LMFDB - L-function 40-160e20-1.1-c7e20-0-1

Dirichlet series

L(s) = 1

+ 58·3^-s − 54·5^-s + 2.46e3·7^-s + 1.68e3·9^-s − 1.17e3·13^-s − 3.13e3·15^-s − 2.51e4·17^-s + 6.47e4·19^-s + 1.43e5·21^-s − 3.99e4·23^-s + 6.04e4·25^-s + 8.53e4·27^-s − 1.33e5·35^-s − 6.47e5·37^-s − 6.79e4·39^-s − 1.15e6·41^-s − 1.58e6·43^-s − 9.08e4·45^-s − 1.41e6·47^-s + 3.04e6·49^-s − 1.45e6·51^-s − 2.11e6·53^-s + 3.75e6·57^-s + 6.49e6·59^-s + 1.93e6·61^-s + 4.14e6·63^-s + 6.32e4·65^-s + ⋯

L(s) = 1

+ 1.24·3^-s − 0.193·5^-s + 2.71·7^-s + 0.769·9^-s − 0.147·13^-s − 0.239·15^-s − 1.24·17^-s + 2.16·19^-s + 3.37·21^-s − 0.684·23^-s + 0.774·25^-s + 0.834·27^-s − 0.524·35^-s − 2.10·37^-s − 0.183·39^-s − 2.61·41^-s − 3.04·43^-s − 0.148·45^-s − 1.99·47^-s + 3.69·49^-s − 1.53·51^-s − 1.95·53^-s + 2.68·57^-s + 4.11·59^-s + 1.09·61^-s + 2.08·63^-s + 0.0285·65^-s + ⋯

Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{100} \cdot 5^{20}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{20} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(8-s)\end{aligned}

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{100} \cdot 5^{20}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+7/2)^{20} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}

Invariants

Degree:	$40$
Conductor:	$2^{100} \cdot 5^{20}$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$9.46681\times 10^{33}$
Root analytic conductor:	$7.06976$
Motivic weight:	$7$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$0$
Selberg data:	$(40,\ 2^{100} \cdot 5^{20} ,\ ( \ : [7/2]^{20} ),\ 1 )$

Particular Values

$L(4)$	$\approx$	$0.007282372963$
$L(\frac12)$	$\approx$	$0.007282372963$
$L(\frac{9}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1}

	$p$	$F_p(T)$
bad	2	$1$
	5	$1 + 54 T - 11514 p T^{2} - 301874 p T^{3} + 108910573 p^{2} T^{4} - 611018496 p^{4} T^{5} + 12100344264 p^{6} T^{6} - 75665683088 p^{8} T^{7} - 361541973718 p^{11} T^{8} - 3631666625524 p^{13} T^{9} + 4971217749108 p^{16} T^{10} - 3631666625524 p^{20} T^{11} - 361541973718 p^{25} T^{12} - 75665683088 p^{29} T^{13} + 12100344264 p^{34} T^{14} - 611018496 p^{39} T^{15} + 108910573 p^{44} T^{16} - 301874 p^{50} T^{17} - 11514 p^{57} T^{18} + 54 p^{63} T^{19} + p^{70} T^{20}$
good	3	$1 - 58 T + 1682 T^{2} - 28466 p T^{3} + 265214 T^{4} + 233083414 T^{5} - 10318518758 T^{6} + 276673227278 p T^{7} - 42509722544531 T^{8} + 564447876115136 T^{9} - 2218089709204768 T^{10} + 875694561274624 p T^{11} + 19700435408516952904 p^{2} T^{12} -$ $14\!\cdots\!08$ $p^{4} T^{13} +$ $54\!\cdots\!52$ $p^{4} T^{14} -$ $10\!\cdots\!24$ $p^{5} T^{15} +$ $10\!\cdots\!74$ $p^{6} T^{16} +$ $27\!\cdots\!56$ $p^{8} T^{17} -$ $18\!\cdots\!48$ $p^{8} T^{18} +$ $68\!\cdots\!28$ $p^{9} T^{19} -$ $19\!\cdots\!08$ $p^{10} T^{20} +$ $68\!\cdots\!28$ $p^{16} T^{21} -$ $18\!\cdots\!48$ $p^{22} T^{22} +$ $27\!\cdots\!56$ $p^{29} T^{23} +$ $10\!\cdots\!74$ $p^{34} T^{24} -$ $10\!\cdots\!24$ $p^{40} T^{25} +$ $54\!\cdots\!52$ $p^{46} T^{26} -$ $14\!\cdots\!08$ $p^{53} T^{27} + 19700435408516952904 p^{58} T^{28} + 875694561274624 p^{64} T^{29} - 2218089709204768 p^{70} T^{30} + 564447876115136 p^{77} T^{31} - 42509722544531 p^{84} T^{32} + 276673227278 p^{92} T^{33} - 10318518758 p^{98} T^{34} + 233083414 p^{105} T^{35} + 265214 p^{112} T^{36} - 28466 p^{120} T^{37} + 1682 p^{126} T^{38} - 58 p^{133} T^{39} + p^{140} T^{40}$
	7	$1 - 2466 T + 3040578 T^{2} - 1811535046 T^{3} + 80750367886 T^{4} + 63825717304670 T^{5} + 1237907600483716730 T^{6} -$ $18\!\cdots\!14$ $T^{7} +$ $10\!\cdots\!63$ $p T^{8} +$ $82\!\cdots\!56$ $T^{9} -$ $10\!\cdots\!80$ $T^{10} +$ $14\!\cdots\!76$ $T^{11} +$ $21\!\cdots\!88$ $T^{12} +$ $41\!\cdots\!24$ $T^{13} -$ $93\!\cdots\!76$ $T^{14} +$ $54\!\cdots\!80$ $T^{15} +$ $42\!\cdots\!98$ $T^{16} -$ $89\!\cdots\!68$ $T^{17} +$ $64\!\cdots\!24$ $T^{18} -$ $13\!\cdots\!84$ $T^{19} -$ $91\!\cdots\!72$ $T^{20} -$ $13\!\cdots\!84$ $p^{7} T^{21} +$ $64\!\cdots\!24$ $p^{14} T^{22} -$ $89\!\cdots\!68$ $p^{21} T^{23} +$ $42\!\cdots\!98$ $p^{28} T^{24} +$ $54\!\cdots\!80$ $p^{35} T^{25} -$ $93\!\cdots\!76$ $p^{42} T^{26} +$ $41\!\cdots\!24$ $p^{49} T^{27} +$ $21\!\cdots\!88$ $p^{56} T^{28} +$ $14\!\cdots\!76$ $p^{63} T^{29} -$ $10\!\cdots\!80$ $p^{70} T^{30} +$ $82\!\cdots\!56$ $p^{77} T^{31} +$ $10\!\cdots\!63$ $p^{85} T^{32} -$ $18\!\cdots\!14$ $p^{91} T^{33} + 1237907600483716730 p^{98} T^{34} + 63825717304670 p^{105} T^{35} + 80750367886 p^{112} T^{36} - 1811535046 p^{119} T^{37} + 3040578 p^{126} T^{38} - 2466 p^{133} T^{39} + p^{140} T^{40}$
	11	$1 - 155375456 T^{2} + 12138542646745750 T^{4} -$ $63\!\cdots\!52$ $T^{6} +$ $25\!\cdots\!97$ $T^{8} -$ $74\!\cdots\!20$ $p T^{10} +$ $22\!\cdots\!08$ $T^{12} -$ $54\!\cdots\!08$ $T^{14} +$ $10\!\cdots\!50$ $p T^{16} -$ $24\!\cdots\!44$ $T^{18} +$ $48\!\cdots\!28$ $T^{20} -$ $24\!\cdots\!44$ $p^{14} T^{22} +$ $10\!\cdots\!50$ $p^{29} T^{24} -$ $54\!\cdots\!08$ $p^{42} T^{26} +$ $22\!\cdots\!08$ $p^{56} T^{28} -$ $74\!\cdots\!20$ $p^{71} T^{30} +$ $25\!\cdots\!97$ $p^{84} T^{32} -$ $63\!\cdots\!52$ $p^{98} T^{34} + 12138542646745750 p^{112} T^{36} - 155375456 p^{126} T^{38} + p^{140} T^{40}$
	13	$1 + 1172 T + 686792 T^{2} - 313989518964 T^{3} - 3212129452443754 T^{4} - 19811183424016885604 T^{5} +$ $21\!\cdots\!56$ $p T^{6} -$ $14\!\cdots\!08$ $T^{7} -$ $24\!\cdots\!35$ $T^{8} -$ $10\!\cdots\!56$ $T^{9} +$ $21\!\cdots\!20$ $T^{10} -$ $26\!\cdots\!04$ $T^{11} +$ $74\!\cdots\!56$ $T^{12} +$ $69\!\cdots\!64$ $T^{13} +$ $43\!\cdots\!28$ $T^{14} +$ $39\!\cdots\!24$ $T^{15} -$ $13\!\cdots\!30$ $T^{16} -$ $19\!\cdots\!76$ $p T^{17} -$ $10\!\cdots\!24$ $T^{18} -$ $64\!\cdots\!28$ $T^{19} +$ $12\!\cdots\!32$ $T^{20} -$ $64\!\cdots\!28$ $p^{7} T^{21} -$ $10\!\cdots\!24$ $p^{14} T^{22} -$ $19\!\cdots\!76$ $p^{22} T^{23} -$ $13\!\cdots\!30$ $p^{28} T^{24} +$ $39\!\cdots\!24$ $p^{35} T^{25} +$ $43\!\cdots\!28$ $p^{42} T^{26} +$ $69\!\cdots\!64$ $p^{49} T^{27} +$ $74\!\cdots\!56$ $p^{56} T^{28} -$ $26\!\cdots\!04$ $p^{63} T^{29} +$ $21\!\cdots\!20$ $p^{70} T^{30} -$ $10\!\cdots\!56$ $p^{77} T^{31} -$ $24\!\cdots\!35$ $p^{84} T^{32} -$ $14\!\cdots\!08$ $p^{91} T^{33} +$ $21\!\cdots\!56$ $p^{99} T^{34} - 19811183424016885604 p^{105} T^{35} - 3212129452443754 p^{112} T^{36} - 313989518964 p^{119} T^{37} + 686792 p^{126} T^{38} + 1172 p^{133} T^{39} + p^{140} T^{40}$
	17	$1 + 25136 T + 315909248 T^{2} - 11900876851792 T^{3} - 9718471582121546 T^{4} +$ $66\!\cdots\!20$ $T^{5} +$ $24\!\cdots\!60$ $T^{6} -$ $17\!\cdots\!20$ $T^{7} -$ $58\!\cdots\!95$ $T^{8} +$ $57\!\cdots\!20$ $T^{9} +$ $78\!\cdots\!80$ $T^{10} +$ $78\!\cdots\!80$ $T^{11} -$ $10\!\cdots\!08$ $T^{12} -$ $30\!\cdots\!68$ $T^{13} +$ $68\!\cdots\!56$ $T^{14} +$ $26\!\cdots\!56$ $T^{15} +$ $18\!\cdots\!18$ $T^{16} -$ $35\!\cdots\!60$ $T^{17} -$ $58\!\cdots\!80$ $T^{18} +$ $27\!\cdots\!80$ $T^{19} +$ $84\!\cdots\!40$ $T^{20} +$ $27\!\cdots\!80$ $p^{7} T^{21} -$ $58\!\cdots\!80$ $p^{14} T^{22} -$ $35\!\cdots\!60$ $p^{21} T^{23} +$ $18\!\cdots\!18$ $p^{28} T^{24} +$ $26\!\cdots\!56$ $p^{35} T^{25} +$ $68\!\cdots\!56$ $p^{42} T^{26} -$ $30\!\cdots\!68$ $p^{49} T^{27} -$ $10\!\cdots\!08$ $p^{56} T^{28} +$ $78\!\cdots\!80$ $p^{63} T^{29} +$ $78\!\cdots\!80$ $p^{70} T^{30} +$ $57\!\cdots\!20$ $p^{77} T^{31} -$ $58\!\cdots\!95$ $p^{84} T^{32} -$ $17\!\cdots\!20$ $p^{91} T^{33} +$ $24\!\cdots\!60$ $p^{98} T^{34} +$ $66\!\cdots\!20$ $p^{105} T^{35} - 9718471582121546 p^{112} T^{36} - 11900876851792 p^{119} T^{37} + 315909248 p^{126} T^{38} + 25136 p^{133} T^{39} + p^{140} T^{40}$
	19	$( 1 - 32392 T + 6808159262 T^{2} - 218132006965784 T^{3} + 21986522110533225701 T^{4} -$ $67\!\cdots\!00$ $T^{5} +$ $44\!\cdots\!36$ $T^{6} -$ $12\!\cdots\!36$ $T^{7} +$ $63\!\cdots\!22$ $T^{8} -$ $16\!\cdots\!28$ $T^{9} +$ $65\!\cdots\!52$ $T^{10} -$ $16\!\cdots\!28$ $p^{7} T^{11} +$ $63\!\cdots\!22$ $p^{14} T^{12} -$ $12\!\cdots\!36$ $p^{21} T^{13} +$ $44\!\cdots\!36$ $p^{28} T^{14} -$ $67\!\cdots\!00$ $p^{35} T^{15} + 21986522110533225701 p^{42} T^{16} - 218132006965784 p^{49} T^{17} + 6808159262 p^{56} T^{18} - 32392 p^{63} T^{19} + p^{70} T^{20} )^{2}$
	23	$1 + 39922 T + 796883042 T^{2} - 282586659050298 T^{3} - 24146722462484821266 T^{4} +$ $21\!\cdots\!78$ $T^{5} +$ $67\!\cdots\!90$ $T^{6} +$ $49\!\cdots\!42$ $T^{7} -$ $97\!\cdots\!43$ $T^{8} -$ $16\!\cdots\!48$ $T^{9} -$ $30\!\cdots\!84$ $T^{10} +$ $55\!\cdots\!76$ $T^{11} +$ $48\!\cdots\!68$ $T^{12} -$ $72\!\cdots\!36$ $T^{13} -$ $14\!\cdots\!32$ $T^{14} -$ $10\!\cdots\!44$ $T^{15} +$ $74\!\cdots\!46$ $T^{16} +$ $34\!\cdots\!68$ $T^{17} +$ $10\!\cdots\!68$ $T^{18} -$ $17\!\cdots\!08$ $T^{19} -$ $64\!\cdots\!32$ $T^{20} -$ $17\!\cdots\!08$ $p^{7} T^{21} +$ $10\!\cdots\!68$ $p^{14} T^{22} +$ $34\!\cdots\!68$ $p^{21} T^{23} +$ $74\!\cdots\!46$ $p^{28} T^{24} -$ $10\!\cdots\!44$ $p^{35} T^{25} -$ $14\!\cdots\!32$ $p^{42} T^{26} -$ $72\!\cdots\!36$ $p^{49} T^{27} +$ $48\!\cdots\!68$ $p^{56} T^{28} +$ $55\!\cdots\!76$ $p^{63} T^{29} -$ $30\!\cdots\!84$ $p^{70} T^{30} -$ $16\!\cdots\!48$ $p^{77} T^{31} -$ $97\!\cdots\!43$ $p^{84} T^{32} +$ $49\!\cdots\!42$ $p^{91} T^{33} +$ $67\!\cdots\!90$ $p^{98} T^{34} +$ $21\!\cdots\!78$ $p^{105} T^{35} - 24146722462484821266 p^{112} T^{36} - 282586659050298 p^{119} T^{37} + 796883042 p^{126} T^{38} + 39922 p^{133} T^{39} + p^{140} T^{40}$
	29	$1 - 214056087860 T^{2} +$ $21\!\cdots\!42$ $T^{4} -$ $14\!\cdots\!48$ $T^{6} +$ $68\!\cdots\!13$ $T^{8} -$ $25\!\cdots\!20$ $T^{10} +$ $78\!\cdots\!52$ $T^{12} -$ $20\!\cdots\!52$ $T^{14} +$ $47\!\cdots\!78$ $T^{16} -$ $95\!\cdots\!40$ $T^{18} +$ $17\!\cdots\!88$ $T^{20} -$ $95\!\cdots\!40$ $p^{14} T^{22} +$ $47\!\cdots\!78$ $p^{28} T^{24} -$ $20\!\cdots\!52$ $p^{42} T^{26} +$ $78\!\cdots\!52$ $p^{56} T^{28} -$ $25\!\cdots\!20$ $p^{70} T^{30} +$ $68\!\cdots\!13$ $p^{84} T^{32} -$ $14\!\cdots\!48$ $p^{98} T^{34} +$ $21\!\cdots\!42$ $p^{112} T^{36} - 214056087860 p^{126} T^{38} + p^{140} T^{40}$
	31	$1 - 354387960480 T^{2} +$ $62\!\cdots\!42$ $T^{4} -$ $72\!\cdots\!32$ $T^{6} +$ $62\!\cdots\!53$ $T^{8} -$ $42\!\cdots\!60$ $T^{10} +$ $23\!\cdots\!72$ $T^{12} -$ $11\!\cdots\!48$ $T^{14} +$ $43\!\cdots\!78$ $T^{16} -$ $14\!\cdots\!00$ $T^{18} +$ $44\!\cdots\!48$ $T^{20} -$ $14\!\cdots\!00$ $p^{14} T^{22} +$ $43\!\cdots\!78$ $p^{28} T^{24} -$ $11\!\cdots\!48$ $p^{42} T^{26} +$ $23\!\cdots\!72$ $p^{56} T^{28} -$ $42\!\cdots\!60$ $p^{70} T^{30} +$ $62\!\cdots\!53$ $p^{84} T^{32} -$ $72\!\cdots\!32$ $p^{98} T^{34} +$ $62\!\cdots\!42$ $p^{112} T^{36} - 354387960480 p^{126} T^{38} + p^{140} T^{40}$
	37	$1 + 647408 T + 209568559232 T^{2} + 89242611105741808 T^{3} +$ $44\!\cdots\!90$ $T^{4} +$ $38\!\cdots\!72$ $p T^{5} +$ $39\!\cdots\!64$ $T^{6} +$ $15\!\cdots\!20$ $T^{7} +$ $52\!\cdots\!57$ $T^{8} +$ $10\!\cdots\!32$ $T^{9} +$ $25\!\cdots\!80$ $T^{10} +$ $94\!\cdots\!88$ $T^{11} +$ $18\!\cdots\!24$ $T^{12} -$ $63\!\cdots\!12$ $T^{13} -$ $15\!\cdots\!80$ $p T^{14} -$ $29\!\cdots\!80$ $T^{15} -$ $25\!\cdots\!54$ $T^{16} -$ $10\!\cdots\!64$ $T^{17} -$ $28\!\cdots\!16$ $T^{18} -$ $10\!\cdots\!12$ $T^{19} -$ $38\!\cdots\!36$ $T^{20} -$ $10\!\cdots\!12$ $p^{7} T^{21} -$ $28\!\cdots\!16$ $p^{14} T^{22} -$ $10\!\cdots\!64$ $p^{21} T^{23} -$ $25\!\cdots\!54$ $p^{28} T^{24} -$ $29\!\cdots\!80$ $p^{35} T^{25} -$ $15\!\cdots\!80$ $p^{43} T^{26} -$ $63\!\cdots\!12$ $p^{49} T^{27} +$ $18\!\cdots\!24$ $p^{56} T^{28} +$ $94\!\cdots\!88$ $p^{63} T^{29} +$ $25\!\cdots\!80$ $p^{70} T^{30} +$ $10\!\cdots\!32$ $p^{77} T^{31} +$ $52\!\cdots\!57$ $p^{84} T^{32} +$ $15\!\cdots\!20$ $p^{91} T^{33} +$ $39\!\cdots\!64$ $p^{98} T^{34} +$ $38\!\cdots\!72$ $p^{106} T^{35} +$ $44\!\cdots\!90$ $p^{112} T^{36} + 89242611105741808 p^{119} T^{37} + 209568559232 p^{126} T^{38} + 647408 p^{133} T^{39} + p^{140} T^{40}$
	41	$( 1 + 575942 T + 977657095278 T^{2} + 357461430642746942 T^{3} +$ $41\!\cdots\!09$ $T^{4} +$ $11\!\cdots\!80$ $T^{5} +$ $12\!\cdots\!64$ $T^{6} +$ $27\!\cdots\!92$ $T^{7} +$ $29\!\cdots\!38$ $T^{8} +$ $55\!\cdots\!72$ $T^{9} +$ $59\!\cdots\!12$ $T^{10} +$ $55\!\cdots\!72$ $p^{7} T^{11} +$ $29\!\cdots\!38$ $p^{14} T^{12} +$ $27\!\cdots\!92$ $p^{21} T^{13} +$ $12\!\cdots\!64$ $p^{28} T^{14} +$ $11\!\cdots\!80$ $p^{35} T^{15} +$ $41\!\cdots\!09$ $p^{42} T^{16} + 357461430642746942 p^{49} T^{17} + 977657095278 p^{56} T^{18} + 575942 p^{63} T^{19} + p^{70} T^{20} )^{2}$
	43	$1 + 1589406 T + 1263105716418 T^{2} + 990112346346798690 T^{3} +$ $85\!\cdots\!30$ $T^{4} +$ $59\!\cdots\!74$ $T^{5} +$ $35\!\cdots\!54$ $T^{6} +$ $23\!\cdots\!50$ $T^{7} +$ $14\!\cdots\!73$ $T^{8} +$ $68\!\cdots\!76$ $T^{9} +$ $32\!\cdots\!60$ $T^{10} +$ $16\!\cdots\!40$ $T^{11} +$ $59\!\cdots\!48$ $T^{12} +$ $78\!\cdots\!16$ $T^{13} -$ $19\!\cdots\!36$ $T^{14} -$ $48\!\cdots\!44$ $T^{15} -$ $66\!\cdots\!74$ $T^{16} -$ $47\!\cdots\!64$ $T^{17} -$ $25\!\cdots\!32$ $T^{18} -$ $15\!\cdots\!80$ $T^{19} -$ $92\!\cdots\!56$ $T^{20} -$ $15\!\cdots\!80$ $p^{7} T^{21} -$ $25\!\cdots\!32$ $p^{14} T^{22} -$ $47\!\cdots\!64$ $p^{21} T^{23} -$ $66\!\cdots\!74$ $p^{28} T^{24} -$ $48\!\cdots\!44$ $p^{35} T^{25} -$ $19\!\cdots\!36$ $p^{42} T^{26} +$ $78\!\cdots\!16$ $p^{49} T^{27} +$ $59\!\cdots\!48$ $p^{56} T^{28} +$ $16\!\cdots\!40$ $p^{63} T^{29} +$ $32\!\cdots\!60$ $p^{70} T^{30} +$ $68\!\cdots\!76$ $p^{77} T^{31} +$ $14\!\cdots\!73$ $p^{84} T^{32} +$ $23\!\cdots\!50$ $p^{91} T^{33} +$ $35\!\cdots\!54$ $p^{98} T^{34} +$ $59\!\cdots\!74$ $p^{105} T^{35} +$ $85\!\cdots\!30$ $p^{112} T^{36} + 990112346346798690 p^{119} T^{37} + 1263105716418 p^{126} T^{38} + 1589406 p^{133} T^{39} + p^{140} T^{40}$
	47	$1 + 1417862 T + 1005166325522 T^{2} + 1240239832229276466 T^{3} +$ $77\!\cdots\!50$ $T^{4} -$ $27\!\cdots\!10$ $T^{5} -$ $17\!\cdots\!42$ $T^{6} -$ $14\!\cdots\!58$ $T^{7} -$ $16\!\cdots\!27$ $T^{8} +$ $79\!\cdots\!72$ $T^{9} +$ $11\!\cdots\!80$ $T^{10} +$ $14\!\cdots\!76$ $T^{11} +$ $14\!\cdots\!72$ $T^{12} +$ $44\!\cdots\!04$ $T^{13} +$ $18\!\cdots\!08$ $T^{14} -$ $22\!\cdots\!20$ $T^{15} -$ $20\!\cdots\!30$ $T^{16} +$ $42\!\cdots\!32$ $T^{17} +$ $68\!\cdots\!52$ $T^{18} +$ $84\!\cdots\!96$ $T^{19} +$ $10\!\cdots\!88$ $T^{20} +$ $84\!\cdots\!96$ $p^{7} T^{21} +$ $68\!\cdots\!52$ $p^{14} T^{22} +$ $42\!\cdots\!32$ $p^{21} T^{23} -$ $20\!\cdots\!30$ $p^{28} T^{24} -$ $22\!\cdots\!20$ $p^{35} T^{25} +$ $18\!\cdots\!08$ $p^{42} T^{26} +$ $44\!\cdots\!04$ $p^{49} T^{27} +$ $14\!\cdots\!72$ $p^{56} T^{28} +$ $14\!\cdots\!76$ $p^{63} T^{29} +$ $11\!\cdots\!80$ $p^{70} T^{30} +$ $79\!\cdots\!72$ $p^{77} T^{31} -$ $16\!\cdots\!27$ $p^{84} T^{32} -$ $14\!\cdots\!58$ $p^{91} T^{33} -$ $17\!\cdots\!42$ $p^{98} T^{34} -$ $27\!\cdots\!10$ $p^{105} T^{35} +$ $77\!\cdots\!50$ $p^{112} T^{36} + 1240239832229276466 p^{119} T^{37} + 1005166325522 p^{126} T^{38} + 1417862 p^{133} T^{39} + p^{140} T^{40}$
	53	$1 + 39912 p T + 796483872 p^{2} T^{2} + 6206825688530927800 T^{3} +$ $83\!\cdots\!70$ $T^{4} +$ $44\!\cdots\!84$ $T^{5} +$ $99\!\cdots\!64$ $T^{6} +$ $92\!\cdots\!20$ $T^{7} -$ $53\!\cdots\!87$ $T^{8} +$ $31\!\cdots\!16$ $T^{9} +$ $32\!\cdots\!00$ $T^{10} -$ $19\!\cdots\!80$ $T^{11} +$ $20\!\cdots\!88$ $T^{12} +$ $95\!\cdots\!96$ $T^{13} -$ $20\!\cdots\!56$ $T^{14} +$ $12\!\cdots\!16$ $T^{15} +$ $19\!\cdots\!86$ $T^{16} -$ $26\!\cdots\!44$ $T^{17} +$ $12\!\cdots\!68$ $T^{18} +$ $12\!\cdots\!60$ $T^{19} -$ $43\!\cdots\!76$ $T^{20} +$ $12\!\cdots\!60$ $p^{7} T^{21} +$ $12\!\cdots\!68$ $p^{14} T^{22} -$ $26\!\cdots\!44$ $p^{21} T^{23} +$ $19\!\cdots\!86$ $p^{28} T^{24} +$ $12\!\cdots\!16$ $p^{35} T^{25} -$ $20\!\cdots\!56$ $p^{42} T^{26} +$ $95\!\cdots\!96$ $p^{49} T^{27} +$ $20\!\cdots\!88$ $p^{56} T^{28} -$ $19\!\cdots\!80$ $p^{63} T^{29} +$ $32\!\cdots\!00$ $p^{70} T^{30} +$ $31\!\cdots\!16$ $p^{77} T^{31} -$ $53\!\cdots\!87$ $p^{84} T^{32} +$ $92\!\cdots\!20$ $p^{91} T^{33} +$ $99\!\cdots\!64$ $p^{98} T^{34} +$ $44\!\cdots\!84$ $p^{105} T^{35} +$ $83\!\cdots\!70$ $p^{112} T^{36} + 6206825688530927800 p^{119} T^{37} + 796483872 p^{128} T^{38} + 39912 p^{134} T^{39} + p^{140} T^{40}$
	59	$( 1 - 3249288 T + 10146405408526 T^{2} - 23600639727955731160 T^{3} +$ $55\!\cdots\!21$ $T^{4} -$ $10\!\cdots\!16$ $T^{5} +$ $19\!\cdots\!92$ $T^{6} -$ $52\!\cdots\!44$ $p T^{7} +$ $52\!\cdots\!94$ $T^{8} -$ $77\!\cdots\!04$ $T^{9} +$ $12\!\cdots\!28$ $T^{10} -$ $77\!\cdots\!04$ $p^{7} T^{11} +$ $52\!\cdots\!94$ $p^{14} T^{12} -$ $52\!\cdots\!44$ $p^{22} T^{13} +$ $19\!\cdots\!92$ $p^{28} T^{14} -$ $10\!\cdots\!16$ $p^{35} T^{15} +$ $55\!\cdots\!21$ $p^{42} T^{16} - 23600639727955731160 p^{49} T^{17} + 10146405408526 p^{56} T^{18} - 3249288 p^{63} T^{19} + p^{70} T^{20} )^{2}$
	61	$( 1 - 968282 T + 5482392324014 T^{2} - 7025858435107045338 T^{3} +$ $76\!\cdots\!53$ $p T^{4} -$ $46\!\cdots\!08$ $T^{5} +$ $15\!\cdots\!32$ $T^{6} -$ $19\!\cdots\!36$ $T^{7} +$ $78\!\cdots\!30$ $T^{8} -$ $74\!\cdots\!08$ $T^{9} +$ $19\!\cdots\!64$ $T^{10} -$ $74\!\cdots\!08$ $p^{7} T^{11} +$ $78\!\cdots\!30$ $p^{14} T^{12} -$ $19\!\cdots\!36$ $p^{21} T^{13} +$ $15\!\cdots\!32$ $p^{28} T^{14} -$ $46\!\cdots\!08$ $p^{35} T^{15} +$ $76\!\cdots\!53$ $p^{43} T^{16} - 7025858435107045338 p^{49} T^{17} + 5482392324014 p^{56} T^{18} - 968282 p^{63} T^{19} + p^{70} T^{20} )^{2}$
	67	$1 - 1634150 T + 1335223111250 T^{2} + 50049565458787288022 T^{3} -$ $10\!\cdots\!14$ $T^{4} -$ $61\!\cdots\!18$ $T^{5} +$ $14\!\cdots\!42$ $T^{6} -$ $32\!\cdots\!38$ $T^{7} -$ $55\!\cdots\!75$ $T^{8} +$ $38\!\cdots\!32$ $T^{9} -$ $53\!\cdots\!36$ $T^{10} -$ $20\!\cdots\!84$ $T^{11} +$ $83\!\cdots\!16$ $T^{12} -$ $36\!\cdots\!84$ $T^{13} -$ $51\!\cdots\!56$ $T^{14} +$ $14\!\cdots\!72$ $T^{15} +$ $65\!\cdots\!90$ $T^{16} -$ $10\!\cdots\!72$ $T^{17} +$ $18\!\cdots\!44$ $T^{18} +$ $29\!\cdots\!12$ $T^{19} -$ $17\!\cdots\!76$ $T^{20} +$ $29\!\cdots\!12$ $p^{7} T^{21} +$ $18\!\cdots\!44$ $p^{14} T^{22} -$ $10\!\cdots\!72$ $p^{21} T^{23} +$ $65\!\cdots\!90$ $p^{28} T^{24} +$ $14\!\cdots\!72$ $p^{35} T^{25} -$ $51\!\cdots\!56$ $p^{42} T^{26} -$ $36\!\cdots\!84$ $p^{49} T^{27} +$ $83\!\cdots\!16$ $p^{56} T^{28} -$ $20\!\cdots\!84$ $p^{63} T^{29} -$ $53\!\cdots\!36$ $p^{70} T^{30} +$ $38\!\cdots\!32$ $p^{77} T^{31} -$ $55\!\cdots\!75$ $p^{84} T^{32} -$ $32\!\cdots\!38$ $p^{91} T^{33} +$ $14\!\cdots\!42$ $p^{98} T^{34} -$ $61\!\cdots\!18$ $p^{105} T^{35} -$ $10\!\cdots\!14$ $p^{112} T^{36} + 50049565458787288022 p^{119} T^{37} + 1335223111250 p^{126} T^{38} - 1634150 p^{133} T^{39} + p^{140} T^{40}$
	71	$1 - 113490809626464 T^{2} +$ $63\!\cdots\!30$ $T^{4} -$ $23\!\cdots\!92$ $T^{6} +$ $62\!\cdots\!73$ $T^{8} -$ $13\!\cdots\!88$ $T^{10} +$ $23\!\cdots\!60$ $T^{12} -$ $35\!\cdots\!52$ $T^{14} +$ $46\!\cdots\!46$ $T^{16} -$ $51\!\cdots\!48$ $T^{18} +$ $50\!\cdots\!72$ $T^{20} -$ $51\!\cdots\!48$ $p^{14} T^{22} +$ $46\!\cdots\!46$ $p^{28} T^{24} -$ $35\!\cdots\!52$ $p^{42} T^{26} +$ $23\!\cdots\!60$ $p^{56} T^{28} -$ $13\!\cdots\!88$ $p^{70} T^{30} +$ $62\!\cdots\!73$ $p^{84} T^{32} -$ $23\!\cdots\!92$ $p^{98} T^{34} +$ $63\!\cdots\!30$ $p^{112} T^{36} - 113490809626464 p^{126} T^{38} + p^{140} T^{40}$
	73	$1 + 2406004 T + 2894427624008 T^{2} + 70630819591091484700 T^{3} +$ $13\!\cdots\!30$ $T^{4} -$ $51\!\cdots\!96$ $T^{5} +$ $85\!\cdots\!76$ $T^{6} -$ $30\!\cdots\!16$ $T^{7} -$ $39\!\cdots\!87$ $T^{8} +$ $26\!\cdots\!24$ $T^{9} -$ $26\!\cdots\!80$ $T^{10} -$ $85\!\cdots\!40$ $T^{11} +$ $76\!\cdots\!24$ $T^{12} +$ $16\!\cdots\!68$ $T^{13} -$ $13\!\cdots\!84$ $T^{14} +$ $28\!\cdots\!96$ $T^{15} +$ $68\!\cdots\!34$ $T^{16} -$ $20\!\cdots\!32$ $T^{17} +$ $36\!\cdots\!84$ $p^{2} T^{18} +$ $12\!\cdots\!60$ $p T^{19} -$ $11\!\cdots\!96$ $T^{20} +$ $12\!\cdots\!60$ $p^{8} T^{21} +$ $36\!\cdots\!84$ $p^{16} T^{22} -$ $20\!\cdots\!32$ $p^{21} T^{23} +$ $68\!\cdots\!34$ $p^{28} T^{24} +$ $28\!\cdots\!96$ $p^{35} T^{25} -$ $13\!\cdots\!84$ $p^{42} T^{26} +$ $16\!\cdots\!68$ $p^{49} T^{27} +$ $76\!\cdots\!24$ $p^{56} T^{28} -$ $85\!\cdots\!40$ $p^{63} T^{29} -$ $26\!\cdots\!80$ $p^{70} T^{30} +$ $26\!\cdots\!24$ $p^{77} T^{31} -$ $39\!\cdots\!87$ $p^{84} T^{32} -$ $30\!\cdots\!16$ $p^{91} T^{33} +$ $85\!\cdots\!76$ $p^{98} T^{34} -$ $51\!\cdots\!96$ $p^{105} T^{35} +$ $13\!\cdots\!30$ $p^{112} T^{36} + 70630819591091484700 p^{119} T^{37} + 2894427624008 p^{126} T^{38} + 2406004 p^{133} T^{39} + p^{140} T^{40}$
	79	$( 1 + 5874552 T + 125098797360534 T^{2} +$ $51\!\cdots\!72$ $T^{3} +$ $71\!\cdots\!09$ $T^{4} +$ $23\!\cdots\!88$ $T^{5} +$ $27\!\cdots\!00$ $T^{6} +$ $79\!\cdots\!80$ $T^{7} +$ $77\!\cdots\!10$ $T^{8} +$ $19\!\cdots\!80$ $T^{9} +$ $16\!\cdots\!80$ $T^{10} +$ $19\!\cdots\!80$ $p^{7} T^{11} +$ $77\!\cdots\!10$ $p^{14} T^{12} +$ $79\!\cdots\!80$ $p^{21} T^{13} +$ $27\!\cdots\!00$ $p^{28} T^{14} +$ $23\!\cdots\!88$ $p^{35} T^{15} +$ $71\!\cdots\!09$ $p^{42} T^{16} +$ $51\!\cdots\!72$ $p^{49} T^{17} + 125098797360534 p^{56} T^{18} + 5874552 p^{63} T^{19} + p^{70} T^{20} )^{2}$
	83	$1 + 13229814 T + 87513989237298 T^{2} +$ $44\!\cdots\!46$ $T^{3} +$ $28\!\cdots\!54$ $T^{4} +$ $12\!\cdots\!54$ $T^{5} +$ $12\!\cdots\!22$ $T^{6} -$ $17\!\cdots\!18$ $T^{7} -$ $18\!\cdots\!87$ $T^{8} -$ $19\!\cdots\!72$ $T^{9} -$ $13\!\cdots\!40$ $T^{10} -$ $63\!\cdots\!84$ $T^{11} -$ $34\!\cdots\!68$ $T^{12} -$ $19\!\cdots\!44$ $T^{13} -$ $64\!\cdots\!68$ $T^{14} -$ $49\!\cdots\!52$ $T^{15} +$ $30\!\cdots\!86$ $T^{16} +$ $77\!\cdots\!68$ $T^{17} +$ $88\!\cdots\!48$ $T^{18} +$ $55\!\cdots\!48$ $T^{19} +$ $26\!\cdots\!28$ $T^{20} +$ $55\!\cdots\!48$ $p^{7} T^{21} +$ $88\!\cdots\!48$ $p^{14} T^{22} +$ $77\!\cdots\!68$ $p^{21} T^{23} +$ $30\!\cdots\!86$ $p^{28} T^{24} -$ $49\!\cdots\!52$ $p^{35} T^{25} -$ $64\!\cdots\!68$ $p^{42} T^{26} -$ $19\!\cdots\!44$ $p^{49} T^{27} -$ $34\!\cdots\!68$ $p^{56} T^{28} -$ $63\!\cdots\!84$ $p^{63} T^{29} -$ $13\!\cdots\!40$ $p^{70} T^{30} -$ $19\!\cdots\!72$ $p^{77} T^{31} -$ $18\!\cdots\!87$ $p^{84} T^{32} -$ $17\!\cdots\!18$ $p^{91} T^{33} +$ $12\!\cdots\!22$ $p^{98} T^{34} +$ $12\!\cdots\!54$ $p^{105} T^{35} +$ $28\!\cdots\!54$ $p^{112} T^{36} +$ $44\!\cdots\!46$ $p^{119} T^{37} + 87513989237298 p^{126} T^{38} + 13229814 p^{133} T^{39} + p^{140} T^{40}$
	89	$1 - 529620656263476 T^{2} +$ $14\!\cdots\!78$ $T^{4} -$ $25\!\cdots\!88$ $T^{6} +$ $34\!\cdots\!01$ $T^{8} -$ $36\!\cdots\!40$ $T^{10} +$ $32\!\cdots\!04$ $T^{12} -$ $24\!\cdots\!52$ $T^{14} +$ $15\!\cdots\!82$ $T^{16} -$ $84\!\cdots\!44$ $T^{18} +$ $40\!\cdots\!68$ $T^{20} -$ $84\!\cdots\!44$ $p^{14} T^{22} +$ $15\!\cdots\!82$ $p^{28} T^{24} -$ $24\!\cdots\!52$ $p^{42} T^{26} +$ $32\!\cdots\!04$ $p^{56} T^{28} -$ $36\!\cdots\!40$ $p^{70} T^{30} +$ $34\!\cdots\!01$ $p^{84} T^{32} -$ $25\!\cdots\!88$ $p^{98} T^{34} +$ $14\!\cdots\!78$ $p^{112} T^{36} - 529620656263476 p^{126} T^{38} + p^{140} T^{40}$
	97	$1 - 24630564 T + 303332341479048 T^{2} -$ $40\!\cdots\!80$ $T^{3} +$ $59\!\cdots\!58$ $T^{4} -$ $58\!\cdots\!88$ $T^{5} +$ $46\!\cdots\!48$ $T^{6} -$ $38\!\cdots\!68$ $T^{7} +$ $98\!\cdots\!41$ $T^{8} +$ $25\!\cdots\!48$ $T^{9} -$ $41\!\cdots\!12$ $T^{10} +$ $61\!\cdots\!04$ $T^{11} -$ $82\!\cdots\!76$ $T^{12} +$ $69\!\cdots\!44$ $T^{13} -$ $48\!\cdots\!72$ $T^{14} +$ $35\!\cdots\!96$ $T^{15} -$ $44\!\cdots\!58$ $T^{16} -$ $25\!\cdots\!20$ $T^{17} +$ $34\!\cdots\!08$ $T^{18} -$ $44\!\cdots\!92$ $T^{19} +$ $50\!\cdots\!68$ $T^{20} -$ $44\!\cdots\!92$ $p^{7} T^{21} +$ $34\!\cdots\!08$ $p^{14} T^{22} -$ $25\!\cdots\!20$ $p^{21} T^{23} -$ $44\!\cdots\!58$ $p^{28} T^{24} +$ $35\!\cdots\!96$ $p^{35} T^{25} -$ $48\!\cdots\!72$ $p^{42} T^{26} +$ $69\!\cdots\!44$ $p^{49} T^{27} -$ $82\!\cdots\!76$ $p^{56} T^{28} +$ $61\!\cdots\!04$ $p^{63} T^{29} -$ $41\!\cdots\!12$ $p^{70} T^{30} +$ $25\!\cdots\!48$ $p^{77} T^{31} +$ $98\!\cdots\!41$ $p^{84} T^{32} -$ $38\!\cdots\!68$ $p^{91} T^{33} +$ $46\!\cdots\!48$ $p^{98} T^{34} -$ $58\!\cdots\!88$ $p^{105} T^{35} +$ $59\!\cdots\!58$ $p^{112} T^{36} -$ $40\!\cdots\!80$ $p^{119} T^{37} + 303332341479048 p^{126} T^{38} - 24630564 p^{133} T^{39} + p^{140} T^{40}$
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L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{40} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−1.98050229094656361239537187559, −1.90009751478653929533970491088, −1.82577363410621954871927974580, −1.81475051969689521059017458975, −1.71097726028357265924740786756, −1.54357111526638499626581584578, −1.41000430781501888315337398163, −1.32947257237228857215747913886, −1.31159222425906887588252531204, −1.19485764843328985773141166642, −1.15730069744251346430774529468, −1.15421896524718615633269003907, −1.12016374153563000582784467781, −1.08802085157323419224723096387, −0.815068851050532690154293469567, −0.807880988943844627036114482591, −0.70135948509436961878313098569, −0.69410928606380518396534239310, −0.62933449640372121385645318697, −0.43750299864976500499081982890, −0.30749627515957512998707419222, −0.18576943322749667945267519893, −0.13456541019486738442194250746, −0.04074223081672386081822997403, −0.009841785149539491369753285798, 0.009841785149539491369753285798, 0.04074223081672386081822997403, 0.13456541019486738442194250746, 0.18576943322749667945267519893, 0.30749627515957512998707419222, 0.43750299864976500499081982890, 0.62933449640372121385645318697, 0.69410928606380518396534239310, 0.70135948509436961878313098569, 0.807880988943844627036114482591, 0.815068851050532690154293469567, 1.08802085157323419224723096387, 1.12016374153563000582784467781, 1.15421896524718615633269003907, 1.15730069744251346430774529468, 1.19485764843328985773141166642, 1.31159222425906887588252531204, 1.32947257237228857215747913886, 1.41000430781501888315337398163, 1.54357111526638499626581584578, 1.71097726028357265924740786756, 1.81475051969689521059017458975, 1.82577363410621954871927974580, 1.90009751478653929533970491088, 1.98050229094656361239537187559

Graph of the $Z$ -function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

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Dirichlet series

Functional equation

Invariants

Particular Values

Euler product

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

Graph of the $Z$ -function along the critical line

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	40-160e20-1.1-c7e20-0-1
Degree	$40$
Conductor	$1.209\times 10^{44}$
Sign	$1$
Analytic cond.	$9.46681\times 10^{33}$
Root an. cond.	$7.06976$
Motivic weight	$7$
Arithmetic	yes
Rational	yes
Primitive	no
Self-dual	yes
Analytic rank	$0$

Properties

Origins

Origins of factors

Downloads

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Particular Values

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

Graph of the ZZZ-function along the critical line

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Graph of the $Z$ -function along the critical line