LMFDB - L-function 40-160e20-1.1-c5e20-0-0

Dirichlet series

L(s) = 1

+ 196·7^-s + 1.62e3·9^-s + 4.67e3·23^-s − 6.25e3·25^-s − 7.16e3·31^-s + 1.16e4·41^-s − 4.41e4·47^-s − 1.39e5·49^-s + 3.17e5·63^-s + 2.00e5·71^-s − 1.05e5·73^-s − 2.82e5·79^-s + 1.23e6·81^-s − 3.16e3·89^-s + 1.47e5·97^-s + 4.55e5·103^-s − 3.02e5·113^-s + 1.51e6·121^-s + 127^-s + 131^-s + 137^-s + 139^-s + 149^-s + 151^-s + 157^-s + 9.16e5·161^-s + 163^-s + ⋯

L(s) = 1

+ 1.51·7^-s + 20/3·9^-s + 1.84·23^-s − 2·25^-s − 1.33·31^-s + 1.07·41^-s − 2.91·47^-s − 8.29·49^-s + 10.0·63^-s + 4.71·71^-s − 2.30·73^-s − 5.08·79^-s + 20.8·81^-s − 0.0422·89^-s + 1.59·97^-s + 4.23·103^-s − 2.22·113^-s + 9.37·121^-s + 5.50e−6·127^-s + 5.09e−6·131^-s + 4.55e−6·137^-s + 4.38e−6·139^-s + 3.69e−6·149^-s + 3.56e−6·151^-s + 3.23e−6·157^-s + 2.78·161^-s + 2.94e−6·163^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{100} \cdot 5^{20}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{20} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{100} \cdot 5^{20}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{20} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$40$
Conductor:	$2^{100} \cdot 5^{20}$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$1.53324\times 10^{28}$
Root analytic conductor:	$5.06570$
Motivic weight:	$5$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$0$
Selberg data:	$(40,\ 2^{100} \cdot 5^{20} ,\ ( \ : [5/2]^{20} ),\ 1 )$

Particular Values

$L(3)$	$\approx$	$34.47725220$
$L(\frac12)$	$\approx$	$34.47725220$
$L(\frac{7}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$F_p(T)$
bad	2	$ 1 $
	5	$ ( 1 + p^{4} T^{2} )^{10} $
good	3	$ 1 - 20 p^{4} T^{2} + 464774 p T^{4} - 834927892 T^{6} + 43647016469 p^{2} T^{8} - 51765303184624 p T^{10} + 53814329151823576 T^{12} - 1863599575911640208 p^{2} T^{14} + 19706806085941150310 p^{5} T^{16} - $$17\!\cdots\!00$$ p^{6} T^{18} + $$48\!\cdots\!00$$ p^{8} T^{20} - $$17\!\cdots\!00$$ p^{16} T^{22} + 19706806085941150310 p^{25} T^{24} - 1863599575911640208 p^{32} T^{26} + 53814329151823576 p^{40} T^{28} - 51765303184624 p^{51} T^{30} + 43647016469 p^{62} T^{32} - 834927892 p^{70} T^{34} + 464774 p^{81} T^{36} - 20 p^{94} T^{38} + p^{100} T^{40} $
	7	$ ( 1 - 2 p^{2} T + 84148 T^{2} - 8017214 T^{3} + 3556570901 T^{4} - 345044190776 T^{5} + 103920201897616 T^{6} - 10159390994080936 T^{7} + 2363994840482709802 T^{8} - $$22\!\cdots\!76$$ T^{9} + $$43\!\cdots\!72$$ T^{10} - $$22\!\cdots\!76$$ p^{5} T^{11} + 2363994840482709802 p^{10} T^{12} - 10159390994080936 p^{15} T^{13} + 103920201897616 p^{20} T^{14} - 345044190776 p^{25} T^{15} + 3556570901 p^{30} T^{16} - 8017214 p^{35} T^{17} + 84148 p^{40} T^{18} - 2 p^{47} T^{19} + p^{50} T^{20} )^{2} $
	11	$ 1 - 1510004 T^{2} + 1155249727726 T^{4} - 592766540112799924 T^{6} + $$22\!\cdots\!17$$ T^{8} - $$70\!\cdots\!04$$ T^{10} + $$18\!\cdots\!36$$ T^{12} - $$40\!\cdots\!64$$ T^{14} + $$79\!\cdots\!82$$ T^{16} - $$14\!\cdots\!04$$ T^{18} + $$23\!\cdots\!76$$ T^{20} - $$14\!\cdots\!04$$ p^{10} T^{22} + $$79\!\cdots\!82$$ p^{20} T^{24} - $$40\!\cdots\!64$$ p^{30} T^{26} + $$18\!\cdots\!36$$ p^{40} T^{28} - $$70\!\cdots\!04$$ p^{50} T^{30} + $$22\!\cdots\!17$$ p^{60} T^{32} - 592766540112799924 p^{70} T^{34} + 1155249727726 p^{80} T^{36} - 1510004 p^{90} T^{38} + p^{100} T^{40} $
	13	$ 1 - 3520332 T^{2} + 6227853839054 T^{4} - 7441447313525468748 T^{6} + $$67\!\cdots\!57$$ T^{8} - $$50\!\cdots\!12$$ T^{10} + $$32\!\cdots\!64$$ T^{12} - $$17\!\cdots\!28$$ T^{14} + $$87\!\cdots\!42$$ T^{16} - $$38\!\cdots\!32$$ T^{18} + $$14\!\cdots\!64$$ T^{20} - $$38\!\cdots\!32$$ p^{10} T^{22} + $$87\!\cdots\!42$$ p^{20} T^{24} - $$17\!\cdots\!28$$ p^{30} T^{26} + $$32\!\cdots\!64$$ p^{40} T^{28} - $$50\!\cdots\!12$$ p^{50} T^{30} + $$67\!\cdots\!57$$ p^{60} T^{32} - 7441447313525468748 p^{70} T^{34} + 6227853839054 p^{80} T^{36} - 3520332 p^{90} T^{38} + p^{100} T^{40} $
	17	$ ( 1 + 5447662 T^{2} + 1859072000 T^{3} + 15317572824845 T^{4} + 7413542230528000 T^{5} + 32518332783929091752 T^{6} + $$14\!\cdots\!00$$ T^{7} + $$56\!\cdots\!10$$ T^{8} + $$21\!\cdots\!00$$ T^{9} + $$84\!\cdots\!72$$ T^{10} + $$21\!\cdots\!00$$ p^{5} T^{11} + $$56\!\cdots\!10$$ p^{10} T^{12} + $$14\!\cdots\!00$$ p^{15} T^{13} + 32518332783929091752 p^{20} T^{14} + 7413542230528000 p^{25} T^{15} + 15317572824845 p^{30} T^{16} + 1859072000 p^{35} T^{17} + 5447662 p^{40} T^{18} + p^{50} T^{20} )^{2} $
	19	$ 1 - 23638692 T^{2} + 296336418074734 T^{4} - $$25\!\cdots\!32$$ T^{6} + $$17\!\cdots\!97$$ T^{8} - $$49\!\cdots\!20$$ p T^{10} + $$42\!\cdots\!52$$ T^{12} - $$16\!\cdots\!48$$ T^{14} + $$56\!\cdots\!66$$ T^{16} - $$16\!\cdots\!12$$ T^{18} + $$44\!\cdots\!28$$ T^{20} - $$16\!\cdots\!12$$ p^{10} T^{22} + $$56\!\cdots\!66$$ p^{20} T^{24} - $$16\!\cdots\!48$$ p^{30} T^{26} + $$42\!\cdots\!52$$ p^{40} T^{28} - $$49\!\cdots\!20$$ p^{51} T^{30} + $$17\!\cdots\!97$$ p^{60} T^{32} - $$25\!\cdots\!32$$ p^{70} T^{34} + 296336418074734 p^{80} T^{36} - 23638692 p^{90} T^{38} + p^{100} T^{40} $
	23	$ ( 1 - 2338 T + 35997660 T^{2} - 45007042654 T^{3} + 520972471777845 T^{4} - 50426407997609208 T^{5} + $$39\!\cdots\!60$$ T^{6} + $$66\!\cdots\!96$$ T^{7} + $$17\!\cdots\!10$$ T^{8} + $$91\!\cdots\!52$$ T^{9} + $$76\!\cdots\!60$$ T^{10} + $$91\!\cdots\!52$$ p^{5} T^{11} + $$17\!\cdots\!10$$ p^{10} T^{12} + $$66\!\cdots\!96$$ p^{15} T^{13} + $$39\!\cdots\!60$$ p^{20} T^{14} - 50426407997609208 p^{25} T^{15} + 520972471777845 p^{30} T^{16} - 45007042654 p^{35} T^{17} + 35997660 p^{40} T^{18} - 2338 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} )^{2} $
	29	$ 1 - 215092900 T^{2} + 23243889276296494 T^{4} - $$16\!\cdots\!00$$ T^{6} + $$90\!\cdots\!13$$ T^{8} - $$38\!\cdots\!00$$ T^{10} + $$13\!\cdots\!92$$ T^{12} - $$42\!\cdots\!00$$ T^{14} + $$11\!\cdots\!86$$ T^{16} - $$27\!\cdots\!00$$ T^{18} + $$58\!\cdots\!28$$ T^{20} - $$27\!\cdots\!00$$ p^{10} T^{22} + $$11\!\cdots\!86$$ p^{20} T^{24} - $$42\!\cdots\!00$$ p^{30} T^{26} + $$13\!\cdots\!92$$ p^{40} T^{28} - $$38\!\cdots\!00$$ p^{50} T^{30} + $$90\!\cdots\!13$$ p^{60} T^{32} - $$16\!\cdots\!00$$ p^{70} T^{34} + 23243889276296494 p^{80} T^{36} - 215092900 p^{90} T^{38} + p^{100} T^{40} $
	31	$ ( 1 + 3580 T + 132421614 T^{2} + 484936307876 T^{3} + 8983138546835629 T^{4} + 33755686429634218608 T^{5} + $$43\!\cdots\!88$$ T^{6} + $$16\!\cdots\!96$$ T^{7} + $$17\!\cdots\!38$$ T^{8} + $$60\!\cdots\!32$$ T^{9} + $$54\!\cdots\!44$$ T^{10} + $$60\!\cdots\!32$$ p^{5} T^{11} + $$17\!\cdots\!38$$ p^{10} T^{12} + $$16\!\cdots\!96$$ p^{15} T^{13} + $$43\!\cdots\!88$$ p^{20} T^{14} + 33755686429634218608 p^{25} T^{15} + 8983138546835629 p^{30} T^{16} + 484936307876 p^{35} T^{17} + 132421614 p^{40} T^{18} + 3580 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} )^{2} $
	37	$ 1 - 565372668 T^{2} + 171401952644913934 T^{4} - $$36\!\cdots\!00$$ T^{6} + $$59\!\cdots\!09$$ T^{8} - $$80\!\cdots\!44$$ T^{10} + $$93\!\cdots\!16$$ T^{12} - $$93\!\cdots\!40$$ T^{14} + $$83\!\cdots\!86$$ T^{16} - $$67\!\cdots\!48$$ T^{18} + $$48\!\cdots\!08$$ T^{20} - $$67\!\cdots\!48$$ p^{10} T^{22} + $$83\!\cdots\!86$$ p^{20} T^{24} - $$93\!\cdots\!40$$ p^{30} T^{26} + $$93\!\cdots\!16$$ p^{40} T^{28} - $$80\!\cdots\!44$$ p^{50} T^{30} + $$59\!\cdots\!09$$ p^{60} T^{32} - $$36\!\cdots\!00$$ p^{70} T^{34} + 171401952644913934 p^{80} T^{36} - 565372668 p^{90} T^{38} + p^{100} T^{40} $
	41	$ ( 1 - 5804 T + 580737234 T^{2} - 4176614475628 T^{3} + 181136735899530493 T^{4} - $$13\!\cdots\!48$$ T^{5} + $$39\!\cdots\!40$$ T^{6} - $$28\!\cdots\!68$$ T^{7} + $$63\!\cdots\!42$$ T^{8} - $$43\!\cdots\!24$$ T^{9} + $$82\!\cdots\!24$$ T^{10} - $$43\!\cdots\!24$$ p^{5} T^{11} + $$63\!\cdots\!42$$ p^{10} T^{12} - $$28\!\cdots\!68$$ p^{15} T^{13} + $$39\!\cdots\!40$$ p^{20} T^{14} - $$13\!\cdots\!48$$ p^{25} T^{15} + 181136735899530493 p^{30} T^{16} - 4176614475628 p^{35} T^{17} + 580737234 p^{40} T^{18} - 5804 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} )^{2} $
	43	$ 1 - 1208126740 T^{2} + 787740581508660018 T^{4} - $$36\!\cdots\!96$$ T^{6} + $$12\!\cdots\!73$$ T^{8} - $$37\!\cdots\!80$$ T^{10} + $$95\!\cdots\!40$$ T^{12} - $$20\!\cdots\!56$$ T^{14} + $$40\!\cdots\!70$$ T^{16} - $$70\!\cdots\!00$$ T^{18} + $$10\!\cdots\!96$$ T^{20} - $$70\!\cdots\!00$$ p^{10} T^{22} + $$40\!\cdots\!70$$ p^{20} T^{24} - $$20\!\cdots\!56$$ p^{30} T^{26} + $$95\!\cdots\!40$$ p^{40} T^{28} - $$37\!\cdots\!80$$ p^{50} T^{30} + $$12\!\cdots\!73$$ p^{60} T^{32} - $$36\!\cdots\!96$$ p^{70} T^{34} + 787740581508660018 p^{80} T^{36} - 1208126740 p^{90} T^{38} + p^{100} T^{40} $
	47	$ ( 1 + 10 p^{2} T + 1548510076 T^{2} + 25779450599270 T^{3} + 1065218725316011845 T^{4} + $$14\!\cdots\!20$$ T^{5} + $$45\!\cdots\!96$$ T^{6} + $$51\!\cdots\!60$$ T^{7} + $$14\!\cdots\!10$$ T^{8} + $$30\!\cdots\!00$$ p T^{9} + $$36\!\cdots\!56$$ T^{10} + $$30\!\cdots\!00$$ p^{6} T^{11} + $$14\!\cdots\!10$$ p^{10} T^{12} + $$51\!\cdots\!60$$ p^{15} T^{13} + $$45\!\cdots\!96$$ p^{20} T^{14} + $$14\!\cdots\!20$$ p^{25} T^{15} + 1065218725316011845 p^{30} T^{16} + 25779450599270 p^{35} T^{17} + 1548510076 p^{40} T^{18} + 10 p^{47} T^{19} + p^{50} T^{20} )^{2} $
	53	$ 1 - 4003669356 T^{2} + 7954725909905649454 T^{4} - $$10\!\cdots\!60$$ T^{6} + $$10\!\cdots\!77$$ T^{8} - $$91\!\cdots\!76$$ T^{10} + $$65\!\cdots\!16$$ T^{12} - $$40\!\cdots\!80$$ T^{14} + $$22\!\cdots\!54$$ T^{16} - $$11\!\cdots\!56$$ T^{18} + $$48\!\cdots\!96$$ T^{20} - $$11\!\cdots\!56$$ p^{10} T^{22} + $$22\!\cdots\!54$$ p^{20} T^{24} - $$40\!\cdots\!80$$ p^{30} T^{26} + $$65\!\cdots\!16$$ p^{40} T^{28} - $$91\!\cdots\!76$$ p^{50} T^{30} + $$10\!\cdots\!77$$ p^{60} T^{32} - $$10\!\cdots\!60$$ p^{70} T^{34} + 7954725909905649454 p^{80} T^{36} - 4003669356 p^{90} T^{38} + p^{100} T^{40} $
	59	$ 1 - 9996949828 T^{2} + 49650800837889885966 T^{4} - $$16\!\cdots\!20$$ T^{6} + $$39\!\cdots\!17$$ T^{8} - $$73\!\cdots\!28$$ T^{10} + $$11\!\cdots\!44$$ T^{12} - $$14\!\cdots\!80$$ T^{14} + $$15\!\cdots\!54$$ T^{16} - $$13\!\cdots\!88$$ T^{18} + $$10\!\cdots\!24$$ T^{20} - $$13\!\cdots\!88$$ p^{10} T^{22} + $$15\!\cdots\!54$$ p^{20} T^{24} - $$14\!\cdots\!80$$ p^{30} T^{26} + $$11\!\cdots\!44$$ p^{40} T^{28} - $$73\!\cdots\!28$$ p^{50} T^{30} + $$39\!\cdots\!17$$ p^{60} T^{32} - $$16\!\cdots\!20$$ p^{70} T^{34} + 49650800837889885966 p^{80} T^{36} - 9996949828 p^{90} T^{38} + p^{100} T^{40} $
	61	$ 1 - 7152852348 T^{2} + 26523669582205677166 T^{4} - $$67\!\cdots\!00$$ T^{6} + $$13\!\cdots\!17$$ T^{8} - $$22\!\cdots\!48$$ T^{10} + $$31\!\cdots\!84$$ T^{12} - $$38\!\cdots\!60$$ T^{14} + $$42\!\cdots\!14$$ T^{16} - $$41\!\cdots\!08$$ T^{18} + $$36\!\cdots\!64$$ T^{20} - $$41\!\cdots\!08$$ p^{10} T^{22} + $$42\!\cdots\!14$$ p^{20} T^{24} - $$38\!\cdots\!60$$ p^{30} T^{26} + $$31\!\cdots\!84$$ p^{40} T^{28} - $$22\!\cdots\!48$$ p^{50} T^{30} + $$13\!\cdots\!17$$ p^{60} T^{32} - $$67\!\cdots\!00$$ p^{70} T^{34} + 26523669582205677166 p^{80} T^{36} - 7152852348 p^{90} T^{38} + p^{100} T^{40} $
	67	$ 1 - 11828518964 T^{2} + 68669252417166303634 T^{4} - $$26\!\cdots\!60$$ T^{6} + $$76\!\cdots\!57$$ T^{8} - $$18\!\cdots\!04$$ T^{10} + $$38\!\cdots\!16$$ T^{12} - $$70\!\cdots\!40$$ T^{14} + $$11\!\cdots\!54$$ T^{16} - $$18\!\cdots\!64$$ T^{18} + $$25\!\cdots\!76$$ T^{20} - $$18\!\cdots\!64$$ p^{10} T^{22} + $$11\!\cdots\!54$$ p^{20} T^{24} - $$70\!\cdots\!40$$ p^{30} T^{26} + $$38\!\cdots\!16$$ p^{40} T^{28} - $$18\!\cdots\!04$$ p^{50} T^{30} + $$76\!\cdots\!57$$ p^{60} T^{32} - $$26\!\cdots\!60$$ p^{70} T^{34} + 68669252417166303634 p^{80} T^{36} - 11828518964 p^{90} T^{38} + p^{100} T^{40} $
	71	$ ( 1 - 100156 T + 13448448446 T^{2} - 957445823975748 T^{3} + 76873855601451932317 T^{4} - $$43\!\cdots\!20$$ T^{5} + $$26\!\cdots\!28$$ T^{6} - $$12\!\cdots\!92$$ T^{7} + $$67\!\cdots\!74$$ T^{8} - $$28\!\cdots\!84$$ T^{9} + $$13\!\cdots\!68$$ T^{10} - $$28\!\cdots\!84$$ p^{5} T^{11} + $$67\!\cdots\!74$$ p^{10} T^{12} - $$12\!\cdots\!92$$ p^{15} T^{13} + $$26\!\cdots\!28$$ p^{20} T^{14} - $$43\!\cdots\!20$$ p^{25} T^{15} + 76873855601451932317 p^{30} T^{16} - 957445823975748 p^{35} T^{17} + 13448448446 p^{40} T^{18} - 100156 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} )^{2} $
	73	$ ( 1 + 52568 T + 9379342894 T^{2} + 374528688123736 T^{3} + 37721970904921608509 T^{4} + $$11\!\cdots\!56$$ T^{5} + $$82\!\cdots\!04$$ T^{6} + $$19\!\cdots\!04$$ T^{7} + $$11\!\cdots\!58$$ T^{8} + $$24\!\cdots\!96$$ T^{9} + $$16\!\cdots\!04$$ T^{10} + $$24\!\cdots\!96$$ p^{5} T^{11} + $$11\!\cdots\!58$$ p^{10} T^{12} + $$19\!\cdots\!04$$ p^{15} T^{13} + $$82\!\cdots\!04$$ p^{20} T^{14} + $$11\!\cdots\!56$$ p^{25} T^{15} + 37721970904921608509 p^{30} T^{16} + 374528688123736 p^{35} T^{17} + 9379342894 p^{40} T^{18} + 52568 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} )^{2} $
	79	$ ( 1 + 141040 T + 30508439526 T^{2} + 3027236690742416 T^{3} + $$38\!\cdots\!93$$ T^{4} + $$29\!\cdots\!88$$ T^{5} + $$27\!\cdots\!48$$ T^{6} + $$17\!\cdots\!16$$ T^{7} + $$13\!\cdots\!30$$ T^{8} + $$92\!\cdots\!60$$ p T^{9} + $$47\!\cdots\!04$$ T^{10} + $$92\!\cdots\!60$$ p^{6} T^{11} + $$13\!\cdots\!30$$ p^{10} T^{12} + $$17\!\cdots\!16$$ p^{15} T^{13} + $$27\!\cdots\!48$$ p^{20} T^{14} + $$29\!\cdots\!88$$ p^{25} T^{15} + $$38\!\cdots\!93$$ p^{30} T^{16} + 3027236690742416 p^{35} T^{17} + 30508439526 p^{40} T^{18} + 141040 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} )^{2} $
	83	$ 1 - 34768653380 T^{2} + $$55\!\cdots\!58$$ T^{4} - $$53\!\cdots\!56$$ T^{6} + $$34\!\cdots\!33$$ T^{8} - $$15\!\cdots\!20$$ T^{10} + $$44\!\cdots\!40$$ T^{12} - $$24\!\cdots\!36$$ T^{14} - $$64\!\cdots\!10$$ T^{16} + $$49\!\cdots\!20$$ T^{18} - $$23\!\cdots\!44$$ T^{20} + $$49\!\cdots\!20$$ p^{10} T^{22} - $$64\!\cdots\!10$$ p^{20} T^{24} - $$24\!\cdots\!36$$ p^{30} T^{26} + $$44\!\cdots\!40$$ p^{40} T^{28} - $$15\!\cdots\!20$$ p^{50} T^{30} + $$34\!\cdots\!33$$ p^{60} T^{32} - $$53\!\cdots\!56$$ p^{70} T^{34} + $$55\!\cdots\!58$$ p^{80} T^{36} - 34768653380 p^{90} T^{38} + p^{100} T^{40} $
	89	$ ( 1 + 1580 T + 27398194046 T^{2} + 460040940498284 T^{3} + $$38\!\cdots\!93$$ T^{4} + $$90\!\cdots\!72$$ T^{5} + $$38\!\cdots\!08$$ T^{6} + $$95\!\cdots\!24$$ T^{7} + $$29\!\cdots\!70$$ T^{8} + $$73\!\cdots\!60$$ T^{9} + $$18\!\cdots\!64$$ T^{10} + $$73\!\cdots\!60$$ p^{5} T^{11} + $$29\!\cdots\!70$$ p^{10} T^{12} + $$95\!\cdots\!24$$ p^{15} T^{13} + $$38\!\cdots\!08$$ p^{20} T^{14} + $$90\!\cdots\!72$$ p^{25} T^{15} + $$38\!\cdots\!93$$ p^{30} T^{16} + 460040940498284 p^{35} T^{17} + 27398194046 p^{40} T^{18} + 1580 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} )^{2} $
	97	$ ( 1 - 73688 T + 43672916862 T^{2} - 2817316775448856 T^{3} + $$98\!\cdots\!25$$ T^{4} - $$59\!\cdots\!28$$ T^{5} + $$15\!\cdots\!52$$ T^{6} - $$87\!\cdots\!16$$ T^{7} + $$18\!\cdots\!70$$ T^{8} - $$96\!\cdots\!88$$ T^{9} + $$17\!\cdots\!72$$ T^{10} - $$96\!\cdots\!88$$ p^{5} T^{11} + $$18\!\cdots\!70$$ p^{10} T^{12} - $$87\!\cdots\!16$$ p^{15} T^{13} + $$15\!\cdots\!52$$ p^{20} T^{14} - $$59\!\cdots\!28$$ p^{25} T^{15} + $$98\!\cdots\!25$$ p^{30} T^{16} - 2817316775448856 p^{35} T^{17} + 43672916862 p^{40} T^{18} - 73688 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} )^{2} $
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$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{40} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−2.01181974853210694069051397527, −2.00184520601613364558815717172, −1.99137701497580300320493208889, −1.86067294221119554808503147766, −1.83528829292558556196671846376, −1.82916402577391776993472198911, −1.71856443665869784807341483005, −1.52327179962858625597132094154, −1.48833237632334566247811975479, −1.47073112052452662358187631910, −1.41388260377538315760294413664, −1.38772710423946496734483801737, −1.35836837350507643172736036392, −1.25858451898299969435584111929, −1.10797962504319227587912313179, −0.949451348844032444099508165619, −0.812333429012405914020304403537, −0.76310990282658015833754615043, −0.68586934983607961592992328049, −0.61052444913038110205597296122, −0.39726206232649474017212139552, −0.33693893195854983889903516442, −0.31206853238131934064917383789, −0.26830791471723154911605044202, −0.05832455248489167330481723962, 0.05832455248489167330481723962, 0.26830791471723154911605044202, 0.31206853238131934064917383789, 0.33693893195854983889903516442, 0.39726206232649474017212139552, 0.61052444913038110205597296122, 0.68586934983607961592992328049, 0.76310990282658015833754615043, 0.812333429012405914020304403537, 0.949451348844032444099508165619, 1.10797962504319227587912313179, 1.25858451898299969435584111929, 1.35836837350507643172736036392, 1.38772710423946496734483801737, 1.41388260377538315760294413664, 1.47073112052452662358187631910, 1.48833237632334566247811975479, 1.52327179962858625597132094154, 1.71856443665869784807341483005, 1.82916402577391776993472198911, 1.83528829292558556196671846376, 1.86067294221119554808503147766, 1.99137701497580300320493208889, 2.00184520601613364558815717172, 2.01181974853210694069051397527

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(3)\)	\(\approx\)	\(34.47725220\)
\(L(\frac12)\)	\(\approx\)	\(34.47725220\)
\(L(\frac{7}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

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