15} +$ $59\!\cdots\!05$ $p^{54} T^{16} -$ $70\!\cdots\!64$ $p^{63} T^{17} + 1162270557708283606 p^{72} T^{18} - 778351808 p^{81} T^{19} + p^{90} T^{20} )^{2}$
	83	$1 + 1541985118648764608 T^{2} +$ $12\!\cdots\!42$ $T^{4} +$ $72\!\cdots\!88$ $T^{6} +$ $32\!\cdots\!73$ $T^{8} +$ $11\!\cdots\!56$ $T^{10} +$ $36\!\cdots\!48$ $T^{12} +$ $99\!\cdots\!60$ $T^{14} +$ $24\!\cdots\!38$ $T^{16} +$ $52\!\cdots\!12$ $T^{18} +$ $10\!\cdots\!16$ $T^{20} +$ $52\!\cdots\!12$ $p^{18} T^{22} +$ $24\!\cdots\!38$ $p^{36} T^{24} +$ $99\!\cdots\!60$ $p^{54} T^{26} +$ $36\!\cdots\!48$ $p^{72} T^{28} +$ $11\!\cdots\!56$ $p^{90} T^{30} +$ $32\!\cdots\!73$ $p^{108} T^{32} +$ $72\!\cdots\!88$ $p^{126} T^{34} +$ $12\!\cdots\!42$ $p^{144} T^{36} + 1541985118648764608 p^{162} T^{38} + p^{180} T^{40}$
	89	$1 + 3681988986653886869 T^{2} +$ $66\!\cdots\!94$ $T^{4} +$ $78\!\cdots\!47$ $T^{6} +$ $66\!\cdots\!50$ $T^{8} +$ $42\!\cdots\!03$ $T^{10} +$ $21\!\cdots\!92$ $T^{12} +$ $88\!\cdots\!75$ $T^{14} +$ $29\!\cdots\!77$ $T^{16} +$ $88\!\cdots\!58$ $T^{18} +$ $28\!\cdots\!04$ $T^{20} +$ $88\!\cdots\!58$ $p^{18} T^{22} +$ $29\!\cdots\!77$ $p^{36} T^{24} +$ $88\!\cdots\!75$ $p^{54} T^{26} +$ $21\!\cdots\!92$ $p^{72} T^{28} +$ $42\!\cdots\!03$ $p^{90} T^{30} +$ $66\!\cdots\!50$ $p^{108} T^{32} +$ $78\!\cdots\!47$ $p^{126} T^{34} +$ $66\!\cdots\!94$ $p^{144} T^{36} + 3681988986653886869 p^{162} T^{38} + p^{180} T^{40}$
	97	$1 + 7554282362075248997 T^{2} +$ $27\!\cdots\!98$ $T^{4} +$ $68\!\cdots\!55$ $T^{6} +$ $13\!\cdots\!02$ $p T^{8} +$ $19\!\cdots\!31$ $T^{10} +$ $24\!\cdots\!68$ $T^{12} +$ $28\!\cdots\!07$ $T^{14} +$ $28\!\cdots\!89$ $T^{16} +$ $24\!\cdots\!86$ $T^{18} +$ $19\!\cdots\!08$ $T^{20} +$ $24\!\cdots\!86$ $p^{18} T^{22} +$ $28\!\cdots\!89$ $p^{36} T^{24} +$ $28\!\cdots\!07$ $p^{54} T^{26} +$ $24\!\cdots\!68$ $p^{72} T^{28} +$ $19\!\cdots\!31$ $p^{90} T^{30} +$ $13\!\cdots\!02$ $p^{109} T^{32} +$ $68\!\cdots\!55$ $p^{126} T^{34} +$ $27\!\cdots\!98$ $p^{144} T^{36} + 7554282362075248997 p^{162} T^{38} + p^{180} T^{40}$
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L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{40} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−1.74451733796302865746292711444, −1.73564013312765298345913558245, −1.70848428039180612854078971095, −1.60780227677873792212305543978, −1.51207203583332517303263685083, −1.48413834546891760170289977474, −1.38113466754478444774452007422, −1.10908296915474580129948565733, −1.01603238640048720536987308497, −0.932941644921500772518140071669, −0.791093685801411966944518458910, −0.78640675477444238228283901288, −0.72517276833201205949597909060, −0.70871005264827107480786044906, −0.67703404490834649031348740942, −0.62411101472687854066428048216, −0.54847556976169284744047146749, −0.49087772301207862546912254038, −0.38516062550432490548226981807, −0.34683510779733686527024076195, −0.34147922415108211296722420949, −0.32864148517694965286591539972, −0.17489838438410025236386069558, −0.04180032332132954381315805149, −0.03196910568340086720941339439, 0.03196910568340086720941339439, 0.04180032332132954381315805149, 0.17489838438410025236386069558, 0.32864148517694965286591539972, 0.34147922415108211296722420949, 0.34683510779733686527024076195, 0.38516062550432490548226981807, 0.49087772301207862546912254038, 0.54847556976169284744047146749, 0.62411101472687854066428048216, 0.67703404490834649031348740942, 0.70871005264827107480786044906, 0.72517276833201205949597909060, 0.78640675477444238228283901288, 0.791093685801411966944518458910, 0.932941644921500772518140071669, 1.01603238640048720536987308497, 1.10908296915474580129948565733, 1.38113466754478444774452007422, 1.48413834546891760170289977474, 1.51207203583332517303263685083, 1.60780227677873792212305543978, 1.70848428039180612854078971095, 1.73564013312765298345913558245, 1.74451733796302865746292711444

Graph of the $Z$ -function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

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Dirichlet series

Functional equation

Invariants

Particular Values

Euler product

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

Graph of the $Z$ -function along the critical line

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	40-13e40-1.1-c9e20-0-0
Degree	$40$
Conductor	$3.612\times 10^{44}$
Sign	$1$
Analytic cond.	$6.22992\times 10^{38}$
Root an. cond.	$9.32957$
Motivic weight	$9$
Arithmetic	yes
Rational	yes
Primitive	no
Self-dual	yes
Analytic rank	$0$

Properties

Origins

Origins of factors

Downloads

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Particular Values

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

Graph of the ZZZ-function along the critical line

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Graph of the $Z$ -function along the critical line